Банк задач по математике

Задача 19.1.1

Рассмотрим матрицы $n \times n$ $E_{ij}$ , имеющие 1 в позиции $(i,j)$ и 0 в остальных позициях, где $i, j = 1, \ldots , n$ (элементарные матрицы). Вычислите коммутатор. Обсудите.

?

Задача 19.1.2

Рассмотрим векторное пространство матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ и три матрицы $2 \times 2$ со следом, равным 0

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Покажите, что мы имеем базис алгебры Ли.

?

Задача 19.1.3

Рассмотрим матрицы

h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

e = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют базис алгебры Ли.

?

Задача 19.1.4

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Вычислите $\operatorname {tr}([A,B])$ . Обсудите.

?

Задача 19.1.5

Матрица $X$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ называется косоэрмитовой, если $X^{*} = -X$ . Покажите, что коммутатор двух косоэрмитовых матриц снова является косоэрмитовым. Обсудите.

?

Задача 19.1.6

Алгебра Ли $\mathfrak {su}(m)$ состоит из всех матриц $X$ размера $m \times m$ над $\mathbb {C}$ с условиями $X^{*} = -X$ (т.е. $X$ косоэрмитова) и $\operatorname {tr}(X) = 0$ . Заметим, что $\mathrm{exp}\left(X\right)$ является унитарной матрицей. Найдите базис для $\mathfrak {su}(3)$ .

?

Задача 19.1.7

Любой фиксированный элемент $X$ алгебры Ли $L$ задаёт линейное преобразование

\operatorname {ad}(X): Z \to [X,Z] \quad \text{для любого} \quad Z \in L.

Покажите, что для любого $K \in L$ выполняется

[\operatorname {ad}(Y), \operatorname {ad}(Z)]K = \operatorname {ad}([Y,Z])K.

Линейное отображение $\operatorname {ad}$ задаёт представление алгебры Ли, известное как присоединённое представление.

?

Задача 19.1.8

(i)(ii)

Существует лишь одна некоммутативная алгебра Ли $L$ размерности 2. Если $x$ , $y$ — образующие (базис в $L$ ), то

[x,y] = x.

?

(i)

Найдите присоединённое представление этой алгебры Ли. Пусть $v$ , $w$ — два элемента алгебры Ли. Тогда мы определяем

\operatorname {ad}v(w) := [v,w]

и $w\operatorname {ad}v := [v,w]$ .

(ii)

Форма Киллинга определяется как

\kappa (x,y) := \operatorname {tr}(\operatorname {ad}x \operatorname {ad}y)

для всех $x, y \in L$ . Найдите форму Киллинга.

Задача 19.1.9

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим алгебру Ли $L = \mathfrak {sl}(2,\mathbb {F})$ с $\operatorname {char}(\mathbb {F}) \neq 2$ . В качестве стандартного базиса для $L$ возьмём три матрицы

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите коммутаторы.

(ii)

Найдите присоединённое представление $L$ в упорядоченном базисе $\{ \, E \; H \; F \, \}$ .

(iii)

Покажите, что $L$ проста. Если $L$ не имеет идеалов, кроме самой себя и $0$ , и, кроме того, $[L,L] \neq 0$ , то мы называем $L$ простой. Подпространство $I$ алгебры Ли $L$ называется идеалом алгебры $L$ , если из $x \in L$ , $y \in I$ следует $[x,y] \in I$ . Иными словами, покажите, что алгебра Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ не имеет собственных нетривиальных идеалов.

Задача 19.1.10

Рассмотрим четырёхмерную алгебру Ли $\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R})$ . Элементарные матрицы

e_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис $\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R})$ . Найдите присоединённое представление.

?

Задача 19.1.11

Покажите, что матрицы

J_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

образуют генераторы алгебры Ли. Проста ли эта алгебра Ли? Алгебра Ли называется простой, если она не содержит идеалов, отличных от $L$ и $0$ .

?

