Дополнительные задачи

Дан базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$

с коммутационными соотношениями $[E,F] = H$, $[E,H] = -2E$, $[F,H] = -2F$.

Изучите алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {F})$, где $\operatorname {char}(\mathbb {F}) = 2$.

Образуют ли матрицы

базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$?

Покажите, что базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ задаётся следующими матрицами

Даны спиновые матрицы

Рассмотрим матрицы $4 \times 4$

Вычислите коммутаторы этих матриц и расширьте набор так, чтобы получить базис алгебры Ли.

Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ — две алгебры Ли. Пусть $\varphi : L_{1} \to L_{2}$ — гомоморфизм алгебр Ли. Покажите, что $\operatorname {im}(\varphi )$ является подалгеброй Ли в $L_{2}$, а $\ker (\varphi )$ — идеалом в $L_{1}$.

Пусть $A$, $B$, $C$ — ненулевые матрицы $3 \times 3$ с коммутационными соотношениями

т.е. $A$, $B$, $C$ образуют базис алгебры Ли $\mathfrak {so}(3)$. Найдите алгебру Ли, порождённую матрицами $9 \times 9$

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{0} = I_{2}$, $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ и шестнадцать матриц $4 \times 4$ ($j = 0,1,2,3$)

Образуют ли эти шестнадцать матриц $4 \times 4$ базис алгебры Ли относительно коммутатора?

Рассмотрим алгебру Ли вещественных кососимметричных матриц $3 \times 3$

Пусть $R$ — вещественная ортогональная матрица $3 \times 3$, т.е. $RR^{T} = I_{3}$. Покажите, что $RAR^{T}$ — вещественная кососимметричная матрица.

Группа Ли $SU(2,2)$ определяется как группа преобразований на четырёхмерном комплексном пространстве $\mathbb {C}^{4}$, оставляющих инвариантной индефинитную квадратичную форму

Алгебра Ли $\mathfrak {su}(2,2)$ определяется как множество матриц $X$ размера $4 \times 4$ со следом 0 и $X^{*}L+LX = 0_{4}$, где $L$ — матрица $4 \times 4$

Является ли

элементом алгебры Ли $\mathfrak {su}(2,2)$? Найдите $\mathrm{exp}\left(zX\right)$. Обсудите.

Полупростая алгебра Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R})$ имеет размерность 8. Стандартный базис задаётся как

Найдите таблицу коммутаторов.

Пусть $E_{jk}$ ($j,k = 1,2,3,4$) — элементарные матрицы в векторном пространстве матриц $4 \times 4$. Покажите, что 15 матриц

образуют базис (базис Картана–Вейля) алгебры Ли $\mathfrak {sl}(4,\mathbb {C})$.

Пусть $A$, $B$, $C$ — ненулевые матрицы $3 \times 3$ такие, что (алгебра Ли $\mathfrak {so}(3)$)

Найдите коммутаторы матриц $9 \times 9$

Изоморфизм алгебр Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ и $\mathfrak {so}(3,\mathbb {C})$ имеет вид

Пусть $z \in \mathbb {C}$. Найдите

Рассмотрим четырёхмерное векторное пространство с базисом $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$, $e_{4}$. Предположим, что ненулевые коммутаторы заданы как

Определяют ли эти соотношения алгебру Ли? Например, мы имеем

Если да, найдите присоединённое представление.

Пусть $A$, $B$, $C$ — ненулевые матрицы $n \times n$. Предположим, что $[A,B] = 0_{n}$ и $[C,A] = 0_{n}$. Можем ли мы заключить, что $[B,C] = 0_{n}$? Полезно ли здесь тождество Якоби

?

В разложении простой алгебры Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R})$ находим матрицы $3 \times 3$

где $a_{jk}, b_{jk} \in \mathbb {R}$. Найдите коммутаторы $[A,A']$, $[B,B']$ и $[A,B]$. Обсудите. Заметим, что

Таким образом, матрица коммутатора $[A,B]$ имеет вид матрицы $B$.

Пусть $\sigma_{1}$, $\sigma_{2}$, $\sigma_{3}$ — матрицы Паули со следующими коммутационными соотношениями

Таким образом, $\mathfrak {su}(2) = \operatorname {span}\{ \, i\sigma_{1}, i\sigma_{2}, i\sigma_{3} \, \}$. Тогда

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$. Покажите, что матрицы

удовлетворяют коммутационным соотношениям

Рассмотрим четырёхмерное вещественное векторное пространство с базисом $e_{0}$, $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$. Алгебра гёделевых кватернионов $\mathbb {G}$ определяется некоммутативным умножением

Пусть $q_{0}$, $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$ — произвольные вещественные числа. Назовём вектор

гёделевым кватернионом. Определим базис

Покажите, что $e_{jk}$ удовлетворяют закону умножения

Покажите, что любой гёделев кватернион $q$ можно записать в виде

Покажите, что

является матричным представлением.