Банк задач по математике

Задача 6.1.1

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим векторы в $\mathbb {C}^{2}$ (иногда называемые спинорами)

\overrightarrow {v}_{1} = \left(\begin{smallmatrix} \cos (\theta /2)e^{-i\phi /2} \\ \sin (\theta /2)e^{i\phi /2} \end{smallmatrix}\right), \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \left(\begin{smallmatrix} \sin (\theta /2)e^{-i\phi /2} \\ -\cos (\theta /2)e^{i\phi /2} \end{smallmatrix}\right).

?

(i)

Сначала покажите, что они нормированы и ортонормированы.

(ii)

Предположим, что вектор $\overrightarrow {v}_{1}$ является собственным вектором с соответствующим собственным значением $+1$ , а вектор $\overrightarrow {v}_{2}$ — собственным вектором с соответствующим собственным значением $-1$ . Примените спектральную теорему, чтобы найти соответствующую матрицу $2 \times 2$ .

(iii)

Поскольку векторы $\overrightarrow {v}_{1}$ и $\overrightarrow {v}_{2}$ образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2}$ , мы можем построить ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{4}$ с помощью произведения Кронекера

\overrightarrow {w}_{11} = \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{1}, \quad \overrightarrow {w}_{12} = \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2}, \quad \overrightarrow {w}_{21} = \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{1}, \quad \overrightarrow {w}_{22} = \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{2}.

Предположим, что собственное значение для $\overrightarrow {w}_{11}$ равно $+1$ , для $\overrightarrow {w}_{12}$ равно $-1$ , для $\overrightarrow {w}_{21}$ равно $-1$ и для $\overrightarrow {w}_{22}$ равно $+1$ . Примените спектральную теорему, чтобы найти соответствующую матрицу $4 \times 4$ .

Задача 6.1.2

Дана симметричная матрица $A$ размера $4 \times 4$ над $\mathbb {R}$ с собственными значениями $\lambda_{1} = 0$ , $\lambda_{2} = 1$ , $\lambda_{3} = 2$ , $\lambda_{4} = 3$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right), \quad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right), \quad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right), \quad \overrightarrow {v}_{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right).

Восстановите матрицу $A$ , используя спектральную теорему. Приведённые выше собственные векторы называются базисом Белла.

?

Задача 6.1.3

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу перестановки $2 \times 2$

\sigma _{1} = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right).

Найдите спектральное разложение $\sigma_{1}$ . Найдите матрицу $K$ такую, что $\mathrm{exp}\left(K\right) = \sigma_{1}$ .

(ii)

Рассмотрим матрицу перестановки

P = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right).

Найдите спектральное разложение $P$ . Найдите матрицу $X$ такую, что $\mathrm{exp}\left(X\right) = P$ .

(iii)

Рассмотрим матрицу перестановки

P = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right).

Покажите, что собственные значения образуют группу относительно умножения. Найдите спектральное представление, чтобы найти $K$ такую, что $P = \mathrm{exp}\left(K\right)$ .

Задача 6.1.4

Пусть $z \in \mathbb {C}$ и $A$ — нормальная матрица $n \times n$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и попарно ортонормированными собственными векторами $\overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{n}$ . Используя спектральное разложение, вычислите $\mathrm{exp}\left(zA\right)$ .

?

Задача 6.1.5

Пусть $A$ — эрмитова матрица $n \times n$ . Предположим, что все собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ попарно различны. Тогда нормированные собственные векторы $\overrightarrow {u}_{j}$ ( $j = 1, \ldots , n$ ) удовлетворяют условиям $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{k} = 0$ при $j \neq k$ и $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{j} = 1$ . Имеем

A = \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j}\overrightarrow {u}_{j}\overrightarrow {u}_{j}^{*}.

Пусть $\overrightarrow {e}_{k}$ ( $k = 1, \ldots , n$ ) — стандартный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Вычислите $U^{*}AU$ , где $U = \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow {u}_{k}\overrightarrow {e}_{k}^{*}$ .

?

Задача 6.1.6

Пусть $A$ — положительно определённая матрица $n \times n$ . Тогда все собственные значения вещественны и положительны. Предположим, что все собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ попарно различны. Тогда нормированные собственные векторы $\overrightarrow {u}_{j}$ ( $j = 1, \ldots , n$ ) удовлетворяют условиям $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{k} = 0$ при $j \neq k$ и $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{j} = 1$ . Имеем (спектральная теорема)

A = \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j}\overrightarrow {u}_{j}\overrightarrow {u}_{j}^{*}.

Пусть $\overrightarrow {e}_{k}$ ( $k = 1, \ldots , n$ ) — стандартный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Вычислите $\ln (A)$ . Заметим, что унитарная матрица

U = \sum _{k=1}^{n} \overrightarrow {u}_{k}\overrightarrow {e}_{k}^{*}

преобразует $A$ в диагональную матрицу, т.е. $\widetilde{A} = U^{*}AU$ — диагональная матрица.

?

Задача 6.1.7

(i)(ii)

Рассмотрим нормальную необратимую матрицу $3 \times 3$

A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right).

?

(i)

Найдите спектральное разложение.

(ii)

Используя этот результат, вычислите $\mathrm{exp}\left(zA\right)$ , где $z \in \mathbb {C}$ .