Задача 19.1.12

Корни полупростой алгебры Ли — это веса алгебры Ли, встречающиеся в её присоединённом представлении. Множество корней образует корневую систему и полностью определяется полупростой алгеброй Ли. Рассмотрим полупростую алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с генераторами

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите корни.

?

Задача 19.1.13

(i)(ii)(iii)(iv)

Простая алгебра Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ порождается матрицами

H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

с коммутаторами $[H,E] = 2E$ , $[H,F] = -2F$ и $[E,F] = H$ .

?

(i)

Определим

C := \frac{1}{2}H^{2} + EF + FE.

Найдите $C$ . Вычислите коммутаторы $[C,H]$ , $[C,E]$ , $[C,F]$ . Покажите, что $C$ можно записать в виде

C = \frac{1}{2}H^{2} + H + 2FE.

(ii)

Рассмотрим вектор в $\mathbb {R}^{2}$

\overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Вычислите векторы $H\overrightarrow {v}$ , $E\overrightarrow {v}$ , $F\overrightarrow {v}$ и $C\overrightarrow {v}$ . Дайте интерпретацию.

(iii)

Универсальная обёртывающая алгебра $U(\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}))$ алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ — это ассоциативная алгебра с генераторами $H$ , $E$ , $F$ и соотношениями

HE-EH = 2E, \qquad HF-FH = -2F, \qquad EF-FE = H.

Найдите базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ такой, чтобы все матрицы были обратимы. Найдите обратные матрицы для этих матриц. Приведите соотношения коммутации.

(iv)

Какие из матриц $E$ , $F$ , $H$ ненормальны? Используя линейные комбинации, найдите базис, в котором все элементы являются нормальными матрицами.

Задача 19.1.14

(i)(ii)

Пусть $\{ \, e, f \, \}$ с

e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

— базис алгебры Ли. Имеем $[e,f] = e$ .

?

(i)

Является ли $\{ \, e \otimes I_{2}, f \otimes I_{2} \, \}$ базисом алгебры Ли?

(ii)

Является ли $\{ \, e \otimes e, e \otimes f, f \otimes e, f \otimes f \, \}$ базисом алгебры Ли?

Задача 19.1.15

Известно, что

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

образуют упорядоченный базис простой алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ , причём

[E,H] = -2E, \qquad [E,F] = H, \qquad [F,H] = 2F.

Рассмотрим

\widetilde{E} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{H} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{F} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы $[\widetilde{E},\widetilde{H}]$ , $[\widetilde{E},\widetilde{F}]$ , $[\widetilde{F},\widetilde{H}]$ .

?

Задача 19.1.16

(i)(ii)(iii)

Матрицы $2 \times 2$

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

образуют базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с коммутационными соотношениями $[E,H] = -2E$ , $[E,F] = H$ , $[F,H] = 2F$ .

?

(i)

Пусть $\star$ — звёздное произведение. Образуют ли девять матриц $4 \times 4$

E \star E, \quad E \star F, \quad E \star H, \quad F \star E, \quad F \star F, \quad F \star H, \quad H \star E, \quad H \star F, \quad H \star H

базис алгебры Ли?

(ii)

Определим матрицы $4 \times 4$

\widetilde{H} := H \otimes I_{2} + I_{2} \otimes H, \qquad \widetilde{E} := E \otimes H^{-1} + H \otimes E, \qquad \widetilde{F} := F \otimes H^{-1} + H \otimes F.

Найдите коммутаторы $[\widetilde{H},\widetilde{E}]$ , $[\widetilde{H},\widetilde{F}]$ , $[\widetilde{E},\widetilde{F}]$ .

(iii)

Рассмотрим

\widetilde{H} = H \otimes I_{2} + I_{2} \otimes H, \qquad \widetilde{E} = E \otimes H + H \otimes E, \qquad \widetilde{F} = F \otimes H + H \otimes F.

