Банк задач по математике

Задача 18.1.1

Пусть $\phi \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы $2 \times 2$

I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U(\phi ) = \begin{pmatrix} 0 & e^{i\phi } \\ e^{-i\phi } & 0 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

?

Задача 18.1.2

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Покажите, что матрица $2 \times 2$

U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{pmatrix}

унитарна.

(ii)

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $U$ .

(iii)

Найдите группу, порождённую $U$ .

(iv)

Найдите группу, порождённую $U \otimes U$ .

Задача 18.1.3

Найдите группу, порождённую матрицами $3 \times 3$

G_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad G_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Положим $G_{0} = G_{1}^{2} = I_{3}$ .

?

Задача 18.1.4

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим группу перестановок $S_{3}$ , состоящую из 6 элементов. Матричные представления перестановок $(12)$ и $(13)$ имеют вид

(12) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad (13) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли построить остальные перестановки $S_{3}$ из матричных произведений этих двух матриц?

(ii)

Рассмотрим две матрицы перестановок $3 \times 3$

C_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли получить оставшиеся четыре матрицы $3 \times 3$ из $C_{1}$ и $A$ с помощью умножения матриц?

Задача 18.1.5

Найдите группу, порождённую двумя матрицами $2 \times 2$

\sigma _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad R = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Коммутативна ли эта группа?

?

Задача 18.1.6

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Покажите, что множество матриц

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C_{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \quad C_{3}^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix},

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}

образует группу $G$ относительно умножения матриц, где $C_{3}^{-1}$ — обратная матрица к $C_{3}$ .

(ii)

Найдите определитель всех этих матриц. Образует ли множество чисел

\left\{ \operatorname {det}\left(E\right), \ \operatorname {det}\left(C_{3}\right), \ \operatorname {det}\left(C_{3}^{-1}\right), \ \operatorname {det}\left(\sigma _{1}\right), \ \operatorname {det}\left(\sigma _{2}\right), \ \operatorname {det}\left(\sigma _{3}\right)\right\}

группу относительно умножения?

(iii)

Найдите две собственные подгруппы.

(iv)

Найдите разложение по правым смежным классам. Найдите разложение по левым смежным классам.

Разложение по правым смежным классам получается следующим образом: пусть $G$ — конечная группа порядка $g$ , имеющая собственную подгруппу $\mathcal{H}$ порядка $h$ . Возьмём некоторый элемент $g_{2}$ группы $G$ , не принадлежащий подгруппе $\mathcal{H}$ , и составим правый смежный класс $\mathcal{H}g_{2}$ . Если $\mathcal{H}$ и $\mathcal{H}g_{2}$ не исчерпывают группу $G$ , возьмём некоторый элемент $g_{3}$ группы $G$ , не являющийся элементом ни $\mathcal{H}$ , ни $\mathcal{H}g_{2}$ , и составим правый смежный класс $\mathcal{H}g_{3}$ . Продолжим составлять правые смежные классы $\mathcal{H}g_{j}$ таким образом. Если $G$ — конечная группа, все элементы $G$ будут исчерпаны за конечное число шагов, и мы получим разложение по правым смежным классам.

Задача 18.1.7

Мы знаем, что множество матриц $2 \times 2$

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C_{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \quad C_{3}^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}

образует группу $G$ относительно умножения матриц, где $C_{3}^{-1}$ — обратная матрица к $C_{3}$ . Множество матриц (матрицы перестановок $3 \times 3$ )

I = P_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

P_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

P_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

также образует группу $G$ относительно умножения матриц. Изоморфны ли эти две группы? Гомоморфизм, являющийся взаимно однозначным отображением на, называется изоморфизмом.

?

Задача 18.1.8

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Покажите, что матрицы $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

(ii)

Покажите, что матрицы $4 \times 4$

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

V = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad W = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

(iii)

Покажите, что эти две группы (так называемая четверная группа, Vierergruppe) изоморфны.

Задача 18.1.9

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц.

(ii)

Коммутативна ли эта группа?

