Задачи главы

Рассмотрим матрицы Паули

Найти $\sigma_{1} \otimes \sigma_{3}$ и $\sigma_{3} \otimes \sigma_{1}$. Обсудить. Найти $\operatorname {tr}(\sigma_{1} \otimes \sigma_{3})$ и $\operatorname {tr}(\sigma_{3} \otimes \sigma_{1})$.

Пусть

Таким образом, $\left\{ \overrightarrow {x}_{1}, \overrightarrow {x}_{2}\right\}$ образует ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{2}$. Вычислить

и проинтерпретировать результат.

Дан ортонормированный базис

в векторном пространстве $\mathbb {C}^{2}$. Используя этот ортонормированный базис, найти ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{4}$.

Рассмотрим два нормированных вектора

в гильбертовом пространстве $\mathbb {R}^{4}$. Показать, что векторы, полученные применением матрицы $(I_{2} \otimes \sigma_{1})$, вместе с исходными образуют ортонормированный базис в $\mathbb {R}^{4}$.

Пусть $A$ — матрица $m \times m$, а $B$ — матрица $n \times n$. Основное поле — $\mathbb {C}$. Пусть $I_{m}$, $I_{n}$ — единичные матрицы $m \times m$ и $n \times n$ соответственно.

Пусть $A$, $B$ — произвольные матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Показать, что

Пусть $A$ и $B$ — произвольные матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Верно ли, что $e^{A \otimes B} = e^{A} \otimes e^{B}$?

Основное поле — $\mathbb {C}$. Пусть $A$ — матрица $m \times m$ с собственным значением $\lambda$ и соответствующим нормированным собственным вектором $\overrightarrow {v}$. Пусть $B$ — матрица $n \times n$ с собственным значением $\mu$ и соответствующим нормированным собственным вектором $\overrightarrow {u}$. Пусть $\epsilon_{1}$, $\epsilon_{2}$ и $\epsilon_{3}$ — вещественные параметры. Найти собственное значение и соответствующие нормированные собственные векторы матрицы

Пусть $A_{j}$ ($j = 1, \ldots , k$) — матрицы размера $m_{j} \times n_{j}$. Введём обозначение

Рассмотрим элементарные матрицы

Квадратная матрица называется стохастической матрицей, если каждый её элемент неотрицателен и сумма элементов в каждой строке равна 1. Пусть $A$, $B$ — стохастические матрицы $n \times n$. Является ли $A \otimes B$ стохастической матрицей?

Пусть $X$ — матрица $m \times m$, а $Y$ — матрица $n \times n$. Прямой суммой называется матрица $(m+n) \times (m+n)$

Пусть $A$ — матрица $n \times n$, $B$ — матрица $m \times m$, а $C$ — матрица $p \times p$. Тогда справедливо тождество

Верно ли, что $A \otimes (B \oplus C) = (A \otimes B) \oplus (A \otimes C)$?

Пусть $A$, $B$ — матрицы $n \times n$. Тогда прямая сумма $A \oplus B$ — это матрица $2n \times 2n$

Пусть $A$, $B$ — матрицы $2 \times 2$, $C$ — матрица $3 \times 3$, а $D$ — матрица $1 \times 1$. Найдите условие на эти матрицы, при котором $A \otimes B = C \oplus D$, где $\oplus$ обозначает прямую сумму. Предполагаем, что $D$ отлична от нуля.

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$. Решите уравнение $A \oplus A = A \otimes A$.

С каждой матрицей $Y$ размера $m \times n$ мы связываем вектор-столбец $\operatorname {vec}(Y)$ длины $m \times n$, определённый как

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — симметричные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Предположим, что эти матрицы коммутируют друг с другом. Рассмотрим матрицу $H$ размера $4n \times 4n$

Пусть $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}, \overrightarrow {z} \in \mathbb {R}^{n}$. Определим внешнее произведение

Покажите, что $(\overrightarrow {x} \wedge \overrightarrow {y}) \wedge \overrightarrow {z} + (\overrightarrow {z} \wedge \overrightarrow {x}) \wedge \overrightarrow {y} + (\overrightarrow {y} \wedge \overrightarrow {z}) \wedge \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}$.

Рассмотрим векторы $\overrightarrow {v}$ и $\overrightarrow {w}$ в $\mathbb {C}^{2}$

Пусть $A$, $B$ — косоэрмитовы матрицы, т.е.$A^{*} = -A$ и $B^{*} = -B$. Является ли $A \otimes B$ косоэрмитовой?

Пусть $A$, $B$ — нормальные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$, т.е.$AA^{*} = A^{*}A$ и $BB^{*} = B^{*}B$. Покажите, что $A \otimes B$ — нормальная матрица.

Пусть $\overrightarrow {z} = \begin{pmatrix} z_{0} & z_{1} & \ldots & z_{N} \end{pmatrix}^{T}$ — (столбцовый) вектор в $\mathbb {C}^{N+1}$, и предположим, что $\overrightarrow {z}$ ненулевой. Тогда

т.е.$\overrightarrow {z}^{*}$ — транспонированный и комплексно сопряжённый вектор к $\overrightarrow {z}$. Рассмотрим матрицу $\Pi$ размера $(N+1) \times (N+1)$

Покажите, что $\Pi^{*} = \Pi$, $\Pi^{2} = \Pi$. Это означает, что $\Pi$ — матрица проектирования.

