Банк задач по математике

Задача 18.2.1

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $I_{2}, 0_{2}$ — единичная и нулевая матрицы размера $2 \times 2$ соответственно. Найдите группу, порождённую матрицей $4 \times 4$

M = \begin{pmatrix} 0_{2} & -I_{2} \\ I_{2} & 0_{2} \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите группу, порождённую матрицей $4 \times 4$

X = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите собственные значения матрицы.

(iii)

Найдите группу, порождённую матрицей $6 \times 6$

B = \begin{pmatrix} 0_{2} & 0_{2} & I_{2} \\ I_{2} & 0_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & I_{2} & 0_{2} \end{pmatrix}

относительно умножения матриц.

(iv)

Найдите группу (относительно умножения матриц), порождённую матрицей $4 \times 4$

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Коммутативна ли эта группа? Найдите определитель всех этих матриц из (i). Образуют ли эти числа группу относительно умножения? Найдите все собственные значения этих матриц. Образуют ли эти числа группу относительно умножения? Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Найдите $\mathrm{exp}\left(\alpha A\right)$ . Является ли $\mathrm{exp}\left(\alpha A\right)$ элементом $SL(4, \mathbb {R})$ ?

Задача 18.2.2

(i)(ii)

?

(i)

Какая группа порождается двумя матрицами перестановок $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц? Заметьте, что $A^{2} = B^{2} = I_{3}$ .

(ii)

Найдите группу, порождённую матрицами перестановок $4 \times 4$

P_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц. Существует двадцать четыре матрицы перестановок $4 \times 4$ , которые образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 18.2.3

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ . Образуют ли матрицы $2 \times 2$

M(\alpha , \beta ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \beta ^{-1}\sin (\alpha ) \\ -\beta \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Заметьте, что $\operatorname {det}\left(M(\alpha , \beta )\right) = 1$ .

(ii)

Пусть $\alpha , \beta , \phi \in \mathbb {R}$ и $\alpha , \beta \neq 0$ . Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A(\alpha , \beta , \phi ) = \begin{pmatrix} \alpha \cos (\phi ) & -\beta \sin (\phi ) \\ \beta ^{-1}\sin (\phi ) & \alpha ^{-1}\cos (\phi ) \end{pmatrix}.

Образуют ли эти матрицы группу относительно умножения матриц?

(iii)

Пусть $\alpha , \theta \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы

\begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & e^{i\theta }\sinh (\alpha ) \\ e^{-i\theta }\sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Являются ли эти матрицы унитарными?

(iv)

Пусть $\alpha , \beta , \tau \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы $2 \times 2$

\begin{pmatrix} e^{i(\alpha +\beta )}\cosh (\tau ) & e^{i(\alpha -\beta )}\sinh (\tau ) \\ e^{-i(\alpha -\beta )}\sinh (\tau ) & e^{-i(\alpha +\beta )}\cosh (\tau ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Задача 18.2.4

Образуют ли восемь матриц $2 \times 2$

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Если нет, добавьте матрицы так, чтобы получилась группа.

?

Задача 18.2.5

(i)(ii)

?

(i)

Образуют ли матрицы $4 \times 4$

g(\phi , \theta ) = \begin{pmatrix} e^{i\phi }\cosh (\theta ) & 0 & 0 & \sinh (\theta ) \\ 0 & e^{-i\phi }\cosh (\theta ) & \sinh (\theta ) & 0 \\ 0 & \sinh (\theta ) & e^{i\phi }\cosh (\theta ) & 0 \\ \sinh (\theta ) & 0 & 0 & e^{-i\phi }\cosh (\theta ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

(ii)

Образуют ли матрицы $4 \times 4$

g(\phi , \theta ) = \begin{pmatrix} e^{i\phi }\cos (\theta ) & 0 & 0 & -\sin (\theta ) \\ 0 & e^{-i\phi }\cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ 0 & \sin (\theta ) & e^{i\phi }\cos (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & 0 & 0 & e^{-i\phi }\cos (\theta ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

Задача 18.2.6

Группа Ли $O(2)$ порождается вращением $R_{1}$ и отражением $R_{2}$

R_{1}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}, \qquad R_{2}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & -\cos (\theta ) \end{pmatrix}.

