Глава 3

Кронекерово произведение

[72/57%]
Показать
LaTeX
§
3.1 · Задачи главы[41/100%]
Задача 3.1.1

Рассмотрим матрицы Паули

σ1:=(0110),σ3:=(100−1). \sigma _{1} := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{3} := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найти σ1⊗σ3\sigma_{1} \otimes \sigma_{3} и σ3⊗σ1\sigma_{3} \otimes \sigma_{1}. Обсудить. Найти tr⁡(σ1⊗σ3)\operatorname {tr}(\sigma_{1} \otimes \sigma_{3}) и tr⁡(σ3⊗σ1)\operatorname {tr}(\sigma_{3} \otimes \sigma_{1}).

?
Задача 3.1.2

Пусть

x→1=12(11),x→2=12(1−1). \overrightarrow {x}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Таким образом, {x→1,x→2}\left\{ \overrightarrow {x}_{1}, \overrightarrow {x}_{2}\right\} образует ортонормированный базис в R2\mathbb {R}^{2}. Вычислить

x→1⊗x→1,x→1⊗x→2,x→2⊗x→1,x→2⊗x→2 \overrightarrow {x}_{1} \otimes \overrightarrow {x}_{1}, \qquad \overrightarrow {x}_{1} \otimes \overrightarrow {x}_{2}, \qquad \overrightarrow {x}_{2} \otimes \overrightarrow {x}_{1}, \qquad \overrightarrow {x}_{2} \otimes \overrightarrow {x}_{2}

и проинтерпретировать результат.

?
Задача 3.1.3

Дан ортонормированный базис

x→1=(eiϕcos⁡(θ)sin⁡(θ)),x→2=(−sin⁡(θ)e−iϕcos⁡(θ)) \overrightarrow {x}_{1} = \begin{pmatrix} e^{i \phi } \cos (\theta ) \\ \sin (\theta ) \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}_{2} = \begin{pmatrix} -\sin (\theta ) \\ e^{-i \phi } \cos (\theta ) \end{pmatrix}

в векторном пространстве C2\mathbb {C}^{2}. Используя этот ортонормированный базис, найти ортонормированный базис в C4\mathbb {C}^{4}.

?
Задача 3.1.4
?
(i)

Ортонормированный базис в R3\mathbb {R}^{3} задаётся как

v→1=12(101),v→2=(010),v→3=12(10−1). \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Используя этот ортонормированный базис и кронекерово произведение, найти ортонормированный базис в R9\mathbb {R}^{9}.

(ii)

Базис в векторном пространстве M2(C)M_{2}(\mathbb {C}) матриц 2×22 \times 2 над C\mathbb {C} задаётся матрицами Паули (включая единичную матрицу 2×22 \times 2) σ0=I2\sigma_{0} = I_{2}, σ1\sigma_{1}, σ2\sigma_{2}, σ3\sigma_{3}. Используя этот базис и кронекерово произведение, найти базис в векторном пространстве M4(C4)M_{4}(\mathbb {C}^{4}) всех матриц 4×44 \times 4 над C\mathbb {C}.

Задача 3.1.5

Рассмотрим два нормированных вектора

12(1001),12(100−1) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

в гильбертовом пространстве R4\mathbb {R}^{4}. Показать, что векторы, полученные применением матрицы (I2⊗σ1)(I_{2} \otimes \sigma_{1}), вместе с исходными образуют ортонормированный базис в R4\mathbb {R}^{4}.

?
Задача 3.1.6

Пусть AA — матрица m×mm \times m, а BB — матрица n×nn \times n. Основное поле — C\mathbb {C}. Пусть ImI_{m}, InI_{n} — единичные матрицы m×mm \times m и n×nn \times n соответственно.

?
(i)

Показать, что tr⁡(A⊗B)=tr⁡(A)tr⁡(B)\operatorname {tr}(A \otimes B) = \operatorname {tr}(A) \operatorname {tr}(B).

(ii)

Показать, что tr⁡(A⊗In+Im⊗B)=ntr⁡(A)+mtr⁡(B)\operatorname {tr}(A \otimes I_{n} + I_{m} \otimes B) = n \operatorname {tr}(A) + m \operatorname {tr}(B).

Задача 3.1.7
?
(i)

Пусть AA — произвольная матрица n×nn \times n над C\mathbb {C}. Показать, что

exp(A⊗In)≡exp(A)⊗In. \mathrm{exp}\left(A \otimes I_{n}\right) \equiv \mathrm{exp}\left(A\right) \otimes I_{n}.
(ii)

Пусть AA — матрица n×nn \times n, а ImI_{m} — единичная матрица m×mm \times m. Показать, что

sin⁡(A⊗Im)≡sin⁡(A)⊗Im. \sin (A \otimes I_{m}) \equiv \sin (A) \otimes I_{m}.
(iii)

Пусть AA — матрица n×nn \times n, а BB — матрица m×mm \times m. Верно ли, что

sin⁡(A⊗Im+In⊗B)≡(sin⁡(A))⊗(cos⁡(B))+(cos⁡(A))⊗(sin⁡(B))? \sin (A \otimes I_{m} + I_{n} \otimes B) \equiv (\sin (A)) \otimes (\cos (B)) + (\cos (A)) \otimes (\sin (B))?

Доказать или опровергнуть.

Задача 3.1.8

Пусть AA, BB — произвольные матрицы n×nn \times n над C\mathbb {C}. Показать, что

exp(A⊗In+In⊗B)≡exp(A)⊗exp(B). \mathrm{exp}\left(A \otimes I_{n} + I_{n} \otimes B\right) \equiv \mathrm{exp}\left(A\right) \otimes \mathrm{exp}\left(B\right).
?
Задача 3.1.9

Пусть AA и BB — произвольные матрицы n×nn \times n над C\mathbb {C}. Верно ли, что eA⊗B=eA⊗eBe^{A \otimes B} = e^{A} \otimes e^{B}?

?
Задача 3.1.10

Основное поле — C\mathbb {C}. Пусть AA — матрица m×mm \times m с собственным значением λ\lambda и соответствующим нормированным собственным вектором v→\overrightarrow {v}. Пусть BB — матрица n×nn \times n с собственным значением μ\mu и соответствующим нормированным собственным вектором u→\overrightarrow {u}. Пусть ϵ1\epsilon_{1}, ϵ2\epsilon_{2} и ϵ3\epsilon_{3} — вещественные параметры. Найти собственное значение и соответствующие нормированные собственные векторы матрицы

ϵ1A⊗B+ϵ2A⊗In+ϵ3Im⊗B. \epsilon _{1} A \otimes B + \epsilon _{2} A \otimes I_{n} + \epsilon _{3} I_{m} \otimes B.
?
Задача 3.1.11

Пусть AjA_{j} (j=1,…,kj = 1, \ldots , k) — матрицы размера mj×njm_{j} \times n_{j}. Введём обозначение

⊗j=1kAj=(⊗j=1k−1Aj)⊗Ak=A1⊗A2⊗⋯⊗Ak. \otimes _{j=1}^{k} A_{j} = \left(\otimes _{j=1}^{k-1} A_{j}\right) \otimes A_{k} = A_{1} \otimes A_{2} \otimes \cdots \otimes A_{k}.

