Банк задач по математике

Задача 14.2.1

Являются ли все ненулевые нильпотентные матрицы ненормальными?

?

Задача 14.2.2

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $a_{11}, a_{22}, \epsilon \in \mathbb {R}$ . Каково условие на $a_{11}$ , $a_{22}$ , $\epsilon$ , при котором матрица размера $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & e^{\epsilon } \\ e^{-\epsilon } & a_{22} \end{pmatrix}

является нормальной?

(ii)

Пусть $a > 0$ , $b \geq 0$ и $\phi \in [0,\pi ]$ . Каковы условия на $a$ , $b$ , $\phi$ , при которых

B(a,b,\phi ) = \begin{pmatrix} 0 & a \\ e^{i\phi }b & 0 \end{pmatrix}

является нормальной матрицей?

(iii)

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Является ли матрица размера $2 \times 2$

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-e^{z} & e^{-z} \end{pmatrix}

ненормальной?

Задача 14.2.3

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb {R}$ . Каково условие, при котором матрица размера $3 \times 3$

A(x_{1},x_{2},x_{3}) = \begin{pmatrix} 0 & x_{1} & 0 \\ 0 & 0 & x_{2} \\ x_{3} & 0 & 0 \end{pmatrix}

является нормальной? Покажите, что $\lambda^{3} = x_{1}x_{2}x_{3}$ при $\operatorname {det}\left(A-\lambda I_{3}\right) = 0$ . Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы матрицы $A$ .

(ii)

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . При каких значениях $x$ матрица размера $3 \times 3$

A(x) = \begin{pmatrix} -1+ix & ix & ix \\ ix & ix & ix \\ ix & ix & 1+ix \end{pmatrix}

является ненормальной.

Задача 14.2.4

Покажите, что если $A$ ненормальна, то $A \bullet A^{*}$ нормальна, где $\bullet$ обозначает произведение Адамара. Заметьте, что $A \bullet B = B \bullet A$ и $(A \bullet B)^{*} = A^{*} \bullet B^{*}$ .

?

Задача 14.2.5

Найдите все ненормальные матрицы $A$ размера $2 \times 2$ такие, что $AA^{*}+A^{*}A = I_{2}$ . Пример:

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{*} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 14.2.6

(i)(ii)

?

(i)

Можно ли найти ненормальную матрицу $A$ такую, что $e^{A}e^{A^{*}} = e^{A^{*}}e^{A}$ ?

(ii)

Можно ли найти ненормальную матрицу $A$ такую, что $e^{A}e^{A^{*}} = e^{A+A^{*}}$ ?

Задача 14.2.7

Пусть $M$ — обратимая матрица размера $n \times n$ . Тогда можно образовать

M_{+} = \frac{1}{2}(M+M^{-1}), \quad M_{-} = \frac{1}{2}(M-M^{-1}).

Рассмотрим ненормальную матрицу

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Найдите $M_{+}$ и $M_{-}$ . Являются ли матрицы $M_{+}$ и $M_{-}$ нормальными?

?

Задача 14.2.8

Пусть $s_{j} := 2\sin (2\pi j/5)$ при $j = 1, \ldots , 5$ . Рассмотрим матрицу размера $5 \times 5$

M = \begin{pmatrix} s_{1} & 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & s_{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & s_{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & s_{4} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & s_{5} \end{pmatrix}.

Покажите, что эта матрица ненормальна. Найдите собственные значения и собственные векторы. Диагонализируема ли эта матрица?

?

Задача 14.2.9

Пусть $A$ , $B$ — ненулевые эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Образуем матрицу $K$ как $K := A+iB$ . Эта матрица ненормальна, если $[A,B] \neq 0_{n}$ , и нормальна, если $AB = BA$ . Далее предполагаем, что $K$ ненормальна. Предположим, что можно найти унитарную матрицу $U$ размера $n \times n$ такую, что $UKU^{*} = K^{*}$ . Что можно сказать о собственных значениях $K$ ? В физике такая унитарная матрица называется оператором квазисимметрии.

?

Задача 14.2.10

Пусть $Q$ — ненормальная обратимая матрица размера $n \times n$ . Является ли $Q \otimes Q^{-1}$ ненормальной?

?

Задача 14.2.11

Пусть $M$ — ненормальная матрица размера $n \times n$ . Являются ли матрицы размера $2n \times 2n$

A = \begin{pmatrix} 0_{n} & M^{*} \\ M & 0_{n} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0_{n} & -M^{*} \\ M & 0_{n} \end{pmatrix}

ненормальными?

?

Задача 14.2.12

Пусть $A$ — ненормальная обратимая матрица. Как построить матрицу $B$ такую, что $A = \mathrm{exp}\left(B\right)$ ? Изучите сначала два примера

A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}.

Обе являются элементами группы Ли $SL(2,\mathbb {R})$ . Матрица $A_{1}$ допускает только один линейно независимый собственный вектор, а именно $(1,0)^{T}$ . Матрица

B_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

порождает $A_{1}$ .

?

Задача 14.2.13

Пусть $A$ — ненормальная матрица размера $n \times n$ и $Q \in SL(n,\mathbb {C})$ . Можно ли найти такое $Q$ , что $\widetilde A = QAQ^{-1}$ нормальна?

?

Дополнительные задачи