Покажите, что

\operatorname {tr}(R_{1}(\theta )) = 2\cos (\theta ), \quad \operatorname {tr}(R_{2}(\theta )) = 0, \quad \operatorname {det}\left(R_{1}(\theta )\right) = 1, \quad \operatorname {det}\left(R_{2}(\theta )\right) = -1

и $\operatorname {det}\left(R_{1}(\theta )R_{2}(\theta )\right) = -1$ , $\operatorname {tr}(R_{1}(\theta )R_{2}(\theta )) = 0$ .

?

Задача 18.2.7

(i)(ii)

?

(i)

Найдите все матрицы перестановок $P$ размера $3 \times 3$ такие, что

P^{-1} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют группу, т.е. подгруппу группы матриц перестановок размера $3 \times 3$ .

(ii)

Найдите все обратимые матрицы $B$ размера $2 \times 2$ с $\operatorname {det}\left(B\right) = 1$ такие, что

B \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что эти матрицы образуют группу относительно умножения матриц.

Задача 18.2.8

Докажите или опровергните: для любой матрицы перестановки её собственные значения образуют группу относительно умножения.

?

Задача 18.2.9

Пусть $\sigma_{j}$ ( $j = 0, 1, 2, 3$ ) — матрицы Паули, где $\sigma_{0} = I_{2}$ . Образуют ли матрицы $4 \times 4$

\begin{pmatrix} \sigma _{j} & 0_{2} \\ 0_{2} & \sigma _{k} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{j} \\ \sigma _{k} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad j, k = 0, 1, 2, 3

группу относительно умножения матриц? Если нет, добавьте элементы, чтобы получить группу.

?

Задача 18.2.10

Пусть $\omega := \mathrm{exp}\left(2\pi i/4\right)$ . Рассмотрим унитарные матрицы $3 \times 3$

\Sigma = \begin{pmatrix} \omega & 0 & 0 \\ 0 & \omega ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{3} \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\Omega = \begin{pmatrix} -i/2 & (1+i)/2 & 1/2 \\ (1+i)/2 & 0 & (1-i)/2 \\ 1/2 & (1-i)/2 & i/2 \end{pmatrix}.

Образуют ли матрицы множества

\Lambda := \left\{ \Sigma ^{j}C^{k}\Omega ^{\ell } : 0 \leq j \leq 3, \ 0 \leq k \leq 1, \ 0 \leq \ell \leq 2\right\}

группу относительно умножения матриц?

?

Задача 18.2.11

Рассмотрим множество матриц $2 \times 2$

\left\{ e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\} .

Тогда относительно умножения матриц мы имеем группу. Рассмотрим множество

\left\{ e \otimes e, \quad e \otimes a, \quad a \otimes e, \quad a \otimes a\right\} .

Покажите, что это множество образует группу относительно умножения матриц. Например, $(a \otimes a)(a \otimes a) = e \otimes e$ . Нейтральным элементом является $e \otimes e$ .

?

Задача 18.2.12

Рассмотрим матрицу $2n \times 2n$

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}.

Будем говорить, что матрица $H$ размера $2n \times 2n$ над $\mathbb {R}$ является гамильтоновой, если $(JH)^{T} = JH$ . Будем говорить, что матрица $S$ размера $2n \times 2n$ над $\mathbb {R}$ является симплектической, если $S^{T}JS = J$ . Покажите, что если $H$ гамильтонова, а $S$ симплектическая, то матрица $S^{-1}HS$ гамильтонова. Заметьте, что поскольку $S$ обратима, $S^{T}$ также обратима. Имеем $(JS^{-1}HS)^{T} = S^{T}H^{T}(S^{T})^{-1}J^{T}$ .

?

Задача 18.2.13

(i)(ii)

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ . Группа Гейзенберга $H_{3}(\mathbb {R})$ состоит из всех верхнетреугольных матриц $3 \times 3$ вида

M(\alpha , \beta , \gamma ) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & \gamma \\ 0 & 1 & \beta \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

с умножением матриц в качестве композиции. Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы

A(t) = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что $\left\{ A(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ , $\left\{ B(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ , $\left\{ C(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ являются однопараметрическими подгруппами в $H_{3}(\mathbb {R})$ .