Рассмотрим элементарные матрицы

E00=(1000),E10=(0010),E01=(0100),E11=(0001). E_{00} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{01} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
?
(i)

Вычислите ⊗j=1k(E00+E01+E11)\otimes_{j=1}^{k}(E_{00} + E_{01} + E_{11}) для k=1k = 1, k=2k = 2, k=3k = 3 и k=8k = 8. Дайте интерпретацию результата в случае, когда каждый элемент матрицы представляет пиксель (1 для чёрного и 0 для белого). Это означает, что мы используем произведение Кронекера для представления изображений.

(ii)

Вычислите

(⊗j=1k(E00+E01+E10+E11))⊗(0110) \left(\otimes _{j=1}^{k}(E_{00} + E_{01} + E_{10} + E_{11})\right) \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

для k=2k = 2 и дайте интерпретацию как изображения, т.е.каждый элемент 0 отождествляется с чёрным пикселем, а элемент 1 — с белым пикселем. Обсудите случай произвольного kk.

Задача 3.1.12
?
(i)

Пусть AA и XX — матрицы n×nn \times n над C\mathbb {C}. Предположим, что [X,A]=0n[X, A] = 0_{n}. Вычислите коммутатор [X⊗In+In⊗X,A⊗A][X \otimes I_{n} + I_{n} \otimes X, A \otimes A].

(ii)

Пусть AA, BB, CC — матрицы n×nn \times n. Предположим, что [A,B]=0n[A, B] = 0_{n}, [A,C]=0n[A, C] = 0_{n}. Пусть

X:=In⊗A+A⊗In,Y:=In⊗B+B⊗In+A⊗C. X := I_{n} \otimes A + A \otimes I_{n}, \qquad Y := I_{n} \otimes B + B \otimes I_{n} + A \otimes C.

Вычислите коммутатор [X,Y][X, Y].

Задача 3.1.13

Квадратная матрица называется стохастической матрицей, если каждый её элемент неотрицателен и сумма элементов в каждой строке равна 1. Пусть AA, BB — стохастические матрицы n×nn \times n. Является ли A⊗BA \otimes B стохастической матрицей?

?
Задача 3.1.14

Пусть XX — матрица m×mm \times m, а YY — матрица n×nn \times n. Прямой суммой называется матрица (m+n)×(m+n)(m+n) \times (m+n)

X⊕Y:=(X00Y). X \oplus Y := \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix}.

Пусть AA — матрица n×nn \times n, BB — матрица m×mm \times m, а CC — матрица p×pp \times p. Тогда справедливо тождество

(A⊕B)⊗C≡(A⊗C)⊕(B⊗C). (A \oplus B) \otimes C \equiv (A \otimes C) \oplus (B \otimes C).

Верно ли, что A⊗(B⊕C)=(A⊗B)⊕(A⊗C)A \otimes (B \oplus C) = (A \otimes B) \oplus (A \otimes C)?

?
Задача 3.1.15

Пусть AA, BB — матрицы n×nn \times n. Тогда прямая сумма A⊕BA \oplus B — это матрица 2n×2n2n \times 2n

A⊕B=(A0n0nB). A \oplus B = \begin{pmatrix} A & 0_{n} \\ 0_{n} & B \end{pmatrix}.
?
(i)

Покажите, что A⊕BA \oplus B можно также записать с помощью произведения Кронекера и сложения матриц.

(ii)

Пусть CC — матрица 2×22 \times 2. Можно ли записать C⊕CC \oplus C как произведение Кронекера двух матриц 2×22 \times 2?

Задача 3.1.16

Пусть AA, BB — матрицы 2×22 \times 2, CC — матрица 3×33 \times 3, а DD — матрица 1×11 \times 1. Найдите условие на эти матрицы, при котором A⊗B=C⊕DA \otimes B = C \oplus D, где ⊕\oplus обозначает прямую сумму. Предполагаем, что DD отлична от нуля.

?
Задача 3.1.17

Пусть AA — матрица 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}. Решите уравнение A⊕A=A⊗AA \oplus A = A \otimes A.

?
Задача 3.1.18

С каждой матрицей YY размера m×nm \times n мы связываем вектор-столбец vec⁡(Y)\operatorname {vec}(Y) длины m×nm \times n, определённый как

vec⁡(Y):=(y11,…,ym1,y12,…,ym2,…,y1n,…,ymn)T. \operatorname {vec}(Y) := (y_{11}, \ldots , y_{m1}, y_{12}, \ldots , y_{m2}, \ldots , y_{1n}, \ldots , y_{mn})^{T}.
?
(i)

Пусть AA — матрица размера m×nm \times n, BB — матрица размера p×qp \times q, а CC — матрица размера m×qm \times q. Пусть XX — неизвестная матрица размера n×pn \times p. Покажите, что матричное уравнение AXB=CAXB = C эквивалентно системе из qmqm уравнений с npnp неизвестными, задаваемой в виде

(BT⊗A)vec⁡(X)=vec⁡(C) (B^{T} \otimes A) \operatorname {vec}(X) = \operatorname {vec}(C)

то есть vec⁡(AXB)=(BT⊗A)vec⁡(X)\operatorname {vec}(AXB) = (B^{T} \otimes A) \operatorname {vec}(X).

(ii)

Пусть AA, BB, DD — матрицы размера n×nn \times n, а InI_{n} — единичная матрица размера n×nn \times n. Используя результат из (i), докажите, что уравнение AX+XB=DAX + XB = D можно записать в виде

((In⊗A)+(BT⊗In))vec⁡(X)=vec⁡(D). ((I_{n} \otimes A) + (B^{T} \otimes I_{n})) \operatorname {vec}(X) = \operatorname {vec}(D).
Задача 3.1.19

Пусть AA, BB, CC, DD — симметричные матрицы размера n×nn \times n над R\mathbb {R}. Предположим, что эти матрицы коммутируют друг с другом. Рассмотрим матрицу HH размера 4n×4n4n \times 4n

H=(ABCD−BAD−C−C−DAB−DC−BA). H = \begin{pmatrix} A & B & C & D \\ -B & A & D & -C \\ -C & -D & A & B \\ -D & C & -B & A \end{pmatrix}.
?
(i)

Вычислите HHTH H^{T} и выразите результат через произведение Кронекера.

(ii)

Предположим, что A2+B2+C2+D2=4nInA^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2} = 4n I_{n}.

Задача 3.1.20
?
(i)

Можно ли матрицу 4×44 \times 4

C=(1001011001−10100−1) C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

записать как произведение Кронекера двух матриц AA и BB размера 2×22 \times 2, т.е.C=A⊗BC = A \otimes B?

(ii)

Можно ли матрицу 4×44 \times 4

A=12(00−11001−1−11001−100) A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

записать как произведение Кронекера матриц размера 2×22 \times 2?

Задача 3.1.21

Пусть x→,y→,z→∈Rn\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}, \overrightarrow {z} \in \mathbb {R}^{n}. Определим внешнее произведение

x→∧y→:=x→⊗y→−y→⊗x→. \overrightarrow {x} \wedge \overrightarrow {y} := \overrightarrow {x} \otimes \overrightarrow {y} - \overrightarrow {y} \otimes \overrightarrow {x}.

Покажите, что (x→∧y→)∧z→+(z→∧x→)∧y→+(y→∧z→)∧x→=0→(\overrightarrow {x} \wedge \overrightarrow {y}) \wedge \overrightarrow {z} + (\overrightarrow {z} \wedge \overrightarrow {x}) \wedge \overrightarrow {y} + (\overrightarrow {y} \wedge \overrightarrow {z}) \wedge \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}.

