Глава 14

Ненормальные матрицы

[35/63%]
Показать
LaTeX
§
14.1 · Задачи главы[22/100%]
Задача 14.1.1

Пусть AA — ненормальная n×nn \times n матрица над C\mathbb {C}.

?
(i)

Покажите, что A+A∗A+A^{*} является нормальной матрицей.

(ii)

Покажите, что AA∗AA^{*} является нормальной матрицей.

Задача 14.1.2

Пусть AA — ненормальная матрица. Покажите, что [A,A∗][A,A^{*}] является нормальной матрицей. Покажите, что [A,A∗]+[A,A^{*}]_{+} является нормальной матрицей.

?
Задача 14.1.3

Пусть α,β∈C\alpha , \beta \in \mathbb {C}. Каковы условия на α\alpha, β\beta, при которых матрица

M(α,β)=(αβ01)⇒M∗(α,β)=(αˉ0βˉ1) M(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow M^{*}(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} \bar\alpha & 0 \\ \bar\beta & 1 \end{pmatrix}

является нормальной?

?
Задача 14.1.4

Пусть θ∈[0,2π)\theta \in [0,2\pi ). Каковы условия на θ\theta, при которых матрица A(θ)A(\theta )

A(θ)=(0sin⁡(θ)cos⁡(θ)0)⇒A∗(θ)=(0cos⁡(θ)sin⁡(θ)0) A(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \sin (\theta ) \\ \cos (\theta ) & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*}(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \cos (\theta ) \\ \sin (\theta ) & 0 \end{pmatrix}

является нормальной?

?
Задача 14.1.5

Пусть θ∈R\theta \in \mathbb {R}. Каковы условия на θ\theta, при которых матрица A(θ)A(\theta )

A(θ)=(0sinh⁡(θ)cosh⁡(θ)0)⇒A∗(θ)=(0cosh⁡(θ)sinh⁡(θ)0) A(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \sinh (\theta ) \\ \cosh (\theta ) & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*}(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \cosh (\theta ) \\ \sinh (\theta ) & 0 \end{pmatrix}

является нормальной?

?
Задача 14.1.6

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C} и z≠0z \neq 0. Покажите, что матрица 2×22 \times 2

A=(1z0−1) A = \begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

является ненормальной. Найдите собственные значения.

?
Задача 14.1.7
?
(i)

Можно ли заключить, что обратимая матрица AA является нормальной?

(ii)

Пусть BB — n×nn \times n матрица над C\mathbb {C} с B2=InB^{2} = I_{n}. Можно ли заключить, что BB нормальна?

Задача 14.1.8

Покажите, что не все ненормальные матрицы недиагонализуемы.

?
Задача 14.1.9

Найдите все матрицы 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}, которые ненормальны, но диагонализуемы.

?
Задача 14.1.10

Пусть AA — нормальная n×nn \times n матрица, а SS — обратимая ненормальная матрица. Является ли SAS−1SAS^{-1} нормальной матрицей? Рассмотрите случай

A=12(111−1),S=(1−101). A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Разумеется, собственные значения AA и SAS−1SAS^{-1} совпадают.

?
Задача 14.1.11

Рассмотрим ненормальную матрицу 2×22 \times 2

A=(0100). A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите sinh⁡(A)\sinh (A) и tanh⁡−1(A)\tanh^{-1}(A).

?
Задача 14.1.12
?
(i)

Рассмотрим ненормальную матрицу 2×22 \times 2

A=(0i00)⇒A∗=(00−i0). A = \begin{pmatrix} 0 & i \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -i & 0 \end{pmatrix}.

Найдите унитарную матрицу UU, такую что UAU∗=A∗UAU^{*} = A^{*}.

(ii)

Рассмотрим ненормальную матрицу 2×22 \times 2

K=(−ii0i). K = \begin{pmatrix} -i & i \\ 0 & i \end{pmatrix}.

Найдите унитарную матрицу VV, такую что VKV∗=K∗VKV^{*} = K^{*}. Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы KK и K∗K^{*}. Обсудите.

Задача 14.1.13

Пусть AA, BB — нормальные матрицы. Можно ли заключить, что ABAB является нормальной матрицей?

?
Задача 14.1.14

Рассмотрим ненормальную матрицу 3×33 \times 3

B=(011011000). B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицу 3×33 \times 3 YY, такую что Y2=BY^{2} = B, т.е. YY была бы квадратным корнем из BB.

