Задачи и решения по вводному и продвинутому матричному исчислению

Глава 18

Группы, группы Ли и матрицы

[89/51%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

18.1 · Задачи главы

18.2 · Дополнительные задачи

18.1 · Задачи главы[45/100%]

Задача 18.1.1

Пусть $\phi \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы $2 \times 2$

I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U(\phi ) = \begin{pmatrix} 0 & e^{i\phi } \\ e^{-i\phi } & 0 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.2

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрица $2 \times 2$

U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{pmatrix}

унитарна.

(ii)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $U$ .

(iii)

Найдите группу, порождённую $U$ .

(iv)

Найдите группу, порождённую $U \otimes U$ .

Задача 18.1.3

Найдите группу, порождённую матрицами $3 \times 3$

G_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad G_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Положим $G_{0} = G_{1}^{2} = I_{3}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.4

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим группу перестановок $S_{3}$ , состоящую из 6 элементов. Матричные представления перестановок $(12)$ и $(13)$ имеют вид

(12) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad (13) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли построить остальные перестановки $S_{3}$ из матричных произведений этих двух матриц?

(ii)

Рассмотрим две матрицы перестановок $3 \times 3$

C_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли получить оставшиеся четыре матрицы $3 \times 3$ из $C_{1}$ и $A$ с помощью умножения матриц?

Задача 18.1.5

Найдите группу, порождённую двумя матрицами $2 \times 2$

\sigma _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad R = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Коммутативна ли эта группа?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.6

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что множество матриц

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C_{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \quad C_{3}^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix},

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}

образует группу $G$ относительно умножения матриц, где $C_{3}^{-1}$ — обратная матрица к $C_{3}$ .

(ii)

Найдите определитель всех этих матриц. Образует ли множество чисел

\left\{ \operatorname {det}\left(E\right), \ \operatorname {det}\left(C_{3}\right), \ \operatorname {det}\left(C_{3}^{-1}\right), \ \operatorname {det}\left(\sigma _{1}\right), \ \operatorname {det}\left(\sigma _{2}\right), \ \operatorname {det}\left(\sigma _{3}\right)\right\}

группу относительно умножения?

(iii)

Найдите две собственные подгруппы.

(iv)

Найдите разложение по правым смежным классам. Найдите разложение по левым смежным классам.

Разложение по правым смежным классам получается следующим образом: пусть $G$ — конечная группа порядка $g$ , имеющая собственную подгруппу $\mathcal{H}$ порядка $h$ . Возьмём некоторый элемент $g_{2}$ группы $G$ , не принадлежащий подгруппе $\mathcal{H}$ , и составим правый смежный класс $\mathcal{H}g_{2}$ . Если $\mathcal{H}$ и $\mathcal{H}g_{2}$ не исчерпывают группу $G$ , возьмём некоторый элемент $g_{3}$ группы $G$ , не являющийся элементом ни $\mathcal{H}$ , ни $\mathcal{H}g_{2}$ , и составим правый смежный класс $\mathcal{H}g_{3}$ . Продолжим составлять правые смежные классы $\mathcal{H}g_{j}$ таким образом. Если $G$ — конечная группа, все элементы $G$ будут исчерпаны за конечное число шагов, и мы получим разложение по правым смежным классам.

Задача 18.1.7

Мы знаем, что множество матриц $2 \times 2$

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C_{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \quad C_{3}^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}

образует группу $G$ относительно умножения матриц, где $C_{3}^{-1}$ — обратная матрица к $C_{3}$ . Множество матриц (матрицы перестановок $3 \times 3$ )

I = P_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

P_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

P_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

также образует группу $G$ относительно умножения матриц. Изоморфны ли эти две группы? Гомоморфизм, являющийся взаимно однозначным отображением на, называется изоморфизмом.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.8

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрицы $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

(ii)

Покажите, что матрицы $4 \times 4$

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

V = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad W = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

(iii)

Покажите, что эти две группы (так называемая четверная группа, Vierergruppe) изоморфны.

Задача 18.1.9

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

(ii)

Коммутативна ли эта группа?

(iii)

Найдите группу, изоморфную данной.

Задача 18.1.10

Пусть $a, b, c, d \in \mathbb {Z}$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

с $ad - bc = 1$ образуют группу относительно умножения матриц.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.11

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и $c \neq 0$ . Образуют ли матрицы $4 \times 4$

A(c) = \begin{pmatrix} c & c & c & c \\ c & c & c & c \\ c & c & c & c \\ c & c & c & c \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

(ii)

Найдите собственные значения $A(c)$ .

Задача 18.1.12

(i)(ii)(iii)(iv)(v)

Группа Гейзенберга — это множество верхних матриц $3 \times 3$ вида

H = \begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

где $a, b, c$ можно брать из некоторого (произвольного) коммутативного кольца.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите обратную матрицу к $H$ .

(ii)

Для двух элементов $x, y$ группы $G$ определим коммутатор $x$ и $y$ , обозначаемый $[x, y]$ , как элемент $x^{-1}y^{-1}xy$ . Если $a, b, c$ — целые числа (в кольце $\mathbb {Z}$ целых чисел), мы получаем дискретную группу Гейзенберга $H_{3}$ . Она имеет два образующих

x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите $z = xyx^{-1}y^{-1}$ . Покажите, что $xz = zx$ и $yz = zy$ , т.е. $z$ является образующей центра $H_{3}$ .

(iii)

Производная подгруппа (или коммутант) группы $G$ — это подгруппа $[G, G]$ , порождённая множеством коммутаторов всех пар элементов $G$ . Найдите $[G, G]$ для группы Гейзенберга.

(iv)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

и $a, b, c \in \mathbb {R}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ .

(v)

Группа Гейзенберга — это простая связная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц

L = \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы $[L, L']$ и $[[L, L'], L']$ , где $[L, L'] := LL' - L'L$ .

Задача 18.1.13

Определим

M : \mathbb {R}^{3} \rightarrow V := \left\{ \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {\sigma } : \overrightarrow {a} \in \mathbb {R}^{3}\right\} \subset \left\{ 2 \times 2 \text{ комплексные матрицы}\right\}

\overrightarrow {a} \rightarrow M(\overrightarrow {a}) = \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {\sigma } = a_{1}\sigma _{1} + a_{2}\sigma _{2} + a_{3}\sigma _{3}.

Это линейная биекция между $\mathbb {R}^{3}$ и $V$ . Каждый элемент $U \in SU(2)$ определяет линейное отображение $S(U)$ на $\mathbb {R}^{3}$ по формуле

M(S(U)\overrightarrow {a}) = U^{-1}M(\overrightarrow {a})U.

