Глава 19

Алгебры Ли и матрицы

[58/64%]
Показать
LaTeX
§
19.1 · Задачи главы[37/100%]
Задача 19.1.1

Рассмотрим матрицы n×nn \times n EijE_{ij}, имеющие 1 в позиции (i,j)(i,j) и 0 в остальных позициях, где i,j=1,…,ni, j = 1, \ldots , n (элементарные матрицы). Вычислите коммутатор. Обсудите.

?
Задача 19.1.2

Рассмотрим векторное пространство матриц 2×22 \times 2 над R\mathbb {R} и три матрицы 2×22 \times 2 со следом, равным 0

E=(0100),F=(0010),H=(100−1). E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Покажите, что мы имеем базис алгебры Ли.

?
Задача 19.1.3

Рассмотрим матрицы

h1=(100000001),h2=(000010000),h3=(001000100), h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, e=(010000010),f=(000101000). e = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют базис алгебры Ли.

?
Задача 19.1.4

Пусть AA, BB — матрицы n×nn \times n над C\mathbb {C}. Вычислите tr⁡([A,B])\operatorname {tr}([A,B]). Обсудите.

?
Задача 19.1.5

Матрица XX размера n×nn \times n над C\mathbb {C} называется косоэрмитовой, если X∗=−XX^{*} = -X. Покажите, что коммутатор двух косоэрмитовых матриц снова является косоэрмитовым. Обсудите.

?
Задача 19.1.6

Алгебра Ли su(m)\mathfrak {su}(m) состоит из всех матриц XX размера m×mm \times m над C\mathbb {C} с условиями X∗=−XX^{*} = -X (т.е. XX косоэрмитова) и tr⁡(X)=0\operatorname {tr}(X) = 0. Заметим, что exp(X)\mathrm{exp}\left(X\right) является унитарной матрицей. Найдите базис для su(3)\mathfrak {su}(3).

?
Задача 19.1.7

Любой фиксированный элемент XX алгебры Ли LL задаёт линейное преобразование

ad⁡(X):Z→[X,Z]для любогоZ∈L. \operatorname {ad}(X): Z \to [X,Z] \quad \text{для любого} \quad Z \in L.

Покажите, что для любого K∈LK \in L выполняется

[ad⁡(Y),ad⁡(Z)]K=ad⁡([Y,Z])K. [\operatorname {ad}(Y), \operatorname {ad}(Z)]K = \operatorname {ad}([Y,Z])K.

Линейное отображение ad⁡\operatorname {ad} задаёт представление алгебры Ли, известное как присоединённое представление.

?
Задача 19.1.8

Существует лишь одна некоммутативная алгебра Ли LL размерности 2. Если xx, yy — образующие (базис в LL), то

[x,y]=x. [x,y] = x.
?
(i)

Найдите присоединённое представление этой алгебры Ли. Пусть vv, ww — два элемента алгебры Ли. Тогда мы определяем

ad⁡v(w):=[v,w] \operatorname {ad}v(w) := [v,w]

и wad⁡v:=[v,w]w\operatorname {ad}v := [v,w].

(ii)

Форма Киллинга определяется как

κ(x,y):=tr⁡(ad⁡xad⁡y) \kappa (x,y) := \operatorname {tr}(\operatorname {ad}x \operatorname {ad}y)

для всех x,y∈Lx, y \in L. Найдите форму Киллинга.

Задача 19.1.9

Рассмотрим алгебру Ли L=sl(2,F)L = \mathfrak {sl}(2,\mathbb {F}) с char⁡(F)≠2\operatorname {char}(\mathbb {F}) \neq 2. В качестве стандартного базиса для LL возьмём три матрицы

E=(0100),F=(0010),H=(100−1). E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
?
(i)

Найдите коммутаторы.

(ii)

Найдите присоединённое представление LL в упорядоченном базисе { E  H  F }\{ \, E \; H \; F \, \}.

(iii)

Покажите, что LL проста. Если LL не имеет идеалов, кроме самой себя и 00, и, кроме того, [L,L]≠0[L,L] \neq 0, то мы называем LL простой. Подпространство II алгебры Ли LL называется идеалом алгебры LL, если из x∈Lx \in L, y∈Iy \in I следует [x,y]∈I[x,y] \in I. Иными словами, покажите, что алгебра Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) не имеет собственных нетривиальных идеалов.

Задача 19.1.10

Рассмотрим четырёхмерную алгебру Ли gl(2,R)\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R}). Элементарные матрицы

e1=(1000),e2=(0100),e3=(0010),e4=(0001) e_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис gl(2,R)\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R}). Найдите присоединённое представление.

?
Задача 19.1.11

Покажите, что матрицы

J1=(00000−1010),J2=(001000−100),J3=(0−10100000) J_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

образуют генераторы алгебры Ли. Проста ли эта алгебра Ли? Алгебра Ли называется простой, если она не содержит идеалов, отличных от LL и 00.

?
Задача 19.1.12

Корни полупростой алгебры Ли — это веса алгебры Ли, встречающиеся в её присоединённом представлении. Множество корней образует корневую систему и полностью определяется полупростой алгеброй Ли. Рассмотрим полупростую алгебру Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) с генераторами

E=(0100),F=(0010),H=(100−1). E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите корни.

?
Задача 19.1.13

Простая алгебра Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) порождается матрицами

H=(100−1),E=(0100),F=(0010) H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

с коммутаторами [H,E]=2E[H,E] = 2E, [H,F]=−2F[H,F] = -2F и [E,F]=H[E,F] = H.

?
(i)

Определим

C:=12H2+EF+FE. C := \frac{1}{2}H^{2} + EF + FE.

Найдите CC. Вычислите коммутаторы [C,H][C,H], [C,E][C,E], [C,F][C,F]. Покажите, что CC можно записать в виде

C=12H2+H+2FE. C = \frac{1}{2}H^{2} + H + 2FE.
(ii)

Рассмотрим вектор в R2\mathbb {R}^{2}

v→=(10). \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Вычислите векторы Hv→H\overrightarrow {v}, Ev→E\overrightarrow {v}, Fv→F\overrightarrow {v} и Cv→C\overrightarrow {v}. Дайте интерпретацию.

