Банк задач по математике

Задача 10.1.1

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ и

p(\lambda ) = \operatorname {det}\left(A - \lambda I_{n}\right).

Покажите, что $p(A) = 0_{n}$ , т.е. матрица $A$ удовлетворяет своему характеристическому уравнению (теорема Кэли–Гамильтона).

?

Задача 10.1.2

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $2 \times 2$ . Покажите, что

A^{2} - A \operatorname {tr}(A) + I_{2} \operatorname {det}\left(A\right) = 0

и, следовательно, $(\operatorname {tr}(A))^{2} = \operatorname {tr}(A^{2}) + 2 \operatorname {det}\left(A\right)$ .

?

Задача 10.1.3

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Вычислите $f(A) = A^{3}$ , используя теорему Кэли--Гамильтона.

?

Задача 10.1.4

Примените теорему Кэли--Гамильтона к матрице $3 \times 3$ $A = (a_{jk})$ и выразите результат через след и определитель матрицы $A$ .

?

Задача 10.1.5

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Предположим, что обратная матрица к $A$ существует. Обратную матрицу можно вычислить следующим образом (алгоритм Чанского). Пусть

p(x) := \operatorname {det}\left(xI_{n} - A\right).

Корни этого многочлена — по определению — собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ матрицы $A$ . Запишем

p(x) = x^{n} + c_{1}x^{n-1} + \cdots + c_{n-1}x + c_{n}

где $c_{n} = (-1)^{n} \operatorname {det}\left(A\right)$ . Так как $A$ невырождена, $c_{n} \neq 0$ , и наоборот. Теорема Кэли--Гамильтона утверждает, что

p(A) = A^{n} + c_{1}A^{n-1} + \cdots + c_{n-1}A + c_{n}I_{n} = 0_{n}.

Умножая это равенство на $A^{-1}$ , получаем

A^{-1} = \frac{1}{-c_{n}}(A^{n-1} + c_{1}A^{n-2} + \cdots + c_{n-1}I_{n}).

Если известны коэффициенты $c_{j}$ , можно вычислить обратную матрицу $A$ . Пусть

s_{k} := \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j}^{k}.

Тогда $s_{j}$ и $c_{j}$ удовлетворяют следующей нижнетреугольной системе линейных уравнений размера $n \times n$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ s_{1} & 2 & 0 & \ldots & 0 \\ s_{2} & s_{1} & 3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{n-1} & s_{n-2} & \ldots & s_{1} & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s_{1} \\ -s_{2} \\ -s_{3} \\ \vdots \\ -s_{n} \end{pmatrix}.

Поскольку

\operatorname {tr}(A^{k}) = \lambda _{1}^{k} + \lambda _{2}^{k} + \cdots + \lambda _{n}^{k} = s_{k}

находим $s_{k}$ для $k = 1, \ldots , n$ . Таким образом можно решить линейное уравнение относительно $c_{j}$ . Наконец, используя приведённую выше формулу для обратной матрицы, получаем обратную матрицу к $A$ . Примените алгоритм Чанского к матрице $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

?

Задача 10.1.6

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Пусть

c(z) := \operatorname {det}\left(zI_{n} - A\right) = z^{n} - \sum _{k=0}^{n-1} c_{k}z^{k}

— характеристический многочлен матрицы $A$ . Примените теорему Кэли--Гамильтона $c(A) = 0_{n}$ для вычисления $\exp (A)$ .

?

Задача 10.1.7

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ с $A^{3} = I_{n}$ . Вычислите $\exp (A)$ , используя

\exp (A) = \sum _{j=0}^{\infty } \frac{A^{j}}{j!}.

(ii)

Пусть

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с $B^{3} = I_{3}$ . Вычислите $\exp (B)$ , применяя теорему Кэли--Гамильтона.

Задача 10.1.8

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $f$ — целая функция, то есть аналитическая функция на всей комплексной плоскости, например $\exp (z)$ , $\sin (z)$ , $\cos (z)$ . Используя теорему Кэли-Гамильтона, можно записать

f(A) = a_{n-1}A^{n-1} + a_{n-2}A^{n-2} + \cdots + a_{2}A^{2} + a_{1}A + a_{0}I_{n}

где комплексные числа $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n-1}$ определяются следующим образом: пусть

r(\lambda ) := a_{n-1}\lambda ^{n-1} + a_{n-2}\lambda ^{n-2} + \cdots + a_{2}\lambda ^{2} + a_{1}\lambda + a_{0}

что представляет собой правую часть предыдущего уравнения с заменой $A^{j}$ на $\lambda^{j}$ , где $j = 0, 1, \ldots , n-1$ ; для каждого различного собственного значения $\lambda_{j}$ матрицы $A$ рассматриваем уравнение

f(\lambda _{j}) = r(\lambda _{j}).

Если $\lambda_{j}$ — собственное значение кратности $k$ , при $k > 1$ , то рассматриваем также следующие уравнения

\begin{align} f'(\lambda )\big|_{\lambda = \lambda _{j}} & = r'(\lambda )\big|_{\lambda = \lambda _{j}} \\ f''(\lambda )\big|_{\lambda = \lambda _{j}} & = r''(\lambda )\big|_{\lambda = \lambda _{j}} \\ \cdots & = \cdots \\ f^{(k-1)}(\lambda )\big|_{\lambda = \lambda _{j}} & = r^{(k-1)}(\lambda )\big|_{\lambda = \lambda _{j}}. \end{align}

Примените эту технику для нахождения $\exp (A)$ при

A = \begin{pmatrix} c & c \\ c & c \end{pmatrix}, \qquad c \in \mathbb {R}, \quad c \neq 0.

?

Задача 10.1.9

Пусть $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb {C}$ . Предположим, что хотя бы два из трёх комплексных чисел ненулевые. Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} z_{1} & z_{2} \\ z_{3} & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\exp (A)$ , применяя теорему Кэли-Гамильтона. Характеристическое уравнение для $A$ имеет вид $\lambda^{2} - z_{1}\lambda - z_{2}z_{3} = 0$ с собственными значениями

\lambda _{+} = \frac{1}{2}z_{1} + \sqrt{z_{1}^{2} + 4z_{2}z_{3}}, \qquad \lambda _{-} = \frac{1}{2}z_{1} - \sqrt{z_{1}^{2} + 4z_{2}z_{3}}.

Теорема Кэли-Гамильтона тогда утверждает, что $A^{2} - z_{1}A - z_{1}z_{3}I_{2} = 0_{2}$ .

?

Задача 10.1.10

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ и $\alpha \neq 0$ . Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} 0 & \alpha \\ \alpha & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите $\sin (A(\alpha ))$ , применяя теорему Кэли-Гамильтона.

?

Задача 10.1.11

Вычислите

\sec \begin{pmatrix} \frac{\pi }{\sqrt{2}} & 0 & 0 & \frac{\pi }{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{\pi }{\sqrt{2}} & \frac{\pi }{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{\pi }{\sqrt{2}} & -\frac{\pi }{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{\pi }{\sqrt{2}} & 0 & 0 & -\frac{\pi }{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.

?

Задача 10.1.12

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ такие, что $ABAB = 0_{n}$ . Можно ли заключить, что $BABA = 0_{n}$ ?

?

Задачи главы