Правая часть очевидно линейна по $\overrightarrow {a}$ . Покажите, что $U^{-1}M(\overrightarrow {a})U$ принадлежит $V$ , то есть имеет вид $M(\overrightarrow {b})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.14

Покажите, что ненормальные матрицы $2 \times 2$

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

сопряжены в $SL(2, \mathbb {C})$ , но не сопряжены в $SL(2, \mathbb {R})$ (вещественных матрицах в $SL(2, \mathbb {C})$ ).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.15

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $G$ — конечное множество вещественных матриц $n \times n$ $\left\{ A_{j}\right\}$ , $1 \leq j \leq r$ , образующее группу относительно умножения матриц. Предположим, что

\operatorname {tr}\left(\sum _{j=1}^{r} A_{j}\right) \equiv \sum _{j=1}^{r} \operatorname {tr}(A_{j}) = 0

где $\operatorname {tr}$ обозначает след. Покажите, что

\sum _{j=1}^{r} A_{j} = 0_{n}.

(ii)

Пусть $\omega := \mathrm{exp}\left(2\pi i/3\right)$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

B_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B_{2} = \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega ^{2} \end{pmatrix}, \quad B_{3} = \begin{pmatrix} \omega ^{2} & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}

B_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B_{5} = \begin{pmatrix} 0 & \omega \\ \omega ^{2} & 0 \end{pmatrix}, \quad B_{6} = \begin{pmatrix} 0 & \omega ^{2} \\ \omega & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Покажите, что

\sum _{j=1}^{6} \operatorname {tr}(B_{j}) = 0.

Задача 18.1.16

(i)(ii)

Рассмотрим унитарную матрицу $2 \times 2$

J := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ такие, что $A^{T}JA = J$ .

(ii)

Образуют ли эти матрицы $2 \times 2$ группу относительно умножения матриц?

Задача 18.1.17

Пусть $J$ — матрица размера $2n \times 2n$

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Покажите, что матрицы $A$ размера $2n \times 2n$ , удовлетворяющие $A^{T}JA = J$ , образуют группу относительно умножения матриц. Эта группа называется симплектической группой $Sp(2n)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.18

Матрица Паули $\sigma_{1}$ не только эрмитова, унитарна и обратна самой себе, но и является матрицей перестановки. Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ такие, что $\sigma_{1}^{-1}A\sigma_{1} = A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.19

Для векторного пространства матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ можно ввести скалярное произведение посредством

\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{T}).

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ матриц $2 \times 2$ с определителем 1. Найдите $X, Y \in SL(2, \mathbb {R})$ такие, что

\left\langle X, Y \right\rangle = 0

где ни $X$ , ни $Y$ не может быть единичной матрицей $2 \times 2$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.20

Числа $1, i, -1, -i$ образуют группу относительно умножения. Образуют ли векторы

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ -1 \\ -i \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} i \\ -1 \\ -i \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ -i \\ 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{4} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ i \\ -1 \end{pmatrix}

ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{4}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.21

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим группу $G$ всех матриц перестановок $4 \times 4$ . Покажите, что

\frac{1}{\left|G\right|} \sum _{g \in G} g

является матрицей проектирования. Здесь $\left|G\right|$ обозначает число элементов группы.

(ii)

Рассмотрим подгруппу, заданную матрицами

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что

\frac{1}{\left|G\right|} \sum _{g \in G} g

является матрицей проектирования.

Задача 18.1.22

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} r_{11}e^{i\phi _{11}} & r_{12}e^{i\phi _{12}} \\ r_{21}e^{i\phi _{21}} & r_{22}e^{i\phi _{22}} \end{pmatrix}

где $r_{jk} \in \mathbb {R}$ , $r_{jk} > 0$ при $j, k = 1, 2$ и $r_{12} = r_{21}$ . Также пусть $\phi_{jk} \in \mathbb {R}$ при $j, k = 1, 2$ и наложим условие $\phi_{12} = \phi_{21}$ . Каковы условия на $r_{jk}$ и $\phi_{jk}$ , при которых $I_{2} + iA$ является унитарной матрицей?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.23

Покажите, что четыре матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Является ли эта группа абелевой?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.24

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим симметричную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{11} \end{pmatrix}, \qquad a_{11}, a_{12} \in \mathbb {R}.

Найдите все обратимые матрицы $S$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ такие, что $SAS^{-1} = A$ . Очевидно, единичная матрица $I_{2}$ является такой матрицей.

(ii)

Образуют ли матрицы $S$ группу относительно умножения матриц? Докажите или опровергните.

(iii)

Используя результат из (i), вычислите $(S \otimes S)(A \otimes A)(S \otimes S)^{-1}$ . Обсудите.

Задача 18.1.25

Найдите все матрицы $S$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ с определителем 1 (т.е. являющиеся элементами $SL(2, \mathbb {C})$ ) такие, что

S^{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Очевидно, единичная матрица $2 \times 2$ является таким элементом.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.26

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

подобны. Это означает: найдите обратимую матрицу $2 \times 2$ $S$ , т.е. $S \in GL(2, \mathbb {R})$ , такую что $SAS^{-1} = B$ .

(ii)

Существует ли обратимая матрица $2 \times 2$ $S$ такая, что

(S \otimes S)(A \otimes A)(S^{-1} \otimes S^{-1}) = B \otimes B?

Задача 18.1.27

Найдите все $M \in GL(2, \mathbb {C})$ такие, что

M^{-1} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Таким образом мы рассматриваем инвариантность матрицы спина Паули $\sigma_{2}$ . Покажите, что эти матрицы образуют группу относительно умножения матриц.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.28

(i)(ii)(iii)(iv)

Рассмотрим циклическую матрицу $3 \times 3$

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрицы $C, C^{2}, C^{3}$ образуют группу относительно умножения матриц. Является ли эта группа коммутативной?

(ii)

Найдите собственные значения матрицы $C$ и покажите, что они образуют группу относительно умножения.

(iii)

Найдите нормированные собственные значения матрицы $C$ . Покажите, что они образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{3}$ .

(iv)

Используя собственные значения и нормированные собственные векторы, запишите спектральное разложение матрицы $C$ .

Задача 18.1.29

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите группу, порождённую матрицей $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Является ли эта группа коммутативной? Найдите определитель всех этих матриц. Образуют ли эти (вещественные) числа группу относительно умножения?

(ii)

Найдите группу, порождённую матрицей $4 \times 4$

A \otimes A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц.

Задача 18.1.30

Пусть $n \geq 2$ . Обратимая целочисленная матрица $A \in GL_{n}(\mathbb {Z})$ порождает тороидальный автоморфизм $f : \mathbb {T}^{n} \rightarrow \mathbb {T}^{n}$ по формуле

f \circ \pi = \pi \circ A, \qquad \pi : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {T}^{n} := \mathbb {R}^{n}/\mathbb {Z}^{n}.

Множество неподвижных точек отображения $f$ задаётся как

\# \text{Fix}(f) := \left\{ x^{*} \in \mathbb {T}^{n} : f(x^{*}) = x^{*}\right\} .

