Банк задач по математике

Задача 20.1.1

(i) Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{5}$ с образующими $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ , $\sigma_{4}$ . Упростите

\sigma _{1}^{-1}\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{1} .

(ii) Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{3}$ с образующими $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ . Пусть $a = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{1}$ , $b = \sigma_{1}\sigma_{2}$ . Покажите, что $a^{2} = b^{3}$ .

?

Задача 20.1.2

(i)(ii)

Рассмотрим группу кос $\mathcal{B}_{3}$ . Точное представление для образующих $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ имеет вид

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Обе являются элементами группы $SL(2,\mathbb {Z})$ и группы Ли $SL(2,\mathbb {R})$ .

?

(i)

Найдите обратные к $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ . Найдите $\sigma_{1}\sigma_{2}$ и $\sigma_{1}^{-1}\sigma_{2}$ .

(ii)

Верно ли, что $\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{1} = \sigma_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$ ?

Задача 20.1.3

Рассмотрим унитарные матрицы $2 \times 2$

A(\theta ) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta } & 0 \\ 0 & e^{i\theta } \end{pmatrix}, \qquad B(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -i\sin (\theta ) \\ -i\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}

где $\theta \in \mathbb {R}$ . Найдите условия на $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} \in \mathbb {R}$ такие, что (соотношение, подобное косам)

A(\theta _{1})B(\theta _{2})A(\theta _{3}) = B(\theta _{3})A(\theta _{2})B(\theta _{1}) .

?

Задача 20.1.4

Можно ли найти матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ с $\left[A,B\right] \neq 0_{2}$ , удовлетворяющие косоподобному соотношению $ABBA = BAAB$ ?

?

Задача 20.1.5

Удовлетворяют ли унитарные матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} e^{-i\pi /4} & 0 \\ 0 & ie^{-i\pi /4} \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}

косоподобному соотношению $ABA = BAB$ ?

?

Задача 20.1.6

Матрицы $3 \times 3$ $g_{1}$ и $g_{2}$ играют роль образующих в матричном представлении группы кос $\mathcal{B}_{4}$

g_{1} = \begin{pmatrix} -t & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -t^{-1} \end{pmatrix}, \qquad g = \begin{pmatrix} 1-t & -t^{-1} & t^{-1} \\ 1-t^{2} & -t^{-1} & 0 \\ 1 & -t^{-1} & 0 \end{pmatrix}

Пусть $g_{2} = g_{1}g^{-1}$ . Найдите собственные значения и собственные векторы $g_{1}$ , $g_{2}$ .

?

Задача 20.1.7

Найдите условия на $a,b,c,d,e,f \in \mathbb {R}$ , при которых

\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} .

Найдите нетривиальные решения этих условий.

?

Задача 20.1.8

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ с $ABA = BAB$ .

?

(i)

Покажите, что $(A \otimes A)(B \otimes B)(A \otimes A) = (B \otimes B)(A \otimes A)(B \otimes B)$ .

(ii)

Покажите, что $(A \oplus A)(B \oplus B)(A \oplus A) = (B \oplus B)(A \oplus A)(B \oplus B)$ .

Задача 20.1.9

(i)(ii)

?

(i)

Покажите, что матрицы

S_{1} = \begin{pmatrix} -t & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & -t \end{pmatrix}

удовлетворяют косоподобному соотношению $S_{1}S_{2}S_{1} = S_{2}S_{1}S_{2}$ .

(ii)

Покажите, что матрицы $S_{1} \otimes S_{1}$ и $S_{2} \otimes S_{2}$ удовлетворяют косоподобному соотношению

(S_{1} \otimes S_{1})(S_{2} \otimes S_{2})(S_{1} \otimes S_{1}) = (S_{2} \otimes S_{2})(S_{1} \otimes S_{1})(S_{2} \otimes S_{2}) .

Задача 20.1.10

(i)(ii)

Пусть $T$ — матрица $n \times n$ , а $R$ — матрица $n^{2} \times n^{2}$ . Рассмотрим уравнение

R(T \otimes T) = (T \otimes T)R .

?

(i)

Пусть $n = 2$ и

T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

Найдите все матрицы $4 \times 4$ $R$ , удовлетворяющие уравнению.