Пусть $A$, $B$ — трёхдиагональные матрицы размера $n \times n$ с $n \geq 3$. Является ли $A \otimes B$ трёхдиагональной матрицей?

Рассмотрим матрицу $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ с $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$.

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ с $A^{2} = I_{n}$. Пусть

Покажите, что $\Pi_{1}$ и $\Pi_{2}$ являются проекционными матрицами. Вычислите произведение $\Pi_{1} \Pi_{2}$.

Является ли кронекерово произведение двух циркулянтных матриц снова циркулянтной матрицей? Пусть $A$, $B$ — две циркулянтные матрицы размера $n \times n$. Верно ли, что $A \otimes B = B \otimes A$?

Ганкелева матрица — это матрица, у которой на каждой антидиагонали стоит один и тот же элемент. Например, ганкелевыми матрицами являются

Даны две квадратные ганкелевы матрицы. Является ли их кронекерово произведение снова ганкелевой матрицей?

Пусть $A$ — обратимая матрица размера $n \times n$. Тогда матрица $(A^{-1} \otimes I_{n})(I_{n} \otimes A)$ также обратима. Найдите обратную к ней матрицу.

Пусть $A$, $B$ — симметричные матрицы над $\mathbb {R}$.

Пусть $A$, $B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Найдите условия на $A$ и $B$, при которых

Пусть $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ — матрицы Паули.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$. Покажите, что матрицу размера $2n \times 2n$

можно выразить с помощью кронекерова произведения, единичной матрицы $I_{n}$ размера $n \times n$, матрицы $A$ и матриц $2 \times 2$

Пусть $E_{jk}$ ($j, k = 1, \ldots , n$) — это $n \times n$ матрицы с 1 на месте $(j, k)$ и 0 в остальных местах. Пусть $n = 2$. Найдите $4 \times 4$ матрицы

и

Являются ли эти матрицы обратимыми?

Пусть $A$, $B$, $C$ — это $2 \times 2$ матрицы. Можем ли мы найти $8 \times 8$ матрицы перестановок $P$ и $Q$ такие, что $P(A \otimes B \otimes C)Q = C \otimes B \otimes A$?

Пусть $P_{1}$ — это $m \times m$ матрица перестановки, а $P_{2}$ — $n \times n$ матрица перестановки. Тогда $P_{1} \otimes P_{2}$ — это $mn \times mn$ матрица перестановки. Пусть $K_{1}$ и $K_{2}$ — соответственно $m \times m$ и $n \times n$ матрицы такие, что $P_{1} = e^{K_{1}}$ и $P_{2} = e^{K_{2}}$. Найдите $K$ такую, что $P_{1} \otimes P_{2} = e^{K}$, где $K$ — это $mn \times mn$ матрица.

Пусть $A$ и $B$ — две комплексные матрицы, не обязательно одного размера. Если $B \neq 0$, то операция $\oslash$, заданная как

корректно определена, где $\otimes$ — это произведение Кронекера. Операция $\oslash$ называется правым частным Кронекера. Покажите, что ближайшее произведение Кронекера

определяет частное Кронекера, где $\left\| \cdot \right\|$ обозначает норму Фробениуса. Покажите, что

где $\operatorname {tr}_{2}$ обозначает частичный след по матрицам того же размера, что и $B^{*}B$, а $I$ — соответствующая единичная матрица. Существуют ли другие частные Кронекера?

Пусть $d \geq 2$. Рассмотрим векторное пространство $V = \mathbb {C}^{d}$. Пусть $V \times V$ — декартово произведение $V$ на себя. Пусть $\overrightarrow {u}$, $\overrightarrow {v}$, $\overrightarrow {w}$ — элементы $V$. Произведение Кронекера (тензорное произведение) определяется соотношениями

Пусть $V \otimes V \equiv V^{\otimes^{2}} = \left\langle \overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} : \overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in V\right\rangle$, где линейная оболочка берётся в $\mathbb {C}^{d^{2}}$. Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_{j}\right\}_{j=1}^{d}$ — базис в векторном пространстве $V$. Тогда $\left\{ \overrightarrow {e}_{j} \otimes \overrightarrow {e}_{k}\right\}$ ($j, k = 1, \ldots , d$) — базис в векторном пространстве $V \otimes V$ размерности $d^{2}$. Определим $k$-ю тензорную степень векторного пространства $V$, обозначаемую $V^{\otimes^{k}}$, заданную элементами

Таким образом, размерность векторного пространства $V^{\otimes^{k}}$ равна $d^{k}$. Пусть $k \leq d$. Тогда внешнее произведение (также называемое произведением Грассмана, exterior product) определяется как

где $S_{k}$ — группа перестановок, а $\sigma$ — её знакопеременное представление, т.е.$\sigma (\pi ) = +1$ для чётных перестановок и $\sigma (\pi ) = -1$ для нечётных перестановок. Комплексное векторное пространство, натянутое на элементы вида

обозначается $\wedge^{k} V$ и имеет размерность $\binom {d}{k}$. Приведите реализацию внешнего произведения средствами компьютерной алгебры с использованием SymbolicC++. Примените её к случаю $d = 3$ с базисом

Вычислите $\overrightarrow {v}_{1} \wedge \overrightarrow {v}_{2}$, $\overrightarrow {v}_{2} \wedge \overrightarrow {v}_{3}$, $\overrightarrow {v}_{3} \wedge \overrightarrow {v}_{1}$, $\overrightarrow {v}_{1} \wedge \overrightarrow {v}_{2} \wedge \overrightarrow {v}_{3}$.