Теперь имеем: если $\operatorname {det}\left(I_{n}-A\right) \neq 0$ , то

\# \text{Fix}(f) = \left|\operatorname {det}\left(I_{n}-A\right)\right|.

Пусть $n = 2$ и

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(I_{2}-A\right) \neq 0$ , и найдите $\# \text{Fix}(f)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.31

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы $2n \times 2n$

S = \begin{pmatrix} I_{n} & I_{n} \\ A & I_{n}+A \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{S} = \begin{pmatrix} A+2I_{n} & -I_{n} \\ I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Можно ли найти обратимую матрицу $2n \times 2n$ $T$ такую, что $\widetilde{S} = T^{-1}ST$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.32

Пусть $R \in \mathbb {C}^{m \times m}$ и $S \in \mathbb {C}^{n \times n}$ — нетривиальные инволюции. Это означает, что $R = R^{-1} \neq \pm I_{m}$ и $S = S^{-1} \neq I_{n}$ . Матрица $A \in \mathbb {C}^{m \times n}$ называется $(R, S)$ -симметричной, если $RAS = A$ . Рассмотрим случай $m = n = 2$ и матрицы спина Паули

R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {C}$ такие, что $RAS = A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.33

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {R}$ такие, что $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ (т.е. $A$ является элементом группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ ) и

A \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.34

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим эрмитову матрицу, являющуюся элементом некомпактной группы Ли $SO(1,1)$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & \sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Найдите преобразование Кэли

B = (A-iI_{2})(A+iI_{2})^{-1}.

Заметим, что $B$ — унитарная матрица и, следовательно, элемент компактной группы Ли $U(n)$ . Найдите $B(\alpha \rightarrow \infty )$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.35

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим группу Ли $SL(n, \mathbb {C})$ , т.е. $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ с определителем 1. Можно ли найти $A, B \in SL(n, \mathbb {C})$ такие, что $[A, B]$ является элементом $SL(n, \mathbb {C})$ ?

(ii)

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицы

A(z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ z & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Обе являются элементами некомпактной группы Ли $SL(2, \mathbb {C})$ . Можно ли найти $z \in \mathbb {C}$ такое, что коммутатор $[A(z), B]$ снова является элементом $SL(2, \mathbb {C})$ ?

Задача 18.1.36

Группа Ли $SU(2)$ определяется как

SU(2) := \left\{ U \ 2 \times 2 \text{ матрица} : UU^{*} = I_{2}, \ \operatorname {det}\left(U\right) = 1\right\} .

Пусть (3-сфера)

S^{3} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \mathbb {R}^{4} : x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2} = 1\right\} .

Покажите, что $SU(2)$ можно отождествить как вещественное многообразие с 3-сферой $S^{3}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.37

(i)(ii)(iii)(iv)(v)

Рассмотрим матрицу ( $\alpha \in \mathbb {R}$ )

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Является ли $A(\alpha )$ элементом $SO(2)$ ?

(ii)

Рассмотрим преобразование

\begin{pmatrix} x_{1}' \\ x_{2}' \end{pmatrix} = A(\alpha ) \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}.

Верно ли, что $(x_{1}')^{2}+(x_{2}')^{2} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ ? Докажите или опровергните.

(iii)

Определим звёздное произведение

A(\alpha ) \star A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & 0 & 0 & \sin (\alpha ) \\ 0 & \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) & 0 \\ 0 & \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & 0 & 0 & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Является ли $A(\alpha ) \star A(\alpha )$ элементом $SO(4)$ ?

(iv)

Является ли $A(\alpha ) \otimes A(\alpha )$ элементом $SO(4)$ ?

(v)

Найдите

X = \left.\frac{dA(\alpha )}{d\alpha }\right|_{\alpha =0}

а затем $B(\alpha ) = \mathrm{exp}\left(\alpha X\right)$ . Сравните $B(\alpha )$ и $A(\alpha )$ и обсудите.

Задача 18.1.38

Даны две $2 \times 2$ матрицы $A$ и $B$ в группе Ли $GL(2, \mathbb {C})$ , т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$ , $\operatorname {det}\left(B\right) \neq 0$ . Действие $n \times n$ матрицы $M = (m_{jk})$ на многочлен $p(\overrightarrow {x}) \in \mathbf{R}_{n} = \mathbb {C}^{x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}}$ можно определить, положив

T_{M}p(\overrightarrow {x}) := p(\overrightarrow {x}M)

где $\overrightarrow {x}M$ — произведение вектора-строки $\overrightarrow {x}$ длины $n$ на $n \times n$ матрицу $M$ . Таким образом, $\overrightarrow {x}M$ снова является вектором-строкой. Обозначим через

\mathbf{R}_{4}^{GL(2,\mathbb {C}) \otimes GL(2,\mathbb {C})}

кольцо многочленов из $\mathbf{R}_{4}$ , инвариантных относительно действия $A \otimes B$ для всех пар $A, B \in GL(2, \mathbb {C})$ , т.е.

\mathbf{R}_{4}^{GL(2,\mathbb {C}) \otimes GL(2,\mathbb {C})} := \left\{ p \in \mathbf{R}_{4} : T_{A \otimes B}p(\overrightarrow {x}) = p(\overrightarrow {x})\right\} .

Это действие сохраняет степень и однородность. Рассмотрим многочлен

p(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+x_{4}x_{1}

A = B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что $T_{A \otimes B}p(\overrightarrow {x}) = p(\overrightarrow {x})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.39

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Тогда матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ -\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\beta ) & \sin (\beta ) \\ -\sin (\beta ) & \cos (\beta ) \end{pmatrix}

являются элементами группы Ли $SO(2)$ , а $A(\alpha ) \otimes B(\beta )$ является элементом группы Ли $SO(4)$ . Найдите «бесконечно малые образующие» $X$ и $Y$ такие, что

\mathrm{exp}\left(\alpha X+\beta Y\right) = A(\alpha ) \otimes B(\beta ).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.40

(i)(ii)

Топологическая группа $G$ — это одновременно группа и топологическое пространство, причём обе структуры связаны требованием, что отображения $x \mapsto x^{-1}$ (из $G$ в $G$ ) и $(x, y) \mapsto xy$ (из $G \times G$ в $G$ ) непрерывны. $G \times G$ наделяется топологией произведения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Дана топологическая группа $G$ , определим отображения

\phi (x) := xax^{-1}

\psi (x) := xax^{-1}a^{-1} \equiv [x, a].

Как связаны итерации отображений $\phi$ и $\psi$ ?

(ii)

Рассмотрим $G = SO(2)$ и

x = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

где $x, a \in SO(2)$ . Вычислите $\phi$ и $\psi$ . Обсудите.