?
Задача 3.1.22

Рассмотрим векторы v→\overrightarrow {v} и w→\overrightarrow {w} в C2\mathbb {C}^{2}

v→=(v1v2),w→=(w1w2). \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {w} = \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{pmatrix}.
?
(i)

Вычислите v→⊗w→\overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}, v→T⊗w→\overrightarrow {v}^{T} \otimes \overrightarrow {w}, v→⊗w→T\overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}^{T}, v→T⊗w→T\overrightarrow {v}^{T} \otimes \overrightarrow {w}^{T}.

(ii)

Верно ли, что tr⁡(v→T⊗w→)=tr⁡(v→⊗w→T)\operatorname {tr}(\overrightarrow {v}^{T} \otimes \overrightarrow {w}) = \operatorname {tr}(\overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}^{T})?

(iii)

Верно ли, что det⁡(v→T⊗w→)=det⁡(v→⊗w→T)\operatorname {det}\left(\overrightarrow {v}^{T} \otimes \overrightarrow {w}\right) = \operatorname {det}\left(\overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}^{T}\right)?

Задача 3.1.23

Пусть AA, BB — косоэрмитовы матрицы, т.е.A∗=−AA^{*} = -A и B∗=−BB^{*} = -B. Является ли A⊗BA \otimes B косоэрмитовой?

?
Задача 3.1.24

Пусть AA, BB — нормальные матрицы размера n×nn \times n над C\mathbb {C}, т.е.AA∗=A∗AAA^{*} = A^{*}A и BB∗=B∗BBB^{*} = B^{*}B. Покажите, что A⊗BA \otimes B — нормальная матрица.

?
Задача 3.1.25

Пусть z→=(z0z1…zN)T\overrightarrow {z} = \begin{pmatrix} z_{0} & z_{1} & \ldots & z_{N} \end{pmatrix}^{T} — (столбцовый) вектор в CN+1\mathbb {C}^{N+1}, и предположим, что z→\overrightarrow {z} ненулевой. Тогда

z→∗=(z‾0z‾1…z‾N) \overrightarrow {z}^{*} = \begin{pmatrix} \overline{z}_{0} & \overline{z}_{1} & \ldots & \overline{z}_{N} \end{pmatrix}

т.е.z→∗\overrightarrow {z}^{*} — транспонированный и комплексно сопряжённый вектор к z→\overrightarrow {z}. Рассмотрим матрицу Π\Pi размера (N+1)×(N+1)(N+1) \times (N+1)

Π:=IN+1−1z→∗z→(z→⊗z→∗). \Pi := I_{N+1} - \frac{1}{\overrightarrow {z}^{*} \overrightarrow {z}} (\overrightarrow {z} \otimes \overrightarrow {z}^{*}).

Покажите, что Π∗=Π\Pi^{*} = \Pi, Π2=Π\Pi^{2} = \Pi. Это означает, что Π\Pi — матрица проектирования.

?
Задача 3.1.26

Пусть AA, BB — трёхдиагональные матрицы размера n×nn \times n с n≥3n \geq 3. Является ли A⊗BA \otimes B трёхдиагональной матрицей?

?
Задача 3.1.27

Рассмотрим матрицу AA размера 2×22 \times 2 над C\mathbb {C} с det⁡(A)=1\operatorname {det}\left(A\right) = 1.

?
(i)

Найдите обратную матрицу к AA.

(ii)

Пусть v→\overrightarrow {v} — нормированный вектор в C2\mathbb {C}^{2}. Является ли вектор Av→A\overrightarrow {v} нормированным?

(iii)

Пусть

E=(01−10). E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите AEATAEA^{T}.

(iv)

Пусть BB — матрица 2×22 \times 2 над C\mathbb {C} с det⁡(B)=1\operatorname {det}\left(B\right) = 1. Найдите матрицу (A⊗B)(E⊗E)(A⊗B)T(A \otimes B)(E \otimes E)(A \otimes B)^{T} размера 4×44 \times 4.

Задача 3.1.28

Пусть AA — эрмитова матрица размера n×nn \times n с A2=InA^{2} = I_{n}. Пусть

Π1=12(In+A)⊗In,Π2=12(In−A)⊗In. \Pi _{1} = \frac{1}{2}(I_{n}+A) \otimes I_{n}, \qquad \Pi _{2} = \frac{1}{2}(I_{n}-A) \otimes I_{n}.

Покажите, что Π1\Pi_{1} и Π2\Pi_{2} являются проекционными матрицами. Вычислите произведение Π1Π2\Pi_{1} \Pi_{2}.

?
Задача 3.1.29

Является ли кронекерово произведение двух циркулянтных матриц снова циркулянтной матрицей? Пусть AA, BB — две циркулянтные матрицы размера n×nn \times n. Верно ли, что A⊗B=B⊗AA \otimes B = B \otimes A?

?
Задача 3.1.30

Ганкелева матрица — это матрица, у которой на каждой антидиагонали стоит один и тот же элемент. Например, ганкелевыми матрицами являются

(171615241615243315243322433241),(72605543302160554330211055433021108). \begin{pmatrix} 17 & 16 & 15 & 24 \\ 16 & 15 & 24 & 33 \\ 15 & 24 & 33 & 2 \\ 24 & 33 & 2 & 41 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 72 & 60 & 55 & 43 & 30 & 21 \\ 60 & 55 & 43 & 30 & 21 & 10 \\ 55 & 43 & 30 & 21 & 10 & 8 \end{pmatrix}.

Даны две квадратные ганкелевы матрицы. Является ли их кронекерово произведение снова ганкелевой матрицей?

?
Задача 3.1.31

Пусть AA — обратимая матрица размера n×nn \times n. Тогда матрица (A−1⊗In)(In⊗A)(A^{-1} \otimes I_{n})(I_{n} \otimes A) также обратима. Найдите обратную к ней матрицу.

?
Задача 3.1.32
?
(i)

Пусть x→\overrightarrow {x}, y→\overrightarrow {y} — векторы в R2\mathbb {R}^{2}. Можно ли найти матрицу перестановки PP размера 4×44 \times 4 такую, что P(x→⊗y→)=y→⊗x→P(\overrightarrow {x} \otimes \overrightarrow {y}) = \overrightarrow {y} \otimes \overrightarrow {x}?

(ii)

Пусть AA, BB — матрицы размера 2×22 \times 2. Можно ли найти матрицу перестановки PP размера 4×44 \times 4 такую, что

P(A⊗B)P−1=B⊗A? P(A \otimes B)P^{-1} = B \otimes A?
(iii)

Рассмотрим векторы u→\overrightarrow {u} и v→\overrightarrow {v} в C3\mathbb {C}^{3}

u→=(u1u2u3),v→=(v1v2v3). \overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix}.

Найдите матрицу перестановки PP размера 9×99 \times 9 такую, что P(u→⊗v→)=v→⊗u→P(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}) = \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u}.

Задача 3.1.33

Пусть AA, BB — симметричные матрицы над R\mathbb {R}.

?
(i)

Каково условие на AA, BB, при котором ABAB симметрична?

(ii)

Каково условие на AA, BB, при котором A⊗BA \otimes B симметрична?

Задача 3.1.34

Пусть AA, BB — матрицы 2×22 \times 2 над R\mathbb {R}. Найдите условия на AA и BB, при которых

(A⊗I2)12(1001)=(I2⊗B)12(1001). (A \otimes I_{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = (I_{2} \otimes B) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
?
Задача 3.1.35

Пусть σ1\sigma_{1}, σ2\sigma_{2}, σ3\sigma_{3} — матрицы Паули.