(iii)

Найдите группу, изоморфную данной.

Задача 18.1.10

Пусть $a, b, c, d \in \mathbb {Z}$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

с $ad - bc = 1$ образуют группу относительно умножения матриц.

?

Задача 18.1.11

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и $c \neq 0$ . Образуют ли матрицы $4 \times 4$

A(c) = \begin{pmatrix} c & c & c & c \\ c & c & c & c \\ c & c & c & c \\ c & c & c & c \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

(ii)

Найдите собственные значения $A(c)$ .

Задача 18.1.12

Группа Гейзенберга — это множество верхних матриц $3 \times 3$ вида

H = \begin{pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

где $a, b, c$ можно брать из некоторого (произвольного) коммутативного кольца.

?

(i)

Найдите обратную матрицу к $H$ .

(ii)

Для двух элементов $x, y$ группы $G$ определим коммутатор $x$ и $y$ , обозначаемый $[x, y]$ , как элемент $x^{-1}y^{-1}xy$ . Если $a, b, c$ — целые числа (в кольце $\mathbb {Z}$ целых чисел), мы получаем дискретную группу Гейзенберга $H_{3}$ . Она имеет два образующих

x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите $z = xyx^{-1}y^{-1}$ . Покажите, что $xz = zx$ и $yz = zy$ , т.е. $z$ является образующей центра $H_{3}$ .

(iii)

Производная подгруппа (или коммутант) группы $G$ — это подгруппа $[G, G]$ , порождённая множеством коммутаторов всех пар элементов $G$ . Найдите $[G, G]$ для группы Гейзенберга.

(iv)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

и $a, b, c \in \mathbb {R}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(A\right)$ .

(v)

Группа Гейзенберга — это простая связная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц

L = \begin{pmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы $[L, L']$ и $[[L, L'], L']$ , где $[L, L'] := LL' - L'L$ .

Задача 18.1.13

Определим

M : \mathbb {R}^{3} \rightarrow V := \left\{ \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {\sigma } : \overrightarrow {a} \in \mathbb {R}^{3}\right\} \subset \left\{ 2 \times 2 \text{ комплексные матрицы}\right\}

\overrightarrow {a} \rightarrow M(\overrightarrow {a}) = \overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {\sigma } = a_{1}\sigma _{1} + a_{2}\sigma _{2} + a_{3}\sigma _{3}.

Это линейная биекция между $\mathbb {R}^{3}$ и $V$ . Каждый элемент $U \in SU(2)$ определяет линейное отображение $S(U)$ на $\mathbb {R}^{3}$ по формуле

M(S(U)\overrightarrow {a}) = U^{-1}M(\overrightarrow {a})U.

Правая часть очевидно линейна по $\overrightarrow {a}$ . Покажите, что $U^{-1}M(\overrightarrow {a})U$ принадлежит $V$ , то есть имеет вид $M(\overrightarrow {b})$ .

?

Задача 18.1.14

Покажите, что ненормальные матрицы $2 \times 2$

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

сопряжены в $SL(2, \mathbb {C})$ , но не сопряжены в $SL(2, \mathbb {R})$ (вещественных матрицах в $SL(2, \mathbb {C})$ ).

?

Задача 18.1.15

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $G$ — конечное множество вещественных матриц $n \times n$ $\left\{ A_{j}\right\}$ , $1 \leq j \leq r$ , образующее группу относительно умножения матриц. Предположим, что

\operatorname {tr}\left(\sum _{j=1}^{r} A_{j}\right) \equiv \sum _{j=1}^{r} \operatorname {tr}(A_{j}) = 0

где $\operatorname {tr}$ обозначает след. Покажите, что

\sum _{j=1}^{r} A_{j} = 0_{n}.

(ii)

Пусть $\omega := \mathrm{exp}\left(2\pi i/3\right)$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

B_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B_{2} = \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega ^{2} \end{pmatrix}, \quad B_{3} = \begin{pmatrix} \omega ^{2} & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}

B_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B_{5} = \begin{pmatrix} 0 & \omega \\ \omega ^{2} & 0 \end{pmatrix}, \quad B_{6} = \begin{pmatrix} 0 & \omega ^{2} \\ \omega & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Покажите, что

\sum _{j=1}^{6} \operatorname {tr}(B_{j}) = 0.

