Теорема Кэли--Гамильтона

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ и

Покажите, что $p(A) = 0_{n}$, т.е. матрица $A$ удовлетворяет своему характеристическому уравнению (теорема Кэли–Гамильтона).

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $2 \times 2$. Покажите, что

и, следовательно, $(\operatorname {tr}(A))^{2} = \operatorname {tr}(A^{2}) + 2 \operatorname {det}\left(A\right)$.

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

Вычислите $f(A) = A^{3}$, используя теорему Кэли--Гамильтона.

Примените теорему Кэли--Гамильтона к матрице $3 \times 3$ $A = (a_{jk})$ и выразите результат через след и определитель матрицы $A$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$. Предположим, что обратная матрица к $A$ существует. Обратную матрицу можно вычислить следующим образом (алгоритм Чанского). Пусть

Корни этого многочлена — по определению — собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ матрицы $A$. Запишем

где $c_{n} = (-1)^{n} \operatorname {det}\left(A\right)$. Так как $A$ невырождена, $c_{n} \neq 0$, и наоборот. Теорема Кэли--Гамильтона утверждает, что

Умножая это равенство на $A^{-1}$, получаем

Если известны коэффициенты $c_{j}$, можно вычислить обратную матрицу $A$. Пусть

Тогда $s_{j}$ и $c_{j}$ удовлетворяют следующей нижнетреугольной системе линейных уравнений размера $n \times n$

Поскольку

находим $s_{k}$ для $k = 1, \ldots , n$. Таким образом можно решить линейное уравнение относительно $c_{j}$. Наконец, используя приведённую выше формулу для обратной матрицы, получаем обратную матрицу к $A$. Примените алгоритм Чанского к матрице $3 \times 3$

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$. Пусть

— характеристический многочлен матрицы $A$. Примените теорему Кэли--Гамильтона $c(A) = 0_{n}$ для вычисления $\exp (A)$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Пусть $f$ — целая функция, то есть аналитическая функция на всей комплексной плоскости, например $\exp (z)$, $\sin (z)$, $\cos (z)$. Используя теорему Кэли-Гамильтона, можно записать

где комплексные числа $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n-1}$ определяются следующим образом: пусть

что представляет собой правую часть предыдущего уравнения с заменой $A^{j}$ на $\lambda^{j}$, где $j = 0, 1, \ldots , n-1$; для каждого различного собственного значения $\lambda_{j}$ матрицы $A$ рассматриваем уравнение

Если $\lambda_{j}$ — собственное значение кратности $k$, при $k > 1$, то рассматриваем также следующие уравнения

Примените эту технику для нахождения $\exp (A)$ при

Пусть $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb {C}$. Предположим, что хотя бы два из трёх комплексных чисел ненулевые. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

Вычислите $\exp (A)$, применяя теорему Кэли-Гамильтона. Характеристическое уравнение для $A$ имеет вид $\lambda^{2} - z_{1}\lambda - z_{2}z_{3} = 0$ с собственными значениями

Теорема Кэли-Гамильтона тогда утверждает, что $A^{2} - z_{1}A - z_{1}z_{3}I_{2} = 0_{2}$.

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ и $\alpha \neq 0$. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

Вычислите $\sin (A(\alpha ))$, применяя теорему Кэли-Гамильтона.

Вычислите

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $n \times n$ такие, что $ABAB = 0_{n}$. Можно ли заключить, что $BABA = 0_{n}$?

Рассмотрим ненормальную обратимую матрицу $2 \times 2$

Найдите $A^{2}$, $A^{3}$ и $A^{-1}$, используя теорему Кэли-Гамильтона.

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ и $\epsilon \neq 0$. Пусть

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$. Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

Найдите $\exp (A(\epsilon ))$, применяя теорему Кэли-Гамильтона.

Рассмотрим матрицу Белла

которая является унитарной матрицей. Примените теорему Кэли-Гамильтона, чтобы найти косоэрмитову матрицу $K$ такую, что $B = e^{K}$.