Банк задач по математике

Задача 20.2.1

Пусть $n \geq 2$ и $j,k = 1,\ldots ,2n-1$ . Пусть $Q$ — матрица $4 \times 4$

Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s^{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & s^{-4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Тогда $Q^{2} = (s^{4}+s^{-4})Q$ . Рассмотрим $2^{2n}$ матриц

Q_{j} = I_{2} \otimes \cdots \otimes I_{2} \otimes Q \otimes I_{2} \otimes \cdots \otimes I_{2}

где матрица $4 \times 4$ $Q$ стоит на $j$ -й позиции. Эти матрицы удовлетворяют соотношениям (алгебра Темперли–Либа)

Q_{j}Q_{j} = (s^{4}+s^{-4})Q_{j}

Q_{j}Q_{j\pm 1}Q_{j} = Q_{j}

Q_{j}Q_{k} = Q_{k}Q_{j} \qquad \text{если} \quad \left|j-k\right| \geq 2 .

Эти матрицы играют роль в $q$ -состояниевой модели Поттса. Рассмотрим случай $n=2$ и матрицы $16 \times 16$

Q_{1} = Q \otimes I_{2} \otimes I_{2}, \qquad Q_{2} = I_{2} \otimes Q \otimes I_{2}, \qquad Q_{3} = I_{2} \otimes I_{2} \otimes Q .

Напишите программы компьютерной алгебры на SymbolicC++ и Maxima, которые проверяют, что эти матрицы удовлетворяют

Q_{1}Q_{1} = (s^{4}+s^{-4})Q_{1}, \quad Q_{2}Q_{2} = (s^{4}+s^{-4})Q_{2}, \quad Q_{3}Q_{3} = (s^{4}+s^{-4})Q_{3}

Q_{1}Q_{2}Q_{1} = Q_{1}, \quad Q_{2}Q_{3}Q_{2} = Q_{2}, \quad Q_{3}Q_{2}Q_{3} = Q_{3},

Q_{2}Q_{1}Q_{2} = Q_{2}, \quad Q_{1}Q_{3} = Q_{3}Q_{1} .

?

Задача 20.2.2

(i)(ii)

?

(i)

Найдите условия на матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ , при которых $ABA = BAB$ . Найдите решения, для которых $AB \neq BA$ .

(ii)

Найдите условия на матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ , при которых

A \otimes B \otimes A = B \otimes A \otimes B .

Найдите решения, для которых $AB \neq BA$ , т.е. $\left[A,B\right] \neq 0_{2}$ .

Задача 20.2.3

Рассмотрим матрицы $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Верно ли, что $AB^{-1}A = B^{-1}AB^{-1}$ ?

?

Задача 20.2.4

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу Паули $A = \sigma_{1}$ . Удовлетворяет ли матрица $A$ соотношению типа кос

(A \otimes I_{2})(I_{2} \otimes A)(A \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes A)(A \otimes I_{2})(I_{2} \otimes A) \, ?

Удовлетворяет ли матрица $A$ соотношению типа кос

(A \otimes I_{3})(I_{3} \otimes A)(A \otimes I_{3}) = (I_{3} \otimes A)(A \otimes I_{3})(I_{3} \otimes A) \, ?

Задайте тот же вопрос для матриц Паули $\sigma_{2}$ и $\sigma_{3}$ .

(ii)

Пусть $n \geq 2$ и $m \geq 2$ . Пусть $I_{n}$ — единичная матрица $n \times n$ . Пусть $J_{m}$ — контр-единичная матрица, т.е. матрица $m \times m$ , все элементы которой равны $0$ , кроме элементов на побочной диагонали, равных $1$ . Найдите условия на $n$ и $m$ , при которых

(J_{n} \otimes I_{m})(I_{m} \otimes J_{n})(J_{n} \otimes I_{m}) = (I_{m} \otimes J_{n})(J_{n} \otimes I_{m})(I_{m} \otimes J_{n}) .

Задача 20.2.5

Пусть

T = \begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{pmatrix}

— элемент группы Ли $SL(2,\mathbb {R})$ , т.е. $\operatorname {det}\left(T\right) = 1$ и $t_{jk} \in \mathbb {R}$ . Пусть

R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Найдите все $T \in SL(2,\mathbb {R})$ , для которых $\left[R, T \otimes T\right] = 0_{4}$ .

?