Задача 18.1.16

(i)(ii)

Рассмотрим унитарную матрицу $2 \times 2$

J := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ такие, что $A^{T}JA = J$ .

(ii)

Образуют ли эти матрицы $2 \times 2$ группу относительно умножения матриц?

Задача 18.1.17

Пусть $J$ — матрица размера $2n \times 2n$

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Покажите, что матрицы $A$ размера $2n \times 2n$ , удовлетворяющие $A^{T}JA = J$ , образуют группу относительно умножения матриц. Эта группа называется симплектической группой $Sp(2n)$ .

?

Задача 18.1.18

Матрица Паули $\sigma_{1}$ не только эрмитова, унитарна и обратна самой себе, но и является матрицей перестановки. Найдите все матрицы $A$ размера $2 \times 2$ такие, что $\sigma_{1}^{-1}A\sigma_{1} = A$ .

?

Задача 18.1.19

Для векторного пространства матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ можно ввести скалярное произведение посредством

\left\langle A, B \right\rangle := \operatorname {tr}(AB^{T}).

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ матриц $2 \times 2$ с определителем 1. Найдите $X, Y \in SL(2, \mathbb {R})$ такие, что

\left\langle X, Y \right\rangle = 0

где ни $X$ , ни $Y$ не может быть единичной матрицей $2 \times 2$ .

?

Задача 18.1.20

Числа $1, i, -1, -i$ образуют группу относительно умножения. Образуют ли векторы

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ -1 \\ -i \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} i \\ -1 \\ -i \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ -i \\ 1 \\ i \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {v}_{4} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ i \\ -1 \end{pmatrix}

ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{4}$ ?

?

Задача 18.1.21

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим группу $G$ всех матриц перестановок $4 \times 4$ . Покажите, что

\frac{1}{\left|G\right|} \sum _{g \in G} g

является матрицей проектирования. Здесь $\left|G\right|$ обозначает число элементов группы.

(ii)

Рассмотрим подгруппу, заданную матрицами

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что

\frac{1}{\left|G\right|} \sum _{g \in G} g

является матрицей проектирования.

Задача 18.1.22

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} r_{11}e^{i\phi _{11}} & r_{12}e^{i\phi _{12}} \\ r_{21}e^{i\phi _{21}} & r_{22}e^{i\phi _{22}} \end{pmatrix}

где $r_{jk} \in \mathbb {R}$ , $r_{jk} > 0$ при $j, k = 1, 2$ и $r_{12} = r_{21}$ . Также пусть $\phi_{jk} \in \mathbb {R}$ при $j, k = 1, 2$ и наложим условие $\phi_{12} = \phi_{21}$ . Каковы условия на $r_{jk}$ и $\phi_{jk}$ , при которых $I_{2} + iA$ является унитарной матрицей?

?

Задача 18.1.23

Покажите, что четыре матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

образуют группу относительно умножения матриц. Является ли эта группа абелевой?

?

Задача 18.1.24

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Рассмотрим симметричную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{11} \end{pmatrix}, \qquad a_{11}, a_{12} \in \mathbb {R}.

Найдите все обратимые матрицы $S$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ такие, что $SAS^{-1} = A$ . Очевидно, единичная матрица $I_{2}$ является такой матрицей.

(ii)

Образуют ли матрицы $S$ группу относительно умножения матриц? Докажите или опровергните.

(iii)

Используя результат из (i), вычислите $(S \otimes S)(A \otimes A)(S \otimes S)^{-1}$ . Обсудите.

Задача 18.1.25

Найдите все матрицы $S$ размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ с определителем 1 (т.е. являющиеся элементами $SL(2, \mathbb {C})$ ) такие, что

S^{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Очевидно, единичная матрица $2 \times 2$ является таким элементом.

?