(ii)

Покажите, что $\left\{ C(t) : t \in \mathbb {R}\right\}$ является центром $H_{3}(\mathbb {R})$ .

Задача 18.2.14

Пусть $\omega^{3} = 1$ . Какая группа порождается матрицами $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega \\ 0 & \omega ^{2} & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \omega \\ 0 & 1 & 0 \\ \omega ^{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \omega \\ 0 & 1 & 0 \\ \omega ^{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}

относительно умножения матриц? Является ли матрица $\Pi = \frac{1}{3}(A+B+C)$ проекционной матрицей?

?

Задача 18.2.15

Рассмотрим шесть матриц перестановок $3 \times 3$ , обозначенных $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ , где $P_{0}$ — единичная матрица $3 \times 3$ . Найдите все тройки $(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})$ этих матриц перестановок такие, что $Q_{1}Q_{2}Q_{3} = Q_{3}Q_{2}Q_{1}$ , где $Q_{1} \neq Q_{2}$ , $Q_{2} \neq Q_{3}$ , $Q_{3} \neq Q_{1}$ .

?

Задача 18.2.16

Пусть $n \geq 2$ и $\omega = \mathrm{exp}\left(2\pi i/n\right)$ , где $\omega$ — примитивный корень $n$ -й степени из единицы с $\omega^{n} = 1$ . Рассмотрим диагональную матрицу и матрицу перестановки соответственно

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & 0 \\ 0 & \omega & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \omega ^{n-1} \end{pmatrix}, \qquad P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что $D^{n} = P^{n} = I_{n}$ .

(ii)

Покажите, что множество матриц $\left\{ D^{j}P^{k} : j, k = 0, 1, \ldots , n-1\right\}$ образует базис векторного пространства матриц $n \times n$ .

(iii)

Покажите, что $PD = \omega DP$ , $P^{j}D^{k} = \omega^{jk}D^{k}P^{j}$ .

(iv)

Найдите матрицу $X = \zeta P + \zeta^{-1}P^{-1} + \eta D + \eta^{-1}D^{-1}$ и вычислите её собственные значения.

(v)

Пусть $U$ — унитарная матрица

U = \frac{1}{\sqrt{n}}(\omega ^{jk})

где $j, k = 0, 1, \ldots , n-1$ . Покажите, что $UPU^{-1} = D$ .

(vi)

Пусть $R = P \otimes I_{n}$ и $S = D \otimes I_{n}$ . Найдите $RS$ . Пусть $X = P \otimes P$ и $Y = D \otimes D$ . Найдите $XY$ . Найдите коммутатор $[X, Y]$ .

Задача 18.2.17

(i)(ii)

Рассмотрим диагональную матрицу $D$ и матрицу перестановки $P$

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{exp}\left(2i\pi /3\right) & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{exp}\left(-2i\pi /3\right) \end{pmatrix}, \qquad P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Какая группа порождается $D$ и $P$ ?

(ii)

Вычислите коммутатор $[D, P]$ . Обсудите.

Задача 18.2.18

(i)(ii)

В группе Ли $U(N)$ унитарных матриц $N \times N$ можно найти две матрицы $U$ и $V$ размера $N \times N$ такие, что

UV = e^{2\pi i/N}VU.

Любую эрмитову матрицу $H$ размера $N \times N$ можно записать в виде

H = \sum _{j=0}^{N-1} \sum _{k=0}^{N-1} h_{jk}U^{j}V^{k}.

Используя коэффициенты разложения $h_{jk}$ , можно сопоставить эрмитовой матрице $H$ функцию

h(q,q) = \sum _{j=0}^{N-1} \sum _{k=1}^{N-1} h_{jk}e^{2\pi i(jp+kq)}

где $p = 0, 1, \ldots , N-1$ и $q = 0, 1, \ldots , N-1$ . Рассмотрим случай $N = 2$ и

U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi } \end{pmatrix}, \qquad V = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Рассмотрим эрмитову и унитарную матрицу

\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $h(p, q)$ .

(ii)

Рассмотрим эрмитову и проекционную матрицу

\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите $h(p, q)$ .

Задача 18.2.19

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

J := -i\sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что любая матрица $2 \times 2$ $A \in SL(2, \mathbb {C})$ удовлетворяет $A^{T}JA = J$ .