Задача 20.2.6

Пусть $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ — матрицы Паули. Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

R = a(\lambda ,\mu )\sigma _{1} \otimes \sigma _{1} + b(\lambda ,\mu )(\sigma _{2} \otimes \sigma _{2} + \sigma _{3} \otimes \sigma _{3})

где

a(\lambda ,\mu ) = \frac{1}{4}\frac{\lambda ^{2}+\mu ^{2}}{\lambda ^{2}-\mu ^{2}}, \qquad b(\lambda ,\mu ) = \frac{1}{2}\frac{\lambda \mu }{\lambda ^{2}-\mu ^{2}} .

Удовлетворяет ли $R$ соотношению типа кос

(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R) \, ?

?

Задача 20.2.7

Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{3}$ с образующими $\left\{ \sigma_{1},\sigma_{2}\right\}$ и соотношением

\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1} = \sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2} .

Пусть $t \neq 0$ . Покажите, что матричное представление задаётся как

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} -t & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & -t \end{pmatrix}

с обратными матрицами

\sigma _{1}^{-1} = \begin{pmatrix} -1/t & 1/t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{2}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1/t \end{pmatrix} .

Пусть $\sigma = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}^{-1}\sigma_{1}^{-1}$ . Найдите $f(t) = \operatorname {det}\left(\sigma - I_{2}\right)$ . Найдите минимумы и максимумы $f$ .

?

Задача 20.2.8

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $a,b,c,d \in \mathbb {R}$ и $a \neq 0$ . Удовлетворяет ли

R = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & d & a-cd/a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{pmatrix}

соотношению $(R \otimes I_{4})(I_{4} \otimes R)(R \otimes I_{4}) = (I_{4} \otimes R)(R \otimes I_{4})(I_{4} \otimes R)$ ? Нужно проверить, что $R^{2} \otimes R = R \otimes R^{2}$ .

(ii)

Найдите условие на матрицу $4 \times 4$

S = \begin{pmatrix} s_{11} & 0 & 0 & s_{14} \\ 0 & s_{22} & s_{23} & 0 \\ 0 & s_{32} & s_{33} & 0 \\ s_{41} & 0 & 0 & s_{44} \end{pmatrix}

при котором $(S \otimes I_{4})(I_{4} \otimes S)(S \otimes I_{4}) = (I_{4} \otimes S)(S \otimes I_{4})(I_{4} \otimes S)$ . Нужно проверить, что $S^{2} \otimes S = S \otimes S^{2}$ .

Задача 20.2.9

(i)(ii)

Пусть $R$ — матрица $4 \times 4$ , записанная в виде

R = \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} \\ R_{21} & R_{22} \end{pmatrix}

где $R_{12}, R_{21}, R_{22}$ — блочные матрицы $2 \times 2$ . Предположим, что $R$ удовлетворяет уравнению

(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R) .

Рассмотрим матрицу $8 \times 8$

\widetilde{R} = R \star R = \begin{pmatrix} R_{11} & 0_{2} & 0_{2} & R_{12} \\ 0_{2} & R_{11} & R_{12} & 0_{2} \\ 0_{2} & R_{21} & R_{22} & 0_{2} \\ R_{12} & 0_{2} & 0_{2} & R_{22} \end{pmatrix} .

?

(i)

Удовлетворяет ли $\widetilde{R}$ соотношению $(\widetilde{R} \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R})$ ?

(ii)

Удовлетворяет ли $\widetilde{R}$ соотношению $(\widetilde{R} \otimes I_{4})(I_{4} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{4}) = (I_{4} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{4})(I_{4} \otimes \widetilde{R})$ ?

Задача 20.2.10

Пусть $R$ — матрица $4 \times 4$ и

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Пусть $\widetilde{R} = PR$ . Предположим, что $\widetilde{R}$ удовлетворяет соотношению

(\widetilde{R} \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R}) .

Покажите, что следующие десять матриц удовлетворяют этому уравнению

R_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & i \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ i & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

R_{2} = \begin{pmatrix} 1+t & 0 & 0 & 1 \\ 0 & (1+t^{2})^{1/2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & (1+t^{2})^{1/2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1-t \end{pmatrix}, \qquad R_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 & 0 \\ 0 & 1-t & st & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -t \end{pmatrix},

R_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & st & 1-t & 0 \\ 0 & 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -t \end{pmatrix}, \qquad R_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 & 0 \\ 0 & 1-rt & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

R_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 & 0 \\ 0 & 1-rt & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -rt \end{pmatrix}, \qquad R_{7} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s & 0 \\ 1 & 0 & 0 & s' \end{pmatrix},

R_{8} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t \end{pmatrix}, \qquad R_{9} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & t & 0 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

где $\widetilde{R}_{j} = PR_{j}$ ( $j=0,1,\ldots ,9$ ), $s^{2}=1$ , $(s')^{2}=1$ , а $s,p,t,r$ произвольны.