Найдите коммутаторы $[\widetilde{H},\widetilde{E}]$ , $[\widetilde{H},\widetilde{F}]$ , $[\widetilde{E},\widetilde{F}]$ и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли. Изоморфна ли эта алгебра Ли алгебре $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ ?

Задача 19.1.17

Базис алгебры Ли $\mathfrak {su}(N)$ для нечётного $N$ можно построить из двух унитарных унимодулярных матриц $N \times N$

g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & \omega & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \omega ^{N-1} \end{pmatrix}, \qquad h = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}

где $\omega$ — первообразный корень $N$ -й степени из единицы, т.е. с периодом не меньшим $N$ , здесь взятый равным $\mathrm{exp}\left(4\pi i/N\right)$ . Очевидно, что

hg = \omega gh. \tag {1}

?

(i)

Найдите $g^{N}$ и $h^{N}$ .

(ii)

Найдите $\operatorname {tr}(g)$ .

(iii)

Пусть $\overrightarrow {m} = (m_{1},m_{2})$ , $\overrightarrow {n} = (n_{1},n_{2})$ и определим

\overrightarrow {m} \times \overrightarrow {n} := m_{1}n_{2} - m_{2}n_{1}

где $m_{1} = 0,1,\ldots ,N-1$ и $m_{2} = 0,1,\ldots ,N-1$ . Полное множество унитарных унимодулярных матриц $N \times N$

J_{m_{1},m_{2}} := \omega ^{m_{1}m_{2}/2}g^{m_{1}}h^{m_{2}}

достаточно для того, чтобы натянуть алгебру Ли $\mathfrak {su}(N)$ , где $J_{0,0} = I_{N}$ . Найдите $J^{*}$ .

(iv)

Вычислите $J_{\overrightarrow {m}}J_{\overrightarrow {n}}$ .

(v)

Найдите коммутатор $[J_{\overrightarrow {m}}, J_{\overrightarrow {n}}]$ .

Задача 19.1.18

Пусть $L$ — конечномерная алгебра Ли, а $Z(L)$ — центр $L$ . Покажите, что $\operatorname {ad}: L \to \mathfrak {gl}(L)$ является гомоморфизмом алгебры Ли $L$ с ядром $Z(L)$ .

?

Задача 19.1.19

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$

A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Вычислите коммутатор $C = [A,B]$ и проверьте, можно ли представить $C$ в виде линейной комбинации $A$ и $B$ . Если да, то мы имеем базис алгебры Ли.

?

Задача 19.1.20

(i)(ii)

Базис Шевалле для полупростой алгебры Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R})$ задаётся формулами

X_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

Y_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

H_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad H_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

где $Y_{j} = X_{j}^{T}$ для $j = 1,2,3$ . Алгебра Ли имеет ранг 2 благодаря $H_{1}$ , $H_{2}$ и $[H_{1},H_{2}] = 0_{3}$ . Другой базис можно образовать, рассмотрев линейные комбинации

U_{j} = X_{j}+Y_{j}, \qquad V_{j} = X_{j}-V_{j}.

?

(i)

Найдите таблицу коммутаторов.

(ii)

Вычислите векторы коммутаторов

\begin{pmatrix} {[H_{1},X_{1}]} \\[H_{2},X_{1}] \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} {[H_{1},X_{2}]} \\[H_{2},X_{2}] \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} {[H_{1},X_{3}]} \\[H_{2},X_{3}] \end{pmatrix}

и тем самым найдите корни.

Задача 19.1.21

Рассмотрим матрицы размера $3 \times 3$

h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

e = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют базис алгебры Ли.

?

Задача 19.1.22

Рассмотрим две матрицы размера $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

где $A$ — матрица Паули $\sigma_{3}$ , а $B$ — матрица Паули $\sigma_{1}$ . Две матрицы $A$ , $B$ линейно независимы. Пусть $A$ , $B$ — образующие алгебры Ли. Классифицируйте порождённую алгебру Ли.

?

