Основные понятия

Тензор типа $(1,0)$ имеет в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ компоненты ($i_{0}$ — фиксированное число, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n$)

Найти компоненты этого тензора в новом базисе $e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$, если известна матрица перехода $C = \left(c_{j}^{i}\right)$ от старого базиса к новому.

Тензор типа $(0,1)$ имеет в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ компоненты ($i_{0}$ — фиксированное число, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n$)

Найти компоненты этого тензора в новом базисе $e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$, если известна матрица перехода $C = \left(c_{j}^{i}\right)$ от старого базиса к новому.

Проверить, что вектор (соответственно ковектор (линейная функция), линейный оператор, билинейная форма) на $V$ определяет тензор типа $(1,0)$ (соответственно $(0,1),(1,1),(0,2)$).

Убедиться, что определенные выше отображения пространств тензоров $\mathbf{T}_{q}^{p}$ и полилинейных функций $\mathbf{P}_{q}^{p}$ корректно заданы, линейны и биективны. Как запишется операция $\otimes$ в терминах $\mathbf{P}_{q}^{p}$?

Проверить, что тензорное произведение и свертка-корректно определенные тензорные операции.

Показать, что сопоставление символа Кронекера $\delta_{j}^{i}$ любому базису задает тензор типа $(1,1)$. Какой линейный оператор и какая полилинейная функция соответствуют ему?

Показать, что $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}}$ не является тензором.

Пусть $v \in V, \varphi \in V^{*}$. Найти образ оператора, соответствующего тензору $v \otimes \varphi$, в пространстве $V$.

Зафиксируем базис $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ в $V$ и определим тензор $A = e^{1} \otimes e_{2}-e^{2} \otimes e_{3}+e^{3} \otimes e_{1} \in \mathbf{T}_{1}^{1}$ и трилинейное отображение $F \in \mathbf{P}_{3}^{0}$, $F\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) = \det \left\| v_{j}^{i}\right\|$, где $v_{j}^{i}$ — $i$-я координата вектора $v_{j}$ в указанном базисе. Вычислить $\left(A \otimes T_{F}\right)_{2133}^{1}$ и $\left(T_{F} \otimes A\right)_{2133}^{1}$.

Пусть в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ компоненты тензора $T \in \mathbf{T}_{3}^{2}(V)$ определены как $T_{k s m}^{i j} = 2 i$. Найти $\left(T^{\prime }\right)_{223}^{12}$, если $e_{i}^{\prime } = \sum_{j \leqslant i}(i-j+1) e_{j}$.

Показать, что тензор типа $(1,1)$, инвариантный относительно всех ортогональных замен координат в $\mathbb {R}^{n}$, пропорционален тензору $\delta_{j}^{i}$.

Показать, что тензор третьей валентности, инвариантный относительно произвольных замен координат, равен нулю.

Найти общий вид тензора четвертой валентности, инвариантного относительно произвольной замены координат. Рассмотреть различные случаи $(p, q), p+q = 4$.

Выразить след оператора А в виде результата тензорных операций.

Выразить детерминант матрицы оператора в виде результата тензорных операций.

Пусть $A$ — линейный оператор. Найти выражения для величин $A_{i}^{i}, A_{j}^{i} A_{i}^{j}, A_{j}^{i} A_{k}^{j} A_{i}^{k}$ через корни и коэффициенты характеристического многочлена $\operatorname {det}\left(A-\lambda E\right)$.

Рассмотрим полилинейную функцию $F \in \mathbf{P}_{n}^{n}(V), \operatorname {dim} V = n$, заданную формулой

Для данного базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ найти компоненты $T_{F}$.

Пусть $\varphi \in \mathbf{P}_{q}^{p}$. Показать, что значение $\varphi$ на конкретном наборе ковекторных аргументов $\xi^{j}$ и векторных аргументов $v_{i}$, т. е. $\varphi \left(\xi^{1}, \ldots , \xi^{p}, v_{1}, \ldots , v_{q}\right)$, совпадает с $(p+q)$-кратной сверткой тензора $T_{\varphi } \otimes \xi^{1} \otimes \ldots \otimes \xi^{p} \otimes v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{q}$ типа $(p+q, p+q)$.

Пусть $\mathbb {R}_{n}[x]$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с вещественными коэффициентами. Убедиться, что отображение $l: \mathbb {R}_{n}[x] \rightarrow \mathbb {R}$, заданное каждым из следующих способов: