Унитарные матрицы

Пусть $0 \leq r_{jk} \leq 1$ и $\phi_{jk} \in \mathbb {R}$ ($j,k = 1,2$). Найдите условия на $r_{jk}, \phi_{jk}$, при которых матрица $2 \times 2$

унитарна. Затем упростите для частного случая $\phi_{jk} = 0$ при $j,k = 1,2$.

Рассмотрим ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{3}$

Пусть $\overrightarrow {v}$ — столбец в $\mathbb {C}^{n}$ с $\overrightarrow {v}^{*}\overrightarrow {v} = 1$, т.е. вектор нормирован. Рассмотрим матрицу $U = I_{n} - 2\overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{*}$.

Рассмотрим две унитарные матрицы $2 \times 2$

Можно ли найти унитарную матрицу $2 \times 2$ $V$ такую, что $U_{1} = VU_{2}V^{*}$?

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$.

Найдите условие на матрицу $A$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такое, чтобы $I_{n}+A$ была унитарной матрицей.

Пусть $z_{1}, z_{2}, w_{1}, w_{2} \in \mathbb {C}$. Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

где $z_{1}\overline{z_{1}} = 1$, $z_{2}\overline{z_{2}} = 1$, $w_{1}\overline{w_{1}} = 1$, $w_{2}\overline{w_{2}} = 1$. Это означает, что матрицы $U$, $V$ унитарны. Найдите условие на $z_{1}, z_{2}, w_{1}, w_{2}$ такое, чтобы коммутатор $[U,V]$ снова был унитарной матрицей.

Найдите унитарную матрицу $3 \times 3$ $U$ с $\operatorname {det}\left(U\right) = -1$ такую, что

Покажите, что две матрицы

сопряжены в группе Ли $SU(2)$.

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$. Пусть $V$ — унитарная матрица $n \times n$ такая, что $V^{-1}UV = D$ — диагональная матрица $D$. Является ли $V^{-1}U^{*}V$ диагональной матрицей?

Пусть $n \geq 2$ чётно. Пусть $U$ — унитарная антисимметричная матрица $n \times n$. Покажите, что существует унитарная матрица $V$ такая, что

где $\oplus$ обозначает прямую сумму.

Пусть $U$ — унитарная и симметричная матрица. Покажите, что существует унитарная и симметричная матрица $V$ такая, что $U = V^{2}$.

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$. Покажите, что $\left|\operatorname {det}\left(U\right)\right| = 1$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Покажите, что если $\lambda$ — собственное значение $A$, то $\overline{\lambda }$ также является собственным значением $A$. Приведите пример матрицы $2 \times 2$, у которой собственные значения комплексные.

Пусть $V$ — нормальная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Предположим, что все её собственные значения имеют модуль $1$, т.е. они имеют вид $e^{i\phi }$. Покажите, что $V$ унитарна.

Найдите квадратные корни матриц Паули

Можно ли найти унитарную матрицу $U$ с $\operatorname {det}\left(U\right) = 1$, т.е. $U$ является элементом $SU(2)$, такую что

Можно ли найти унитарные матрицы $2 \times 2$ такие, что суммы элементов по строкам и столбцам равны единице? Разумеется, единичная матрица $2 \times 2$ — одна из них.

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$. Тогда

где $\phi_{j} \in [0,2\pi )$. Пусть $n = 2$. Найдите $\lambda$ для матрицы

Затем вычислите $\left|e^{i\phi_{1}}-e^{i\phi_{2}}\right|$.

Найдите унитарную матрицу $2 \times 2$ такую, что $\sigma_{2}U-U\sigma_{3} = 0_{2}$.

Матрицы Паули $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ эрмитовы и унитарны. Вместе с единичной матрицей $2 \times 2$ $\sigma_{0} = I_{2}$ они образуют ортогональный базис в гильбертовом пространстве матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ со скалярным произведением $\operatorname {tr}(AB^{*})$. Пусть $X$ — эрмитова матрица размера $n \times n$. Тогда $(X+iI_{n})^{-1}$ существует и

унитарна. Это преобразование Кэли матрицы $X$. Найдите преобразование Кэли матрицы Паули $\sigma_{2}$.