Задача 18.1.41

Унитарные матрицы являются элементами группы Ли $U(n)$ . Соответствующая алгебра Ли $u(n)$ — это множество матриц с условием $X^{*} = -X$ . Важной подгруппой $U(n)$ является группа Ли $SU(n)$ с условием, что $\operatorname {det}\left(U\right) = 1$ . Унитарные матрицы

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

не являются элементами группы Ли $SU(2)$ , поскольку определители этих унитарных матриц равны $-1$ . Соответствующая алгебра Ли $su(n)$ группы Ли $SU(n)$ — это $n \times n$ матрицы, задаваемые условиями

X^{*} = -X, \qquad \operatorname {tr}(X) = 0.

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Тогда любую унитарную матрицу из $U(2)$ можно представить как

U(\alpha , \beta , \gamma , \delta ) = e^{i\alpha I_{2}}e^{-i\beta \sigma _{3}/2}e^{-i\gamma \sigma _{2}/2}e^{-i\delta \sigma _{3}/2}

где $0 \leq \alpha < 2\pi$ , $0 \leq \beta < 2\pi$ , $0 \leq \gamma \leq \pi$ и $0 \leq \delta < 2\pi$ . Вычислите правую часть.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.42

Рассмотрим следующие подгруппы группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть

K := \left\{ \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} : \theta \in [0, 2\pi )\right\}

A := \left\{ \begin{pmatrix} r^{1/2} & 0 \\ 0 & r^{-1/2} \end{pmatrix} : r > 0\right\}

N := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : t \in \mathbb {R}\right\} .

Любая матрица $m \in SL(2, \mathbb {R})$ может быть единственным образом записана в виде произведения $m = kan$ с $k \in K$ , $a \in A$ и $n \in N$ . Это разложение называется разложением Ивасавы и имеет естественное обобщение на $SL(n, \mathbb {R})$ , $n \geq 3$ . Обозначения подгрупп происходят от того, что $K$ — компактная подгруппа, $A$ — абелева подгруппа, а $N$ — нильпотентная подгруппа группы $SL(2, \mathbb {R})$ . Найдите разложение Ивасавы для матрицы

\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.1.43

(i)(ii)

Пусть $0 \leq \alpha < \pi /4$ . Рассмотрим преобразование

X(x, y, \alpha ) = \frac{1}{\sqrt{\cos (2\alpha )}}(x\cos (\alpha )+iy\sin (\alpha )),

Y(x, y, \alpha ) = \frac{1}{\sqrt{\cos (2\alpha )}}(-ix\sin (\alpha )+y\cos (\alpha )).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $X^{2}+Y^{2} = x^{2}+y^{2}$ .

(ii)

Образуют ли матрицы

\frac{1}{\sqrt{\cos (2\alpha )}} \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & i\sin (\alpha ) \\ -i\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Задача 18.1.44

(i)(ii)

Теорема двойственности Шура-Вейля утверждает, что если естественное представление унитарной группы $U(N)$ (или общей линейной группы $GL(n, \mathbb {C})$ ) тензорно умножается (кронекерово произведение) само на себя $n$ раз, то при совместном действии группы симметрий $S_{n}$ (матрицы перестановок) и $GL(n, \mathbb {C})$ это тензорное произведение раскладывается в прямую сумму неприводимых подпредставлений без кратностей, однозначно помеченных диаграммами Юнга. Пусть $n = 4$ . Рассмотрим матрицу перестановки (матрицу отражения)

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

и матрицу Адамара

U_{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

которая является элементом группы Ли $U(2)$ . Тогда

U_{H} \otimes U_{H} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $U(4)$ . Пусть

\overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} v_{1,1} \\ v_{1,2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} v_{2,1} \\ v_{2,2} \end{pmatrix}

— элементы $\mathbb {C}^{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите коммутатор $[P, U_{H} \otimes U_{H}]$ .

(ii)

Найдите $P(U_{H} \otimes U_{H})(\overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2})$ . Обсудите результат.

Задача 18.1.45

(i)(ii)

Алгебра октонионов $\mathcal{O}$ — это 8-мерная неассоциативная алгебра. Она определяется базисными элементами $e_{\mu }$ ( $\mu = 0, 1, \ldots , 7$ ) и таблицей их умножения. $e_{0}$ — единичный элемент. Мы используем греческие индексы $(\mu , \nu , \ldots )$ , когда включаем индекс 0, и латинские индексы $(i, j, k, \ldots )$ , когда его исключаем. Определим

\hat{e}_{k} := e_{4+k} \quad \text{для} \quad k = 1, 2, 3.

Правила умножения между базисными элементами октонионов $e_{\mu }$ задаются как

e_{i}e_{j} = -\delta _{ij}e_{0} + \sum _{k=1}^{3} \epsilon _{ijk}e_{k}, \qquad i, j, k = 1, 2, 3 \tag {1}

-e_{4}e_{i} = e_{i}e_{4} = \hat{e}_{i}, \qquad e_{4}\hat{e}_{i} = -\hat{e}_{i}e_{4} = e_{i}, \qquad e_{4}e_{4} = -e_{0}

\hat{e}_{i}\hat{e}_{j} = -\delta _{ij}e_{0} - \sum _{k=1}^{3} \epsilon _{ijk}e_{k}, \qquad i, j, k = 1, 2, 3

-\hat{e}_{j}e_{i} = e_{i}\hat{e}_{j} = -\delta _{ij}e_{4} - \sum _{k=1}^{3} \epsilon _{ijk}\hat{e}_{k}, \qquad i, j, k = 1, 2, 3

где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера, а $\epsilon_{ijk}$ равен $+1$ , если $(ijk)$ — чётная перестановка $(123)$ , $-1$ , если $(ijk)$ — нечётная перестановка $(123)$ , и 0 в остальных случаях. Формально мы можем обобщить умножение в виде

e_{\mu }e_{\nu } = g_{\mu \nu }e_{0} + \sum _{k=1}^{7} \gamma _{\mu \nu }^{k}e_{k}

где

g_{\mu \nu } = \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1), \qquad \gamma _{ij}^{k} = -\gamma _{ji}^{k}

при $\mu , \nu = 0, 1, \ldots , 7$ и $i, j, k = 1, 2, \ldots , 7$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что множество $\left\{ e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ является замкнутой ассоциативной подалгеброй.

(ii)

Покажите, что алгебра октонионов $\mathcal{O}$ неассоциативна.

18.2 · Дополнительные задачи[44/0%]

Задача 18.2.1

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $I_{2}, 0_{2}$ — единичная и нулевая матрицы размера $2 \times 2$ соответственно. Найдите группу, порождённую матрицей $4 \times 4$

M = \begin{pmatrix} 0_{2} & -I_{2} \\ I_{2} & 0_{2} \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите группу, порождённую матрицей $4 \times 4$

X = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения матрицы.