Задача 18.1.26

(i)(ii)

?

(i)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

подобны. Это означает: найдите обратимую матрицу $2 \times 2$ $S$ , т.е. $S \in GL(2, \mathbb {R})$ , такую что $SAS^{-1} = B$ .

(ii)

Существует ли обратимая матрица $2 \times 2$ $S$ такая, что

(S \otimes S)(A \otimes A)(S^{-1} \otimes S^{-1}) = B \otimes B?

Задача 18.1.27

Найдите все $M \in GL(2, \mathbb {C})$ такие, что

M^{-1} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} M = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Таким образом мы рассматриваем инвариантность матрицы спина Паули $\sigma_{2}$ . Покажите, что эти матрицы образуют группу относительно умножения матриц.

?

Задача 18.1.28

(i)(ii)(iii)(iv)

Рассмотрим циклическую матрицу $3 \times 3$

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что матрицы $C, C^{2}, C^{3}$ образуют группу относительно умножения матриц. Является ли эта группа коммутативной?

(ii)

Найдите собственные значения матрицы $C$ и покажите, что они образуют группу относительно умножения.

(iii)

Найдите нормированные собственные значения матрицы $C$ . Покажите, что они образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{3}$ .

(iv)

Используя собственные значения и нормированные собственные векторы, запишите спектральное разложение матрицы $C$ .

Задача 18.1.29

(i)(ii)

?

(i)

Найдите группу, порождённую матрицей $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Является ли эта группа коммутативной? Найдите определитель всех этих матриц. Образуют ли эти (вещественные) числа группу относительно умножения?

(ii)

Найдите группу, порождённую матрицей $4 \times 4$

A \otimes A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц.

Задача 18.1.30

Пусть $n \geq 2$ . Обратимая целочисленная матрица $A \in GL_{n}(\mathbb {Z})$ порождает тороидальный автоморфизм $f : \mathbb {T}^{n} \rightarrow \mathbb {T}^{n}$ по формуле

f \circ \pi = \pi \circ A, \qquad \pi : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {T}^{n} := \mathbb {R}^{n}/\mathbb {Z}^{n}.

Множество неподвижных точек отображения $f$ задаётся как

\# \text{Fix}(f) := \left\{ x^{*} \in \mathbb {T}^{n} : f(x^{*}) = x^{*}\right\} .

Теперь имеем: если $\operatorname {det}\left(I_{n}-A\right) \neq 0$ , то

\# \text{Fix}(f) = \left|\operatorname {det}\left(I_{n}-A\right)\right|.

Пусть $n = 2$ и

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Покажите, что $\operatorname {det}\left(I_{2}-A\right) \neq 0$ , и найдите $\# \text{Fix}(f)$ .

?

Задача 18.1.31

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы $2n \times 2n$

S = \begin{pmatrix} I_{n} & I_{n} \\ A & I_{n}+A \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{S} = \begin{pmatrix} A+2I_{n} & -I_{n} \\ I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Можно ли найти обратимую матрицу $2n \times 2n$ $T$ такую, что $\widetilde{S} = T^{-1}ST$ ?

?

Задача 18.1.32

Пусть $R \in \mathbb {C}^{m \times m}$ и $S \in \mathbb {C}^{n \times n}$ — нетривиальные инволюции. Это означает, что $R = R^{-1} \neq \pm I_{m}$ и $S = S^{-1} \neq I_{n}$ . Матрица $A \in \mathbb {C}^{m \times n}$ называется $(R, S)$ -симметричной, если $RAS = A$ . Рассмотрим случай $m = n = 2$ и матрицы спина Паули

R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {C}$ такие, что $RAS = A$ .

?

Задача 18.1.33

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {R}$ такие, что $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ (т.е. $A$ является элементом группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ ) и

A \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

?

Задача 18.1.34

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим эрмитову матрицу, являющуюся элементом некомпактной группы Ли $SO(1,1)$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & \sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Найдите преобразование Кэли

B = (A-iI_{2})(A+iI_{2})^{-1}.

