Банк задач по математике

Задача 14.1.1

(i)(ii)

Пусть $A$ — ненормальная $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ .

?

(i)

Покажите, что $A+A^{*}$ является нормальной матрицей.

(ii)

Покажите, что $AA^{*}$ является нормальной матрицей.

Задача 14.1.2

Пусть $A$ — ненормальная матрица. Покажите, что $[A,A^{*}]$ является нормальной матрицей. Покажите, что $[A,A^{*}]_{+}$ является нормальной матрицей.

?

Задача 14.1.3

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$ . Каковы условия на $\alpha$ , $\beta$ , при которых матрица

M(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow M^{*}(\alpha ,\beta ) = \begin{pmatrix} \bar\alpha & 0 \\ \bar\beta & 1 \end{pmatrix}

является нормальной?

?

Задача 14.1.4

Пусть $\theta \in [0,2\pi )$ . Каковы условия на $\theta$ , при которых матрица $A(\theta )$

A(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \sin (\theta ) \\ \cos (\theta ) & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*}(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \cos (\theta ) \\ \sin (\theta ) & 0 \end{pmatrix}

является нормальной?

?

Задача 14.1.5

Пусть $\theta \in \mathbb {R}$ . Каковы условия на $\theta$ , при которых матрица $A(\theta )$

A(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \sinh (\theta ) \\ \cosh (\theta ) & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*}(\theta ) = \begin{pmatrix} 0 & \cosh (\theta ) \\ \sinh (\theta ) & 0 \end{pmatrix}

является нормальной?

?

Задача 14.1.6

Пусть $z \in \mathbb {C}$ и $z \neq 0$ . Покажите, что матрица $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

является ненормальной. Найдите собственные значения.

?

Задача 14.1.7

(i)(ii)

?

(i)

Можно ли заключить, что обратимая матрица $A$ является нормальной?

(ii)

Пусть $B$ — $n \times n$ матрица над $\mathbb {C}$ с $B^{2} = I_{n}$ . Можно ли заключить, что $B$ нормальна?

Задача 14.1.8

Покажите, что не все ненормальные матрицы недиагонализуемы.

?

Задача 14.1.9

Найдите все матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ , которые ненормальны, но диагонализуемы.

?

Задача 14.1.10

Пусть $A$ — нормальная $n \times n$ матрица, а $S$ — обратимая ненормальная матрица. Является ли $SAS^{-1}$ нормальной матрицей? Рассмотрите случай

A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Разумеется, собственные значения $A$ и $SAS^{-1}$ совпадают.

?

Задача 14.1.11

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите $\sinh (A)$ и $\tanh^{-1}(A)$ .

?

Задача 14.1.12

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & i \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -i & 0 \end{pmatrix}.

Найдите унитарную матрицу $U$ , такую что $UAU^{*} = A^{*}$ .

(ii)

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

K = \begin{pmatrix} -i & i \\ 0 & i \end{pmatrix}.

Найдите унитарную матрицу $V$ , такую что $VKV^{*} = K^{*}$ . Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $K$ и $K^{*}$ . Обсудите.

Задача 14.1.13

Пусть $A$ , $B$ — нормальные матрицы. Можно ли заключить, что $AB$ является нормальной матрицей?

?

Задача 14.1.14

Рассмотрим ненормальную матрицу $3 \times 3$

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли найти матрицу $3 \times 3$ $Y$ , такую что $Y^{2} = B$ , т.е. $Y$ была бы квадратным корнем из $B$ .

?

Задача 14.1.15

Пусть $A$ — нормальная $n \times n$ матрица. Является ли матрица $A-iI_{n}$ нормальной?

?

Задача 14.1.16

Мера ненормальности задаётся как

m(A) := \left\| A^{*}A-AA^{*}\right\|

где $\left\| \cdot \right\|$ обозначает некоторую матричную норму. Пусть $S_{3}$ и $S_{1}$ — вещественнозначные симметричные $n \times n$ матрицы (например, спиновые матрицы). Вычислите $m(S_{3}+\mathrm{exp}\left(i\phi \right)S_{1})$ .

?

Задача 14.1.17

Рассмотрим ненормальную матрицу

A = \begin{pmatrix} i\pi & 1 \\ 0 & -i\pi \end{pmatrix}.

Верно ли, что $e^{A+A^{*}} = e^{A}e^{A^{*}}$ ?

?

Задача 14.1.18

(i)(ii)

Докажите или опровергните следующие утверждения.

?

(i)

Если $n \times n$ матрица $A$ ненормальна, то не существует матрицы $B$ , такой что $B^{2} = A$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — ненулевые $n \times n$ матрицы с $B^{2} = A$ . Тогда матрица $A$ нормальна.

Задача 14.1.19

Известно, что все вещественные симметричные матрицы диагонализуемы. Верно ли, что все комплексные симметричные матрицы диагонализуемы?

?

Задача 14.1.20

Пусть $A$ — ненормальная матрица размера $n \times n$ , и пусть $U$ — унитарная матрица размера $n \times n$ . Является ли $\widetilde A = UAU^{-1}$ ненормальной при всех $U$ ?

?

Задача 14.1.21

Пусть $A$ — ненормальная матрица. Покажите, что $A^{*}A$ и $AA^{*}$ линейно независимы.

?

Задача 14.1.22

(i)(ii)

?

(i)

Покажите, что если $A$ и $B$ ненормальны, то $A \otimes B$ ненормальна.

(ii)

Покажите, что если $A$ и $B$ ненормальны, то $A \oplus B$ ненормальна, где $\oplus$ обозначает прямую сумму.

Задачи главы