Банк задач по математике

Задача 17.2.1

Пусть $U$ — унитарная матрица $2 \times 2$ . Можно ли восстановить матрицу по $\operatorname {tr}(U)$ , $\operatorname {tr}(U^{2})$ , $\operatorname {tr}(U^{3})$ ?

?

Задача 17.2.2

Рассмотрим матрицу Адамара

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

которая является унитарной и эрмитовой матрицей с собственными значениями $+1$ и $-1$ . Умножим каждый столбец на фазовый множитель $e^{i\phi_{j}}$ и получим матрицу

V(\phi _{1},\phi _{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & e^{i\phi _{2}} \\ e^{i\phi _{1}} & -e^{i\phi _{2}} \end{pmatrix}.

Останется ли матрица унитарной? Если нет, найдите условия на $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ , при которых $V(\phi_{1},\phi_{2})$ унитарна.

?

Задача 17.2.3

Можно ли найти такое $\theta$ , что

\begin{pmatrix} \cos (\theta )e^{-i\theta } & i\sin (\theta )e^{-i\theta } \\ i\sin (\theta )e^{-i\theta } & \cos (\theta )e^{-i\theta } \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix} ?

?

Задача 17.2.4

?

(i)

Является ли матрица $2 \times 2$

U = \begin{pmatrix} u_{1}+iu_{2} & u_{3}+iu_{4} \\ -u_{3}+iu_{4} & u_{1}-iu_{2} \end{pmatrix}

с $u_{1} = \cos (\alpha )$ , $u_{2} = \sin (\alpha )\cos (\beta )$ и

u_{3} = \sin (\alpha )\sin (\beta )\cos (\gamma ), \qquad u_{4} = \sin (\alpha )\sin (\beta )\sin (\gamma )

унитарной?

(ii)

Является ли матрица $3 \times 3$

U = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ i & i & -i \\ i & -i & -i \end{pmatrix}

унитарной?

(iii)

Покажите, что матрица $3 \times 3$ (матрица Фурье)

V = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \mathrm{exp}\left(i2\pi /3\right) & \mathrm{exp}\left(i4\pi /3\right) \\ 1 & \mathrm{exp}\left(i4\pi /3\right) & \mathrm{exp}\left(i2\pi /3\right) \end{pmatrix}

унитарна.

(iv)

Являются ли матрицы $4 \times 4$

A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

унитарными?

(v)

Покажите, что матрицы $4 \times 4$

X = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 1 & i & 0 \\ 0 & -i & -1 & 0 \\ i & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad Y = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

унитарны.

(vi)

Пусть

\sigma := \frac{1}{2}(1-\sqrt{5}), \qquad \tau := \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})

где $\tau$ — число золотого сечения. Являются ли матрицы $4 \times 4$

U_{1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\tau & -\sigma & 0 \\ \tau & 1 & 0 & \sigma \\ \sigma & 0 & 1 & -\tau \\ 0 & -\sigma & \tau & 1 \end{pmatrix}, \qquad U_{2} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\tau & -\sigma & 0 \\ \tau & 1 & 0 & -\sigma \\ \sigma & 0 & 1 & \tau \\ 0 & \sigma & -\tau & 1 \end{pmatrix}

унитарными? Докажите или опровергните.

(vii)

Покажите, что матрица $2n \times 2n$

V = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} I_{n} & iI_{n} \\ I_{n} & -iI_{n} \end{pmatrix}

унитарна.

Задача 17.2.5

(i)(ii)(iii)

Пусть $A$ — эрмитова матрица $n \times n$ с $A^{2} = I_{n}$ .

?

(i)

Покажите, что $U = \frac{1}{\sqrt{2}}(I_{n}+iA)$ унитарна.

(ii)

Покажите, что $U = \frac{1}{\sqrt{2}}(I_{n}-iA)$ унитарна.

(iii)

Пусть $\phi \in [0,2\pi )$ . Покажите, что условие на $\phi$ , при котором

V(\phi ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{i\phi }I_{n}+e^{-i\phi }A)

унитарна, задаётся значениями $\phi = \pi /2$ и $\phi = 3\pi /2$ .

Задача 17.2.6

Пусть $I_{n}$ — единичная матрица $n \times n$ , а $J_{n}$ — обратная единичная матрица $n \times n$ , то есть матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а во всех остальных местах — нули. Являются ли матрицы

U_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(I_{n}+iJ_{n}), \qquad U_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(I_{n}-iJ_{n}), \qquad U_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}((1+i)I_{n}+(1-i)J_{n})

унитарными?

?