?
(i)

Рассмотрим гильбертово пространство C4\mathbb {C}^{4}. Покажите, что матрицы

Π1=12(I2⊗I2+σ1⊗σ1),Π2=12(I2⊗I2−σ1⊗σ1) \Pi _{1} = \frac{1}{2}(I_{2} \otimes I_{2} + \sigma _{1} \otimes \sigma _{1}), \qquad \Pi _{2} = \frac{1}{2}(I_{2} \otimes I_{2} - \sigma _{1} \otimes \sigma _{1})

являются проекционными матрицами в C4\mathbb {C}^{4}.

(ii)

Найдите Π1Π2\Pi_{1} \Pi_{2}. Обсудите результат.

(iii)

Пусть e→1\overrightarrow {e}_{1}, e→2\overrightarrow {e}_{2}, e→3\overrightarrow {e}_{3}, e→4\overrightarrow {e}_{4} — стандартный базис в C4\mathbb {C}^{4}. Вычислите Π1e→j\Pi_{1} \overrightarrow {e}_{j}, Π2e→j\Pi_{2} \overrightarrow {e}_{j}, j=1,2,3,4j = 1, 2, 3, 4 и покажите, что в результате этих проекций мы получаем 2 двумерных гильбертовых пространства.

(iv)

Образуют ли матрицы I2⊗I2I_{2} \otimes I_{2}, σ1⊗σ1\sigma_{1} \otimes \sigma_{1} группу относительно умножения матриц?

(v)

Покажите, что матрицы

Πj=12(I2⊗I2+σj⊗σj),j=1,2,3 \Pi _{j} = \frac{1}{2}(I_{2} \otimes I_{2} + \sigma _{j} \otimes \sigma _{j}), \qquad j = 1, 2, 3

являются проекционными матрицами.

(vi)

Является ли

12(I2⊗I2−12(iσ1⊗iσ1+iσ2⊗iσ2)) \frac{1}{2}\left(I_{2} \otimes I_{2} - \frac{1}{2}(i\sigma _{1} \otimes i\sigma _{1} + i\sigma _{2} \otimes i\sigma _{2})\right)

проекционной матрицей?

Задача 3.1.36

Пусть AA — матрица размера n×nn \times n. Покажите, что матрицу размера 2n×2n2n \times 2n

B=(InInAIn+A) B = \begin{pmatrix} I_{n} & I_{n} \\ A & I_{n}+A \end{pmatrix}

можно выразить с помощью кронекерова произведения, единичной матрицы InI_{n} размера n×nn \times n, матрицы AA и матриц 2×22 \times 2

C=(1101),D=(0011). C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
?
Задача 3.1.37

Пусть EjkE_{jk} (j,k=1,…,nj, k = 1, \ldots , n) — это n×nn \times n матрицы с 1 на месте (j,k)(j, k) и 0 в остальных местах. Пусть n=2n = 2. Найдите 4×44 \times 4 матрицы

X=E11⊗E11+E12⊗E12+E21⊗E21+E22⊗E22 X = E_{11} \otimes E_{11} + E_{12} \otimes E_{12} + E_{21} \otimes E_{21} + E_{22} \otimes E_{22}

и

Y=E11⊗E11+E21⊗E12+E12⊗E21+E22⊗E22. Y = E_{11} \otimes E_{11} + E_{21} \otimes E_{12} + E_{12} \otimes E_{21} + E_{22} \otimes E_{22}.

Являются ли эти матрицы обратимыми?

?
Задача 3.1.38

Пусть AA, BB, CC — это 2×22 \times 2 матрицы. Можем ли мы найти 8×88 \times 8 матрицы перестановок PP и QQ такие, что P(A⊗B⊗C)Q=C⊗B⊗AP(A \otimes B \otimes C)Q = C \otimes B \otimes A?

?
Задача 3.1.39

Пусть P1P_{1} — это m×mm \times m матрица перестановки, а P2P_{2} — n×nn \times n матрица перестановки. Тогда P1⊗P2P_{1} \otimes P_{2} — это mn×mnmn \times mn матрица перестановки. Пусть K1K_{1} и K2K_{2} — соответственно m×mm \times m и n×nn \times n матрицы такие, что P1=eK1P_{1} = e^{K_{1}} и P2=eK2P_{2} = e^{K_{2}}. Найдите KK такую, что P1⊗P2=eKP_{1} \otimes P_{2} = e^{K}, где KK — это mn×mnmn \times mn матрица.

?
Задача 3.1.40

Пусть AA и BB — две комплексные матрицы, не обязательно одного размера. Если B≠0B \neq 0, то операция ⊘\oslash, заданная как

(A⊗B)⊘B=A (A \otimes B) \oslash B = A

корректно определена, где ⊗\otimes — это произведение Кронекера. Операция ⊘\oslash называется правым частным Кронекера. Покажите, что ближайшее произведение Кронекера

M⊘B:=A(∥M−A⊗B∥ минимально) M \oslash B := A \qquad (\left\| M - A \otimes B\right\| \text{ минимально})

определяет частное Кронекера, где ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| обозначает норму Фробениуса. Покажите, что

M⊘B=tr⁡2((I⊗B∗)M)∥B∥2 M \oslash B = \frac{\operatorname {tr}_{2}((I \otimes B^{*})M)}{\left\| B\right\| ^{2}}

где tr⁡2\operatorname {tr}_{2} обозначает частичный след по матрицам того же размера, что и B∗BB^{*}B, а II — соответствующая единичная матрица. Существуют ли другие частные Кронекера?

?
Задача 3.1.41

Пусть d≥2d \geq 2. Рассмотрим векторное пространство V=CdV = \mathbb {C}^{d}. Пусть V×VV \times V — декартово произведение VV на себя. Пусть u→\overrightarrow {u}, v→\overrightarrow {v}, w→\overrightarrow {w} — элементы VV. Произведение Кронекера (тензорное произведение) определяется соотношениями

(u→+v→)⊗w→=u→⊗w→+v→⊗w→,u→⊗(v→+w→)=u→⊗v→+u→⊗w→, (\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}) \otimes \overrightarrow {w} = \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {w} + \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {w}, \qquad \overrightarrow {u} \otimes (\overrightarrow {v}+\overrightarrow {w}) = \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} + \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {w}, (cu→)⊗v→=u→⊗(cv→)=c(u→⊗v→). (c\overrightarrow {u}) \otimes \overrightarrow {v} = \overrightarrow {u} \otimes (c\overrightarrow {v}) = c(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}).

Пусть V⊗V≡V⊗2=⟨u→⊗v→:u→,v→∈V⟩V \otimes V \equiv V^{\otimes^{2}} = \left\langle \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} : \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in V\right\rangle, где линейная оболочка берётся в Cd2\mathbb {C}^{d^{2}}. Пусть {e→j}j=1d\left\{ \overrightarrow {e}_{j}\right\}_{j=1}^{d} — базис в векторном пространстве VV. Тогда {e→j⊗e→k}\left\{ \overrightarrow {e}_{j} \otimes \overrightarrow {e}_{k}\right\} (j,k=1,…,dj, k = 1, \ldots , d) — базис в векторном пространстве V⊗VV \otimes V размерности d2d^{2}. Определим kk-ю тензорную степень векторного пространства VV, обозначаемую V⊗kV^{\otimes^{k}}, заданную элементами

u→1⊗u→2⊗⋯⊗u→k. \overrightarrow {u}_{1} \otimes \overrightarrow {u}_{2} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {u}_{k}.