(iii)

Универсальная обёртывающая алгебра U(sl(2,R))U(\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})) алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) — это ассоциативная алгебра с генераторами HH, EE, FF и соотношениями

HE−EH=2E,HF−FH=−2F,EF−FE=H. HE-EH = 2E, \qquad HF-FH = -2F, \qquad EF-FE = H.

Найдите базис алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) такой, чтобы все матрицы были обратимы. Найдите обратные матрицы для этих матриц. Приведите соотношения коммутации.

(iv)

Какие из матриц EE, FF, HH ненормальны? Используя линейные комбинации, найдите базис, в котором все элементы являются нормальными матрицами.

Задача 19.1.14

Пусть { e,f }\{ \, e, f \, \} с

e=(0100),f=(−1000) e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

— базис алгебры Ли. Имеем [e,f]=e[e,f] = e.

?
(i)

Является ли { e⊗I2,f⊗I2 }\{ \, e \otimes I_{2}, f \otimes I_{2} \, \} базисом алгебры Ли?

(ii)

Является ли { e⊗e,e⊗f,f⊗e,f⊗f }\{ \, e \otimes e, e \otimes f, f \otimes e, f \otimes f \, \} базисом алгебры Ли?

Задача 19.1.15

Известно, что

E=(0100),H=(100−1),F=(0010) E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

образуют упорядоченный базис простой алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}), причём

[E,H]=−2E,[E,F]=H,[F,H]=2F. [E,H] = -2E, \qquad [E,F] = H, \qquad [F,H] = 2F.

Рассмотрим

E~=(0001001000000000),H~=(1000010000−10000−1),F~=(0000000001001000). \widetilde{E} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{H} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{F} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы [E~,H~][\widetilde{E},\widetilde{H}], [E~,F~][\widetilde{E},\widetilde{F}], [F~,H~][\widetilde{F},\widetilde{H}].

?
Задача 19.1.16

Матрицы 2×22 \times 2

E=(0100),F=(0010),H=(100−1) E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

образуют базис алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) с коммутационными соотношениями [E,H]=−2E[E,H] = -2E, [E,F]=H[E,F] = H, [F,H]=2F[F,H] = 2F.

?
(i)

Пусть ⋆\star — звёздное произведение. Образуют ли девять матриц 4×44 \times 4

E⋆E,E⋆F,E⋆H,F⋆E,F⋆F,F⋆H,H⋆E,H⋆F,H⋆H E \star E, \quad E \star F, \quad E \star H, \quad F \star E, \quad F \star F, \quad F \star H, \quad H \star E, \quad H \star F, \quad H \star H

базис алгебры Ли?

(ii)

Определим матрицы 4×44 \times 4

H~:=H⊗I2+I2⊗H,E~:=E⊗H−1+H⊗E,F~:=F⊗H−1+H⊗F. \widetilde{H} := H \otimes I_{2} + I_{2} \otimes H, \qquad \widetilde{E} := E \otimes H^{-1} + H \otimes E, \qquad \widetilde{F} := F \otimes H^{-1} + H \otimes F.

Найдите коммутаторы [H~,E~][\widetilde{H},\widetilde{E}], [H~,F~][\widetilde{H},\widetilde{F}], [E~,F~][\widetilde{E},\widetilde{F}].

(iii)

Рассмотрим

H~=H⊗I2+I2⊗H,E~=E⊗H+H⊗E,F~=F⊗H+H⊗F. \widetilde{H} = H \otimes I_{2} + I_{2} \otimes H, \qquad \widetilde{E} = E \otimes H + H \otimes E, \qquad \widetilde{F} = F \otimes H + H \otimes F.

Найдите коммутаторы [H~,E~][\widetilde{H},\widetilde{E}], [H~,F~][\widetilde{H},\widetilde{F}], [E~,F~][\widetilde{E},\widetilde{F}] и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли. Изоморфна ли эта алгебра Ли алгебре sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})?

Задача 19.1.17

Базис алгебры Ли su(N)\mathfrak {su}(N) для нечётного NN можно построить из двух унитарных унимодулярных матриц N×NN \times N

g=(10000ω0000ω20⋮⋮⋮⋱⋮000…ωN−1),h=(010…0001…0⋮⋮⋮⋱⋮000…1100…0) g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & \omega & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \omega ^{N-1} \end{pmatrix}, \qquad h = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}

где ω\omega — первообразный корень NN-й степени из единицы, т.е. с периодом не меньшим NN, здесь взятый равным exp(4πi/N)\mathrm{exp}\left(4\pi i/N\right). Очевидно, что

hg=ωgh.(1) hg = \omega gh. \tag {1}
?
(i)

Найдите gNg^{N} и hNh^{N}.

(ii)

Найдите tr⁡(g)\operatorname {tr}(g).

(iii)

Пусть m→=(m1,m2)\overrightarrow {m} = (m_{1},m_{2}), n→=(n1,n2)\overrightarrow {n} = (n_{1},n_{2}) и определим

m→×n→:=m1n2−m2n1 \overrightarrow {m} \times \overrightarrow {n} := m_{1}n_{2} - m_{2}n_{1}

где m1=0,1,…,N−1m_{1} = 0,1,\ldots ,N-1 и m2=0,1,…,N−1m_{2} = 0,1,\ldots ,N-1. Полное множество унитарных унимодулярных матриц N×NN \times N

Jm1,m2:=ωm1m2/2gm1hm2 J_{m_{1},m_{2}} := \omega ^{m_{1}m_{2}/2}g^{m_{1}}h^{m_{2}}

достаточно для того, чтобы натянуть алгебру Ли su(N)\mathfrak {su}(N), где J0,0=INJ_{0,0} = I_{N}. Найдите J∗J^{*}.

(iv)

Вычислите Jm→Jn→J_{\overrightarrow {m}}J_{\overrightarrow {n}}.

(v)

Найдите коммутатор [Jm→,Jn→][J_{\overrightarrow {m}}, J_{\overrightarrow {n}}].

Задача 19.1.18

Пусть LL — конечномерная алгебра Ли, а Z(L)Z(L) — центр LL. Покажите, что ad⁡:L→gl(L)\operatorname {ad}: L \to \mathfrak {gl}(L) является гомоморфизмом алгебры Ли LL с ядром Z(L)Z(L).