Задача 19.1.23

Супералгебра $\mathfrak {gl}(1|1)$ содержит две чётные (обозначаемые $H$ и $Z$ ) и две нечётные (обозначаемые $E$ , $F$ ) образующие. Выполняются следующие соотношения коммутации и антикоммутации

[Z,E] = [Z,F] = [Z,H] = 0, \qquad [H,E] = E, \qquad [H,F] = -F, \qquad [E,F]_{+} = Z

и $E^{2} = F^{2} = 0$ . Найдите представление матрицами размера $2 \times 2$ .

?

Задача 19.1.24

(i)(ii)(iii)(iv)

Базис простой алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ задаётся бесследовыми матрицами размера $2 \times 2$

X_{1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} {-1} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}, \qquad X_{3} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} {0} & {1} \\ {-1} & {0} \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите коммутаторы $[X_{1},X_{2}]$ , $[X_{2},X_{3}]$ , $[X_{3},X_{1}]$ .

(ii)

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(zX_{1}\right)$ , $\mathrm{exp}\left(zX_{2}\right)$ , $\mathrm{exp}\left(zX_{3}\right)$ .

(iii)

Пусть $u, v, r \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

g(u,v,r) = e^{uX_{3}}e^{rX_{2}}e^{vX_{3}}

= e^{r/2}\begin{pmatrix} {-\sin (u/2)\sin (v/2)} & {\cos (v/2)\sin (u/2)} \\ {-\cos (u/2)\sin (v/2)} & {\cos (u/2)\cos (v/2)} \end{pmatrix}

+ e^{-r/2}\begin{pmatrix} {\cos (u/2)\cos (v/2)} & {\cos (u/2)\sin (v/2)} \\ {-\cos (v/2)\sin (u/2)} & {-\sin (u/2)\sin (v/2)} \end{pmatrix}.

(iv)

Найдите $g(u,v,r)^{-1}$ .

Задача 19.1.25

Рассмотрим полупростую алгебру Ли $\mathfrak {sl}(n+1,\mathbb {F})$ . Пусть $E_{i,j}$ ( $i,j \in \{ 1,2,\ldots ,n+1\}$ ) обозначает стандартный базис, т.е. $(n+1) \times (n+1)$ матрицы, все элементы которых равны нулю, кроме элемента в $i$ -й строке и $j$ -м столбце, который равен единице. Мы можем построить базис Картана–Вейля с помощью

H_{j} := E_{j,j} - E_{j+1,j+1}, \qquad j \in \{ 1,2,\ldots ,n\} .

Покажите, что $E_{i,j}$ являются корневыми векторами при $i \neq j$ , т.е. существует $\lambda_{H,i,j} \in \mathbb {F}$ такое, что

[H,E_{i,j}] = \lambda _{H,i,j}E_{i,j}

для всех $H \in \operatorname {span}\{ \, H_{1}, \ldots , H_{n} \, \}$ .

?

Задача 19.1.26

(i)(ii)

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb {R}^{3}$ и векторное произведение $\times$ . Векторное произведение неассоциативно. Ассоциатор трёх векторов $\overrightarrow {u}$ , $\overrightarrow {v}$ , $\overrightarrow {w}$ определяется как

\operatorname {ass}(\overrightarrow {u} \times (\overrightarrow {v} \times \overrightarrow {w})) := (\overrightarrow {u} \times \overrightarrow {v}) \times \overrightarrow {w} - \overrightarrow {u} \times (\overrightarrow {v} \times \overrightarrow {w}).

Ассоциатор измеряет нарушение ассоциативности.

?

(i)

Рассмотрим единичные векторы

\overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите ассоциатор.

(ii)

Рассмотрим нормированные векторы

\overrightarrow {u} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {w} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите ассоциатор.