(ii)

Пусть $n = 2$ и

R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Найдите все $T$ , удовлетворяющие уравнению.

Задача 20.1.11

Найдите все матрицы $4 \times 4$ $A$ , $B$ с $\left[A,B\right] \neq 0_{4}$ , удовлетворяющие условиям

ABA = BAB, \qquad ABBA = I_{4} .

Первое условие — это соотношение кос, а второе условие $ABBA = I_{4}$ носит название игры Дирака.

?

Задача 20.1.12

(i)(ii)

Свободная группа $\Gamma_{2}$ с двумя образующими $g_{1}$ и $g_{2}$ допускает матричное представление

g_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad g_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

?

(i)

Найдите обратные матрицы.

(ii)

Вычислите $g_{1}g_{2}g_{1}$ и $g_{2}g_{1}g_{2}$ . Обсудите.

Задача 20.1.13

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ и

R_{12} = A \otimes B \otimes I_{2}, \qquad R_{13} = A \otimes I_{2} \otimes B, \qquad R_{23} = I_{2} \otimes A \otimes B .

Найдите условия на $A$ и $B$ , при которых $R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12}$ .

?

Задача 20.1.14

Пусть $I_{2}$ — единичная матрица $2 \times 2$ . Пусть $R$ — матрица $4 \times 4$ над $\mathbb {C}$ . Тогда $R$ удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера, если

(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes R)(R \otimes I_{2})(I_{2} \otimes R) .

Используя компьютерную алгебру, покажите, что

R = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ -1/\sqrt{2} & 0 & 0 & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}

удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера.

?

Задача 20.1.15

Покажите, что матрица $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

удовлетворяет косоподобному соотношению

(A \otimes I_{3})(I_{3} \otimes A)(A \otimes I_{3}) = (I_{3} \otimes A)(A \otimes I_{3})(I_{3} \otimes A) .

Покажите, что матрица $3 \times 3$

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

удовлетворяет косоподобному соотношению

(B \otimes I_{2})(I_{2} \otimes B)(B \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes B)(B \otimes I_{2})(I_{2} \otimes B) .

?

Задача 20.1.16

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$ $I_{2}$ и $\sigma_{1}$ и матрицы $4 \times 4$

R = \frac{1}{2}(I_{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{1} + \sigma _{1} \otimes I_{2} - \sigma _{1} \otimes \sigma _{1}), \qquad F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Вычислите матрицу $\widetilde{R} = FR$ . Найдите определитель $\widetilde{R}$ . Удовлетворяет ли матрица $4 \times 4$ $\widetilde{R}$ соотношению косичного типа

(I_{2} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R}) = (\widetilde{R} \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R})(\widetilde{R} \otimes I_{2}) \, ?

Рассмотрим четыре состояния Белла

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} .

Примените матрицу $\widetilde{R}$ к состояниям Белла. Обсудите результат.

?

Задача 20.1.17

(i)(ii)(iii)

Пусть

B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

и $B(k)$ — матрица $2^{k} \times 2^{k}$ , рекурсивно определённая как

B(k) := \begin{pmatrix} B(k-1) & B(k-1) \\ 0 & B(k-1) \end{pmatrix} = B(1) \otimes B(k-1), \qquad k = 2,3,\ldots .

?

(i)

Найдите $B(1)^{-1}$ .

(ii)

Найдите $B(k)^{-1}$ для $k = 2,3,\ldots$ .

(iii)

Пусть $A(k)$ — антидиагональная матрица $2^{k} \times 2^{k}$ , определённая как $A_{ij}(k) = 1$ , если $i = 2^{k}+1-j$ , и $0$ в противном случае, где $j = 1,2,\ldots ,2^{k}$ . Пусть

C(k) = A(k)B(k)^{-1}A(k) .

Покажите, что матрицы $B(k)$ и $C(k)$ удовлетворяют соотношению косичного типа

B(k)C(k)B(k) = C(k)B(k)C(k) .

Задача 20.1.18

Пусть

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} .

Тогда $BCB = CBC$ . Верно ли, что

(B \otimes B)(C \otimes C)(B \otimes B) = (C \otimes C)(B \otimes B)(C \otimes C) \, ?

