Банк задач по математике

Задача 17.1.1

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $\phi_{1}, \phi_{2} \in \mathbb {R}$ . Являются ли матрицы $2 \times 2$

U_{1} = \begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & 0 \\ 0 & e^{i\phi _{2}} \end{pmatrix}, \qquad U_{2} = \begin{pmatrix} 0 & e^{i\phi _{1}} \\ e^{i\phi _{2}} & 0 \end{pmatrix}

унитарными?

(ii)

Являются ли матрицы $2 \times 2$

V_{1} = \begin{pmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}, \qquad V_{2} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}

унитарными?

(iii)

Пусть $\theta , \phi \in \mathbb {C}$ . Является ли матрица $2 \times 2$

U(\theta ,\phi ) = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & e^{i\phi }\sin (\theta ) \\ e^{-i\phi }\sin (\theta ) & -\cos (\theta ) \end{pmatrix}

унитарной? Если да, найдите обратную.

Задача 17.1.2

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Можно ли найти унитарную матрицу $2 \times 2$ такую, что

U \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} U^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} ?

(ii)

Найдите унитарную матрицу $2 \times 2$ $V$ такую, что

V^{*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

(iii)

Можно ли найти унитарную матрицу $2 \times 2$ $W$ такую, что

W \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} W^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ?

Задача 17.1.3

Пусть $0 \leq r_{jk} \leq 1$ и $\phi_{jk} \in \mathbb {R}$ ( $j,k = 1,2$ ). Найдите условия на $r_{jk}, \phi_{jk}$ , при которых матрица $2 \times 2$

U(r_{jk}, \phi _{jk}) = \begin{pmatrix} r_{11}e^{i\phi _{11}} & r_{12}e^{i\phi _{12}} \\ r_{21}e^{i\phi _{21}} & r_{22}e^{i\phi _{22}} \end{pmatrix}

унитарна. Затем упростите для частного случая $\phi_{jk} = 0$ при $j,k = 1,2$ .

?

Задача 17.1.4

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Является ли матрица $3 \times 3$

U_{1} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ -i/\sqrt{2} & 0 & -i/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

унитарной?

(ii)

Является ли матрица $3 \times 3$

U_{2} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & -\sqrt{2}/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}

унитарной матрицей?

(iii)

Рассмотрим унитарную матрицу $3 \times 3$

U = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

и нормированный вектор в $\mathbb {C}^{3}$

\overrightarrow {v} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите векторы $U\overrightarrow {v}$ и $U^{2}\overrightarrow {v}$ .

Задача 17.1.5

(i)(ii)

Рассмотрим ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{3}$

\overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i \\ 0 \\ i \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i \\ 0 \\ -i \end{pmatrix}.

?

(i)

Является ли $U = \begin{pmatrix} \overrightarrow {v}_{1} & \overrightarrow {v}_{2} & \overrightarrow {v}_{3} \end{pmatrix}$ унитарной матрицей?

(ii)

Пусть $\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3} \in \mathbb {R}$ . Является ли $V(\phi_{1},\phi_{2},\phi_{3}) = e^{i\phi_{1}}\overrightarrow {v}_{1}\overrightarrow {v}_{1}^{*} + e^{i\phi_{2}}\overrightarrow {v}_{2}\overrightarrow {v}_{2}^{*} + e^{i\phi_{3}}\overrightarrow {v}_{3}\overrightarrow {v}_{3}^{*}$ унитарной матрицей?

Задача 17.1.6

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что можно найти унитарную матрицу $U$ размера $2n \times 2n$ такую, что

U \begin{pmatrix} A & B \\ -B & A \end{pmatrix} U^{*} = \begin{pmatrix} A+iB & 0_{n} \\ 0_{n} & A-iB \end{pmatrix}.

Здесь $0_{n}$ обозначает нулевую матрицу $n \times n$ .

(ii)

Используя результат из (i), покажите, что

\det \begin{pmatrix} A & B \\ -B & A \end{pmatrix} = \operatorname {det}\left(A+iB\right)\, \overline{\operatorname {det}\left(A+iB\right)} \geq 0.

Задача 17.1.7

(i)(ii)(iii)

Пусть $\overrightarrow {v}$ — столбец в $\mathbb {C}^{n}$ с $\overrightarrow {v}^{*}\overrightarrow {v} = 1$ , т.е. вектор нормирован. Рассмотрим матрицу $U = I_{n} - 2\overrightarrow {v}\overrightarrow {v}^{*}$ .