(iii)

Найдите группу, порождённую матрицей $6 \times 6$

B = \begin{pmatrix} 0_{2} & 0_{2} & I_{2} \\ I_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & I_{2} & 0_{2} \end{pmatrix}

относительно умножения матриц.

(iv)

Найдите группу (относительно умножения матриц), порождённую матрицей $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Коммутативна ли эта группа? Найдите определитель всех этих матриц из (i). Образуют ли эти числа группу относительно умножения? Найдите все собственные значения этих матриц. Образуют ли эти числа группу относительно умножения? Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(\alpha A\right)$ . Является ли $\mathrm{exp}\left(\alpha A\right)$ элементом $SL(4, \mathbb {R})$ ?

Задача 18.2.2

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Какая группа порождается двумя матрицами перестановок $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц? Заметьте, что $A^{2} = B^{2} = I_{3}$ .

(ii)

Найдите группу, порождённую матрицами перестановок $4 \times 4$

P_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Существует двадцать четыре матрицы перестановок $4 \times 4$ , которые образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 18.2.3

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ . Образуют ли матрицы $2 \times 2$

M(\alpha , \beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \beta ^{-1}\sin (\alpha ) \\ -\beta \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Заметьте, что $\operatorname {det}\left(M(\alpha , \beta )\right) = 1$ .

(ii)

Пусть $\alpha , \beta , \phi \in \mathbb {R}$ и $\alpha , \beta \neq 0$ . Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A(\alpha , \beta , \phi ) = \begin{pmatrix} \alpha \cos (\phi ) & -\beta \sin (\phi ) \\ \beta ^{-1}\sin (\phi ) & \alpha ^{-1}\cos (\phi ) \end{pmatrix}.

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

(iii)

Пусть $\alpha , \theta \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы

\begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & e^{i\theta }\sinh (\alpha ) \\ e^{-i\theta }\sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Являются ли эти матрицы унитарными?

(iv)

Пусть $\alpha , \beta , \tau \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы $2 \times 2$

\begin{pmatrix} e^{i(\alpha +\beta )}\cosh (\tau ) & e^{i(\alpha -\beta )}\sinh (\tau ) \\ e^{-i(\alpha -\beta )}\sinh (\tau ) & e^{-i(\alpha +\beta )}\cosh (\tau ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Задача 18.2.4

Образуют ли восемь матриц $2 \times 2$

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Если нет, добавьте матрицы так, чтобы получилась группа.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.5

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Образуют ли матрицы $4 \times 4$

g(\phi , \theta ) = \begin{pmatrix} e^{i\phi }\cosh (\theta ) & 0 & 0 & \sinh (\theta ) \\ 0 & e^{-i\phi }\cosh (\theta ) & \sinh (\theta ) & 0 \\ 0 & \sinh (\theta ) & e^{i\phi }\cosh (\theta ) & 0 \\ \sinh (\theta ) & 0 & 0 & e^{-i\phi }\cosh (\theta ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

(ii)

Образуют ли матрицы $4 \times 4$

g(\phi , \theta ) = \begin{pmatrix} e^{i\phi }\cos (\theta ) & 0 & 0 & -\sin (\theta ) \\ 0 & e^{-i\phi }\cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ 0 & \sin (\theta ) & e^{i\phi }\cos (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & 0 & 0 & e^{-i\phi }\cos (\theta ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Задача 18.2.6

Группа Ли $O(2)$ порождается вращением $R_{1}$ и отражением $R_{2}$

R_{1}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}, \qquad R_{2}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & -\cos (\theta ) \end{pmatrix}.

Покажите, что

\operatorname {tr}(R_{1}(\theta )) = 2\cos (\theta ), \quad \operatorname {tr}(R_{2}(\theta )) = 0, \quad \operatorname {det}\left(R_{1}(\theta )\right) = 1, \quad \operatorname {det}\left(R_{2}(\theta )\right) = -1

и $\operatorname {det}\left(R_{1}(\theta )R_{2}(\theta )\right) = -1$ , $\operatorname {tr}(R_{1}(\theta )R_{2}(\theta )) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.7

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все матрицы перестановок $P$ размера $3 \times 3$ такие, что

P^{-1} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют группу, т.е. подгруппу группы матриц перестановок размера $3 \times 3$ .

(ii)

Найдите все обратимые матрицы $B$ размера $2 \times 2$ с $\operatorname {det}\left(B\right) = 1$ такие, что

B \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 18.2.8

Докажите или опровергните: для любой матрицы перестановки её собственные значения образуют группу относительно умножения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.9

Пусть $\sigma_{j}$ ( $j = 0, 1, 2, 3$ ) — матрицы Паули, где $\sigma_{0} = I_{2}$ . Образуют ли матрицы $4 \times 4$

\begin{pmatrix} \sigma _{j} & 0_{2} \\ 0_{2} & \sigma _{k} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{j} \\ \sigma _{k} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad j, k = 0, 1, 2, 3

группу относительно умножения матриц? Если нет, добавьте элементы, чтобы получить группу.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.10

Пусть $\omega := \mathrm{exp}\left(2\pi i/4\right)$ . Рассмотрим унитарные матрицы $3 \times 3$

\Sigma = \begin{pmatrix} \omega & 0 & 0 \\ 0 & \omega ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{3} \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\Omega = \begin{pmatrix} -i/2 & (1+i)/2 & 1/2 \\ (1+i)/2 & 0 & (1-i)/2 \\ 1/2 & (1-i)/2 & i/2 \end{pmatrix}.

Образуют ли матрицы множества

\Lambda := \left\{ \Sigma ^{j}C^{k}\Omega ^{\ell } : 0 \leq j \leq 3, \ 0 \leq k \leq 1, \ 0 \leq \ell \leq 2\right\}

группу относительно умножения матриц?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.11

Рассмотрим множество матриц $2 \times 2$

\left\{ e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\} .

Тогда относительно умножения матриц мы имеем группу. Рассмотрим множество

\left\{ e \otimes e, \quad e \otimes a, \quad a \otimes e, \quad a \otimes a\right\} .

Покажите, что это множество образует группу относительно умножения матриц. Например, $(a \otimes a)(a \otimes a) = e \otimes e$ . Нейтральным элементом является $e \otimes e$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.12

Рассмотрим матрицу $2n \times 2n$

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Будем говорить, что матрица $H$ размера $2n \times 2n$ над $\mathbb {R}$ является гамильтоновой, если $(JH)^{T} = JH$ . Будем говорить, что матрица $S$ размера $2n \times 2n$ над $\mathbb {R}$ является симплектической, если $S^{T}JS = J$ . Покажите, что если $H$ гамильтонова, а $S$ симплектическая, то матрица $S^{-1}HS$ гамильтонова. Заметьте, что поскольку $S$ обратима, $S^{T}$ также обратима. Имеем $(JS^{-1}HS)^{T} = S^{T}H^{T}(S^{T})^{-1}J^{T}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.13

(i)(ii)

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ . Группа Гейзенберга $H_{3}(\mathbb {R})$ состоит из всех верхнетреугольных матриц $3 \times 3$ вида

M(\alpha , \beta , \gamma ) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & 1 & \beta \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

с умножением матриц в качестве композиции. Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы

A(t) = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $\left\{ A(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ , $\left\{ B(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ , $\left\{ C(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ являются однопараметрическими подгруппами в $H_{3}(\mathbb {R})$ .