Задача 19.1.27

Рассмотрим векторы в векторном пространстве $\mathbb {R}^{3}$ и векторное произведение $\times$ . Рассмотрим отображение векторов из $\mathbb {R}^{3}$ в кососимметрические матрицы размера $3 \times 3$

\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите векторное произведение

\begin{pmatrix} a_{2} \\ b_{2} \\ c_{2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1} \\ b_{1} \\ c_{1} \end{pmatrix}

и коммутатор $[M_{1},M_{2}]$ , где

M_{1} = \begin{pmatrix} 0 & c_{1} & -b_{1} \\ -c_{1} & 0 & a_{1} \\ b_{1} & -a_{1} & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_{2} = \begin{pmatrix} 0 & c_{2} & -b_{2} \\ -c_{2} & 0 & a_{2} \\ b_{2} & -a_{2} & 0 \end{pmatrix}.

Обсудите.

?

Задача 19.1.28

Базис алгебры Ли $\mathfrak {su}(3)$ задаётся восемью косоэрмитовыми матрицами размера $3 \times 3$

X_{1} = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

X_{3} = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix},

X_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{6} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},

X_{7} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{8} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}.

Найдите

\sum _{j=1}^{8}(X_{j} \otimes X_{j}), \qquad \sum _{j=1}^{8}((X_{j}X_{k}) \otimes X_{j}).

Выразите результаты в виде произведений Кронекера двух матриц размера $3 \times 3$ .

?

Задача 19.1.29

Рассмотрим некоммутативную двумерную алгебру Ли с $[A,B] = A$ и

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Покажите, что матрицы

\{ \, A \otimes I_{2} + I_{2} \otimes A, \; B \otimes I_{2} + I_{2} \otimes B \, \}

также образуют некоммутативную алгебру Ли относительно коммутатора. Обсудите.

?

Задача 19.1.30

Рассмотрим три матрицы размера $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

которые удовлетворяют соотношениям коммутации $[A,B] = C$ , $[B,C] = A$ , $[C,A] = B$ . Таким образом, мы имеем базис простой алгебры Ли $\mathfrak {so}(3)$ . Вычислите коммутаторы

[A \otimes I_{3}, B \otimes I_{3}], \qquad [B \otimes I_{3}, C \otimes I_{3}], \qquad [C \otimes I_{3}, A \otimes I_{3}].

?

Задача 19.1.31

(i)(ii)

?

(i)

Алгебра Гейзенберга $\mathfrak {h}(3)$ — это трёхмерная некоммутативная алгебра Ли с базисом $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ и

[E_{1},E_{2}] = E_{3}, \qquad [E_{1},E_{3}] = [E_{2},E_{3}] = 0.

Из матричного представления

T = \begin{pmatrix} 0 & t_{1} & t_{3} \\ 0 & 0 & t_{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbb {R}

элемента $T = t_{1}E_{1}+t_{2}E_{2}+t_{3}E_{3}$ из $\mathfrak {h}(3)$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(T\right)$ .

(ii)

Соответствующая группа Ли $H(3)$ — это группа верхнетреугольных матриц $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали

H(3) = \left\{ \, g = \begin{pmatrix} 1 & \alpha _{1} & \alpha _{3} \\ 0 & 1 & \alpha _{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, \right\} .

Найдите $g^{-1}$ и $gTg^{-1}$ .

Задача 19.1.32

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{r}$ — матрицы $n \times n$ , образующие базис некоммутативной алгебры Ли. Пусть $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{s}$ — матрицы $n \times n$ , образующие базис коммутативной алгебры Ли. Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера, и образуем все элементы

A_{j} \otimes B_{k}, \qquad j = 1, \ldots , r, \quad k = 1, \ldots , s.

Вычислите коммутаторы

[A_{j} \otimes B_{k}, A_{\ell } \otimes B_{m}], \qquad j,\ell = 1,\ldots ,r, \quad k,m = 1,\ldots ,s.

Обсудите.

?

Задача 19.1.33

Рассмотрим алгебру Гейзенберга $\mathfrak {h}(1)$ с образующими, заданными матрицами $n \times n$ $H$ , $X_{1}$ , $X_{2}$ , и коммутационными соотношениями

[H,X_{1}] = 0_{n}, \qquad [H,X_{2}] = 0_{n}, \qquad [X_{1},X_{2}] = H.