?
Задача 19.1.19

Рассмотрим матрицы 2×22 \times 2 над R\mathbb {R}

A=(−1010),B=(010−1). A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Вычислите коммутатор C=[A,B]C = [A,B] и проверьте, можно ли представить CC в виде линейной комбинации AA и BB. Если да, то мы имеем базис алгебры Ли.

?
Задача 19.1.20

Базис Шевалле для полупростой алгебры Ли sl(3,R)\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R}) задаётся формулами

X1=(000001000),X2=(010000000),X3=(001000000), X_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, Y1=(000000010),Y2=(000100000),Y3=(000000100), Y_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, H1=(00001000−1),H2=(1000−10000) H_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad H_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

где Yj=XjTY_{j} = X_{j}^{T} для j=1,2,3j = 1,2,3. Алгебра Ли имеет ранг 2 благодаря H1H_{1}, H2H_{2} и [H1,H2]=03[H_{1},H_{2}] = 0_{3}. Другой базис можно образовать, рассмотрев линейные комбинации

Uj=Xj+Yj,Vj=Xj−Vj. U_{j} = X_{j}+Y_{j}, \qquad V_{j} = X_{j}-V_{j}.
?
(i)

Найдите таблицу коммутаторов.

(ii)

Вычислите векторы коммутаторов

\begin{pmatrix} {[H_{1},X_{1}]} \\[H_{2},X_{1}] \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} {[H_{1},X_{2}]} \\[H_{2},X_{2}] \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} {[H_{1},X_{3}]} \\[H_{2},X_{3}] \end{pmatrix}

и тем самым найдите корни.

Задача 19.1.21

Рассмотрим матрицы размера 3×33 \times 3

h1=(100000001),h2=(000010000),h3=(001000100), h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, e=(010000010),f=(000101000). e = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют базис алгебры Ли.

?
Задача 19.1.22

Рассмотрим две матрицы размера 2×22 \times 2

A=(100−1),B=(0110) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

где AA — матрица Паули σ3\sigma_{3}, а BB — матрица Паули σ1\sigma_{1}. Две матрицы AA, BB линейно независимы. Пусть AA, BB — образующие алгебры Ли. Классифицируйте порождённую алгебру Ли.

?
Задача 19.1.23

Супералгебра gl(1∣1)\mathfrak {gl}(1|1) содержит две чётные (обозначаемые HH и ZZ) и две нечётные (обозначаемые EE, FF) образующие. Выполняются следующие соотношения коммутации и антикоммутации

[Z,E]=[Z,F]=[Z,H]=0,[H,E]=E,[H,F]=−F,[E,F]+=Z [Z,E] = [Z,F] = [Z,H] = 0, \qquad [H,E] = E, \qquad [H,F] = -F, \qquad [E,F]_{+} = Z

и E2=F2=0E^{2} = F^{2} = 0. Найдите представление матрицами размера 2×22 \times 2.

?
Задача 19.1.24

Базис простой алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) задаётся бесследовыми матрицами размера 2×22 \times 2

X1=12(0110),X2=12(−1001),X3=12(01−10). X_{1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} {-1} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}, \qquad X_{3} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} {0} & {1} \\ {-1} & {0} \end{pmatrix}.
?
(i)

Найдите коммутаторы [X1,X2][X_{1},X_{2}], [X2,X3][X_{2},X_{3}], [X3,X1][X_{3},X_{1}].

(ii)

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Найдите exp(zX1)\mathrm{exp}\left(zX_{1}\right), exp(zX2)\mathrm{exp}\left(zX_{2}\right), exp(zX3)\mathrm{exp}\left(zX_{3}\right).

(iii)

Пусть u,v,r∈Ru, v, r \in \mathbb {R}. Покажите, что

g(u,v,r)=euX3erX2evX3 g(u,v,r) = e^{uX_{3}}e^{rX_{2}}e^{vX_{3}} =er/2(−sin⁡(u/2)sin⁡(v/2)cos⁡(v/2)sin⁡(u/2)−cos⁡(u/2)sin⁡(v/2)cos⁡(u/2)cos⁡(v/2)) = e^{r/2}\begin{pmatrix} {-\sin (u/2)\sin (v/2)} & {\cos (v/2)\sin (u/2)} \\ {-\cos (u/2)\sin (v/2)} & {\cos (u/2)\cos (v/2)} \end{pmatrix} +e−r/2(cos⁡(u/2)cos⁡(v/2)cos⁡(u/2)sin⁡(v/2)−cos⁡(v/2)sin⁡(u/2)−sin⁡(u/2)sin⁡(v/2)). + e^{-r/2}\begin{pmatrix} {\cos (u/2)\cos (v/2)} & {\cos (u/2)\sin (v/2)} \\ {-\cos (v/2)\sin (u/2)} & {-\sin (u/2)\sin (v/2)} \end{pmatrix}.
(iv)

Найдите g(u,v,r)−1g(u,v,r)^{-1}.

Задача 19.1.25

Рассмотрим полупростую алгебру Ли sl(n+1,F)\mathfrak {sl}(n+1,\mathbb {F}). Пусть Ei,jE_{i,j} (i,j∈{1,2,…,n+1}i,j \in \{ 1,2,\ldots ,n+1\}) обозначает стандартный базис, т.е. (n+1)×(n+1)(n+1) \times (n+1) матрицы, все элементы которых равны нулю, кроме элемента в ii-й строке и jj-м столбце, который равен единице. Мы можем построить базис Картана–Вейля с помощью

Hj:=Ej,j−Ej+1,j+1,j∈{1,2,…,n}. H_{j} := E_{j,j} - E_{j+1,j+1}, \qquad j \in \{ 1,2,\ldots ,n\} .

Покажите, что Ei,jE_{i,j} являются корневыми векторами при i≠ji \neq j, т.е. существует λH,i,j∈F\lambda_{H,i,j} \in \mathbb {F} такое, что

[H,Ei,j]=λH,i,jEi,j [H,E_{i,j}] = \lambda _{H,i,j}E_{i,j}

для всех H∈span⁡{ H1,…,Hn }H \in \operatorname {span}\{ \, H_{1}, \ldots , H_{n} \, \}.