(ii)

Пусть $A$ удовлетворяет $A^{T}JA = J$ . Верно ли, что $(A \otimes A)^{T}(J \otimes J)(A \otimes A) = J \otimes J$ ? Верно ли, что $(A \oplus A)^{T}(J \oplus J)(A \oplus A) = J \oplus J$ ? Верно ли, что $(A \star A)^{T}(J \star J)(A \star A) = J \star J$ ?

Задача 18.2.20

Группа $SL(2, \mathbb {F}_{3})$ состоит из унимодулярных матриц $2 \times 2$ с целочисленными элементами, взятыми по модулю три. Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

— элемент $SL(2, \mathbb {F}_{3})$ . Найдите обратную к $A$ матрицу.

?

Задача 18.2.21

Рассмотрим полупростую группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $A \in SL(2, \mathbb {R})$ . Тогда $A^{-1} \in SL(2, \mathbb {R})$ . Объясните почему. Покажите, что $A$ и $A^{-1}$ имеют одинаковые собственные значения. Верно ли это по-прежнему для $A \in SL(3, \mathbb {R})$ ?

?

Задача 18.2.22

(i)(ii)

Пусть $A, B \in SL(2, \mathbb {R})$ .

?

(i)

Верно ли, что $\operatorname {tr}(A) = \operatorname {tr}(A^{-1})$ ? Докажите или опровергните.

(ii)

Верно ли, что $\operatorname {tr}(AB) = \operatorname {tr}(A)\operatorname {tr}(B) - \operatorname {tr}(AB^{-1})$ ? Докажите или опровергните.

Задача 18.2.23

(i)(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A(\alpha ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} e^{\alpha } & -e^{\alpha } \\ e^{-\alpha } & e^{-\alpha } \end{pmatrix}.

?

(i)

Найдите след, определитель, собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $A(\alpha )$ .

(ii)

Вычислите

X := \left.\frac{dA(\alpha )}{d\alpha }\right|_{\alpha =0}.

Найдите $\mathrm{exp}\left(\alpha X\right)$ и сравните с $A(\alpha )$ , т.е. верно ли, что $\mathrm{exp}\left(\alpha X\right) = A(\alpha )$ ? Обсудите.

Задача 18.2.24

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Матрица вращения $2 \times 2$

R(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $SO(2, \mathbb {R})$ . Найдите спектральное разложение $R(\alpha )$ .

(ii)

Пусть $\beta \in \mathbb {R}$ . Матрица

B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cosh (\beta ) & \sinh (\beta ) \\ \sinh (\beta ) & \cosh (\beta ) \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $SO(1, 1, \mathbb {R})$ . Найдите спектральное разложение $B(\beta )$ .

(iii)

Найдите спектральное разложение $R(\alpha ) \otimes B(\beta )$ .

Задача 18.2.25

Группа Ли $SU(1,1)$ состоит из всех матриц $2 \times 2$ $T$ над комплексными числами, для которых

TMT^{*} = M, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname {det}\left(T\right) = 1.

Покажите, что условие на $\xi_{0}, \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in \mathbb {R}$ , при котором

T = \begin{pmatrix} \xi _{0}+i\xi _{3} & \xi _{1}+i\xi _{2} \\ \xi _{1}-i\xi _{2} & \xi _{0}-i\xi _{3} \end{pmatrix}

является элементом $SU(1,1)$ , задаётся равенством $\operatorname {det}\left(T\right) = \xi_{0}^{2}+\xi_{3}^{2}-\xi_{1}^{2}-\xi_{2}^{2} = 1$ .

?

Задача 18.2.26

(i)(ii)

Единичную сферу

S^{3} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \mathbb {R}^{4} : \sum _{j=1}^{4} x_{j}^{2} = 1\right\}

отождествим с группой Ли $SU(2)$ посредством отображения

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mapsto \begin{pmatrix} x_{1}+ix_{2} & -x_{3}+ix_{4} \\ x_{3}+ix_{4} & x_{1}-ix_{2} \end{pmatrix}.

?

(i)

Отобразите стандартный базис $\mathbb {R}^{4}$ в $SU(2)$ и выразите эти матрицы через матрицы Паули и единичную матрицу $2 \times 2$ .