Найдите коммутаторы для матриц $H \otimes I_{n}$ , $X_{1} \otimes I_{n}$ , $X_{2} \otimes I_{n}$ .

?

Задача 19.1.34

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ . Вычислите коммутатор

[A \otimes I_{n} + I_{n} \otimes A, B \otimes B]

и выразите результат через коммутатор $[A,B]$ .

(ii)

Предположим, что $[A,B] = B$ , т.е. $A$ и $B$ образуют базис двумерной алгебры Ли. Выразите результат из (i), используя $[A,B] = B$ . Обсудите.

Задача 19.1.35

Пусть $L$ — конечномерная алгебра Ли. Пусть $C^{\infty }(S^{1})$ — множество всех бесконечно дифференцируемых функций, где $S^{1}$ — многообразие единичной окружности. В произведении пространств $L \otimes C^{\infty }(S^{1})$ определим скобку Ли ( $g_{1}, g_{2} \in L$ и $f_{1}, f_{2} \in C^{\infty }(S^{1})$ )

[g_{1} \otimes f_{1}, g_{2} \otimes f_{2}] := [g_{1},g_{2}] \otimes (f_{1}f_{2}).

Вычислите

[g_{1} \otimes f_{1}, [g_{2} \otimes f_{2}, g_{3} \otimes f_{3}]] + [g_{3} \otimes f_{3}, [g_{1} \otimes f_{1}, g_{2} \otimes f_{2}]] + [g_{2} \otimes f_{2}, [g_{3} \otimes f_{3}, g_{1} \otimes f_{1}]].

?

Задача 19.1.36

Элементы (образующие) $Z_{1}, Z_{2}, \ldots , Z_{r}$ $r$ -мерной алгебры Ли удовлетворяют условиям

[Z_{\mu }, Z_{\nu }] = \sum _{\tau =1}^{r} c^{\tau }_{\mu \nu }Z_{\tau }

с $c^{\tau }_{\mu \nu } = -c^{\tau }_{\nu \mu }$ , где $c^{\tau }_{\mu \nu }$ называются структурными константами. Пусть $A$ — произвольная линейная комбинация элементов

A = \sum _{\mu =1}^{r} a^{\mu }Z_{\mu }.

Предположим, что $X$ — некоторая другая линейная комбинация, такая что

X = \sum _{\nu =1}^{r} b^{\nu }Z_{\nu } \qquad \text{и} \qquad [A,X] = \rho X.

Это уравнение имеет форму уравнения на собственные значения, где $\rho$ — соответствующее собственное значение, а $X$ — соответствующий собственный вектор. Предположим, что алгебра Ли представлена матрицами. Найдите вековое уравнение для собственных значений $\rho$ .

?

Задача 19.1.37

Пусть $c^{\tau }_{\sigma \lambda }$ — структурные константы алгебры Ли. Определим

g_{\sigma \lambda } = g_{\lambda \sigma } = \sum _{\rho =1}^{r}\sum _{\tau =1}^{r} c^{\tau }_{\sigma \rho }c^{\rho }_{\lambda \tau } \qquad \text{и} \qquad g^{\sigma \lambda }g_{\sigma \lambda } = \delta ^{\lambda }_{\sigma }.

Алгебра Ли $L$ называется полупростой тогда и только тогда, когда $\operatorname {det}\left(\left|g_{\sigma \lambda }\right|\right) \neq 0$ . В дальнейшем предполагаем, что алгебра Ли полупроста. Определим

C := \sum _{\rho =1}^{r}\sum _{\sigma =1}^{r} g^{\rho \sigma }X_{\rho }X_{\sigma }.

Оператор $C$ называется оператором Казимира. Пусть $X_{\tau }$ — элемент алгебры Ли $L$ . Вычислите коммутатор $[C,X_{\tau }]$ .

?

Задачи главы