Задача 6.1.8

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим две матрицы перестановок $3 \times 3$ , для которых $P_{1} = P_{2}^{T}$

P_{1} = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right), \qquad P_{2} = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right).

?

(i)

Найдите спектральное разложение матриц перестановок.

(ii)

Используя спектральное разложение, найдите матрицы $K_{1}$ и $A_{2}$ такие, что $P_{1} = \mathrm{exp}\left(K_{1}\right)$ , $P_{2} = \mathrm{exp}\left(A_{2}\right)$ .

(iii)

Мы хотим эффективно найти $K_{1}$ и $K_{2}$ такие, что $P_{1} = e^{K_{1}}$ и $P_{2} = e^{K_{2}}$ . Мы бы применили теорему о спектральном разложении, чтобы найти $K_{1}$ , т.е.

K_{1} = \sum _{j=1}^{3} \ln (\lambda _{j})\overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}

где $\lambda_{j}$ — собственные значения $U_{1}$ , а $\overrightarrow {v}_{j}$ — соответствующие нормированные собственные векторы. Но затем, чтобы найти $K_{2}$ , мы бы применили свойство $U_{1}^{2} = U_{2}$ . Или же мы могли бы на самом деле воспользоваться тем, что $U_{2} = U_{1}^{T}$ ? Заметим, что $U_{1}$ , $U_{2}$ , $I_{3}$ образуют коммутативную подгруппу группы перестановок $3 \times 3$ относительно умножения матриц.

Задача 6.1.9

Рассмотрим унитарную матрицу

U = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right) \otimes \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right).

Найдите косоэрмитову матрицу $K$ такую, что $U = \mathrm{exp}\left(K\right)$ . Используйте спектральное представление.

?

Задача 6.1.10

Рассмотрим матрицу Адамара

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right) \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma _{3} + \sigma _{1})

с собственными значениями $+1$ и $-1$ . Найдите квадратные корни этой матрицы, применяя спектральную теорему. Поскольку $\sqrt{1} = \pm 1$ и $\sqrt{-1} = \pm i$ , необходимо рассмотреть четыре случая

(1, i), \quad (1, -i), \quad (-1, i), \quad (-1, -i).

?

Задача 6.1.11

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Матрица $B$ размера $n \times n$ называется квадратным корнем из $A$ , если $B^{2} = A$ . Найдите квадратные корни единичной матрицы $2 \times 2$ , применяя спектральную теорему. Собственные значения $I_{2}$ суть $\lambda_{1} = 1$ и $\lambda_{2} = 1$ . В качестве нормированных собственных векторов выберем

\left(\begin{smallmatrix} e^{i\phi _{1}}\cos (\theta ) \\ e^{i\phi _{2}}\sin (\theta ) \end{smallmatrix}\right), \qquad \left(\begin{smallmatrix} e^{i\phi _{1}}\sin (\theta ) \\ -e^{i\phi _{2}}\cos (\theta ) \end{smallmatrix}\right)

которые образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2}$ . Необходимо изучить четыре случая

(\sqrt{\lambda _{1}}, \sqrt{\lambda _{2}}) = (1, 1), \quad (\sqrt{\lambda _{1}}, \sqrt{\lambda _{2}}) = (1, -1),

(\sqrt{\lambda _{1}}, \sqrt{\lambda _{2}}) = (-1, 1), \quad (\sqrt{\lambda _{1}}, \sqrt{\lambda _{2}}) = (-1, -1)

Первый и последний случаи тривиальны. Поэтому изучите второй случай $(\sqrt{\lambda_{1}}, \sqrt{\lambda_{2}}) = (1, -1)$ . Второй случай и третий случай «эквивалентны».

?

Задача 6.1.12

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \mu_{1}, \mu_{2} \in \mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {v}_{1}$ , $\overrightarrow {v}_{2}$ (векторы-столбцы) — ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2}$ . Определим матрицы $2 \times 2$ (спектральная теорема)

A = \lambda _{1}\overrightarrow {v}_{1}\overrightarrow {v}_{1}^{*} + \lambda _{2}\overrightarrow {v}_{2}\overrightarrow {v}_{2}^{*}, \qquad B = \mu _{1}\overrightarrow {v}_{1}\overrightarrow {v}_{1}^{*} + \mu _{2}\overrightarrow {v}_{2}\overrightarrow {v}_{2}^{*}.

Найдите коммутатор $[A, B]$ . Найдите условия на $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , $\mu_{1}$ , $\mu_{2}$ такие, что $[A, B] = 0_{2}$ .

?

Задача 6.1.13

Пусть $\overrightarrow {v}_{0}, \overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{2^{n}-1}$ — ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2^{n}}$ . Определим

U := \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum _{j=0}^{2^{n}-1} \sum _{k=0}^{2^{n}-1} e^{-i2\pi kj/2^{n}} \overrightarrow {v}_{k}\overrightarrow {v}_{j}^{*}.

Покажите, что $U$ унитарна. Иными словами, покажите, что $UU^{*} = I_{2^{n}}$ , используя соотношение полноты

I_{2^{n}} = \sum _{j=0}^{2^{n}-1} \overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}.

?

Задачи главы