Таким образом, размерность векторного пространства V⊗kV^{\otimes^{k}} равна dkd^{k}. Пусть k≤dk \leq d. Тогда внешнее произведение (также называемое произведением Грассмана, exterior product) определяется как

v→1∧⋯∧v→k:=∑π∈Skσ(π)v→π(1)⊗⋯⊗v→π(k) \overrightarrow {v}_{1} \wedge \cdots \wedge \overrightarrow {v}_{k} := \sum _{\pi \in S_{k}} \sigma (\pi ) \overrightarrow {v}_{\pi (1)} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {v}_{\pi (k)}

где SkS_{k} — группа перестановок, а σ\sigma — её знакопеременное представление, т.е.σ(π)=+1\sigma (\pi ) = +1 для чётных перестановок и σ(π)=−1\sigma (\pi ) = -1 для нечётных перестановок. Комплексное векторное пространство, натянутое на элементы вида

v→1,…,v→n \overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{n}

обозначается ∧kV\wedge^{k} V и имеет размерность (dk)\binom {d}{k}. Приведите реализацию внешнего произведения средствами компьютерной алгебры с использованием SymbolicC++. Примените её к случаю d=3d = 3 с базисом

v→1=12(101),v→2=(010),v→3=12(10−1). \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Вычислите v→1∧v→2\overrightarrow {v}_{1} \wedge \overrightarrow {v}_{2}, v→2∧v→3\overrightarrow {v}_{2} \wedge \overrightarrow {v}_{3}, v→3∧v→1\overrightarrow {v}_{3} \wedge \overrightarrow {v}_{1}, v→1∧v→2∧v→3\overrightarrow {v}_{1} \wedge \overrightarrow {v}_{2} \wedge \overrightarrow {v}_{3}.

?
§
3.2 · Дополнительные задачи[31/0%]
Задача 3.2.1
?
(i)

Дан стандартный базис {e→1,e→2}\left\{ \overrightarrow {e}_{1}, \overrightarrow {e}_{2}\right\} в C2\mathbb {C}^{2}. Являются ли

12(e→1⊗e→1+e→2⊗e→2),12(e→1⊗e→1−e→2⊗e→2), \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} + \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2}), \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} - \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2}), 12(e→1⊗e→2+e→2⊗e→1),12(e→1⊗e→2−e→2⊗e→1) \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} + \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1}), \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} - \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1})

базисом в C4\mathbb {C}^{4}?

(ii)

Пусть e→1\overrightarrow {e}_{1}, e→2\overrightarrow {e}_{2} — стандартный базис в C2\mathbb {C}^{2}. Восемь векторов

e→1⊗e→1⊗e→1,e→1⊗e→1⊗e→2,e→1⊗e→2⊗e→1,e→1⊗e→2⊗e→2, \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1}, \quad \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1}, \quad \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2}, e→2⊗e→1⊗e→1,e→2⊗e→1⊗e→2,e→2⊗e→2⊗e→1,e→2⊗e→2⊗e→2 \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1}, \quad \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2}, \quad \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1}, \quad \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2}

образуют стандартный базис в R8\mathbb {R}^{8}. Образуют ли 8 векторов

12(e→1⊗e→1⊗e→1±e→2⊗e→2⊗e→2),12(e→1⊗e→1⊗e→2±e→2⊗e→2⊗e→1), \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \pm \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2}), \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \pm \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1}), 12(e→1⊗e→2⊗e→1±e→2⊗e→1⊗e→2),12(e→1⊗e→2⊗e→2±e→2⊗e→1⊗e→1) \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \pm \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2}), \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \pm \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{1})

ортонормированный базис в R8\mathbb {R}^{8}?

(iii)

Пусть векторы v→1\overrightarrow {v}_{1}, v→2\overrightarrow {v}_{2} образуют ортонормированный базис в C2\mathbb {C}^{2}. Тогда четыре вектора

v→1⊗v→1,v→1⊗v→2,v→2⊗v→1,v→2⊗v→2 \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{1}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{1}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{2}

образуют ортонормированный базис в C4\mathbb {C}^{4}. Образуют ли четыре вектора

v→1⊗v→1+v→2⊗v→2,v→1⊗v→1−v→2⊗v→2,v→1⊗v→2+v→2⊗v→1,v→1⊗v→2−v→2⊗v→1 \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{1} + \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{1} - \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{2}, \quad \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2} + \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{1}, \quad \overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2} - \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{1}

базис в C4\mathbb {C}^{4}? Можно ли записать эти четыре вектора как произведение Кронекера двух векторов в C2\mathbb {C}^{2}?

(iv)

Три вектора

e→0=(010),e→+=12(101),e→−=12(10−1) \overrightarrow {e}_{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {e}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {e}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

образуют ортонормированный базис в R3\mathbb {R}^{3}. Образуют ли 9 векторов

v→0,0=13(e→+⊗e→−+e→−⊗e→+−e→0⊗e→0) \overrightarrow {v}_{0,0} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\overrightarrow {e}_{+} \otimes \overrightarrow {e}_{-} + \overrightarrow {e}_{-} \otimes \overrightarrow {e}_{+} - \overrightarrow {e}_{0} \otimes \overrightarrow {e}_{0}) v→1,0=12(e→+⊗e→−−e→−⊗e→+) \overrightarrow {v}_{1,0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{+} \otimes \overrightarrow {e}_{-} - \overrightarrow {e}_{-} \otimes \overrightarrow {e}_{+}) v→1,±1=±12(e→±⊗e→0−e→0⊗e→±) \overrightarrow {v}_{1,\pm 1} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{\pm } \otimes \overrightarrow {e}_{0} - \overrightarrow {e}_{0} \otimes \overrightarrow {e}_{\pm }) v→2,0=16(e→+⊗e→−+e→−⊗e→++2e→0⊗e→0) \overrightarrow {v}_{2,0} = \frac{1}{\sqrt{6}}(\overrightarrow {e}_{+} \otimes \overrightarrow {e}_{-} + \overrightarrow {e}_{-} \otimes \overrightarrow {e}_{+} + 2\overrightarrow {e}_{0} \otimes \overrightarrow {e}_{0}) v→2,±1=12(e→±⊗e→0+e→0⊗e→±) \overrightarrow {v}_{2,\pm 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow {e}_{\pm } \otimes \overrightarrow {e}_{0} + \overrightarrow {e}_{0} \otimes \overrightarrow {e}_{\pm }) v→2,±2=e→±⊗e→± \overrightarrow {v}_{2,\pm 2} = \overrightarrow {e}_{\pm } \otimes \overrightarrow {e}_{\pm }

ортонормированный базис в R9\mathbb {R}^{9}? Эти векторы играют роль для π\pi-мезонов.

Задача 3.2.2

Покажите, что условия на x1,x2,y1,y2∈Rx_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in \mathbb {R}, при которых

(x1x2)⊗(y1y2)=(y1y2)⊗(x1x2) \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}

задаются равенством x1y2=x2y1x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}.