?

Задача 20.1.19

(i)(ii)(iii)

Пусть $n \geq 2$ . Пусть $u,v \in \mathbb {C}$ ( $u$ , $v$ называются спектральными параметрами). Рассмотрим матрицы $n^{2} \times n^{2}$ $R(u)$ над $\mathbb {C}$ с элементами $(r_{k\ell }^{ij})(u)$ , где $i,j,k,\ell = 1,\ldots ,n$ , и элементы являются гладкими функциями от $u$ . Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_{i} : i = 1,\ldots ,n\right\}$ — стандартный базис в векторном пространстве $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Тогда

\left\{ \overrightarrow {e}_{i} \otimes \overrightarrow {e}_{j} : i,j = 1,\ldots ,n\right\}

— стандартный базис в векторном пространстве $\mathbb {C}^{n} \otimes \mathbb {C}^{n}$ . Определим

R(\overrightarrow {e}_{i} \otimes \overrightarrow {e}_{j})(u) := \sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n} r_{ij}^{\alpha \beta }(u)\overrightarrow {e}_{\alpha } \otimes \overrightarrow {e}_{\beta }, \qquad i,j = 1,\ldots ,n . \tag {1}

Таким образом

R(u) = \sum _{i,j=1}^{n}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n} r_{ij}^{\alpha \beta }(u)(\overrightarrow {e}_{\alpha } \otimes \overrightarrow {e}_{\beta })(\overrightarrow {e}_{i} \otimes \overrightarrow {e}_{j})^{T} .

Для $n=2$ находим, что матрица $R(u)$ задаётся как

R(u) = \begin{pmatrix} r_{11}^{11}(u) & r_{12}^{11}(u) & r_{21}^{11}(u) & r_{22}^{11}(u) \\ r_{11}^{12}(u) & r_{12}^{12}(u) & r_{21}^{12}(u) & r_{22}^{12}(u) \\ r_{11}^{21}(u) & r_{12}^{21}(u) & r_{21}^{21}(u) & r_{22}^{21}(u) \\ r_{11}^{22}(u) & r_{12}^{22}(u) & r_{21}^{22}(u) & r_{22}^{22}(u) \end{pmatrix} .

Определим три матрицы $n^{3} \times n^{3}$

R^{12}(u) := R(u) \otimes I_{n}, \qquad R^{23}(u) := I_{n} \otimes R(u)

и

R^{13}(\overrightarrow {e}_{i} \otimes \overrightarrow {e}_{j} \otimes \overrightarrow {e}_{k})(u) := \sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n} r_{ik}^{\alpha \beta }(u)\overrightarrow {e}_{\alpha } \otimes \overrightarrow {e}_{j} \otimes \overrightarrow {e}_{\beta } .

?

(i)

Запишите матрицы $R^{12}(u)$ , $R^{23}(u)$ и $R^{13}(u)$ для $n=2$ и найдите соотношение Янга—Бакстера

R^{12}(u)R^{13}(u+v)R^{23}(v) = R^{23}(v)R^{13}(u+v)R^{12}(u) .

Таким образом, имеется $2^{6} = 64$ уравнения для $2^{4} = 16$ неизвестных.

(ii)

Покажите, что матрица

R(u) = \begin{pmatrix} 1+u & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u & 1 & 0 \\ 0 & 1 & u & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+u \end{pmatrix}

удовлетворяет уравнению Янга—Бакстера.

(iii)

Пусть

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Эта матрица называется матрицей перестановки (swap matrix), для которой $P(\overrightarrow {x} \otimes \overrightarrow {y}) = \overrightarrow {y} \otimes \overrightarrow {x}$ , где $\overrightarrow {x},\overrightarrow {y} \in \mathbb {C}^{2}$ . Определим $\widetilde{R}(u) := PR(u)$ . Тогда уравнение Янга—Бакстера можно записать в виде

(\widetilde{R}(v) \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R}(u+v))(\widetilde{R}(u) \otimes I_{2}) = (I_{2} \otimes \widetilde{R}(u))(\widetilde{R}(u+v) \otimes I_{2})(I_{2} \otimes \widetilde{R}(v)) .