(ii)

Отобразите базис Белла

\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

в $SU(2)$ и выразите эти матрицы через матрицы Паули и единичную матрицу $2 \times 2$ .

Задача 18.2.27

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что если $A^{T} = -A$ , то $e^{A} \in O(n, \mathbb {C})$ .

?

Задача 18.2.28

(i)(ii)

?

(i)

Можно ли любой элемент группы Ли $SU(1,1)$ записать в виде

\begin{pmatrix} e^{i\alpha /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\alpha /2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh (\zeta /2) & \sinh (\zeta /2) \\ \sinh (\zeta /2) & \cosh (\zeta /2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\beta /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\beta /2} \end{pmatrix}?

Каждый элемент в этом произведении является элементом группы Ли $SU(1,1)$ .

(ii)

Можно ли любой элемент компактной группы Ли $SU(2)$ записать в виде

\begin{pmatrix} \cos (\alpha /2) & -\sin (\alpha /2) \\ \sin (\alpha /2) & \cos (\alpha /2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\gamma /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\gamma /2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos (\beta /2) & \sin (\beta /2) \\ -\sin (\beta /2) & \cos (\beta /2) \end{pmatrix}?

Задача 18.2.29

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ , т.е. множество всех вещественных матриц $2 \times 2$ с определителем, равным 1. Динамическую систему в $SL(2, \mathbb {R})$ можно определить как

M_{k+2} = M_{k}M_{k+1}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots

с начальными матрицами $M_{0}, M_{1} \in SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $F_{k} := \operatorname {tr}(M_{k})$ . Верно ли, что

F_{k+3} = F_{k+2}F_{k+1}-F_{k} \qquad k = 0, 1, 2, \ldots ?

Докажите или опровергните. Используйте то свойство, что для любой матрицы $2 \times 2$ $A$ выполняется (теорема Кэли–Гамильтона)

A^{2}-A\operatorname {tr}(A)+I_{2}\operatorname {det}\left(A\right) = 0_{2}.

?

Задача 18.2.30

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & i\sin (\alpha ) \\ i\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Заметим, что $A(0) = I_{2}$ . Таким образом, у нас есть нейтральный элемент. Кроме того, $\operatorname {det}\left(A(\alpha )\right) = 1$ .

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы

B(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & i\sinh (\alpha ) \\ -i\sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц? Заметим, что $B(0) = I_{2}$ . Таким образом, у нас есть нейтральный элемент. Кроме того, $\operatorname {det}\left(B(\alpha )\right) = 1$ .

Задача 18.2.31

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$

A(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что $A(\theta )$ является элементом компактной группы Ли $SO(3, \mathbb {R})$ .

(ii)

Покажите, что собственные значения $A(\theta )$ равны $\lambda_{1} = 1$ , $\lambda_{2} = e^{i\theta }$ , $\lambda_{3} = e^{-i\theta }$ .

(iii)

Покажите, что матрица $3 \times 3$

O(\theta , \phi ) = \begin{pmatrix} \sin (\theta )\cos (\phi ) & -\sin (\phi ) & -\cos (\theta )\cos (\phi ) \\ \sin (\theta )\sin (\phi ) & \cos (\phi ) & \cos (\theta )\sin (\phi ) \\ \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \end{pmatrix}

является элементом компактной группы Ли $SO(3)$ .

Задача 18.2.32

Пусть $n$ — целое число с $n \geq 2$ . Пусть $p, q$ — целые числа с $p, q \geq 1$ и $n = p+q$ . Пусть $I_{p}$ — единичная матрица $p \times p$ , а $I_{q}$ — единичная матрица $q \times q$ . Пусть

I_{p,q} = \begin{pmatrix} I_{p} & 0 \\ 0 & -I_{q} \end{pmatrix} \equiv I_{p} \oplus (-I_{q}).

Группа Ли $O(p,q)$ — это множество всех матриц $n \times n$ , определённых как

O(p,q) := \left\{ A \in GL(n, \mathbb {R}) : A^{T}I_{p,q}A = I_{p,q}\right\} .