Задача 17.2.7

Пусть $U$ — унитарная матрица $4 \times 4$ . Предположим, что каждый столбец (вектор) можно записать как кронекерово произведение двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$ . Можем ли мы заключить, что собственные векторы такой унитарной матрицы также можно записать в виде кронекерова произведения двух векторов из $\mathbb {C}^{2}$ ?

?

Задача 17.2.8

Найдите все эрмитовы и унитарные матрицы $A$ , $B$ размера $2 \times 2$ , такие что $AB = e^{i\pi }BA$ .

?

Задача 17.2.9

(i)(ii)

?

(i)

Найдите условия на $u_{11}, u_{12}, u_{21}, u_{22}, u_{23}, u_{32}, u_{33} \in \mathbb {C}$ , при которых матрица $3 \times 3$

U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & 0 \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ 0 & u_{32} & u_{33} \end{pmatrix}

унитарна.

(ii)

Пусть $1 \geq r_{jk} \geq 0$ , $\phi_{jk} \in \mathbb {R}$ ( $j,k = 1,2,3$ ). Найдите условия на $r_{jk}$ и $\phi_{jk}$ , при которых

\begin{pmatrix} r_{11}e^{i\phi _{11}} & r_{12}e^{i\phi _{12}} & r_{13}e^{i\phi _{13}} \\ r_{21}e^{i\phi _{21}} & r_{22}e^{i\phi _{22}} & r_{23}e^{i\phi _{23}} \\ r_{31}e^{i\phi _{31}} & r_{32}e^{i\phi _{32}} & r_{33}e^{i\phi _{33}} \end{pmatrix}

является унитарной матрицей.

Задача 17.2.10

Найдите все матрицы $A$ размера $(n+1) \times (n+1)$ , такие что $A^{*}UA = U$ , где $U$ — унитарная матрица

U = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0_{n-1} & I_{n-1} & 0_{n-1} \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}

и $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ . Рассмотрим сначала случай $n = 2$ . При $n = 2$ имеем

A^{*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 1 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 1 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}

и найдите девять уравнений.

?

Задача 17.2.11

Рассмотрим унитарные матрицы $n \times n$ . Скалярное произведение двух матриц $U$ , $V$ размера $n \times n$ можно определить как

\left\langle U, V \right\rangle := \frac{1}{n}\operatorname {tr}(UV^{*}).

Найдите две унитарные матрицы $U$ , $V$ размера $2 \times 2$ , такие что $\left\langle U, V \right\rangle = \frac{1}{2}$ .

?

Задача 17.2.12

Пусть $U$ — унитарная матрица. Тогда определитель $U$ должен иметь вид $e^{i\phi }$ . Найдите определитель $U+U^{*}$ .

?

Задача 17.2.13

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим унитарную матрицу

Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \equiv i\sigma _{2}.

Найдите все матрицы $S$ размера $2 \times 2$ , такие что $YSY^{-1} = S^{T}$ , $S = S^{*}$ .

(ii)

Можно ли найти унитарную матрицу $U$ размера $2 \times 2$ , такую что

\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & e^{i\phi }\sin (\theta ) \\ e^{-i\phi }\sin (\theta ) & -\cos (\theta ) \end{pmatrix} = U \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} U^{*} ?

Задача 17.2.14

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ , а $A$ — произвольная матрица $n \times n$ . Тогда нам известно, что $Ue^{A}U^{-1} = e^{UAU^{-1}}$ . Вычислите $Ue^{A}U$ при $U \neq U^{-1}$ .

?

Задача 17.2.15

Рассмотрим единичные векторы в $\mathbb {C}^{3}$

\overrightarrow {z} = \begin{pmatrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {w} = \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{pmatrix}

то есть $\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\left|z_{3}\right|^{2} = 1$ , $\left|w_{1}\right|^{2}+\left|w_{2}\right|^{2}+\left|w_{3}\right|^{2} = 1$ . Предположим, что (комплексный единичный конус) $z_{1}w_{1}+z_{2}w_{2}+z_{3}w_{3} = 0$ . Покажите, что $U \in SU(3)$ можно записать в виде

U = \begin{pmatrix} \overline{z_{1}} & \overline{z_{2}} & \overline{z_{3}} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{pmatrix}

где $u_{j} := \sum_{k,\ell =1}^{3} \epsilon_{jk\ell }z_{k}\overline{w_{\ell }}$ .

?

