Группа кос

(i) Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{5}$ с образующими $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$, $\sigma_{4}$. Упростите

(ii) Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{3}$ с образующими $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$. Пусть $a = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{1}$, $b = \sigma_{1}\sigma_{2}$. Покажите, что $a^{2} = b^{3}$.

Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{3}$. Точное представление для образующих $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ имеет вид

Обе являются элементами группы $SL(2,\mathbb {Z})$ и группы Ли $SL(2,\mathbb {R})$.

Рассмотрим унитарные матрицы $2 \times 2$

где $\theta \in \mathbb {R}$. Найдите условия на $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} \in \mathbb {R}$ такие, что (соотношение, подобное косам)

Можно ли найти матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ с $\left[A,B\right] \neq 0_{2}$, удовлетворяющие косоподобному соотношению $ABBA = BAAB$?

Удовлетворяют ли унитарные матрицы $2 \times 2$

косоподобному соотношению $ABA = BAB$?

Матрицы $3 \times 3$ $g_{1}$ и $g_{2}$ играют роль образующих в матричном представлении группы кос $\mathcal{B}_{4}$

Пусть $g_{2} = g_{1}g^{-1}$. Найдите собственные значения и собственные векторы $g_{1}$, $g_{2}$.

Найдите условия на $a,b,c,d,e,f \in \mathbb {R}$, при которых

Найдите нетривиальные решения этих условий.

Пусть $A$, $B$ — матрицы $n \times n$ с $ABA = BAB$.

Пусть $T$ — матрица $n \times n$, а $R$ — матрица $n^{2} \times n^{2}$. Рассмотрим уравнение

Найдите все матрицы $4 \times 4$ $A$, $B$ с $\left[A,B\right] \neq 0_{4}$, удовлетворяющие условиям

Первое условие — это соотношение кос, а второе условие $ABBA = I_{4}$ носит название игры Дирака.

Свободная группа $\Gamma_{2}$ с двумя образующими $g_{1}$ и $g_{2}$ допускает матричное представление

Пусть $A$, $B$ — матрицы $2 \times 2$ и

Найдите условия на $A$ и $B$, при которых $R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12}$.

Пусть $I_{2}$ — единичная матрица $2 \times 2$. Пусть $R$ — матрица $4 \times 4$ над $\mathbb {C}$. Тогда $R$ удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера, если

Используя компьютерную алгебру, покажите, что

удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера.

Покажите, что матрица $2 \times 2$

удовлетворяет косоподобному соотношению

Покажите, что матрица $3 \times 3$

удовлетворяет косоподобному соотношению

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$ $I_{2}$ и $\sigma_{1}$ и матрицы $4 \times 4$

Вычислите матрицу $\widetilde{R} = FR$. Найдите определитель $\widetilde{R}$. Удовлетворяет ли матрица $4 \times 4$ $\widetilde{R}$ соотношению косичного типа

Рассмотрим четыре состояния Белла

Примените матрицу $\widetilde{R}$ к состояниям Белла. Обсудите результат.

Пусть

и $B(k)$ — матрица $2^{k} \times 2^{k}$, рекурсивно определённая как

Пусть

Тогда $BCB = CBC$. Верно ли, что

Пусть $n \geq 2$. Пусть $u,v \in \mathbb {C}$ ($u$, $v$ называются спектральными параметрами). Рассмотрим матрицы $n^{2} \times n^{2}$ $R(u)$ над $\mathbb {C}$ с элементами $(r_{k\ell }^{ij})(u)$, где $i,j,k,\ell = 1,\ldots ,n$, и элементы являются гладкими функциями от $u$. Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_{i} : i = 1,\ldots ,n\right\}$ — стандартный базис в векторном пространстве $\mathbb {C}^{n}$. Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Тогда

— стандартный базис в векторном пространстве $\mathbb {C}^{n} \otimes \mathbb {C}^{n}$. Определим

Таким образом

Для $n=2$ находим, что матрица $R(u)$ задаётся как

Определим три матрицы $n^{3} \times n^{3}$

и

Пусть $q=4$ и $w := \exp (2\pi i/q)$, т.е. $w^{4}=1$ и $w=i$, $w^{2}=-1$, $w^{3}=-i$. Пусть $D_{1}$ и $D_{2}$ — диагональные матрицы

а $P$ — матрица перестановки

Рассмотрим матрицы $64 \times 64$

Покажите, что

где $0_{64}$ — нулевая матрица $64 \times 64$.

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{0} = I_{2}$, $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$. Найдите матрицу $4 \times 4$

с

где $\eta$ — фиксированный параметр.

Пусть $\mathcal{B}_{n}$ обозначает группу кос на $n$ нитях. $\mathcal{B}_{n}$ порождается элементарными косами $\left\{ b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n-1}\right\}$ с соотношениями кос

Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_{1}, \overrightarrow {e}_{2}, \ldots , \overrightarrow {e}_{n}\right\}$ обозначает стандартный базис в $\mathbb {R}^{n}$. Тогда $\overrightarrow {u} \in \mathbb {R}^{n}$ можно записать как

Рассмотрим линейные операторы $B_{j}$ ($\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R}$ и $\alpha ,\gamma \neq 0$), определённые как

и соответствующую обратную операцию

Используя компьютерную алгебру, покажите, что $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{n-1}$ удовлетворяют условию кос

если $\gamma \beta +\delta = \alpha \delta +\beta$.

Пусть $n \geq 2$ и $j,k = 1,\ldots ,2n-1$. Пусть $Q$ — матрица $4 \times 4$

Тогда $Q^{2} = (s^{4}+s^{-4})Q$. Рассмотрим $2^{2n}$ матриц

где матрица $4 \times 4$ $Q$ стоит на $j$-й позиции. Эти матрицы удовлетворяют соотношениям (алгебра Темперли–Либа)

Эти матрицы играют роль в $q$-состояниевой модели Поттса. Рассмотрим случай $n=2$ и матрицы $16 \times 16$

Напишите программы компьютерной алгебры на SymbolicC++ и Maxima, которые проверяют, что эти матрицы удовлетворяют

Рассмотрим матрицы $4 \times 4$

Верно ли, что $AB^{-1}A = B^{-1}AB^{-1}$?

Пусть

— элемент группы Ли $SL(2,\mathbb {R})$, т.е. $\operatorname {det}\left(T\right) = 1$ и $t_{jk} \in \mathbb {R}$. Пусть

Найдите все $T \in SL(2,\mathbb {R})$, для которых $\left[R, T \otimes T\right] = 0_{4}$.

Пусть $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ — матрицы Паули. Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

где

Удовлетворяет ли $R$ соотношению типа кос

Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{3}$ с образующими $\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2}\right\}$ и соотношением

Пусть $t \neq 0$. Покажите, что матричное представление задаётся как

с обратными матрицами

Пусть $\sigma = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}^{-1}\sigma_{1}^{-1}$. Найдите $f(t) = \operatorname {det}\left(\sigma - I_{2}\right)$. Найдите минимумы и максимумы $f$.