?

Задача 20.2.11

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — обратимые матрицы $n \times n$ с $AB \neq BA$ . Предположим, что

ABA = BAB \qquad \text{и} \qquad ABBA = I_{n} .

Покажите, что $A^{4} = B^{4} = I_{n}$ .

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ , удовлетворяющие условиям, заданным в (i).

(iii)

Найдите все матрицы $3 \times 3$ $A$ и $B$ , удовлетворяющие условиям, заданным в (i).

(iv)

Найдите все матрицы $4 \times 4$ $A$ и $B$ , удовлетворяющие условиям, заданным в (i).

Задача 20.2.12

Пусть $S$ — унитарная матрица $4 \times 4$

S = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & 1 & -i & 0 \end{pmatrix} .

Рассмотрим матрицы $16 \times 16$ $S \otimes I_{2} \otimes I_{2}$ , $I_{2} \otimes S \otimes I_{2}$ , $I_{2} \otimes I_{2} \otimes S$ . Заметим, что $I_{4} = I_{2} \otimes I_{2}$ . Покажите, что косоподобные соотношения

(S \otimes I_{4})(I_{2} \otimes S \otimes I_{2})(S \otimes I_{4}) = (I_{2} \otimes S \otimes I_{2})(S \otimes I_{4})(I_{2} \otimes S \otimes I_{2})

(I_{2} \otimes S \otimes I_{2})(I_{4} \otimes S)(I_{2} \otimes S \otimes I_{2}) = (I_{4} \otimes S)(I_{2} \otimes S \otimes I_{2})(I_{4} \otimes S)

выполняются.

?

Задача 20.2.13

(i)(ii)

?

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $4 \times 4$ $R$ такие, что

(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R) .

Мы получаем $8 \times 8 = 64$ условий.

(ii)

Можно ли найти такие $R$ с дополнительным условием $R^{2} = I_{4}$ ?

Задача 20.2.14

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $L_{1}$ , $L_{2}$ — матрицы $2 \times 2$ , а $R$ — матрица $4 \times 4$ . Найдите условия на $L_{1}$ , $L_{2}$ , $R$ , при которых

(L_{1} \otimes L_{2})R = R(L_{2} \otimes L_{1}) .

Упростите систему уравнений с помощью базисов Грёбнера.

(ii)

Пусть

T = \sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}

и $T_{1} = T \otimes I_{2}$ , $T_{2} = I_{2} \otimes T$ . Найдите все обратимые матрицы $4 \times 4$ $R$ над $\mathbb {C}$ такие, что

RT_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}R .

(iii)

Пусть $A$ , $B$ — заданные ненулевые матрицы $2 \times 2$ . Найдите все матрицы $4 \times 4$ $R$ такие, что

R(A \otimes B) = (B \otimes A)R .

Найдите все матрицы $4 \times 4$ $R$ такие, что $R(A \otimes B) = (A \otimes B)R$ .

Задача 20.2.15

Удовлетворяют ли матрицы

R_{1} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}, \qquad R_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

соотношению Янга--Бакстера

(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R) \, ?

Или каковы условия на $a,b,c,d$ , при которых это условие выполняется?

?

Задача 20.2.16

Матрица зацеплений косы $B$ — это квадратная симметричная матрица $k \times k$ , определяемая как $B = (b_{ij})$ , где $b_{ii}$ — сумма полуперекручиваний в $i$ -й ветви, $b_{ij}$ — сумма пересечений между $i$ -й и $j$ -й ветвями лентообразного графа со стандартным вложением. Таким образом, $i$ -й диагональный элемент матрицы $B$ есть локальное кручение $i$ -й ветви. Внедиагональные элементы $B$ равны удвоенным числам зацепления лентообразного графа для $i$ -й и $j$ -й ветвей. Рассмотрим матрицу зацеплений косы

B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} .

Обсудите. Нарисуйте граф.

?

Дополнительные задачи