?
Задача 19.1.26

Рассмотрим векторное пространство R3\mathbb {R}^{3} и векторное произведение ×\times. Векторное произведение неассоциативно. Ассоциатор трёх векторов u→\overrightarrow {u}, v→\overrightarrow {v}, w→\overrightarrow {w} определяется как

ass⁡(u→×(v→×w→)):=(u→×v→)×w→−u→×(v→×w→). \operatorname {ass}(\overrightarrow {u} \times (\overrightarrow {v} \times \overrightarrow {w})) := (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \times \overrightarrow {w} - \overrightarrow {u} \times (\overrightarrow {v} \times \overrightarrow {w}).

Ассоциатор измеряет нарушение ассоциативности.

?
(i)

Рассмотрим единичные векторы

u→=(100),v→=(010),w→=(001). \overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите ассоциатор.

(ii)

Рассмотрим нормированные векторы

u→=12(101),v→=(010),w→=12(10−1). \overrightarrow {u} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {w} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите ассоциатор.

Задача 19.1.27

Рассмотрим векторы в векторном пространстве R3\mathbb {R}^{3} и векторное произведение ×\times. Рассмотрим отображение векторов из R3\mathbb {R}^{3} в кососимметрические матрицы размера 3×33 \times 3

(abc)↔(0c−b−c0ab−a0). \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите векторное произведение

(a2b2c2)×(a1b1c1) \begin{pmatrix} a_{2} \\ b_{2} \\ c_{2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1} \\ b_{1} \\ c_{1} \end{pmatrix}

и коммутатор [M1,M2][M_{1},M_{2}], где

M1=(0c1−b1−c10a1b1−a10),M2=(0c2−b2−c20a2b2−a20). M_{1} = \begin{pmatrix} 0 & c_{1} & -b_{1} \\ -c_{1} & 0 & a_{1} \\ b_{1} & -a_{1} & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_{2} = \begin{pmatrix} 0 & c_{2} & -b_{2} \\ -c_{2} & 0 & a_{2} \\ b_{2} & -a_{2} & 0 \end{pmatrix}.

Обсудите.

?
Задача 19.1.28

Базис алгебры Ли su(3)\mathfrak {su}(3) задаётся восемью косоэрмитовыми матрицами размера 3×33 \times 3

X1=(0i0i00000),X2=(010−100000), X_{1} = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, X3=(i000−i0000),X4=(00i000i00), X_{3} = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}, X5=(001000−100),X6=(00000i0i0), X_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{6} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, X7=(0000010−10),X8=13(i000i000−2i). X_{7} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}.

Найдите

∑j=18(Xj⊗Xj),∑j=18((XjXk)⊗Xj). \sum _{j=1}^{8}(X_{j} \otimes X_{j}), \qquad \sum _{j=1}^{8}((X_{j}X_{k}) \otimes X_{j}).

Выразите результаты в виде произведений Кронекера двух матриц размера 3×33 \times 3.

?
Задача 19.1.29

Рассмотрим некоммутативную двумерную алгебру Ли с [A,B]=A[A,B] = A и

A=(0100),B=(0001). A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Покажите, что матрицы

{ A⊗I2+I2⊗A,  B⊗I2+I2⊗B } \{ \, A \otimes I_{2} + I_{2} \otimes A, \; B \otimes I_{2} + I_{2} \otimes B \, \}

также образуют некоммутативную алгебру Ли относительно коммутатора. Обсудите.

?
Задача 19.1.30

Рассмотрим три матрицы размера 3×33 \times 3

A=(010−100000),B=(00−1000100),C=(0000010−10) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

которые удовлетворяют соотношениям коммутации [A,B]=C[A,B] = C, [B,C]=A[B,C] = A, [C,A]=B[C,A] = B. Таким образом, мы имеем базис простой алгебры Ли so(3)\mathfrak {so}(3). Вычислите коммутаторы

[A⊗I3,B⊗I3],[B⊗I3,C⊗I3],[C⊗I3,A⊗I3]. [A \otimes I_{3}, B \otimes I_{3}], \qquad [B \otimes I_{3}, C \otimes I_{3}], \qquad [C \otimes I_{3}, A \otimes I_{3}].
?
Задача 19.1.31
?
(i)

Алгебра Гейзенберга h(3)\mathfrak {h}(3) — это трёхмерная некоммутативная алгебра Ли с базисом E1E_{1}, E2E_{2}, E3E_{3} и

[E1,E2]=E3,[E1,E3]=[E2,E3]=0. [E_{1},E_{2}] = E_{3}, \qquad [E_{1},E_{3}] = [E_{2},E_{3}] = 0.

Из матричного представления

T=(0t1t300t2000),t1,t2,t3∈R T = \begin{pmatrix} 0 & t_{1} & t_{3} \\ 0 & 0 & t_{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbb {R}

элемента T=t1E1+t2E2+t3E3T = t_{1}E_{1}+t_{2}E_{2}+t_{3}E_{3} из h(3)\mathfrak {h}(3). Найдите exp(T)\mathrm{exp}\left(T\right).

(ii)

Соответствующая группа Ли H(3)H(3) — это группа верхнетреугольных матриц 3×33 \times 3 с единицами на главной диагонали

H(3)={ g=(1α1α301α2001) }. H(3) = \left\{ \, g = \begin{pmatrix} 1 & \alpha _{1} & \alpha _{3} \\ 0 & 1 & \alpha _{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, \right\} .

Найдите g−1g^{-1} и gTg−1gTg^{-1}.

Задача 19.1.32

Пусть A1,A2,…,ArA_{1}, A_{2}, \ldots , A_{r} — матрицы n×nn \times n, образующие базис некоммутативной алгебры Ли. Пусть B1,B2,…,BsB_{1}, B_{2}, \ldots , B_{s} — матрицы n×nn \times n, образующие базис коммутативной алгебры Ли. Пусть ⊗\otimes — произведение Кронекера, и образуем все элементы

Aj⊗Bk,j=1,…,r,k=1,…,s. A_{j} \otimes B_{k}, \qquad j = 1, \ldots , r, \quad k = 1, \ldots , s.