?

(i)

Покажите, что $U$ эрмитова.

(ii)

Покажите, что $U$ унитарна.

(iii)

Пусть $n = 2$ и $\overrightarrow {v}^{*} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 \; 1)$ . Найдите $U$ .

Задача 17.1.8

?

(i)

Пусть $U$ — унитарная матрица с $U^{2} = I_{n}$ . Можно ли заключить, что $U$ эрмитова?

(ii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Вычислите $\mathrm{exp}\left(\alpha U\right)$ .

(iii)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим унитарную матрицу $2 \times 2$

U_{1} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(i\alpha U_{1}\right)$ .

(iv)

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим унитарную матрицу $2 \times 2$

U_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(\alpha U_{2}\right)$ .

(v)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ — матрицы Паули. Определим унитарную матрицу $2 \times 2$

\sigma _{\phi } := \cos (\phi )\sigma _{1}+\sin (\phi )\sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & \cos (\phi )-i\sin (\phi ) \\ \cos (\phi )+i\sin (\phi ) & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\mathrm{exp}\left(-i\theta \sigma_{\phi }/2\right)$ .

Задача 17.1.9

Рассмотрим две унитарные матрицы $2 \times 2$

U_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли найти унитарную матрицу $2 \times 2$ $V$ такую, что $U_{1} = VU_{2}V^{*}$ ?

?

Задача 17.1.10

(i)(ii)

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ .

?

(i)

Обратима ли $U+U^{*}$ ?

(ii)

Эрмитова ли $U+U^{*}$ ?

Задача 17.1.11

Найдите условие на матрицу $A$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такое, чтобы $I_{n}+A$ была унитарной матрицей.

?

Задача 17.1.12

Пусть $z_{1}, z_{2}, w_{1}, w_{2} \in \mathbb {C}$ . Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

U = \begin{pmatrix} 0 & z_{1} \\ z_{2} & 0 \end{pmatrix}, \qquad V = \begin{pmatrix} 0 & w_{1} \\ w_{2} & 0 \end{pmatrix}

где $z_{1}\overline{z_{1}} = 1$ , $z_{2}\overline{z_{2}} = 1$ , $w_{1}\overline{w_{1}} = 1$ , $w_{2}\overline{w_{2}} = 1$ . Это означает, что матрицы $U$ , $V$ унитарны. Найдите условие на $z_{1}, z_{2}, w_{1}, w_{2}$ такое, чтобы коммутатор $[U,V]$ снова был унитарной матрицей.

?

Задача 17.1.13

Найдите унитарную матрицу $3 \times 3$ $U$ с $\operatorname {det}\left(U\right) = -1$ такую, что

U \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

?

Задача 17.1.14

Покажите, что две матрицы

A = \begin{pmatrix} e^{i\theta } & 0 \\ 0 & e^{-i\theta } \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{pmatrix}

сопряжены в группе Ли $SU(2)$ .

?

Задача 17.1.15

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ . Пусть $V$ — унитарная матрица $n \times n$ такая, что $V^{-1}UV = D$ — диагональная матрица $D$ . Является ли $V^{-1}U^{*}V$ диагональной матрицей?

?

Задача 17.1.16

Пусть $n \geq 2$ чётно. Пусть $U$ — унитарная антисимметричная матрица $n \times n$ . Покажите, что существует унитарная матрица $V$ такая, что

V^{T}UV = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \oplus \cdots \oplus \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

где $\oplus$ обозначает прямую сумму.

?

Задача 17.1.17

Пусть $U$ — унитарная и симметричная матрица. Покажите, что существует унитарная и симметричная матрица $V$ такая, что $U = V^{2}$ .

?

Задача 17.1.18

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ . Покажите, что $\left|\operatorname {det}\left(U\right)\right| = 1$ .

?

Задача 17.1.19

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что если $\lambda$ — собственное значение $A$ , то $\overline{\lambda }$ также является собственным значением $A$ . Приведите пример матрицы $2 \times 2$ , у которой собственные значения комплексные.

?

Задача 17.1.20

Пусть $V$ — нормальная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что все её собственные значения имеют модуль $1$ , т.е. они имеют вид $e^{i\phi }$ . Покажите, что $V$ унитарна.

?

Задача 17.1.21

Найдите квадратные корни матриц Паули

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

?

Задача 17.1.22

Можно ли найти унитарную матрицу $U$ с $\operatorname {det}\left(U\right) = 1$ , т.е. $U$ является элементом $SU(2)$ , такую что

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = U \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ?