?
Задача 14.1.15

Пусть AA — нормальная n×nn \times n матрица. Является ли матрица A−iInA-iI_{n} нормальной?

?
Задача 14.1.16

Мера ненормальности задаётся как

m(A):=∥A∗A−AA∗∥ m(A) := \left\| A^{*}A-AA^{*}\right\|

где ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| обозначает некоторую матричную норму. Пусть S3S_{3} и S1S_{1} — вещественнозначные симметричные n×nn \times n матрицы (например, спиновые матрицы). Вычислите m(S3+exp(iϕ)S1)m(S_{3}+\mathrm{exp}\left(i\phi \right)S_{1}).

?
Задача 14.1.17

Рассмотрим ненормальную матрицу

A=(iπ10−iπ). A = \begin{pmatrix} i\pi & 1 \\ 0 & -i\pi \end{pmatrix}.

Верно ли, что eA+A∗=eAeA∗e^{A+A^{*}} = e^{A}e^{A^{*}}?

?
Задача 14.1.18

Докажите или опровергните следующие утверждения.

?
(i)

Если n×nn \times n матрица AA ненормальна, то не существует матрицы BB, такой что B2=AB^{2} = A.

(ii)

Пусть AA, BB — ненулевые n×nn \times n матрицы с B2=AB^{2} = A. Тогда матрица AA нормальна.

Задача 14.1.19

Известно, что все вещественные симметричные матрицы диагонализуемы. Верно ли, что все комплексные симметричные матрицы диагонализуемы?

?
Задача 14.1.20

Пусть AA — ненормальная матрица размера n×nn \times n, и пусть UU — унитарная матрица размера n×nn \times n. Является ли A~=UAU−1\widetilde A = UAU^{-1} ненормальной при всех UU?

?
Задача 14.1.21

Пусть AA — ненормальная матрица. Покажите, что A∗AA^{*}A и AA∗AA^{*} линейно независимы.

?
Задача 14.1.22
?
(i)

Покажите, что если AA и BB ненормальны, то A⊗BA \otimes B ненормальна.

(ii)

Покажите, что если AA и BB ненормальны, то A⊕BA \oplus B ненормальна, где ⊕\oplus обозначает прямую сумму.

§
14.2 · Дополнительные задачи[13/0%]
Задача 14.2.1

Являются ли все ненулевые нильпотентные матрицы ненормальными?

?
Задача 14.2.2
?
(i)

Пусть a11,a22,ϵ∈Ra_{11}, a_{22}, \epsilon \in \mathbb {R}. Каково условие на a11a_{11}, a22a_{22}, ϵ\epsilon, при котором матрица размера 2×22 \times 2

A=(a11eϵe−ϵa22) A = \begin{pmatrix} a_{11} & e^{\epsilon } \\ e^{-\epsilon } & a_{22} \end{pmatrix}

является нормальной?

(ii)

Пусть a>0a > 0, b≥0b \geq 0 и ϕ∈[0,π]\phi \in [0,\pi ]. Каковы условия на aa, bb, ϕ\phi, при которых

B(a,b,ϕ)=(0aeiϕb0) B(a,b,\phi ) = \begin{pmatrix} 0 & a \\ e^{i\phi }b & 0 \end{pmatrix}

является нормальной матрицей?

(iii)

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Является ли матрица размера 2×22 \times 2

(101−eze−z) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-e^{z} & e^{-z} \end{pmatrix}

ненормальной?

Задача 14.2.3
?
(i)

Пусть x1,x2,x3∈Rx_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb {R}. Каково условие, при котором матрица размера 3×33 \times 3

A(x1,x2,x3)=(0x1000x2x300) A(x_{1},x_{2},x_{3}) = \begin{pmatrix} 0 & x_{1} & 0 \\ 0 & 0 & x_{2} \\ x_{3} & 0 & 0 \end{pmatrix}

является нормальной? Покажите, что λ3=x1x2x3\lambda^{3} = x_{1}x_{2}x_{3} при det⁡(A−λI3)=0\operatorname {det}\left(A-\lambda I_{3}\right) = 0. Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы AA.