Вычислите коммутаторы

[Aj⊗Bk,Aℓ⊗Bm],j,ℓ=1,…,r,k,m=1,…,s. [A_{j} \otimes B_{k}, A_{\ell } \otimes B_{m}], \qquad j,\ell = 1,\ldots ,r, \quad k,m = 1,\ldots ,s.

Обсудите.

?
Задача 19.1.33

Рассмотрим алгебру Гейзенберга h(1)\mathfrak {h}(1) с образующими, заданными матрицами n×nn \times n HH, X1X_{1}, X2X_{2}, и коммутационными соотношениями

[H,X1]=0n,[H,X2]=0n,[X1,X2]=H. [H,X_{1}] = 0_{n}, \qquad [H,X_{2}] = 0_{n}, \qquad [X_{1},X_{2}] = H.

Найдите коммутаторы для матриц H⊗InH \otimes I_{n}, X1⊗InX_{1} \otimes I_{n}, X2⊗InX_{2} \otimes I_{n}.

?
Задача 19.1.34
?
(i)

Пусть AA, BB — матрицы n×nn \times n. Вычислите коммутатор

[A⊗In+In⊗A,B⊗B] [A \otimes I_{n} + I_{n} \otimes A, B \otimes B]

и выразите результат через коммутатор [A,B][A,B].

(ii)

Предположим, что [A,B]=B[A,B] = B, т.е. AA и BB образуют базис двумерной алгебры Ли. Выразите результат из (i), используя [A,B]=B[A,B] = B. Обсудите.

Задача 19.1.35

Пусть LL — конечномерная алгебра Ли. Пусть C∞(S1)C^{\infty }(S^{1}) — множество всех бесконечно дифференцируемых функций, где S1S^{1} — многообразие единичной окружности. В произведении пространств L⊗C∞(S1)L \otimes C^{\infty }(S^{1}) определим скобку Ли (g1,g2∈Lg_{1}, g_{2} \in L и f1,f2∈C∞(S1)f_{1}, f_{2} \in C^{\infty }(S^{1}))

[g1⊗f1,g2⊗f2]:=[g1,g2]⊗(f1f2). [g_{1} \otimes f_{1}, g_{2} \otimes f_{2}] := [g_{1},g_{2}] \otimes (f_{1}f_{2}).

Вычислите

[g1⊗f1,[g2⊗f2,g3⊗f3]]+[g3⊗f3,[g1⊗f1,g2⊗f2]]+[g2⊗f2,[g3⊗f3,g1⊗f1]]. [g_{1} \otimes f_{1}, [g_{2} \otimes f_{2}, g_{3} \otimes f_{3}]] + [g_{3} \otimes f_{3}, [g_{1} \otimes f_{1}, g_{2} \otimes f_{2}]] + [g_{2} \otimes f_{2}, [g_{3} \otimes f_{3}, g_{1} \otimes f_{1}]].
?
Задача 19.1.36

Элементы (образующие) Z1,Z2,…,ZrZ_{1}, Z_{2}, \ldots , Z_{r} rr-мерной алгебры Ли удовлетворяют условиям

[Zμ,Zν]=∑τ=1rcμντZτ [Z_{\mu }, Z_{\nu }] = \sum _{\tau =1}^{r} c^{\tau }_{\mu \nu }Z_{\tau }

с cμντ=−cνμτc^{\tau }_{\mu \nu } = -c^{\tau }_{\nu \mu }, где cμντc^{\tau }_{\mu \nu } называются структурными константами. Пусть AA — произвольная линейная комбинация элементов

A=∑μ=1raμZμ. A = \sum _{\mu =1}^{r} a^{\mu }Z_{\mu }.

Предположим, что XX — некоторая другая линейная комбинация, такая что

X=∑ν=1rbνZνи[A,X]=ρX. X = \sum _{\nu =1}^{r} b^{\nu }Z_{\nu } \qquad \text{и} \qquad [A,X] = \rho X.

Это уравнение имеет форму уравнения на собственные значения, где ρ\rho — соответствующее собственное значение, а XX — соответствующий собственный вектор. Предположим, что алгебра Ли представлена матрицами. Найдите вековое уравнение для собственных значений ρ\rho.

?
Задача 19.1.37

Пусть cσλτc^{\tau }_{\sigma \lambda } — структурные константы алгебры Ли. Определим

gσλ=gλσ=∑ρ=1r∑τ=1rcσρτcλτρиgσλgσλ=δσλ. g_{\sigma \lambda } = g_{\lambda \sigma } = \sum _{\rho =1}^{r}\sum _{\tau =1}^{r} c^{\tau }_{\sigma \rho }c^{\rho }_{\lambda \tau } \qquad \text{и} \qquad g^{\sigma \lambda }g_{\sigma \lambda } = \delta ^{\lambda }_{\sigma }.

Алгебра Ли LL называется полупростой тогда и только тогда, когда det⁡(∣gσλ∣)≠0\operatorname {det}\left(\left|g_{\sigma \lambda }\right|\right) \neq 0. В дальнейшем предполагаем, что алгебра Ли полупроста. Определим

C:=∑ρ=1r∑σ=1rgρσXρXσ. C := \sum _{\rho =1}^{r}\sum _{\sigma =1}^{r} g^{\rho \sigma }X_{\rho }X_{\sigma }.

Оператор CC называется оператором Казимира. Пусть XτX_{\tau } — элемент алгебры Ли LL. Вычислите коммутатор [C,Xτ][C,X_{\tau }].

?
§
19.2 · Дополнительные задачи[21/0%]
Задача 19.2.1

Дан базис алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})

E=(0100),F=(0010),H=(100−1) E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

с коммутационными соотношениями [E,F]=H[E,F] = H, [E,H]=−2E[E,H] = -2E, [F,H]=−2F[F,H] = -2F.

?
(i)

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Определим

E~=ezH/2⊗E+E⊗e−z‾H/2,F~=ez‾H/2⊗F+F⊗e−zH/2,H~=H⊗I2+I2⊗H. \widetilde{E} = e^{zH/2} \otimes E + E \otimes e^{-\overline{z}H/2}, \qquad \widetilde{F} = e^{\overline{z}H/2} \otimes F + F \otimes e^{-zH/2}, \qquad \widetilde{H} = H \otimes I_{2} + I_{2} \otimes H.