Заметим, что $B$ — унитарная матрица и, следовательно, элемент компактной группы Ли $U(n)$ . Найдите $B(\alpha \rightarrow \infty )$ .

?

Задача 18.1.35

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим группу Ли $SL(n, \mathbb {C})$ , т.е. $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ с определителем 1. Можно ли найти $A, B \in SL(n, \mathbb {C})$ такие, что $[A, B]$ является элементом $SL(n, \mathbb {C})$ ?

(ii)

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицы

A(z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ z & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Обе являются элементами некомпактной группы Ли $SL(2, \mathbb {C})$ . Можно ли найти $z \in \mathbb {C}$ такое, что коммутатор $[A(z), B]$ снова является элементом $SL(2, \mathbb {C})$ ?

Задача 18.1.36

Группа Ли $SU(2)$ определяется как

SU(2) := \left\{ U \ 2 \times 2 \text{ матрица} : UU^{*} = I_{2}, \ \operatorname {det}\left(U\right) = 1\right\} .

Пусть (3-сфера)

S^{3} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \mathbb {R}^{4} : x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2} = 1\right\} .

Покажите, что $SU(2)$ можно отождествить как вещественное многообразие с 3-сферой $S^{3}$ .

?

Задача 18.1.37

Рассмотрим матрицу ( $\alpha \in \mathbb {R}$ )

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

?

(i)

Является ли $A(\alpha )$ элементом $SO(2)$ ?

(ii)

Рассмотрим преобразование

\begin{pmatrix} x_{1}' \\ x_{2}' \end{pmatrix} = A(\alpha ) \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}.

Верно ли, что $(x_{1}')^{2}+(x_{2}')^{2} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ ? Докажите или опровергните.

(iii)

Определим звёздное произведение

A(\alpha ) \star A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & 0 & 0 & \sin (\alpha ) \\ 0 & \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) & 0 \\ 0 & \sin (\alpha ) & -\cos (\alpha ) & 0 \\ \sin (\alpha ) & 0 & 0 & -\cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Является ли $A(\alpha ) \star A(\alpha )$ элементом $SO(4)$ ?

(iv)

Является ли $A(\alpha ) \otimes A(\alpha )$ элементом $SO(4)$ ?

(v)

Найдите

X = \left.\frac{dA(\alpha )}{d\alpha }\right|_{\alpha =0}

а затем $B(\alpha ) = \mathrm{exp}\left(\alpha X\right)$ . Сравните $B(\alpha )$ и $A(\alpha )$ и обсудите.

Задача 18.1.38

Даны две $2 \times 2$ матрицы $A$ и $B$ в группе Ли $GL(2, \mathbb {C})$ , т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$ , $\operatorname {det}\left(B\right) \neq 0$ . Действие $n \times n$ матрицы $M = (m_{jk})$ на многочлен $p(\overrightarrow {x}) \in \mathbf{R}_{n} = \mathbb {C}^{x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}}$ можно определить, положив

T_{M}p(\overrightarrow {x}) := p(\overrightarrow {x}M)

где $\overrightarrow {x}M$ — произведение вектора-строки $\overrightarrow {x}$ длины $n$ на $n \times n$ матрицу $M$ . Таким образом, $\overrightarrow {x}M$ снова является вектором-строкой. Обозначим через

\mathbf{R}_{4}^{GL(2,\mathbb {C}) \otimes GL(2,\mathbb {C})}

кольцо многочленов из $\mathbf{R}_{4}$ , инвариантных относительно действия $A \otimes B$ для всех пар $A, B \in GL(2, \mathbb {C})$ , т.е.

\mathbf{R}_{4}^{GL(2,\mathbb {C}) \otimes GL(2,\mathbb {C})} := \left\{ p \in \mathbf{R}_{4} : T_{A \otimes B}p(\overrightarrow {x}) = p(\overrightarrow {x})\right\} .

Это действие сохраняет степень и однородность. Рассмотрим многочлен

p(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+x_{4}x_{1}

и

A = B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что $T_{A \otimes B}p(\overrightarrow {x}) = p(\overrightarrow {x})$ .