(ii)

Пусть x∈Rx \in \mathbb {R}. При каких значениях xx матрица размера 3×33 \times 3

A(x)=(−1+ixixixixixixixix1+ix) A(x) = \begin{pmatrix} -1+ix & ix & ix \\ ix & ix & ix \\ ix & ix & 1+ix \end{pmatrix}

является ненормальной.

Задача 14.2.4

Покажите, что если AA ненормальна, то A∙A∗A \bullet A^{*} нормальна, где ∙\bullet обозначает произведение Адамара. Заметьте, что A∙B=B∙AA \bullet B = B \bullet A и (A∙B)∗=A∗∙B∗(A \bullet B)^{*} = A^{*} \bullet B^{*}.

?
Задача 14.2.5

Найдите все ненормальные матрицы AA размера 2×22 \times 2 такие, что AA∗+A∗A=I2AA^{*}+A^{*}A = I_{2}. Пример:

A=(0100)⇒A∗=(0010). A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
?
Задача 14.2.6
?
(i)

Можно ли найти ненормальную матрицу AA такую, что eAeA∗=eA∗eAe^{A}e^{A^{*}} = e^{A^{*}}e^{A}?

(ii)

Можно ли найти ненормальную матрицу AA такую, что eAeA∗=eA+A∗e^{A}e^{A^{*}} = e^{A+A^{*}}?

Задача 14.2.7

Пусть MM — обратимая матрица размера n×nn \times n. Тогда можно образовать

M+=12(M+M−1),M−=12(M−M−1). M_{+} = \frac{1}{2}(M+M^{-1}), \quad M_{-} = \frac{1}{2}(M-M^{-1}).

Рассмотрим ненормальную матрицу

M=(1101). M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите M+M_{+} и M−M_{-}. Являются ли матрицы M+M_{+} и M−M_{-} нормальными?

?
Задача 14.2.8

Пусть sj:=2sin⁡(2πj/5)s_{j} := 2\sin (2\pi j/5) при j=1,…,5j = 1, \ldots , 5. Рассмотрим матрицу размера 5×55 \times 5

M=(s1100−1−1s21000−1s31000−1s41100−1s5). M = \begin{pmatrix} s_{1} & 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & s_{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & s_{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & s_{4} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & s_{5} \end{pmatrix}.

Покажите, что эта матрица ненормальна. Найдите собственные значения и собственные векторы. Диагонализируема ли эта матрица?

?
Задача 14.2.9

Пусть AA, BB — ненулевые эрмитовы матрицы размера n×nn \times n. Образуем матрицу KK как K:=A+iBK := A+iB. Эта матрица ненормальна, если [A,B]≠0n[A,B] \neq 0_{n}, и нормальна, если AB=BAAB = BA. Далее предполагаем, что KK ненормальна. Предположим, что можно найти унитарную матрицу UU размера n×nn \times n такую, что UKU∗=K∗UKU^{*} = K^{*}. Что можно сказать о собственных значениях KK? В физике такая унитарная матрица называется оператором квазисимметрии.

?
Задача 14.2.10

Пусть QQ — ненормальная обратимая матрица размера n×nn \times n. Является ли Q⊗Q−1Q \otimes Q^{-1} ненормальной?

?
Задача 14.2.11

Пусть MM — ненормальная матрица размера n×nn \times n. Являются ли матрицы размера 2n×2n2n \times 2n

A=(0nM∗M0n),B=(0n−M∗M0n) A = \begin{pmatrix} 0_{n} & M^{*} \\ M & 0_{n} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0_{n} & -M^{*} \\ M & 0_{n} \end{pmatrix}

ненормальными?

?
Задача 14.2.12

Пусть AA — ненормальная обратимая матрица. Как построить матрицу BB такую, что A=exp(B)A = \mathrm{exp}\left(B\right)? Изучите сначала два примера

A1=(1101),A2=(2101/2). A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}.

Обе являются элементами группы Ли SL(2,R)SL(2,\mathbb {R}). Матрица A1A_{1} допускает только один линейно независимый собственный вектор, а именно (1,0)T(1,0)^{T}. Матрица

B1=(0100) B_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

порождает A1A_{1}.

?
Задача 14.2.13

Пусть AA — ненормальная матрица размера n×nn \times n и Q∈SL(n,C)Q \in SL(n,\mathbb {C}). Можно ли найти такое QQ, что A~=QAQ−1\widetilde A = QAQ^{-1} нормальна?

?