Банк задач по математике

Задача 10.2.1

Рассмотрим ненормальную обратимую матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите $A^{2}$ , $A^{3}$ и $A^{-1}$ , используя теорему Кэли-Гамильтона.

?

Задача 10.2.2

(i)(ii)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ и $\epsilon \neq 0$ . Пусть

A(\epsilon ) = \begin{pmatrix} 0 & \epsilon \\ \epsilon & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Вычислите $\cos (A(\epsilon ))$ и $\cos (A(\epsilon ) \otimes A(\epsilon ))$ , применяя теорему Кэли-Гамильтона.

(ii)

Вычислите $\tanh (A(\epsilon ))$ , применяя теорему Кэли-Гамильтона.

Задача 10.2.3

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицу $4 \times 4$

A(\epsilon ) = \begin{pmatrix} 0 & \epsilon \\ \epsilon & \epsilon \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & \epsilon \\ \epsilon & \epsilon \end{pmatrix}.

Найдите $\exp (A(\epsilon ))$ , применяя теорему Кэли-Гамильтона.

?

Задача 10.2.4

Рассмотрим матрицу Белла

B = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

которая является унитарной матрицей. Примените теорему Кэли-Гамильтона, чтобы найти косоэрмитову матрицу $K$ такую, что $B = e^{K}$ .

?

Дополнительные задачи