?

Задача 18.1.39

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Тогда матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ -\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\beta ) & \sin (\beta ) \\ -\sin (\beta ) & \cos (\beta ) \end{pmatrix}

являются элементами группы Ли $SO(2)$ , а $A(\alpha ) \otimes B(\beta )$ является элементом группы Ли $SO(4)$ . Найдите «бесконечно малые образующие» $X$ и $Y$ такие, что

\mathrm{exp}\left(\alpha X+\beta Y\right) = A(\alpha ) \otimes B(\beta ).

?

Задача 18.1.40

(i)(ii)

Топологическая группа $G$ — это одновременно группа и топологическое пространство, причём обе структуры связаны требованием, что отображения $x \mapsto x^{-1}$ (из $G$ в $G$ ) и $(x, y) \mapsto xy$ (из $G \times G$ в $G$ ) непрерывны. $G \times G$ наделяется топологией произведения.

?

(i)

Дана топологическая группа $G$ , определим отображения

\phi (x) := xax^{-1}

и

\psi (x) := xax^{-1}a^{-1} \equiv [x, a].

Как связаны итерации отображений $\phi$ и $\psi$ ?

(ii)

Рассмотрим $G = SO(2)$ и

x = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

где $x, a \in SO(2)$ . Вычислите $\phi$ и $\psi$ . Обсудите.

Задача 18.1.41

Унитарные матрицы являются элементами группы Ли $U(n)$ . Соответствующая алгебра Ли $u(n)$ — это множество матриц с условием $X^{*} = -X$ . Важной подгруппой $U(n)$ является группа Ли $SU(n)$ с условием, что $\operatorname {det}\left(U\right) = 1$ . Унитарные матрицы

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

не являются элементами группы Ли $SU(2)$ , поскольку определители этих унитарных матриц равны $-1$ . Соответствующая алгебра Ли $su(n)$ группы Ли $SU(n)$ — это $n \times n$ матрицы, задаваемые условиями

X^{*} = -X, \qquad \operatorname {tr}(X) = 0.

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Тогда любую унитарную матрицу из $U(2)$ можно представить как

U(\alpha , \beta , \gamma , \delta ) = e^{i\alpha I_{2}}e^{-i\beta \sigma _{3}/2}e^{-i\gamma \sigma _{2}/2}e^{-i\delta \sigma _{3}/2}

где $0 \leq \alpha < 2\pi$ , $0 \leq \beta < 2\pi$ , $0 \leq \gamma \leq \pi$ и $0 \leq \delta < 2\pi$ . Вычислите правую часть.

?

Задача 18.1.42

Рассмотрим следующие подгруппы группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть

K := \left\{ \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} : \theta \in [0, 2\pi )\right\}

A := \left\{ \begin{pmatrix} r^{1/2} & 0 \\ 0 & r^{-1/2} \end{pmatrix} : r > 0\right\}

N := \left\{ \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : t \in \mathbb {R}\right\} .

Любая матрица $m \in SL(2, \mathbb {R})$ может быть единственным образом записана в виде произведения $m = kan$ с $k \in K$ , $a \in A$ и $n \in N$ . Это разложение называется разложением Ивасавы и имеет естественное обобщение на $SL(n, \mathbb {R})$ , $n \geq 3$ . Обозначения подгрупп происходят от того, что $K$ — компактная подгруппа, $A$ — абелева подгруппа, а $N$ — нильпотентная подгруппа группы $SL(2, \mathbb {R})$ . Найдите разложение Ивасавы для матрицы

\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}.

?

Задача 18.1.43

(i)(ii)

Пусть $0 \leq \alpha < \pi /4$ . Рассмотрим преобразование

X(x, y, \alpha ) = \frac{1}{\sqrt{\cos (2\alpha )}}(x\cos (\alpha )+iy\sin (\alpha )),

Y(x, y, \alpha ) = \frac{1}{\sqrt{\cos (2\alpha )}}(-ix\sin (\alpha )+y\cos (\alpha )).