(ii)

Покажите, что $\left\{ C(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ является центром $H_{3}(\mathbb {R})$ .

Задача 18.2.14

Пусть $\omega^{3} = 1$ . Какая группа порождается матрицами $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega \\ 0 & \omega ^{2} & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \omega \\ 0 & 1 & 0 \\ \omega ^{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \omega \\ 0 & 1 & 0 \\ \omega ^{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц? Является ли матрица $\Pi = \frac{1}{3}(A+B+C)$ проекционной матрицей?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.15

Рассмотрим шесть матриц перестановок $3 \times 3$ , обозначенных $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ , где $P_{0}$ — единичная матрица $3 \times 3$ . Найдите все тройки $(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})$ этих матриц перестановок такие, что $Q_{1}Q_{2}Q_{3} = Q_{3}Q_{2}Q_{1}$ , где $Q_{1} \neq Q_{2}$ , $Q_{2} \neq Q_{3}$ , $Q_{3} \neq Q_{1}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.16

(i)(ii)(iii)(iv)(v)(vi)

Пусть $n \geq 2$ и $\omega = \mathrm{exp}\left(2\pi i/n\right)$ , где $\omega$ — примитивный корень $n$ -й степени из единицы с $\omega^{n} = 1$ . Рассмотрим диагональную матрицу и матрицу перестановки соответственно

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & \omega & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \omega ^{n-1} \end{pmatrix}, \qquad P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $D^{n} = P^{n} = I_{n}$ .

(ii)

Покажите, что множество матриц $\left\{ D^{j}P^{k} : j, k = 0, 1, \ldots , n-1\right\}$ образует базис векторного пространства матриц $n \times n$ .

(iii)

Покажите, что $PD = \omega DP$ , $P^{j}D^{k} = \omega^{jk}D^{k}P^{j}$ .

(iv)

Найдите матрицу $X = \zeta P + \zeta^{-1}P^{-1} + \eta D + \eta^{-1}D^{-1}$ и вычислите её собственные значения.

(v)

Пусть $U$ — унитарная матрица

U = \frac{1}{\sqrt{n}}(\omega ^{jk})

где $j, k = 0, 1, \ldots , n-1$ . Покажите, что $UPU^{-1} = D$ .

(vi)

Пусть $R = P \otimes I_{n}$ и $S = D \otimes I_{n}$ . Найдите $RS$ . Пусть $X = P \otimes P$ и $Y = D \otimes D$ . Найдите $XY$ . Найдите коммутатор $[X, Y]$ .

Задача 18.2.17

(i)(ii)

Рассмотрим диагональную матрицу $D$ и матрицу перестановки $P$

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{exp}\left(2i\pi /3\right) & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{exp}\left(-2i\pi /3\right) \end{pmatrix}, \qquad P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Какая группа порождается $D$ и $P$ ?

(ii)

Вычислите коммутатор $[D, P]$ . Обсудите.

Задача 18.2.18

(i)(ii)

В группе Ли $U(N)$ унитарных матриц $N \times N$ можно найти две матрицы $U$ и $V$ размера $N \times N$ такие, что

UV = e^{2\pi i/N}VU.

Любую эрмитову матрицу $H$ размера $N \times N$ можно записать в виде

H = \sum _{j=0}^{N-1} \sum _{k=0}^{N-1} h_{jk}U^{j}V^{k}.

Используя коэффициенты разложения $h_{jk}$ , можно сопоставить эрмитовой матрице $H$ функцию

h(q,q) = \sum _{j=0}^{N-1} \sum _{k=1}^{N-1} h_{jk}e^{2\pi i(jp+kq)}

где $p = 0, 1, \ldots , N-1$ и $q = 0, 1, \ldots , N-1$ . Рассмотрим случай $N = 2$ и

U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi } \end{pmatrix}, \qquad V = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим эрмитову и унитарную матрицу

\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $h(p, q)$ .

(ii)

Рассмотрим эрмитову и проекционную матрицу

\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите $h(p, q)$ .

Задача 18.2.19

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

J := -i\sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что любая матрица $2 \times 2$ $A \in SL(2, \mathbb {C})$ удовлетворяет $A^{T}JA = J$ .

(ii)

Пусть $A$ удовлетворяет $A^{T}JA = J$ . Верно ли, что $(A \otimes A)^{T}(J \otimes J)(A \otimes A) = J \otimes J$ ? Верно ли, что $(A \oplus A)^{T}(J \oplus J)(A \oplus A) = J \oplus J$ ? Верно ли, что $(A \star A)^{T}(J \star J)(A \star A) = J \star J$ ?

Задача 18.2.20

Группа $SL(2, \mathbb {F}_{3})$ состоит из унимодулярных матриц $2 \times 2$ с целочисленными элементами, взятыми по модулю три. Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

— элемент $SL(2, \mathbb {F}_{3})$ . Найдите обратную к $A$ матрицу.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.21

Рассмотрим полупростую группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $A \in SL(2, \mathbb {R})$ . Тогда $A^{-1} \in SL(2, \mathbb {R})$ . Объясните почему. Покажите, что $A$ и $A^{-1}$ имеют одинаковые собственные значения. Верно ли это по-прежнему для $A \in SL(3, \mathbb {R})$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.22

(i)(ii)

Пусть $A, B \in SL(2, \mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Верно ли, что $\operatorname {tr}(A) = \operatorname {tr}(A^{-1})$ ? Докажите или опровергните.

(ii)

Верно ли, что $\operatorname {tr}(AB) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B) - \operatorname {tr}(AB^{-1})$ ? Докажите или опровергните.

Задача 18.2.23

(i)(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A(\alpha ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} e^{\alpha } & -e^{\alpha } \\ e^{-\alpha } & e^{-\alpha } \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите след, определитель, собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $A(\alpha )$ .

(ii)

Вычислите

X := \left.\frac{dA(\alpha )}{d\alpha }\right|_{\alpha =0}.

Найдите $\mathrm{exp}\left(\alpha X\right)$ и сравните с $A(\alpha )$ , т.е. верно ли, что $\mathrm{exp}\left(\alpha X\right) = A(\alpha )$ ? Обсудите.

Задача 18.2.24

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Матрица вращения $2 \times 2$

R(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $SO(2, \mathbb {R})$ . Найдите спектральное разложение $R(\alpha )$ .

