Дополнительные задачи

Дан стандартный базис $\left\{ \overrightarrow {e}_{1}, \overrightarrow {e}_{2}\right\}$ в $\mathbb {C}^{2}$. Являются ли

базисом в $\mathbb {C}^{4}$?

Пусть $\overrightarrow {e}_{1}$, $\overrightarrow {e}_{2}$ — стандартный базис в $\mathbb {C}^{2}$. Восемь векторов

образуют стандартный базис в $\mathbb {R}^{8}$. Образуют ли 8 векторов

ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{8}$?

Пусть векторы $\overrightarrow {v}_{1}$, $\overrightarrow {v}_{2}$ образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2}$. Тогда четыре вектора

образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{4}$. Образуют ли четыре вектора

базис в $\mathbb {C}^{4}$? Можно ли записать эти четыре вектора как произведение Кронекера двух векторов в $\mathbb {C}^{2}$?

Три вектора

образуют ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{3}$. Образуют ли 9 векторов

ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{9}$? Эти векторы играют роль для $\pi$-мезонов.

Известно, что если $A$ и $B$ — нормальные матрицы, то $A \otimes B$ нормальна. Можно ли найти две ненормальные матрицы $C$ и $D$, для которых $C \otimes D$ нормальна?

Рассмотрим обратимую ненормальную матрицу $2 \times 2$ $M$

Является ли матрица $M \otimes M^{-1}$ ненормальной?

Являются ли эти матрицы линейно независимыми?

Являются ли матрицы $A \otimes A$, $B \otimes B$, $C \otimes C$, $D \otimes D$ линейно независимыми?

Покажите, что матрицы $2 \times 2$ $B$ и $D$ подобны. Покажите, что матрицы $B \otimes D$ и $D \otimes B$ подобны.

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$. Можно ли записать $A \otimes A$ в виде

где $B_{1}$, $B_{2}$ — матрицы $2 \times 2$, $C_{1}$, $D_{2}$ — матрицы $1 \times 1$, а $C_{2}$, $D_{1}$ — матрицы $3 \times 3$?

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — матрицы $n \times n$. Верно ли, что

Пусть $A$, $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Можно ли записать $A \otimes B$ в виде

Здесь $C$, $D$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$, а $E$, $F$ — матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$.

Покажите, что любая матрица $2 \times 2$ $A \in SL(2,\mathbb {C})$ удовлетворяет $A^{T}JA = J$, где $A^{T}$ — транспонированная матрица $A$.

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ с $A \in SL(2,\mathbb {C})$. Покажите, что

Найдите условия на матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$, при которых

Пусть $A$, $B$ — матрицы $2 \times 2$. Найдите условия на $A$ и $B$, при которых

Предположим, что $A \otimes B = B \otimes A$. Можно ли заключить, что $AB = BA$? Докажите или опровергните.

Предположим, что $AB = BA$. Можно ли заключить, что $A \otimes B = B \otimes A$?

Предположим, что

Найдите коэффициенты $t_{jk\ell }$, при которых

Предположим, что

Найдите коэффициенты $t_{jk\ell }$, при которых

Рассмотрим векторы

в $\mathbb {C}^{3}$ и $\mathbb {C}^{2}$ соответственно. Найдите матрицу перестановки $6 \times 6$ $P$, для которой $P(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v}) = \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u}$.

Найдите все нетривиальные решения уравнения

Из этого уравнения получаем четыре условия

Необходимо провести разбор случаев, начиная с $x_{1} = 0$ и $x_{1} \neq 0$.

Рассмотрим стандартный базис $\overrightarrow {e}_{1}$, $\overrightarrow {e}_{2}$, $\overrightarrow {e}_{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$. Найдите матрицу перестановки $8 \times 8$ $T$, для которой $T(\overrightarrow {e}_{1} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{3}) = \overrightarrow {e}_{3} \otimes \overrightarrow {e}_{2} \otimes \overrightarrow {e}_{1}$.

Покажите, что любую матрицу $2 \times 2$ можно записать в виде линейной комбинации

Покажите, что любую матрицу $4 \times 4$ можно записать в виде линейной комбинации

Покажите, что любую матрицу $2^{n} \times 2^{n}$ можно записать в виде линейной комбинации

Рассмотрим 256 матриц размера шестнадцать на шестнадцать

где $j_{0}, j_{1}, j_{2}, j_{3} \in \left\{ 0,1,2,3\right\}$. Пусть

Найдите $\psi^{T} T_{j_{0}j_{1}j_{2}j_{3}} \psi = t_{j_{0}j_{1}j_{2}j_{3}}$.

Найдите $X_{1}^{2}$, $X_{2}^{2}$, $X_{3}^{2}$, $X_{1}X_{2}$, $X_{1}X_{3}$, $X_{2}X_{3}$.

Найдите коммутаторы $[X_{1}, X_{2}]$, $[X_{2}, X_{3}]$, $[X_{3}, X_{2}]$.

Пусть $\overrightarrow {u}$, $\overrightarrow {v}$ — нормированные векторы-столбцы в $\mathbb {C}^{n}$ с $\overrightarrow {u}^{*}\overrightarrow {v} = 0$. Покажите, что $\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} - \overrightarrow {v} \otimes \overrightarrow {u}$ нельзя записать в виде

где $\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b} \in \mathbb {C}^{n}$. Эта задача играет роль для запутанности.

Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ линейно независимы. Можно ли найти $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y} \in \mathbb {C}^{n}$ такие, что

Пусть $A$, $B$ — ненулевые матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Предположим, что $A$ и $B$ линейно независимы. Покажите, что $A \otimes B - B \otimes A$ нельзя записать в виде $A \otimes B - B \otimes A = X \otimes Y$, где $X, Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$.