?
Задача 3.2.3

6×66 \times 6 первичная циклическая матрица SS задана как

S=(010000001000000100000010000001100000)  ⟹  ST=(000001100000010000001000000100000010). S = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \implies S^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Пусть e→j\overrightarrow {e}_{j} (j=1,…,6j = 1, \ldots , 6) — стандартный базис в R6\mathbb {R}^{6}. Тогда

STe→1=e→2,STe→2=e→3,STe→3=e→4,STe→4=e→5,STe→5=e→6,STe→6=e→1 S^{T} \overrightarrow {e}_{1} = \overrightarrow {e}_{2}, \quad S^{T} \overrightarrow {e}_{2} = \overrightarrow {e}_{3}, \quad S^{T} \overrightarrow {e}_{3} = \overrightarrow {e}_{4}, \quad S^{T} \overrightarrow {e}_{4} = \overrightarrow {e}_{5}, \quad S^{T} \overrightarrow {e}_{5} = \overrightarrow {e}_{6}, \quad S^{T} \overrightarrow {e}_{6} = \overrightarrow {e}_{1}

и Se→1=e→6S \overrightarrow {e}_{1} = \overrightarrow {e}_{6}, Se→2=e→1S \overrightarrow {e}_{2} = \overrightarrow {e}_{1}, Se→3=e→2S \overrightarrow {e}_{3} = \overrightarrow {e}_{2}, Se→4=e→3S \overrightarrow {e}_{4} = \overrightarrow {e}_{3}, Se→5=e→4S \overrightarrow {e}_{5} = \overrightarrow {e}_{4}, Se→6=e→5S \overrightarrow {e}_{6} = \overrightarrow {e}_{5}. Рассмотрим матрицу Адамара

U=12(111−1). U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Примените ST(I3⊗U)S^{T}(I_{3} \otimes U) и S(I3⊗U)S(I_{3} \otimes U) к стандартному базису. Обсудите результат.

?
Задача 3.2.4
?
(i)

Известно, что если AA и BB — нормальные матрицы, то A⊗BA \otimes B нормальна. Можно ли найти две ненормальные матрицы CC и DD, для которых C⊗DC \otimes D нормальна?

(ii)

Рассмотрим обратимую ненормальную матрицу 2×22 \times 2 MM

M=(1101)  ⟹  M−1=(1−101). M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Является ли матрица M⊗M−1M \otimes M^{-1} ненормальной?

Задача 3.2.5

Пусть AA, BB — обратимые матрицы над R\mathbb {R}. Тогда

(AB)−1=B−1A−1(A⊗B)−1=A−1⊗B−1. (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \qquad (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.

Найдите условия на матрицы 2×22 \times 2 над R\mathbb {R}, при которых A−1⊗B−1=B−1⊗A−1A^{-1} \otimes B^{-1} = B^{-1} \otimes A^{-1}.

?
Задача 3.2.6

Рассмотрим набор матриц 2×22 \times 2

A=(1100),B=(0101),C=(0011),D=(1010). A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
?
(i)

Являются ли эти матрицы линейно независимыми?

(ii)

Являются ли матрицы A⊗AA \otimes A, B⊗BB \otimes B, C⊗CC \otimes C, D⊗DD \otimes D линейно независимыми?

(iii)

Покажите, что матрицы 2×22 \times 2 BB и DD подобны. Покажите, что матрицы B⊗DB \otimes D и D⊗BD \otimes B подобны.

Задача 3.2.7

Пусть ⊕\oplus обозначает прямую сумму.

?
(i)

Пусть AA — матрица 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}. Можно ли записать A⊗AA \otimes A в виде

A⊗A=B1⊕B2+C1⊕C2+D1⊕D2 A \otimes A = B_{1} \oplus B_{2} + C_{1} \oplus C_{2} + D_{1} \oplus D_{2}

где B1B_{1}, B2B_{2} — матрицы 2×22 \times 2, C1C_{1}, D2D_{2} — матрицы 1×11 \times 1, а C2C_{2}, D1D_{1} — матрицы 3×33 \times 3?

(ii)

Пусть AA, BB, CC, DD — матрицы n×nn \times n. Верно ли, что

(A⊕B)⊗(C⊕D)=(A⊗(C⊕D))⊕(B⊗(C⊕D))? (A \oplus B) \otimes (C \oplus D) = (A \otimes (C \oplus D)) \oplus (B \otimes (C \oplus D))?
(iii)

Пусть AA, BB — матрицы 2×22 \times 2 над R\mathbb {R}. Можно ли записать A⊗BA \otimes B в виде

A⊗B=C⊕D+1⊕E+F⊕1? A \otimes B = C \oplus D + 1 \oplus E + F \oplus 1?

Здесь CC, DD — матрицы 2×22 \times 2 над R\mathbb {R}, а EE, FF — матрицы 3×33 \times 3 над R\mathbb {R}.

Задача 3.2.8

Пусть J=iσ2J = i\sigma_{2}, где σ2\sigma_{2} — вторая матрица спина Паули.

?
(i)

Покажите, что любая матрица 2×22 \times 2 A∈SL(2,C)A \in SL(2,\mathbb {C}) удовлетворяет ATJA=JA^{T}JA = J, где ATA^{T} — транспонированная матрица AA.

(ii)

Пусть AA — матрица 2×22 \times 2 с A∈SL(2,C)A \in SL(2,\mathbb {C}). Покажите, что

(A⊗A)T(J⊗J)(A⊗A)=J⊗Jи(A⊕A)T(J⊕J)(A⊕A)=J⊕J. (A \otimes A)^{T}(J \otimes J)(A \otimes A) = J \otimes J \qquad \text{и} \qquad (A \oplus A)^{T}(J \oplus J)(A \oplus A) = J \oplus J.
Задача 3.2.9
?
(i)

Найдите условия на матрицы 2×22 \times 2 AA и BB, при которых

(A⊗B)⊗(A⊗B)=(A⊗A)⊗(B⊗B). (A \otimes B) \otimes (A \otimes B) = (A \otimes A) \otimes (B \otimes B).
(ii)

Пусть AA, BB — матрицы 2×22 \times 2. Найдите условия на AA и BB, при которых

[A⊗B,B⊗A]=04  ⟺  (AB)⊗(BA)=(BA)⊗(AB). [A \otimes B, B \otimes A] = 0_{4} \iff (AB) \otimes (BA) = (BA) \otimes (AB).
Задача 3.2.10

Рассмотрим матрицу 4×44 \times 4

M=(16321351011896712415141). M = \begin{pmatrix} 16 & 3 & 2 & 13 \\ 5 & 10 & 11 & 8 \\ 9 & 6 & 7 & 12 \\ 4 & 15 & 14 & 1 \end{pmatrix}.

Матрица MM является так называемым магическим квадратом, поскольку суммы её строк, столбцов, суммы по главной диагонали и по главной побочной диагонали равны. Является ли M⊗MM \otimes M магическим квадратом? Докажите или опровергните. Найдите собственные значения MM.

?
Задача 3.2.11

Пусть {e→j}1≤j≤N\left\{ \overrightarrow {e}_{j}\right\}_{1 \leq j \leq N} — стандартный базис в C\mathbb {C}, а S={1,…,N}S = \left\{ 1, \ldots , N\right\} — множество индексов. Для каждого упорядоченного подмножества индексов I={j1,j2,…,jp}⊂SI = \left\{ j_{1}, j_{2}, \ldots , j_{p}\right\} \subset S определим e→I\overrightarrow {e}_{I} как

e→I=∑σ∈Sp(sgn⁡(σ))e→jσ(1)⊗e→jσ(2)⊗⋯⊗e→jσ(p). \overrightarrow {e}_{I} = \sum _{\sigma \in S_{p}} (\operatorname {sgn}(\sigma )) \overrightarrow {e}_{j_{\sigma (1)}} \otimes \overrightarrow {e}_{j_{\sigma (2)}} \otimes \cdots \otimes \overrightarrow {e}_{j_{\sigma (p)}}.