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$. Тогда $(A+iI_{n})^{-1}$ существует и

является унитарной матрицей (преобразование Кэли матрицы $A$).

Найдите преобразование Кэли эрмитовой матрицы

Пусть $\delta_{j}, \eta_{j} \in \mathbb {R}$ при $j = 1,2,3$. Любую унитарную симметричную матрицу $U$ размера $3 \times 3$ можно записать в виде произведения

где $\gamma_{jk} = N_{jk}\mathrm{exp}\left(i\beta_{jk}\right)$ с $N_{jk}, \beta_{jk} \in \mathbb {R}$. Отсюда следует, что

Условие унитарности $UU^{*} = I_{3}$ даёт

и

и циклически ($1 \to 2 \to 3 \to 1$). Запишите унитарную симметричную матрицу

в этом виде.

Пусть $U$ — унитарная матрица $2 \times 2$. Можно ли восстановить матрицу по $\operatorname {tr}(U)$, $\operatorname {tr}(U^{2})$, $\operatorname {tr}(U^{3})$?

Рассмотрим матрицу Адамара

которая является унитарной и эрмитовой матрицей с собственными значениями $+1$ и $-1$. Умножим каждый столбец на фазовый множитель $e^{i\phi_{j}}$ и получим матрицу

Останется ли матрица унитарной? Если нет, найдите условия на $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, при которых $V(\phi_{1},\phi_{2})$ унитарна.

Можно ли найти такое $\theta$, что

Пусть $A$ — эрмитова матрица $n \times n$ с $A^{2} = I_{n}$.

Пусть $I_{n}$ — единичная матрица $n \times n$, а $J_{n}$ — обратная единичная матрица $n \times n$, то есть матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а во всех остальных местах — нули. Являются ли матрицы

унитарными?

Пусть $U$ — унитарная матрица $4 \times 4$. Предположим, что каждый столбец (вектор) можно записать как кронекерово произведение двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$. Можем ли мы заключить, что собственные векторы такой унитарной матрицы также можно записать в виде кронекерова произведения двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$?

Найдите все эрмитовы и унитарные матрицы $A$, $B$ размера $2 \times 2$, такие что $AB = e^{i\pi }BA$.

Найдите все матрицы $A$ размера $(n+1) \times (n+1)$, такие что $A^{*}UA = U$, где $U$ — унитарная матрица

и $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$. Рассмотрим сначала случай $n = 2$. При $n = 2$ имеем

и найдите девять уравнений.

Рассмотрим унитарные матрицы $n \times n$. Скалярное произведение двух матриц $U$, $V$ размера $n \times n$ можно определить как

Найдите две унитарные матрицы $U$, $V$ размера $2 \times 2$, такие что $\left\langle U, V \right\rangle = \frac{1}{2}$.

Пусть $U$ — унитарная матрица. Тогда определитель $U$ должен иметь вид $e^{i\phi }$. Найдите определитель $U+U^{*}$.

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$, а $A$ — произвольная матрица $n \times n$. Тогда нам известно, что $Ue^{A}U^{-1} = e^{UAU^{-1}}$. Вычислите $Ue^{A}U$ при $U \neq U^{-1}$.

Рассмотрим единичные векторы в $\mathbb {C}^{3}$

то есть $\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\left|z_{3}\right|^{2} = 1$, $\left|w_{1}\right|^{2}+\left|w_{2}\right|^{2}+\left|w_{3}\right|^{2} = 1$. Предположим, что (комплексный единичный конус) $z_{1}w_{1}+z_{2}w_{2}+z_{3}w_{3} = 0$. Покажите, что $U \in SU(3)$ можно записать в виде

где $u_{j} := \sum_{k,\ell =1}^{3} \epsilon_{jk\ell }z_{k}\overline{w_{\ell }}$.