Покажите, что это группа всех обратимых линейных отображений $\mathbb {R}^{n}$ , сохраняющих квадратичную форму

\sum _{j=1}^{p} x_{j}y_{j} - \sum _{j=p+1}^{n} x_{j}y_{j}.

?

Задача 18.2.33

Группа Ли $SU(2,2)$ определяется как группа преобразований четырёхмерного комплексного пространства $\mathbb {C}^{4}$ , оставляющих инвариантной неопределённую квадратичную форму

\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}-\left|z_{3}\right|^{2}-\left|z_{4}\right|^{2}.

Алгебра Ли $su(2,2)$ определяется как множество матриц $4 \times 4$ $X$ со следом $0$ и $X^{*}L+LX = 0_{4}$ , где $L$ — матрица $4 \times 4$

L = \begin{pmatrix} -I_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & I_{2} \end{pmatrix}.

Является ли

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

элементом алгебры Ли $su(2,2)$ ? Найдите $\mathrm{exp}\left(zX\right)$ . Обсудите.

?

Задача 18.2.34

(i)(ii)(iii)

Пусть $\theta \in \mathbb {R}$ .

?

(i)

Является ли матрица $2 \times 2$

M_{1}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

унитарной? Докажите или опровергните. Если да, является ли эта матрица элементом группы Ли $SU(2)$ ?

(ii)

Является ли матрица $8 \times 8$

M_{2}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

унитарной? Докажите или опровергните. Если да, является ли эта матрица элементом группы Ли $SU(4)$ ?

(iii)

Пусть $\oplus$ обозначает прямую сумму. Является ли матрица $6 \times 6$

M_{3}(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix} \oplus \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

унитарной? Докажите или опровергните. Если да, является ли эта матрица элементом группы Ли $SU(4)$ ?

Задача 18.2.35

(i)(ii)(iii)

Запишите две матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ , являющиеся элементами группы Ли $O(2, \mathbb {R})$ , но не являющиеся элементами $SO(2, \mathbb {R})$ .

?

(i)

Является ли $AB$ элементом группы Ли $SO(2, \mathbb {R})$ ?

(ii)

Является ли $A \otimes B$ элементом группы Ли $SO(4, \mathbb {R})$ ?

(iii)

Является ли $A \oplus B$ элементом $SO(4, \mathbb {R})$ ?

Задача 18.2.36

(i)(ii)

Пусть $z = x+iy$ с $x, y \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

\begin{pmatrix} \cos (z) & -\sin (z) \\ \sin (z) & \cos (z) \end{pmatrix}.

Имеют место тождества

\cos (x+iy) \equiv \cos (x)\cos (iy)-\sin (x)\sin (iy) \equiv \cos (x)\cosh (y)-i\sin (x)\sinh (y)

\sin (x+iy) \equiv \sin (x)\cos (iy)+\cos (x)\sin (iy) \equiv \sin (x)\cosh (y)+i\cos (x)\sinh (y).

Пусть $x = 0$ . Тогда мы приходим к матрице

M(y) = \begin{pmatrix} \cosh (y) & -i\sinh (y) \\ i\sinh (y) & \cosh (y) \end{pmatrix}.

?

(i)

Образуют ли эти матрицы ( $y \in \mathbb {R}$ ) группу относительно умножения матриц?

(ii)

Вычислите

X = \left.\frac{d}{dy}M(y)\right|_{y=0}

а затем $\mathrm{exp}\left(yX\right)$ с $y \in \mathbb {R}$ . Обсудите.

Задача 18.2.37

Максимальной компактной подгруппой Ли группы $SL(2, \mathbb {C})$ является $SU(2)$ . Приведите матрицу $2 \times 2$ $A$ , являющуюся элементом $SL(2, \mathbb {C})$ , но не являющуюся элементом $SU(2)$ .

?

Задача 18.2.38

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — матрицы $m \times m$ . Определим

\sigma (A_{1}, \ldots , A_{n}) := \frac{1}{n!} \sum _{s \in S_{n}} A_{s(1)} \otimes \cdots \otimes A_{s(n)}

где $S_{n}$ — группа перестановок. Пусть $n = 3$ , и рассмотрим матрицы

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите

\sigma (A_{1}, A_{2}, A_{3}) = \frac{1}{3!} \sum _{s \in S_{3}} A_{s(1)} \otimes A_{s(2)} \otimes A_{s(3)}.