?

Задача 17.1.23

Можно ли найти унитарные матрицы $2 \times 2$ такие, что суммы элементов по строкам и столбцам равны единице? Разумеется, единичная матрица $2 \times 2$ — одна из них.

?

Задача 17.1.24

Пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$ . Тогда

\operatorname {det}\left(U-\lambda I_{n}\right) = \prod _{j=1}^{N} (e^{i\phi _{j}}-\lambda )

где $\phi_{j} \in [0,2\pi )$ . Пусть $n = 2$ . Найдите $\lambda$ для матрицы

U = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}.

Затем вычислите $\left|e^{i\phi_{1}}-e^{i\phi_{2}}\right|$ .

?

Задача 17.1.25

Найдите унитарную матрицу $2 \times 2$ такую, что $\sigma_{2}U-U\sigma_{3} = 0_{2}$ .

?

Задача 17.1.26

Матрицы Паули $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ эрмитовы и унитарны. Вместе с единичной матрицей $2 \times 2$ $\sigma_{0} = I_{2}$ они образуют ортогональный базис в гильбертовом пространстве матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ со скалярным произведением $\operatorname {tr}(AB^{*})$ . Пусть $X$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ . Тогда $(X+iI_{n})^{-1}$ существует и

U = (X-iI_{n})(X+iI_{n})^{-1}

унитарна. Это преобразование Кэли матрицы $X$ . Найдите преобразование Кэли матрицы Паули $\sigma_{2}$ .

?

Задача 17.1.27

(i)(ii)

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ . Тогда $(A+iI_{n})^{-1}$ существует и

U = (A-iI_{n})(A+iI_{n})^{-1} \tag {1}

является унитарной матрицей (преобразование Кэли матрицы $A$ ).

?

(i)

Покажите, что $+1$ не может быть собственным значением $U$ .

(ii)

Покажите, что $A = i(U+I_{n})(I_{n}-U)^{-1}$ .

Задача 17.1.28

Найдите преобразование Кэли эрмитовой матрицы

H = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} \\ \overline{h_{12}} & h_{22} \end{pmatrix}, \qquad h_{11}, h_{22} \in \mathbb {R}, \quad h_{12} \in \mathbb {C}.

?

Задача 17.1.29

Пусть $\delta_{j}, \eta_{j} \in \mathbb {R}$ при $j = 1,2,3$ . Любую унитарную симметричную матрицу $U$ размера $3 \times 3$ можно записать в виде произведения

U = \begin{pmatrix} e^{i\delta _{1}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\delta _{2}} & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\delta _{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta _{1} & \gamma _{12} & \gamma _{13} \\ \gamma _{12} & \eta _{2} & \gamma _{23} \\ \gamma _{13} & \gamma _{23} & \eta _{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\delta _{1}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\delta _{2}} & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\delta _{3}} \end{pmatrix}

где $\gamma_{jk} = N_{jk}\mathrm{exp}\left(i\beta_{jk}\right)$ с $N_{jk}, \beta_{jk} \in \mathbb {R}$ . Отсюда следует, что

U_{jj} = \eta _{j}\mathrm{exp}\left(2i\delta _{j}\right), \qquad U_{jk} = N_{jk}\mathrm{exp}\left(i(\delta _{j}+\delta _{k}+\beta _{jk})\right).

Условие унитарности $UU^{*} = I_{3}$ даёт

\sum _{k \neq j}^{3} N_{jk}^{2}+\eta _{j} = 1, \qquad j = 1,2,3

и

N_{12}(\eta _{1}\mathrm{exp}\left(i\beta _{12}\right)+\eta _{2}\mathrm{exp}\left(-i\beta _{12}\right)) = N_{13}N_{23}\mathrm{exp}\left(i(\pi +\beta _{23}-\beta _{13})\right)

и циклически ( $1 \to 2 \to 3 \to 1$ ). Запишите унитарную симметричную матрицу

W = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}

в этом виде.

?

Задача 17.1.30

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицу

R = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/\sqrt{2} \\ 1/2 & 1/2 & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что $R^{-1} = R^{*} = R$ . Используя эти свойства и $\operatorname {tr}(R)$ , найдите все собственные значения $R$ . Найдите собственные векторы.

(ii)

Пусть

A_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $RA_{1}R^{-1}$ и $RA_{2}R^{-1}$ . Обсудите результат.

Задачи главы