Пусть n=3n = 3 и p=2p = 2. Найдите все e→I\overrightarrow {e}_{I}.

?
Задача 3.2.12

Пусть AA, BB — матрицы 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}.

?
(i)

Предположим, что A⊗B=B⊗AA \otimes B = B \otimes A. Можно ли заключить, что AB=BAAB = BA? Докажите или опровергните.

(ii)

Предположим, что AB=BAAB = BA. Можно ли заключить, что A⊗B=B⊗AA \otimes B = B \otimes A?

Задача 3.2.13

Пусть

T=∑j,k,ℓ=01tjkℓv→j⊗v→k⊗v→ℓ. T = \sum _{j,k,\ell =0}^{1} t_{jk\ell } \overrightarrow {v}_{j} \otimes \overrightarrow {v}_{k} \otimes \overrightarrow {v}_{\ell }.
?
(i)

Предположим, что

v→0=(10),v→1=(01). \overrightarrow {v}_{0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите коэффициенты tjkℓt_{jk\ell }, при которых

T=12(10000001)T. T = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}.
(ii)

Предположим, что

v→0=12(11),v→1=12(1−1). \overrightarrow {v}_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите коэффициенты tjkℓt_{jk\ell }, при которых

T=12(1000001)T. T = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}.
Задача 3.2.14
?
(i)

Рассмотрим векторы

u→=(u1u2u3),v→=(v1v2) \overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}

в C3\mathbb {C}^{3} и C2\mathbb {C}^{2} соответственно. Найдите матрицу перестановки 6×66 \times 6 PP, для которой P(u→⊗v→)=v→⊗u→P(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}) = \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u}.

(ii)

Найдите все нетривиальные решения уравнения

(x1x2)⊗(y1y2y3)=(y1y2y3)⊗(x1x2). \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}.

Из этого уравнения получаем четыре условия

x1y2=y1x2,x1y3=y2x1,x2y1=y2x2,x2y2=y3x1. x_{1} y_{2} = y_{1} x_{2}, \qquad x_{1} y_{3} = y_{2} x_{1}, \qquad x_{2} y_{1} = y_{2} x_{2}, \qquad x_{2} y_{2} = y_{3} x_{1}.

Необходимо провести разбор случаев, начиная с x1=0x_{1} = 0 и x1≠0x_{1} \neq 0.

(iii)

Рассмотрим стандартный базис e→1\overrightarrow {e}_{1}, e→2\overrightarrow {e}_{2}, e→3\overrightarrow {e}_{3} в R3\mathbb {R}^{3}. Найдите матрицу перестановки 8×88 \times 8 TT, для которой T(e→1⊗e→2⊗e→3)=e→3⊗e→2⊗e→1T(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{3}) = \overrightarrow {e}_{3} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1}.

Задача 3.2.15

Рассмотрим обратимую матрицу 2n×2n2n \times 2n

C=iσ2⊗In≡(0nIn−In0n). C = i\sigma _{2} \otimes I_{n} \equiv \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Определяющее уравнение для элемента S∈Sp(2n)S \in Sp(2n) имеет вид

(S−1)∗=S=C(S−1)TC−1. (S^{-1})^{*} = S = C(S^{-1})^{T}C^{-1}.

Найдите обратную матрицу к CC.

?
Задача 3.2.16

Покажите, что

(0110)⊗(1001)=(001)⊕(100)+(001)⊕(100) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

где ⊕\oplus обозначает прямую сумму.

?
Задача 3.2.17

Пусть σ0=I2\sigma_{0} = I_{2}, σ1\sigma_{1}, σ2\sigma_{2}, σ3\sigma_{3} — матрицы спина Паули. Эти матрицы образуют ортогональный базис в гильбертовом пространстве матриц 2×22 \times 2.

?
(i)

Покажите, что любую матрицу 2×22 \times 2 можно записать в виде линейной комбинации

∑j=03cjσj,cj∈C. \sum _{j=0}^{3} c_{j} \sigma _{j}, \qquad c_{j} \in \mathbb {C}.

Покажите, что любую матрицу 4×44 \times 4 можно записать в виде линейной комбинации

∑j1=03∑j2=03cj1j2σj1⊗σj2,cj1j2∈C. \sum _{j_{1}=0}^{3} \sum _{j_{2}=0}^{3} c_{j_{1}j_{2}} \sigma _{j_{1}} \otimes \sigma _{j_{2}}, \qquad c_{j_{1}j_{2}} \in \mathbb {C}.

Покажите, что любую матрицу 2n×2n2^{n} \times 2^{n} можно записать в виде линейной комбинации

∑j1=03∑j2=03⋯∑jn=03cj1j2…jnσj1⊗σj2⊗⋯⊗σjn,cj1j2…jn∈C. \sum _{j_{1}=0}^{3} \sum _{j_{2}=0}^{3} \cdots \sum _{j_{n}=0}^{3} c_{j_{1}j_{2}\ldots j_{n}} \sigma _{j_{1}} \otimes \sigma _{j_{2}} \otimes \cdots \otimes \sigma _{j_{n}}, \qquad c_{j_{1}j_{2}\ldots j_{n}} \in \mathbb {C}.
(ii)

Рассмотрим 256 матриц размера шестнадцать на шестнадцать

Tj0j1j2j3:=σj0⊗σj1⊗σj2⊗σj3 T_{j_{0}j_{1}j_{2}j_{3}} := \sigma _{j_{0}} \otimes \sigma _{j_{1}} \otimes \sigma _{j_{2}} \otimes \sigma _{j_{3}}

где j0,j1,j2,j3∈{0,1,2,3}j_{0}, j_{1}, j_{2}, j_{3} \in \left\{ 0,1,2,3\right\}. Пусть

ψ=14(1111111111111111)T \psi = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{T}

Найдите ψTTj0j1j2j3ψ=tj0j1j2j3\psi^{T} T_{j_{0}j_{1}j_{2}j_{3}} \psi = t_{j_{0}j_{1}j_{2}j_{3}}.

Задача 3.2.18

Пусть AA — обратимая матрица n×nn \times n с A2=InA^{2} = I_{n}. Рассмотрим

X1=In⊗A⊗A−1,X2=A⊗In⊗A−1,X3=A⊗A−1⊗In. X_{1} = I_{n} \otimes A \otimes A^{-1}, \qquad X_{2} = A \otimes I_{n} \otimes A^{-1}, \qquad X_{3} = A \otimes A^{-1} \otimes I_{n}.
?
(i)

Найдите X12X_{1}^{2}, X22X_{2}^{2}, X32X_{3}^{2}, X1X2X_{1}X_{2}, X1X3X_{1}X_{3}, X2X3X_{2}X_{3}.

(ii)

Найдите коммутаторы [X1,X2][X_{1}, X_{2}], [X2,X3][X_{2}, X_{3}], [X3,X2][X_{3}, X_{2}].

Задача 3.2.19

Пусть AA, BB — заданные ненулевые матрицы 2×22 \times 2. Пусть XX — матрица 2×22 \times 2. Найдите решение уравнения X⊗A=B⊗XX \otimes A = B \otimes X.