Покажите, что $R(u)$ , заданная в (ii), удовлетворяет этому уравнению. Заметьте, что без спектральных параметров $u$ , $v$ мы получаем соотношение кос Артина.

Задача 20.1.20

Пусть $q=4$ и $w := \exp (2\pi i/q)$ , т.е. $w^{4}=1$ и $w=i$ , $w^{2}=-1$ , $w^{3}=-i$ . Пусть $D_{1}$ и $D_{2}$ — диагональные матрицы

D_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w^{3} \end{pmatrix}, \qquad D_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w^{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w \end{pmatrix}

а $P$ — матрица перестановки

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Рассмотрим матрицы $64 \times 64$

S_{1} = D_{1} \otimes D_{2} \otimes I_{4}, \quad S_{2} = I_{4} \otimes P \otimes I_{4}, \quad S_{3} = I_{4} \otimes D_{1} \otimes D_{2}, \quad S_{4} = I_{4} \otimes I_{4} \otimes P .

Покажите, что

S_{j}^{q} = I_{64} \qquad j = 1,2,3,4

S_{j}S_{j+1}S_{j}^{-1}S_{j+1}^{-1} = wI_{64} \qquad j = 1,2,3

\left[S_{1},S_{3}\right] = 0_{64}, \quad \left[S_{1},S_{4}\right] = 0_{64}, \quad \left[S_{2},S_{4}\right] = 0_{64}

где $0_{64}$ — нулевая матрица $64 \times 64$ .

?

Задача 20.1.21

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{0} = I_{2}$ , $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ . Найдите матрицу $4 \times 4$

R(u) = \sum _{j=0}^{3} w_{j}(u)\sigma _{j} \otimes \sigma _{j}

с

\begin{align} w_{0}(u) & = \sinh (u+\eta /2), \\ w_{1}(u) & = w_{2}(u) = \sinh (\eta /2)\cosh (\eta /2), \\ w_{3}(u) & = \sinh (\eta /2)\cosh (u+\eta /2) \end{align}

где $\eta$ — фиксированный параметр.

?

Задача 20.1.22

Пусть $\mathcal{B}_{n}$ обозначает группу кос на $n$ нитях. $\mathcal{B}_{n}$ порождается элементарными косами $\left\{ b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n-1}\right\}$ с соотношениями кос

b_{j}b_{j+1}b_{j} = b_{j+1}b_{j}b_{j+1}, \qquad 1 \leq j < n-1,

b_{j}b_{k} = b_{k}b_{j}, \qquad \left|j-k\right| \geq 2 .

Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_{1}, \overrightarrow {e}_{2}, \ldots , \overrightarrow {e}_{n}\right\}$ обозначает стандартный базис в $\mathbb {R}^{n}$ . Тогда $\overrightarrow {u} \in \mathbb {R}^{n}$ можно записать как

\overrightarrow {u} = \sum _{k=1}^{n} c_{k}\overrightarrow {e}_{k}, \qquad c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {R} .

Рассмотрим линейные операторы $B_{j}$ ( $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R}$ и $\alpha ,\gamma \neq 0$ ), определённые как

B_{j}\overrightarrow {u} := c_{1}\overrightarrow {e}_{1} + \cdots + (\alpha c_{j+1}+\beta )\overrightarrow {e}_{j} + (\gamma c_{j+1}+\delta )\overrightarrow {e}_{j+1} + \cdots + c_{n}\overrightarrow {e}_{n}

и соответствующую обратную операцию

B_{j}^{-1}\overrightarrow {u} := c_{1}\overrightarrow {e}_{1} + \cdots + \frac{1}{\gamma }(c_{j+1}-\delta )\overrightarrow {e}_{j} + \frac{1}{\alpha }(\gamma c_{j}-\beta )\overrightarrow {e}_{j+1} + \cdots + c_{n}\overrightarrow {e}_{n} .

Используя компьютерную алгебру, покажите, что $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{n-1}$ удовлетворяют условию кос

B_{j}B_{j+1}B_{j}\overrightarrow {u} = B_{j+1}B_{j}B_{j+1}\overrightarrow {u}

если $\gamma \beta +\delta = \alpha \delta +\beta$ .

?

Задачи главы