?

(i)

Покажите, что $X^{2}+Y^{2} = x^{2}+y^{2}$ .

(ii)

Образуют ли матрицы

\frac{1}{\sqrt{\cos (2\alpha )}} \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & i\sin (\alpha ) \\ -i\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Задача 18.1.44

(i)(ii)

Теорема двойственности Шура-Вейля утверждает, что если естественное представление унитарной группы $U(N)$ (или общей линейной группы $GL(n, \mathbb {C})$ ) тензорно умножается (кронекерово произведение) само на себя $n$ раз, то при совместном действии группы симметрий $S_{n}$ (матрицы перестановок) и $GL(n, \mathbb {C})$ это тензорное произведение раскладывается в прямую сумму неприводимых подпредставлений без кратностей, однозначно помеченных диаграммами Юнга. Пусть $n = 4$ . Рассмотрим матрицу перестановки (матрицу отражения)

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

и матрицу Адамара

U_{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

которая является элементом группы Ли $U(2)$ . Тогда

U_{H} \otimes U_{H} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $U(4)$ . Пусть

\overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} v_{1,1} \\ v_{1,2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} v_{2,1} \\ v_{2,2} \end{pmatrix}

— элементы $\mathbb {C}^{2}$ .

?

(i)

Найдите коммутатор $[P, U_{H} \otimes U_{H}]$ .

(ii)

Найдите $P(U_{H} \otimes U_{H})(\overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2})$ . Обсудите результат.

Задача 18.1.45

(i)(ii)

Алгебра октонионов $\mathcal{O}$ — это 8-мерная неассоциативная алгебра. Она определяется базисными элементами $e_{\mu }$ ( $\mu = 0, 1, \ldots , 7$ ) и таблицей их умножения. $e_{0}$ — единичный элемент. Мы используем греческие индексы $(\mu , \nu , \ldots )$ , когда включаем индекс 0, и латинские индексы $(i, j, k, \ldots )$ , когда его исключаем. Определим

\hat{e}_{k} := e_{4+k} \quad \text{для} \quad k = 1, 2, 3.

Правила умножения между базисными элементами октонионов $e_{\mu }$ задаются как

e_{i}e_{j} = -\delta _{ij}e_{0} + \sum _{k=1}^{3} \epsilon _{ijk}e_{k}, \qquad i, j, k = 1, 2, 3 \tag {1}

и

-e_{4}e_{i} = e_{i}e_{4} = \hat{e}_{i}, \qquad e_{4}\hat{e}_{i} = -\hat{e}_{i}e_{4} = e_{i}, \qquad e_{4}e_{4} = -e_{0}

\hat{e}_{i}\hat{e}_{j} = -\delta _{ij}e_{0} - \sum _{k=1}^{3} \epsilon _{ijk}e_{k}, \qquad i, j, k = 1, 2, 3

-\hat{e}_{j}e_{i} = e_{i}\hat{e}_{j} = -\delta _{ij}e_{4} - \sum _{k=1}^{3} \epsilon _{ijk}\hat{e}_{k}, \qquad i, j, k = 1, 2, 3

где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера, а $\epsilon_{ijk}$ равен $+1$ , если $(ijk)$ — чётная перестановка $(123)$ , $-1$ , если $(ijk)$ — нечётная перестановка $(123)$ , и 0 в остальных случаях. Формально мы можем обобщить умножение в виде

e_{\mu }e_{\nu } = g_{\mu \nu }e_{0} + \sum _{k=1}^{7} \gamma _{\mu \nu }^{k}e_{k}

где

g_{\mu \nu } = \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1), \qquad \gamma _{ij}^{k} = -\gamma _{ji}^{k}

при $\mu , \nu = 0, 1, \ldots , 7$ и $i, j, k = 1, 2, \ldots , 7$ .

?

(i)

Покажите, что множество $\left\{ e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\}$ является замкнутой ассоциативной подалгеброй.

(ii)

Покажите, что алгебра октонионов $\mathcal{O}$ неассоциативна.

Задачи главы