?

Задача 18.2.39

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ . Образуют ли матрицы $3 \times 3$

M(\alpha , \beta , \gamma ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) & \beta \\ -\sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & \gamma \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

группу относительно умножения матриц?

?

Задача 18.2.40

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим некомпактную группу Ли $SO(1, 1, \mathbb {R})$ с элементом

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & \sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Покажите, что обратная к $A(\alpha )$ задаётся как

A^{-1}(\alpha ) = A(-\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & -\sinh (\alpha ) \\ -\sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix}.

Покажите, что собственные значения $A(\alpha )$ равны $e^{\alpha }$ и $e^{-\alpha }$ .

(ii)

Пусть $\oplus$ обозначает прямую сумму. Найдите определитель, собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $3 \times 3$ $(1) \oplus A(\alpha )$ .

Задача 18.2.41

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Пусть $A, B$ — элементы $SL(n, \mathbb {R})$ . Покажите, что $A \otimes B$ является элементом $SL(n^{2}, \mathbb {R})$ .

(ii)

Пусть $A, B$ — элементы $SL(n, \mathbb {R})$ . Покажите, что $A \oplus B$ является элементом $SL(2n, \mathbb {R})$ .

(iii)

Пусть $A, B$ — элементы $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $\star$ — звёздное произведение. Покажите, что $A \star B$ является элементом $SL(4, \mathbb {R})$ .

(iv)

Являются ли матрицы

X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

элементами $SL(3, \mathbb {R})$ и $SL(5, \mathbb {R})$ соответственно?

Задача 18.2.42

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $\left\| A\right\| < 1$ . Тогда $I_{n}+A$ обратима ( $I_{n}+A \in GL(n, \mathbb {C})$ ). Можем ли мы заключить, что $I_{n} \otimes I_{n}+A \otimes A$ обратима?

?

Задача 18.2.43

(i)(ii)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Определим

\tau _{1} = i\sigma _{1}, \qquad \tau _{2} = i\sigma _{2}, \qquad \tau _{3} = i\sigma _{3}

и $\tau_{0} = I_{2}$ . Таким образом, $\tau_{j}$ ( $j = 0, 1, 2, 3$ ) являются элементами группы Ли $SU(2)$ .

?

(i)

Определим оператор $R$ следующим образом ( $k \geq 2$ )

R(\tau _{j_{1}} \otimes \tau _{j_{2}} \otimes \cdots \otimes \tau _{j_{k}}) := \frac{1}{2}(\tau _{j_{1}}\tau _{j_{2}}^{*} \otimes \tau _{j_{2}}\tau _{j_{3}}^{*} \otimes \cdots \otimes \tau _{j_{k}}\tau _{j_{1}}^{*}).

Найдите $R(\tau_{1} \otimes \tau_{2} \otimes \tau_{3})$ .

(ii)

Рассмотрим унитарную матрицу (построенную из четырёх состояний Белла)

U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -i \\ 0 & -i & -1 & 0 \\ 0 & -i & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & i \end{pmatrix} \Rightarrow U^{*} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & i & i & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ i & 0 & 0 & -i \end{pmatrix}.

Покажите, что $U(i\sigma_{1} \otimes i\sigma_{1})U$ , $U(i\sigma_{2} \otimes i\sigma_{2})U$ , $U(i\sigma_{3} \otimes i\sigma_{3})U$ являются элементами группы Ли $SO(4)$ .

Задача 18.2.44

(i)(ii)

Рассмотрим матрицу перестановки $8 \times 8$

P = (1) \oplus \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus (1)

и

G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{1} = \begin{pmatrix} v_{1,1} \\ v_{1,2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} v_{2,1} \\ v_{2,2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{3} = \begin{pmatrix} v_{3,1} \\ v_{3,2} \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что $[P, G \otimes G \otimes G] = 0_{8}$ , где

G = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

(ii)

Предположим, что $G$ — матрица Адамара. Найдите вектор

(P(G \otimes G \otimes G))(\overrightarrow {v}_{1} \otimes \overrightarrow {v}_{2} \otimes \overrightarrow {v}_{3}).

Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $P$ . Обсудите.

Дополнительные задачи