Найдите коммутаторы [E~,F~][\widetilde{E},\widetilde{F}], [E~,H~][\widetilde{E},\widetilde{H}], [F~,H~][\widetilde{F},\widetilde{H}].

(ii)

Пусть U(sl(2,R))U(\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})) — универсальная обёртывающая алгебра. Тогда любой элемент U(sl(2,R))U(\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})) можно записать в виде суммы произведений вида FjHkEℓF^{j}H^{k}E^{\ell }, где j,k,ℓ≥0j,k,\ell \geq 0. Покажите, что

EF2=−2F+2FH+F2E. EF^{2} = -2F+2FH+F^{2}E.
Примечание.
?

Используйте, что EF2≡[E,F2]+F2EEF^{2} \equiv [E,F^{2}]+F^{2}E.

Задача 19.2.2

Изучите алгебру Ли sl(2,F)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {F}), где char⁡(F)=2\operatorname {char}(\mathbb {F}) = 2.

?
Задача 19.2.3

Образуют ли матрицы

E+=(010001000),E−=(000100010),H=(10000000−1) E_{+} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{-} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

базис алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})?

?
Задача 19.2.4

Покажите, что базис алгебры Ли sl(2,C)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C}) задаётся следующими матрицами

12(0ii0),12(01−10),12(−i00i), \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, 12(0110),12(0−ii0),12(−1001). \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
?
Задача 19.2.5

Даны спиновые матрицы

S+=(0100),S−=(0010). S_{+} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S_{-} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Рассмотрим матрицы 4×44 \times 4

(02S−0202),(0202S+02),(S+0202S+),(S−0202S−). \begin{pmatrix} 0_{2} & S_{-} \\ 0_{2} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0_{2} & 0_{2} \\ S_{+} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} S_{+} & 0_{2} \\ 0_{2} & S_{+} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} S_{-} & 0_{2} \\ 0_{2} & S_{-} \end{pmatrix}.

Вычислите коммутаторы этих матриц и расширьте набор так, чтобы получить базис алгебры Ли.

?
Задача 19.2.6

Пусть L1L_{1} и L2L_{2} — две алгебры Ли. Пусть φ:L1→L2\varphi : L_{1} \to L_{2} — гомоморфизм алгебр Ли. Покажите, что im⁡(φ)\operatorname {im}(\varphi ) является подалгеброй Ли в L2L_{2}, а ker⁡(φ)\ker (\varphi ) — идеалом в L1L_{1}.

?
Задача 19.2.7

Пусть AA, BB, CC — ненулевые матрицы 3×33 \times 3 с коммутационными соотношениями

[A,B]=C,[B,C]=A,[C,A]=B [A,B] = C, \qquad [B,C] = A, \qquad [C,A] = B

т.е. AA, BB, CC образуют базис алгебры Ли so(3)\mathfrak {so}(3). Найдите алгебру Ли, порождённую матрицами 9×99 \times 9

H=A⊗I3+I3⊗B+A⊗B,K=A⊗I3+I3⊗B+B⊗A. H = A \otimes I_{3} + I_{3} \otimes B + A \otimes B, \qquad K = A \otimes I_{3} + I_{3} \otimes B + B \otimes A.
?
Задача 19.2.8

Рассмотрим матрицы Паули σ0=I2\sigma_{0} = I_{2}, σ1\sigma_{1}, σ2\sigma_{2}, σ3\sigma_{3} и шестнадцать матриц 4×44 \times 4 (j=0,1,2,3j = 0,1,2,3)

(σj0202σj),(σj0202−σj),(02σjσj02),(02σj−σj02). \begin{pmatrix} \sigma _{j} & 0_{2} \\ 0_{2} & \sigma _{j} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \sigma _{j} & 0_{2} \\ 0_{2} & -\sigma _{j} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{j} \\ \sigma _{j} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{j} \\ -\sigma _{j} & 0_{2} \end{pmatrix}.

Образуют ли эти шестнадцать матриц 4×44 \times 4 базис алгебры Ли относительно коммутатора?

?
Задача 19.2.9

Рассмотрим алгебру Ли вещественных кососимметричных матриц 3×33 \times 3

A=(0a3−a2−a30a1a2−a10). A = \begin{pmatrix} 0 & a_{3} & -a_{2} \\ -a_{3} & 0 & a_{1} \\ a_{2} & -a_{1} & 0 \end{pmatrix}.

Пусть RR — вещественная ортогональная матрица 3×33 \times 3, т.е. RRT=I3RR^{T} = I_{3}. Покажите, что RARTRAR^{T} — вещественная кососимметричная матрица.

?
Задача 19.2.10

Группа Ли SU(2,2)SU(2,2) определяется как группа преобразований на четырёхмерном комплексном пространстве C4\mathbb {C}^{4}, оставляющих инвариантной индефинитную квадратичную форму

∣z1∣2+∣z2∣2−∣z3∣2−∣z4∣2. \left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}-\left|z_{3}\right|^{2}-\left|z_{4}\right|^{2}.

Алгебра Ли su(2,2)\mathfrak {su}(2,2) определяется как множество матриц XX размера 4×44 \times 4 со следом 0 и X∗L+LX=04X^{*}L+LX = 0_{4}, где LL — матрица 4×44 \times 4

L=(−I20202I2). L = \begin{pmatrix} -I_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & I_{2} \end{pmatrix}.

Является ли

X=(0001001001001000) X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

элементом алгебры Ли su(2,2)\mathfrak {su}(2,2)? Найдите exp(zX)\mathrm{exp}\left(zX\right). Обсудите.

?
Задача 19.2.11

Полупростая алгебра Ли sl(3,R)\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R}) имеет размерность 8. Стандартный базис задаётся как

h1=(1000−10000),h2=(00001000−1), h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, e1=(010000000),e2=(000001000), e_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, f1=(000100000),f2=(000000010), f_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, e13=(001000000),f13=(000000100). e_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите таблицу коммутаторов.