Задача 17.2.16

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $\phi_{1}, \phi_{2} \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

U(\phi _{1},\phi _{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & -e^{-i\phi _{2}} \\ e^{i\phi _{2}} & e^{-i\phi _{1}} \end{pmatrix}

унитарна. Является ли $U(\phi_{1},\phi_{2})$ элементом $SU(2)$ ? Найдите собственные значения и собственные векторы $U(\phi_{1},\phi_{2})$ . Зависят ли собственные значения и собственные векторы от $\phi$ ? Покажите, что

V(\phi _{1},\phi _{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & e^{-i\phi _{2}} \\ e^{i\phi _{2}} & -e^{-i\phi _{1}} \end{pmatrix}

унитарна. Является ли $V(\phi_{1},\phi_{2})$ элементом $SU(2)$ ? Найдите собственные значения и собственные векторы $V(\phi_{1},\phi_{2})$ . Зависят ли собственные значения и собственные векторы от $\phi$ ?

(ii)

Пусть $\phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}, \phi_{4} \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

U(\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3},\phi _{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & 0 & 0 & -e^{-i\phi _{2}} \\ 0 & e^{i\phi _{3}} & -e^{-i\phi _{4}} & 0 \\ 0 & e^{i\phi _{4}} & e^{-i\phi _{3}} & 0 \\ e^{i\phi _{2}} & 0 & 0 & e^{-i\phi _{1}} \end{pmatrix}

унитарна. Является ли $U(\phi_{1},\phi_{2},\phi_{3},\phi_{4})$ элементом $SU(4)$ ? Найдите собственные значения и собственные векторы $U(\phi_{1},\phi_{2},\phi_{3},\phi_{4})$ . Зависят ли собственные значения и собственные векторы от $\phi$ ?

(iii)

Пусть $\phi_{1}, \phi_{2} \in \mathbb {R}$ . Покажите, что

U(\phi _{1},\phi _{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & 0 & -e^{-i\phi _{2}} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ e^{i\phi _{2}} & 0 & e^{-i\phi _{1}} \end{pmatrix}

унитарна. Является ли $U(\phi_{1},\phi_{2})$ элементом $SU(2)$ ? Найдите собственные значения и собственные векторы $U(\phi_{1},\phi_{2})$ . Зависят ли собственные значения и собственные векторы от $\phi$ ?

Задача 17.2.17

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Что можно сказать о собственных значениях матрицы, которая унитарна и эрмитова?

(ii)

Что можно сказать о собственных значениях матрицы, которая унитарна и косоэрмитова?

(iii)

Что можно сказать о собственных значениях матрицы, которая унитарна и $U^{T} = U$ ?

(iv)

Что можно сказать о собственных значениях матрицы, которая унитарна и $U^{3} = U$ ?

Задача 17.2.18

Пусть $n$ — простое число и $j,k = 1,\ldots ,n$ . Покажите, что матрицы

(U_{1})_{jk} = \frac{1}{\sqrt{n}}\mathrm{exp}\left((2\pi i/n)(j+k-1)^{2}\right)

(U_{r})_{jk} = \frac{1}{\sqrt{n}}\mathrm{exp}\left((2\pi i/n)r(j+k-1)^{2}\right)

(U_{n-1})_{jk} = \frac{1}{\sqrt{n}}\mathrm{exp}\left(((2\pi i/n)(n-1)(j+k-1)^{2}\right)

(U_{n})_{jk} = \frac{1}{\sqrt{n}}\mathrm{exp}\left((2\pi i/n)jk\right)

(U_{n+1})_{jk} = \delta _{jk}

унитарны.

?

Задача 17.2.19

(i)(ii)(iii)

В гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{4}$ рассмотрим состояния Белла

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

?

(i)

Пусть $\omega := e^{2\pi i/4}$ . Примените преобразование Фурье

U_{F} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega ^{2} & \omega ^{3} \\ 1 & \omega ^{2} & 1 & \omega ^{2} \\ 1 & \omega ^{3} & \omega ^{2} & \omega \end{pmatrix}

к состояниям Белла и исследуйте запутанность этих состояний.

(ii)

Примените вейвлет-преобразование Хаара

U_{H} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2} \end{pmatrix}

к состояниям Белла и исследуйте запутанность этих состояний.

(iii)

Примените преобразование Уолша-Адамара

U_{W} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

к состояниям Белла и исследуйте запутанность этих состояний.

Обобщите на гильбертово пространство $\mathbb {C}^{2^{n}}$ , где первое состояние Белла задаётся как

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}.

Задача 17.2.20

Пусть $U$ — унитарная матрица $n \times n$ . Тогда $U+U^{*}$ — эрмитова матрица. Можно ли представить в таком виде любую эрмитову матрицу? Например, для нулевой матрицы $n \times n$ имеем $U = \operatorname {diag}(i,i,\ldots ,i)$ .

?