?
Задача 3.2.20

Пусть AA — матрица m×mm \times m, а BB — матрица n×nn \times n. Сумма Кронекера определяется как

A⊕KB:=A⊗In+Im⊗B. A \oplus _{K} B := A \otimes I_{n} + I_{m} \otimes B.

Верно ли, что (A⊕KB)⊗C=(A⊗C)⊕K(B⊗C)(A \oplus_{K} B) \otimes C = (A \otimes C) \oplus_{K} (B \otimes C)? Докажите или опровергните.

?
Задача 3.2.21

Пусть AA — матрица m×mm \times m над C\mathbb {C}, а BB — матрица n×nn \times n над C\mathbb {C}. Решите уравнение

A⊗B=A⊗In+Im⊗B. A \otimes B = A \otimes I_{n} + I_{m} \otimes B.

Очевидно, что A=0mA = 0_{m}, B=0nB = 0_{n} является решением. Существуют ли ненулевые решения? Может ли оператор vec⁡\operatorname {vec} быть полезен?

?
Задача 3.2.22

Пусть AA — матрица 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}. Покажите, что условие на AA, при котором A⊗I2=I2⊗AA \otimes I_{2} = I_{2} \otimes A, задаётся равенствами a12=a21=0a_{12} = a_{21} = 0, a11=a22a_{11} = a_{22}.

?
Задача 3.2.23
?
(i)

Пусть u→\overrightarrow {u}, v→\overrightarrow {v} — нормированные векторы-столбцы в Cn\mathbb {C}^{n} с u→∗v→=0\overrightarrow {u}^{*}\overrightarrow {v} = 0. Покажите, что u→⊗v→−v→⊗u→\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} - \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u} нельзя записать в виде

u→⊗v→−v→⊗u→=a→⊗b→ \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} - \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u} = \overrightarrow {a} \otimes \overrightarrow {b}

где a→,b→∈Cn\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b} \in \mathbb {C}^{n}. Эта задача играет роль для запутанности.

(ii)

Пусть u→,v→∈Cn\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n} линейно независимы. Можно ли найти x→,y→∈Cn\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}^{n} такие, что

x→⊗y→=u→⊗v→−v→⊗u→? \overrightarrow {x} \otimes \overrightarrow {y} = \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} - \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u}?
(iii)

Пусть AA, BB — ненулевые матрицы n×nn \times n над C\mathbb {C}. Предположим, что AA и BB линейно независимы. Покажите, что A⊗B−B⊗AA \otimes B - B \otimes A нельзя записать в виде A⊗B−B⊗A=X⊗YA \otimes B - B \otimes A = X \otimes Y, где X,YX, Y — матрицы n×nn \times n над C\mathbb {C}.

Задача 3.2.24

Пусть n∈Nn \in \mathbb {N}. Числа Фибоначчи задаются элементами матрицы

(1110)n,n=1,2,…. \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{n}, \qquad n = 1, 2, \ldots .

Найдите последовательность, задаваемую матрицей 4×44 \times 4

((1110)⊗(1110))n,n=1,2,…. \left(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)^{n}, \qquad n = 1, 2, \ldots .

Сравните с последовательностью чисел Фибоначчи. Обсудите.

?
Задача 3.2.25

Пусть AA — матрица n×nn \times n над R\mathbb {R}. Матрица AA называется симметричной, если A=ATA = A^{T}. Если матрица AA симметрична относительно диагонали «северо-восток—юго-запад», т.е.aj,k=an−k+1,n−j+1a_{j,k} = a_{n-k+1,n-j+1}, она называется персимметричной. Пусть XX, YY — матрицы n×nn \times n над R\mathbb {R}, которые симметричны и персимметричны. Покажите, что X⊗YX \otimes Y снова симметрична и персимметрична.

?
Задача 3.2.26

Пусть AA — матрица n×nn \times n над C\mathbb {C}, а BB — матрица m×mm \times m над C\mathbb {C}. Предположим, что A⊗BA \otimes B положительно полуопределена. Можем ли мы заключить, что AA и BB положительно полуопределены?

?
Задача 3.2.27

Пусть AA, BB — положительно полуопределённые матрицы n×nn \times n. Покажите, что

tr⁡(A⊗B)≤14(tr⁡(A)+tr⁡(B))2,tr⁡(A⊗B)≤12tr⁡(A⊗A+B⊗B). \operatorname {tr}(A \otimes B) \leq \frac{1}{4}(\operatorname {tr}(A)+\operatorname {tr}(B))^{2}, \qquad \operatorname {tr}(A \otimes B) \leq \frac{1}{2}\operatorname {tr}(A \otimes A + B \otimes B).
?
Задача 3.2.28

Пусть UU — унитарная матрица 2×22 \times 2, а I2I_{2} — единичная матрица 2×22 \times 2. Покажите, что матрица 4×44 \times 4

V=(0001)⊗U+(eiα000)⊗I2,α∈R V = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes U + \begin{pmatrix} e^{i\alpha } & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes I_{2}, \qquad \alpha \in \mathbb {R}

унитарна. Используйте UU∗=I2UU^{*} = I_{2} и

(0001)(eiα000)=(eiα000)(0001)=(0000). \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\alpha } & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{i\alpha } & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
?
Задача 3.2.29

Пусть AA, BB — матрицы n×nn \times n над R\mathbb {R}. Пусть u→\overrightarrow {u}, v→\overrightarrow {v} — векторы-столбцы в Rn\mathbb {R}^{n}. Покажите, что

A(u→⊗v→T)B≡(Au→)⊗(v→TB)? A(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}^{T})B \equiv (A\overrightarrow {u}) \otimes (\overrightarrow {v}^{T}B)?

Это также можно записать как A(u→v→T)B≡(Au→)(v→TB)A(\overrightarrow {u}\overrightarrow {v}^{T})B \equiv (A\overrightarrow {u})(\overrightarrow {v}^{T}B), поскольку умножение матриц ассоциативно.

?
Задача 3.2.30

Рассмотрим обратимую матрицу 4×44 \times 4

T=(1001100−101100−ii0)  ⟹  T−1=12(1100001i001−i1−100). T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -i & i & 0 \end{pmatrix} \implies T^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & 1 & -i \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Пусть

R(α)=(cos⁡(α)−sin⁡(α)sin⁡(α)cos⁡(α)). R(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Покажите, что T(R(α)⊗R(β)T)T−1T(R(\alpha ) \otimes R(\beta )^{T})T^{-1} задаётся выражением

(cos⁡(α−β)00isin⁡(α−β)0cos⁡(α+β)−sin⁡(α+β)00sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)0isin⁡(α−β)00cos⁡(α−β)). \begin{pmatrix} \cos (\alpha -\beta ) & 0 & 0 & i\sin (\alpha -\beta ) \\ 0 & \cos (\alpha +\beta ) & -\sin (\alpha +\beta ) & 0 \\ 0 & \sin (\alpha +\beta ) & \cos (\alpha +\beta ) & 0 \\ i\sin (\alpha -\beta ) & 0 & 0 & \cos (\alpha -\beta ) \end{pmatrix}.
?
Задача 3.2.31

Пусть v→\overrightarrow {v} — нормированный (столбцовый) вектор в R2\mathbb {R}^{2}. Является ли матрица

I2−v→⊗v→T I_{2} - \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {v}^{T}

обратимой?

?