?
Задача 19.2.12

Пусть EjkE_{jk} (j,k=1,2,3,4j,k = 1,2,3,4) — элементарные матрицы в векторном пространстве матриц 4×44 \times 4. Покажите, что 15 матриц

X1=E12,X2=E23,X3=E13,X4=E34,X5=E24,X6=E14 X_{1} = E_{12}, \qquad X_{2} = E_{23}, \qquad X_{3} = E_{13}, \qquad X_{4} = E_{34}, \qquad X_{5} = E_{24}, \qquad X_{6} = E_{14} Y1=E21,Y2=E32,Y3=E31,Y4=E43,Y5=E42,Y6=E41 Y_{1} = E_{21}, \qquad Y_{2} = E_{32}, \qquad Y_{3} = E_{31}, \qquad Y_{4} = E_{43}, \qquad Y_{5} = E_{42}, \qquad Y_{6} = E_{41} H1=14diag⁡(3,−1,−1,−1,−1),H2=12diag⁡(1,1,−1,−1), H_{1} = \frac{1}{4}\operatorname {diag}(3,-1,-1,-1,-1), \qquad H_{2} = \frac{1}{2}\operatorname {diag}(1,1,-1,-1), H3=14diag⁡(1,1,1,−3) H_{3} = \frac{1}{4}\operatorname {diag}(1,1,1,-3)

образуют базис (базис Картана–Вейля) алгебры Ли sl(4,C)\mathfrak {sl}(4,\mathbb {C}).

?
Задача 19.2.13

Пусть AA, BB, CC — ненулевые матрицы 3×33 \times 3 такие, что (алгебра Ли so(3)\mathfrak {so}(3))

[A,B]=C,[B,C]=A,[C,A]=B. [A,B] = C, \qquad [B,C] = A, \qquad [C,A] = B.

Найдите коммутаторы матриц 9×99 \times 9

A⊗I3+I3⊗A,B⊗I3+I3⊗B,C⊗I3+I3⊗C. A \otimes I_{3} + I_{3} \otimes A, \qquad B \otimes I_{3} + I_{3} \otimes B, \qquad C \otimes I_{3} + I_{3} \otimes C.
?
Задача 19.2.14

Изоморфизм алгебр Ли sl(2,C)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C}) и so(3,C)\mathfrak {so}(3,\mathbb {C}) имеет вид

(abc−a)↔(0b−c−i(b+c)c−b02iai(b+c)−2ia0). \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & b-c & -i(b+c) \\ c-b & 0 & 2ia \\ i(b+c) & -2ia & 0 \end{pmatrix}.

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Найдите

exp(z(abc−a)),exp(z(0b−c−i(b+c)c−b02iai(b+c)−2ia0)). \mathrm{exp}\left(z\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(z\begin{pmatrix} 0 & b-c & -i(b+c) \\ c-b & 0 & 2ia \\ i(b+c) & -2ia & 0 \end{pmatrix}\right).
?
Задача 19.2.15

Рассмотрим четырёхмерное векторное пространство с базисом e1e_{1}, e2e_{2}, e3e_{3}, e4e_{4}. Предположим, что ненулевые коммутаторы заданы как

[e2,e3]=e1,[e1,e4]=2e1,[e2,e4]=e2,[e3,e4]=e2+e3. [e_{2},e_{3}] = e_{1}, \qquad [e_{1},e_{4}] = 2e_{1}, \qquad [e_{2},e_{4}] = e_{2}, \qquad [e_{3},e_{4}] = e_{2}+e_{3}.

Определяют ли эти соотношения алгебру Ли? Например, мы имеем

[e1,[e2,e3]]+[e3,[e1,e2]]+[e2,[e3,e1]]=[e1,e1]+[e3,0]+[e2,0]=0. [e_{1},[e_{2},e_{3}]]+[e_{3},[e_{1},e_{2}]]+[e_{2},[e_{3},e_{1}]] = [e_{1},e_{1}]+[e_{3},0]+[e_{2},0] = 0.

Если да, найдите присоединённое представление.

?
Задача 19.2.16

Пусть AA, BB, CC — ненулевые матрицы n×nn \times n. Предположим, что [A,B]=0n[A,B] = 0_{n} и [C,A]=0n[C,A] = 0_{n}. Можем ли мы заключить, что [B,C]=0n[B,C] = 0_{n}? Полезно ли здесь тождество Якоби

[A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0n [A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]] = 0_{n}

?

?
Задача 19.2.17
?
(i)

Найдите алгебру Ли, порождённую матрицами 2×22 \times 2

A=(0001),B=(00−10). A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Заметим, что [A,B]=A+B[A,B] = A+B.

(ii)

Найдите алгебру Ли, порождённую матрицами 3×33 \times 3

A=(00001000−1),B=(000−100000),C=(000000100). A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Заметим, что [A,B]=B[A,B] = B, [B,C]=03[B,C] = 0_{3}, [C,A]=C[C,A] = C.

Задача 19.2.18

В разложении простой алгебры Ли sl(3,R)\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R}) находим матрицы 3×33 \times 3

A=(a11a120a21a22000−a11−a22),B=(00b1300b23b31b320) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & -a_{11}-a_{22} \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b_{13} \\ 0 & 0 & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & 0 \end{pmatrix}

где ajk,bjk∈Ra_{jk}, b_{jk} \in \mathbb {R}. Найдите коммутаторы [A,A′][A,A'], [B,B′][B,B'] и [A,B][A,B]. Обсудите. Заметим, что

[A,B]=(00a12b23+a22b1300a21b13+a11b23−a22b31−a21b32−a11b32−a12b310). [A,B] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{12}b_{23}+a_{22}b_{13} \\ 0 & 0 & a_{21}b_{13}+a_{11}b_{23} \\ -a_{22}b_{31}-a_{21}b_{32} & -a_{11}b_{32}-a_{12}b_{31} & 0 \end{pmatrix}.

Таким образом, матрица коммутатора [A,B][A,B] имеет вид матрицы BB.