Задача 17.2.21

(i)(ii)

Пусть $\left\{ \left|a_{0}\right\rangle , \left|a_{1}\right\rangle , \ldots , \left|a_{n-1}\right\rangle \right\}$ — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{n}$ . Дискретное преобразование Фурье

\left|b_{j}\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{k=0}^{n-1} \omega ^{jk}\left|a_{k}\right\rangle , \qquad j = 0,1,\ldots ,n-1

где $\omega := \mathrm{exp}\left(2\pi i/n\right)$ — примитивный корень $n$ -й степени из единицы.

?

(i)

Примените дискретное преобразование Фурье к стандартному базису в $\mathbb {C}^{4}$

\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

(ii)

Примените дискретное преобразование Фурье к базису Белла в $\mathbb {C}^{4}$

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Задача 17.2.22

Рассмотрим унитарные матрицы $3 \times 3$

U_{1}(\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}) = \begin{pmatrix} e^{i\phi _{1}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\phi _{2}} & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\phi _{3}} \end{pmatrix}, \qquad U_{2}(\phi _{4},\phi _{5},\phi _{6}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & e^{i\phi _{4}} \\ 0 & e^{i\phi _{5}} & 0 \\ e^{i\phi _{6}} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Каково условие на $\phi_{1}, \ldots , \phi_{6}$ , при котором

[U_{1}(\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}), U_{2}(\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3})] = 0_{3} \; ?

?

Задача 17.2.23

Пусть $U$ — унитарная матрица с $U = U^{T}$ . Покажите, что $U$ можно записать в виде $U = V^{T}V$ , где $V$ унитарна. Заметьте, что $(V^{T}V)^{T} = V^{T}V$ .

?

Задача 17.2.24

Пусть $n \geq 2$ . Рассмотрим матрицу $n \times n$ (нумерация с $(0,0)$ )

(a_{jk}) = \frac{1}{\sqrt{n}}(e^{i\pi (j-k)})

где $j,k = 0,1,\ldots ,n-1$ . Является ли эта матрица унитарной? Сначала изучите случаи $n = 2$ и $n = 3$ .

?

Задача 17.2.25

Рассмотрим матрицу поворота

R(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$

M(\beta ) = \begin{pmatrix} f_{11}(\beta ) & f_{12}(\beta ) \\ f_{21}(\beta ) & f_{22}(\beta ) \end{pmatrix}

такие, что $R(\alpha )M(\beta )R^{-1}(\alpha ) = M(\beta +\alpha )$ .

?

Задача 17.2.26

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим унитарную матрицу $n \times n$ $U = (u_{jk})$ с $j,k = 1,\ldots ,n$ . Покажите, что

S = (s_{jk}) = (u_{jk}\overline{u}_{jk})

является дважды стохастической матрицей.

(ii)

Дана дважды стохастическая матрица $S$ размера $n \times n$ . Можно ли построить унитарную матрицу $U$ , порождающую дважды стохастическую матрицу, как описано в (i)?

Задача 17.2.27

(i)(ii)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули, а $\alpha_{j} \in \mathbb {R}$ для $j = 1,2,3$ .

?

(i)

Найдите матрицы $2 \times 2$

U_{k} := (I_{2}-i\alpha _{k}\sigma _{k})(I_{2}+i\alpha _{k}\sigma _{k})^{-1}

где $k = 1,2,3$ . Являются ли эти матрицы унитарными?

(ii)

Найдите матрицы $4 \times 4$

V_{k} := (I_{4}-i\alpha _{k}\sigma _{k}\otimes \sigma _{k})(I_{4}+i\alpha _{k}\sigma _{k}\otimes \sigma _{k})^{-1}

где $k = 1,2,3$ . Являются ли эти матрицы унитарными?

Задача 17.2.28

Пусть $U$ — унитарная матрица. Вычислите $\mathrm{exp}\left(\epsilon (U+U^{*})\right)$ , где $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Заметьте, что

(U+U^{*})^{2} = U^{2}+(U^{*})^{2}+2I_{n}, \qquad (U+U^{*})^{3} = U^{3}+(U^{*})^{3}+3U+3U^{*}.

?

Задача 17.2.29

Пусть $U$ , $V$ — унитарные матрицы $n \times n$ . Является ли матрица $2n \times 2n$

\begin{pmatrix} 0_{n} & U \\ V & 0_{n} \end{pmatrix}

унитарной?

?

Задача 17.2.30

Пусть $\phi \in \mathbb {R}$ , а $U$ — унитарная матрица $2 \times 2$ . Покажите, что матрица $4 \times 4$

V = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes U + \begin{pmatrix} e^{i\phi } & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes I_{2}

унитарна. Заметьте, что $V = e^{i\phi }I_{2} \oplus U$ .

?

Дополнительные задачи