(ii)

Пусть $\beta \in \mathbb {R}$ . Матрица

B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cosh (\beta ) & \sinh (\beta ) \\ \sinh (\beta ) & \cosh (\beta ) \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $SO(1, 1, \mathbb {R})$ . Найдите спектральное разложение $B(\beta )$ .

(iii)

Найдите спектральное разложение $R(\alpha ) \otimes B(\beta )$ .

Задача 18.2.25

Группа Ли $SU(1,1)$ состоит из всех матриц $2 \times 2$ $T$ над комплексными числами, для которых

TMT^{*} = M, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname {det}\left(T\right) = 1.

Покажите, что условие на $\xi_{0}, \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in \mathbb {R}$ , при котором

T = \begin{pmatrix} \xi _{0}+i\xi _{3} & \xi _{1}+i\xi _{2} \\ \xi _{1}-i\xi _{2} & \xi _{0}-i\xi _{3} \end{pmatrix}

является элементом $SU(1,1)$ , задаётся равенством $\operatorname {det}\left(T\right) = \xi_{0}^{2}+\xi_{3}^{2}-\xi_{1}^{2}-\xi_{2}^{2} = 1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.26

(i)(ii)

Единичную сферу

S^{3} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \mathbb {R}^{4} : \sum _{j=1}^{4} x_{j}^{2} = 1\right\}

отождествим с группой Ли $SU(2)$ посредством отображения

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mapsto \begin{pmatrix} x_{1}+ix_{2} & -x_{3}+ix_{4} \\ x_{3}+ix_{4} & x_{1}-ix_{2} \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Отобразите стандартный базис $\mathbb {R}^{4}$ в $SU(2)$ и выразите эти матрицы через матрицы Паули и единичную матрицу $2 \times 2$ .

(ii)

Отобразите базис Белла

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

в $SU(2)$ и выразите эти матрицы через матрицы Паули и единичную матрицу $2 \times 2$ .

Задача 18.2.27

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что если $A^{T} = -A$ , то $e^{A} \in O(n, \mathbb {C})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.28

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Можно ли любой элемент группы Ли $SU(1,1)$ записать в виде

\begin{pmatrix} e^{i\alpha /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\alpha /2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh (\zeta /2) & \sinh (\zeta /2) \\ \sinh (\zeta /2) & \cosh (\zeta /2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\beta /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\beta /2} \end{pmatrix}?

Каждый элемент в этом произведении является элементом группы Ли $SU(1,1)$ .

(ii)

Можно ли любой элемент компактной группы Ли $SU(2)$ записать в виде

\begin{pmatrix} \cos (\alpha /2) & -\sin (\alpha /2) \\ \sin (\alpha /2) & \cos (\alpha /2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\gamma /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\gamma /2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos (\beta /2) & \sin (\beta /2) \\ -\sin (\beta /2) & \cos (\beta /2) \end{pmatrix}?

Задача 18.2.29

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ , т.е. множество всех вещественных матриц $2 \times 2$ с определителем, равным 1. Динамическую систему в $SL(2, \mathbb {R})$ можно определить как

M_{k+2} = M_{k}M_{k+1}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots

с начальными матрицами $M_{0}, M_{1} \in SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $F_{k} := \operatorname {tr}(M_{k})$ . Верно ли, что

F_{k+3} = F_{k+2}F_{k+1}-F_{k} \qquad k = 0, 1, 2, \ldots ?

Докажите или опровергните. Используйте то свойство, что для любой матрицы $2 \times 2$ $A$ выполняется (теорема Кэли–Гамильтона)

A^{2}-A\operatorname {tr}(A)+I_{2}\operatorname {det}\left(A\right) = 0_{2}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.30

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & i\sin (\alpha ) \\ i\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Заметим, что $A(0) = I_{2}$ . Таким образом, у нас есть нейтральный элемент. Кроме того, $\operatorname {det}\left(A(\alpha )\right) = 1$ .

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы

B(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & i\sinh (\alpha ) \\ -i\sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Заметим, что $B(0) = I_{2}$ . Таким образом, у нас есть нейтральный элемент. Кроме того, $\operatorname {det}\left(B(\alpha )\right) = 1$ .

Задача 18.2.31

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$

A(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $A(\theta )$ является элементом компактной группы Ли $SO(3, \mathbb {R})$ .

(ii)

Покажите, что собственные значения $A(\theta )$ равны $\lambda_{1} = 1$ , $\lambda_{2} = e^{i\theta }$ , $\lambda_{3} = e^{-i\theta }$ .

(iii)

Покажите, что матрица $3 \times 3$

O(\theta , \phi ) = \begin{pmatrix} \sin (\theta )\cos (\phi ) & -\sin (\phi ) & -\cos (\theta )\cos (\phi ) \\ \sin (\theta )\sin (\phi ) & \cos (\phi ) & \cos (\theta )\sin (\phi ) \\ \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \end{pmatrix}

является элементом компактной группы Ли $SO(3)$ .

Задача 18.2.32

Пусть $n$ — целое число с $n \geq 2$ . Пусть $p, q$ — целые числа с $p, q \geq 1$ и $n = p+q$ . Пусть $I_{p}$ — единичная матрица $p \times p$ , а $I_{q}$ — единичная матрица $q \times q$ . Пусть

I_{p,q} = \begin{pmatrix} I_{p} & 0 \\ 0 & -I_{q} \end{pmatrix} \equiv I_{p} \oplus (-I_{q}).

Группа Ли $O(p,q)$ — это множество всех матриц $n \times n$ , определённых как

O(p,q) := \left\{ A \in GL(n, \mathbb {R}) : A^{T}I_{p,q}A = I_{p,q}\right\} .

Покажите, что это группа всех обратимых линейных отображений $\mathbb {R}^{n}$ , сохраняющих квадратичную форму

\sum _{j=1}^{p} x_{j}y_{j} - \sum _{j=p+1}^{n} x_{j}y_{j}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.33

Группа Ли $SU(2,2)$ определяется как группа преобразований четырёхмерного комплексного пространства $\mathbb {C}^{4}$ , оставляющих инвариантной неопределённую квадратичную форму

\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}-\left|z_{3}\right|^{2}-\left|z_{4}\right|^{2}.

Алгебра Ли $su(2,2)$ определяется как множество матриц $4 \times 4$ $X$ со следом $0$ и $X^{*}L+LX = 0_{4}$ , где $L$ — матрица $4 \times 4$

L = \begin{pmatrix} -I_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & I_{2} \end{pmatrix}.

Является ли

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

элементом алгебры Ли $su(2,2)$ ? Найдите $\mathrm{exp}\left(zX\right)$ . Обсудите.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.34

(i)(ii)(iii)

Пусть $\theta \in \mathbb {R}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Является ли матрица $2 \times 2$

M_{1}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

унитарной? Докажите или опровергните. Если да, является ли эта матрица элементом группы Ли $SU(2)$ ?