?
Задача 19.2.19

Пусть σ1\sigma_{1}, σ2\sigma_{2}, σ3\sigma_{3} — матрицы Паули со следующими коммутационными соотношениями

[σ1,σ2]=2iσ3,[σ2,σ3]=2iσ1,[σ3,σ1]=2iσ2. [\sigma _{1},\sigma _{2}] = 2i\sigma _{3}, \qquad [\sigma _{2},\sigma _{3}] = 2i\sigma _{1}, \qquad [\sigma _{3},\sigma _{1}] = 2i\sigma _{2}.

Таким образом, su(2)=span⁡{ iσ1,iσ2,iσ3 }\mathfrak {su}(2) = \operatorname {span}\{ \, i\sigma_{1}, i\sigma_{2}, i\sigma_{3} \, \}. Тогда

[σ1⊗I2+I2⊗σ2,σ2⊗I2+I2⊗σ3]=2i(σ3⊗I2+I2⊗σ1). [\sigma _{1} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{2}, \sigma _{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{3}] = 2i(\sigma _{3} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{1}).
?
(i)

Найдите коммутаторы

[σ2⊗I2+I2⊗σ3,σ3⊗I2+I2⊗σ1],[σ3⊗I2+I2⊗σ1,σ2⊗I2+I2⊗σ3]. [\sigma _{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{3}, \sigma _{3} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{1}], \qquad [\sigma _{3} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{1}, \sigma _{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{3}].

Обсудите.

(ii)

Мы знаем, что матрицы Паули σ1\sigma_{1}, σ2\sigma_{2}, σ3\sigma_{3} являются элементами алгебры Ли u(2)\mathfrak {u}(2), но не su(2)\mathfrak {su}(2), поскольку det⁡(σj)=−1\operatorname {det}\left(\sigma_{j}\right) = -1 при j=1,2,3j = 1,2,3. Являются ли девять матриц 4×44 \times 4

σj⊗σk,j,k=1,2,3 \sigma _{j} \otimes \sigma _{k}, \qquad j,k = 1,2,3

элементами алгебры Ли su(4)\mathfrak {su}(4)?

(iii)

Пусть ⋆\star — звёздная операция. Найдите коммутаторы

[σ1,σ2],[σ2,σ3],[σ3,σ1],[σ1⋆σ1,σ2⋆σ2],[σ2⋆σ2,σ3⋆σ3],[σ3⋆σ3,σ1⋆σ1]. [\sigma _{1},\sigma _{2}], \qquad [\sigma _{2},\sigma _{3}], \qquad [\sigma _{3},\sigma _{1}], \qquad [\sigma _{1}\star \sigma _{1}, \sigma _{2}\star \sigma _{2}], \qquad [\sigma _{2}\star \sigma _{2}, \sigma _{3}\star \sigma _{3}], \qquad [\sigma _{3}\star \sigma _{3}, \sigma _{1}\star \sigma _{1}].

Найдите антикоммутаторы [σ1,σ2]+[\sigma_{1},\sigma_{2}]_{+}, [σ2,σ3]+[\sigma_{2},\sigma_{3}]_{+}, [σ3,σ1]+[\sigma_{3},\sigma_{1}]_{+},

[σ1⋆σ1,σ2⋆σ2]+,[σ2⋆σ2,σ3⋆σ3]+,[σ3⋆σ3,σ1⋆σ1]+. [\sigma _{1}\star \sigma _{1}, \sigma _{2}\star \sigma _{2}]_{+}, \qquad [\sigma _{2}\star \sigma _{2}, \sigma _{3}\star \sigma _{3}]_{+}, \qquad [\sigma _{3}\star \sigma _{3}, \sigma _{1}\star \sigma _{1}]_{+}.
Задача 19.2.20

Пусть α∈R\alpha \in \mathbb {R}. Покажите, что матрицы

L1=(α+i00α),L2=(0100),L3=(0i00) L_{1} = \begin{pmatrix} \alpha +i & 0 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}, \qquad L_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad L_{3} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

удовлетворяют коммутационным соотношениям

[L1,L2]=L3,[L2,L3]=02,[L3,L1]=L2. [L_{1},L_{2}] = L_{3}, \qquad [L_{2},L_{3}] = 0_{2}, \qquad [L_{3},L_{1}] = L_{2}.
?
Задача 19.2.21

Рассмотрим четырёхмерное вещественное векторное пространство с базисом e0e_{0}, e1e_{1}, e2e_{2}, e3e_{3}. Алгебра гёделевых кватернионов G\mathbb {G} определяется некоммутативным умножением

e0ek=ek=eke0,(e0)2=e0 e_{0}e_{k} = e_{k} = e_{k}e_{0}, \qquad (e_{0})^{2} = e_{0} ejek=(−1)ℓϵjkℓeℓ−(−1)kδjke0,j,k,ℓ=1,2,3. e_{j}e_{k} = (-1)^{\ell }\epsilon _{jk\ell }e_{\ell } - (-1)^{k}\delta _{jk}e_{0}, \qquad j,k,\ell = 1,2,3.

Пусть q0q_{0}, q1q_{1}, q2q_{2}, q3q_{3} — произвольные вещественные числа. Назовём вектор

q=q0e0+q1e1+q2e2+q3e3 q = q_{0}e_{0}+q_{1}e_{1}+q_{2}e_{2}+q_{3}e_{3}

гёделевым кватернионом. Определим базис

e11:=12(e0+e3),e22:=12(e0−e3), e_{11} := \frac{1}{2}(e_{0}+e_{3}), \qquad e_{22} := \frac{1}{2}(e_{0}-e_{3}), e12:=12(e1+e2),e21:=12(e1−e2). e_{12} := \frac{1}{2}(e_{1}+e_{2}), \qquad e_{21} := \frac{1}{2}(e_{1}-e_{2}).

Покажите, что ejke_{jk} удовлетворяют закону умножения

ejkers=δkrejs,j,k,r,s=1,2. e_{jk}e_{rs} = \delta _{kr}e_{js}, \qquad j,k,r,s = 1,2.

Покажите, что любой гёделев кватернион qq можно записать в виде

q=∑j,k=12qjkejk. q = \sum _{j,k=1}^{2} q_{jk}e_{jk}.

Покажите, что

e0=(1001),e1=(0110),e2=(01−10),e3=(100−1) e_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad e_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

является матричным представлением.

?