(ii)

Является ли матрица $8 \times 8$

M_{2}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

унитарной? Докажите или опровергните. Если да, является ли эта матрица элементом группы Ли $SU(4)$ ?

(iii)

Пусть $\oplus$ обозначает прямую сумму. Является ли матрица $6 \times 6$

M_{3}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} \oplus \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

унитарной? Докажите или опровергните. Если да, является ли эта матрица элементом группы Ли $SU(4)$ ?

Задача 18.2.35

(i)(ii)(iii)

Запишите две матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ , являющиеся элементами группы Ли $O(2, \mathbb {R})$ , но не являющиеся элементами $SO(2, \mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Является ли $AB$ элементом группы Ли $SO(2, \mathbb {R})$ ?

(ii)

Является ли $A \otimes B$ элементом группы Ли $SO(4, \mathbb {R})$ ?

(iii)

Является ли $A \oplus B$ элементом $SO(4, \mathbb {R})$ ?

Задача 18.2.36

(i)(ii)

Пусть $z = x+iy$ с $x, y \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

\begin{pmatrix} \cos (z) & -\sin (z) \\ \sin (z) & \cos (z) \end{pmatrix}.

Имеют место тождества

\cos (x+iy) \equiv \cos (x)\cos (iy)-\sin (x)\sin (iy) \equiv \cos (x)\cosh (y)-i\sin (x)\sinh (y)

\sin (x+iy) \equiv \sin (x)\cos (iy)+\cos (x)\sin (iy) \equiv \sin (x)\cosh (y)+i\cos (x)\sinh (y).

Пусть $x = 0$ . Тогда мы приходим к матрице

M(y) = \begin{pmatrix} \cosh (y) & -i\sinh (y) \\ i\sinh (y) & \cosh (y) \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Образуют ли эти матрицы ( $y \in \mathbb {R}$ ) группу относительно умножения матриц?

(ii)

Вычислите

X = \left.\frac{d}{dy}M(y)\right|_{y=0}

а затем $\mathrm{exp}\left(yX\right)$ с $y \in \mathbb {R}$ . Обсудите.

Задача 18.2.37

Максимальной компактной подгруппой Ли группы $SL(2, \mathbb {C})$ является $SU(2)$ . Приведите матрицу $2 \times 2$ $A$ , являющуюся элементом $SL(2, \mathbb {C})$ , но не являющуюся элементом $SU(2)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.38

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — матрицы $m \times m$ . Определим

\sigma (A_{1}, \ldots , A_{n}) := \frac{1}{n!} \sum _{s \in S_{n}} A_{s(1)} \otimes \cdots \otimes A_{s(n)}

где $S_{n}$ — группа перестановок. Пусть $n = 3$ , и рассмотрим матрицы

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите

\sigma (A_{1}, A_{2}, A_{3}) = \frac{1}{3!} \sum _{s \in S_{3}} A_{s(1)} \otimes A_{s(2)} \otimes A_{s(3)}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.39

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы $3 \times 3$

M(\alpha , \beta , \gamma ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) & \beta \\ -\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & \gamma \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.40

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим некомпактную группу Ли $SO(1, 1, \mathbb {R})$ с элементом

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & \sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Покажите, что обратная к $A(\alpha )$ задаётся как

A^{-1}(\alpha ) = A(-\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & -\sinh (\alpha ) \\ -\sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Покажите, что собственные значения $A(\alpha )$ равны $e^{\alpha }$ и $e^{-\alpha }$ .

(ii)

Пусть $\oplus$ обозначает прямую сумму. Найдите определитель, собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $3 \times 3$ $(1) \oplus A(\alpha )$ .

Задача 18.2.41

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A, B$ — элементы $SL(n, \mathbb {R})$ . Покажите, что $A \otimes B$ является элементом $SL(n^{2}, \mathbb {R})$ .

(ii)

Пусть $A, B$ — элементы $SL(n, \mathbb {R})$ . Покажите, что $A \oplus B$ является элементом $SL(2n, \mathbb {R})$ .

(iii)

Пусть $A, B$ — элементы $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $\star$ — звёздное произведение. Покажите, что $A \star B$ является элементом $SL(4, \mathbb {R})$ .

(iv)

Являются ли матрицы

X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

элементами $SL(3, \mathbb {R})$ и $SL(5, \mathbb {R})$ соответственно?

Задача 18.2.42

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $\left\| A\right\| < 1$ . Тогда $I_{n}+A$ обратима ( $I_{n}+A \in GL(n, \mathbb {C})$ ). Можем ли мы заключить, что $I_{n} \otimes I_{n}+A \otimes A$ обратима?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 18.2.43

(i)(ii)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Определим

\tau _{1} = i\sigma _{1}, \qquad \tau _{2} = i\sigma _{2}, \qquad \tau _{3} = i\sigma _{3}

и $\tau_{0} = I_{2}$ . Таким образом, $\tau_{j}$ ( $j = 0, 1, 2, 3$ ) являются элементами группы Ли $SU(2)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Определим оператор $R$ следующим образом ( $k \geq 2$ )

R(\tau _{j_{1}} \otimes \tau _{j_{2}} \otimes \cdots \otimes \tau _{j_{k}}) := \frac{1}{2}(\tau _{j_{1}}\tau _{j_{2}}^{*} \otimes \tau _{j_{2}}\tau _{j_{3}}^{*} \otimes \cdots \otimes \tau _{j_{k}}\tau _{j_{1}}^{*}).

Найдите $R(\tau_{1} \otimes \tau_{2} \otimes \tau_{3})$ .

(ii)

Рассмотрим унитарную матрицу (построенную из четырёх состояний Белла)

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -i \\ 0 & -i & -1 & 0 \\ 0 & -i & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & i \end{pmatrix} \Rightarrow U^{*} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & i & i & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ i & 0 & 0 & -i \end{pmatrix}.

Покажите, что $U(i\sigma_{1} \otimes i\sigma_{1})U$ , $U(i\sigma_{2} \otimes i\sigma_{2})U$ , $U(i\sigma_{3} \otimes i\sigma_{3})U$ являются элементами группы Ли $SO(4)$ .

Задача 18.2.44

(i)(ii)

Рассмотрим матрицу перестановки $8 \times 8$

P = (1) \oplus \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus (1)

G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} v_{1,1} \\ v_{1,2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} v_{2,1} \\ v_{2,2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{3} = \begin{pmatrix} v_{3,1} \\ v_{3,2} \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что $[P, G \otimes G \otimes G] = 0_{8}$ , где

G = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

(ii)

Предположим, что $G$ — матрица Адамара. Найдите вектор

(P(G \otimes G \otimes G))(\overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{3}).

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $P$ . Обсудите.