Тензоры

Тензор типа $(1,0)$ имеет в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ компоненты ($i_{0}$ — фиксированное число, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n$)

Найти компоненты этого тензора в новом базисе $e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$, если известна матрица перехода $C = \left(c_{j}^{i}\right)$ от старого базиса к новому.

Тензор типа $(0,1)$ имеет в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ компоненты ($i_{0}$ — фиксированное число, $1 \leqslant i_{0} \leqslant n$)

Найти компоненты этого тензора в новом базисе $e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }$, если известна матрица перехода $C = \left(c_{j}^{i}\right)$ от старого базиса к новому.

Проверить, что вектор (соответственно ковектор (линейная функция), линейный оператор, билинейная форма) на $V$ определяет тензор типа $(1,0)$ (соответственно $(0,1),(1,1),(0,2)$).

Убедиться, что определенные выше отображения пространств тензоров $\mathbf{T}_{q}^{p}$ и полилинейных функций $\mathbf{P}_{q}^{p}$ корректно заданы, линейны и биективны. Как запишется операция $\otimes$ в терминах $\mathbf{P}_{q}^{p}$?

Проверить, что тензорное произведение и свертка-корректно определенные тензорные операции.

Показать, что сопоставление символа Кронекера $\delta_{j}^{i}$ любому базису задает тензор типа $(1,1)$. Какой линейный оператор и какая полилинейная функция соответствуют ему?

Показать, что $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}}$ не является тензором.

Пусть $v \in V, \varphi \in V^{*}$. Найти образ оператора, соответствующего тензору $v \otimes \varphi$, в пространстве $V$.

Зафиксируем базис $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ в $V$ и определим тензор $A = e^{1} \otimes e_{2}-e^{2} \otimes e_{3}+e^{3} \otimes e_{1} \in \mathbf{T}_{1}^{1}$ и трилинейное отображение $F \in \mathbf{P}_{3}^{0}$, $F\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) = \det \left\| v_{j}^{i}\right\|$, где $v_{j}^{i}$ — $i$-я координата вектора $v_{j}$ в указанном базисе. Вычислить $\left(A \otimes T_{F}\right)_{2133}^{1}$ и $\left(T_{F} \otimes A\right)_{2133}^{1}$.

Пусть в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ компоненты тензора $T \in \mathbf{T}_{3}^{2}(V)$ определены как $T_{k s m}^{i j} = 2 i$. Найти $\left(T^{\prime }\right)_{223}^{12}$, если $e_{i}^{\prime } = \sum_{j \leqslant i}(i-j+1) e_{j}$.

Показать, что тензор типа $(1,1)$, инвариантный относительно всех ортогональных замен координат в $\mathbb {R}^{n}$, пропорционален тензору $\delta_{j}^{i}$.

Показать, что тензор третьей валентности, инвариантный относительно произвольных замен координат, равен нулю.

Найти общий вид тензора четвертой валентности, инвариантного относительно произвольной замены координат. Рассмотреть различные случаи $(p, q), p+q = 4$.

Выразить след оператора А в виде результата тензорных операций.

Выразить детерминант матрицы оператора в виде результата тензорных операций.

Пусть $A$ — линейный оператор. Найти выражения для величин $A_{i}^{i}, A_{j}^{i} A_{i}^{j}, A_{j}^{i} A_{k}^{j} A_{i}^{k}$ через корни и коэффициенты характеристического многочлена $\operatorname {det}\left(A-\lambda E\right)$.

Рассмотрим полилинейную функцию $F \in \mathbf{P}_{n}^{n}(V), \operatorname {dim} V = n$, заданную формулой

Для данного базиса $e_{1}, \ldots , e_{n}$ найти компоненты $T_{F}$.

Пусть $\varphi \in \mathbf{P}_{q}^{p}$. Показать, что значение $\varphi$ на конкретном наборе ковекторных аргументов $\xi^{j}$ и векторных аргументов $v_{i}$, т. е. $\varphi \left(\xi^{1}, \ldots , \xi^{p}, v_{1}, \ldots , v_{q}\right)$, совпадает с $(p+q)$-кратной сверткой тензора $T_{\varphi } \otimes \xi^{1} \otimes \ldots \otimes \xi^{p} \otimes v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{q}$ типа $(p+q, p+q)$.

Пусть $\mathbb {R}_{n}[x]$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с вещественными коэффициентами. Убедиться, что отображение $l: \mathbb {R}_{n}[x] \rightarrow \mathbb {R}$, заданное каждым из следующих способов:

Проверить, что $V \otimes W$ является линейным пространством.

Пусть $\mathbb {k}[x]$ — пространство всех многочленов от переменной $x$ с коэффициентами в поле $\mathbb {k}$, a $\mathbb {k}[x, y]$ — пространство многочленов от $x$ и $y$. Доказать, что соответствие $f \otimes g \mapsto f g$ задает линейный изоморфизм $\mathbb {k}[x] \otimes \mathbb {k}[y] \rightarrow \mathbb {k}[x, y]$.

Пусть $\mathbb {k}_{n}[x]$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с коэффициентами в поле $\mathbb {k}$, а $\mathbb {k}_{n, m}[x, y]$ пространство многочленов от $x$ и $y$, степени не выше $n$ по $x$ и не выше $m$ по $y$. Доказать, что соответствие $f \otimes g \mapsto f g$ задает линейный изоморфизм $\mathbb {k}_{n}[x] \otimes \mathbb {k}_{m}[y] \rightarrow \mathbb {k}_{n, m}[x, y]$.

Доказать ассоциативность и коммутативность (с точностью до естественных изоморфизмов) операции тензорного произведения пространств.

Установить естественный изоморфизм

Рассмотрим $F \in \mathbf{P}_{q+q^{\prime }}^{p+p^{\prime }}$. Доказать, что отображение

определяет линейное отображение $\widetilde{F}: \mathbf{P}_{p}^{q} \rightarrow \mathbf{P}_{q^{\prime }}^{p^{\prime }}$.

Пусть $\operatorname {dim} V = n, \operatorname {dim} W = m$, а $e_{1}, \ldots , e_{n}$ и $f_{1}, \ldots , f_{m}$ — некоторые базисы пространств $V$ и $W$. Доказать, что $\operatorname {dim}(V \otimes W) = n \cdot m$, а в качестве базиса можно выбрать $e_{i} \otimes f_{j}, i = 1, \ldots , n, j = 1, \ldots , m$.

Пусть имеются разложения пространств в прямые суммы: $V = \bigoplus_{i} V_{i}, W = \bigoplus_{j} W_{j}$. Доказать, что $V \otimes W \cong \bigoplus_{i, j} V_{i} \otimes W_{j}$ (после естественного отождествления).

В частном случае изоморфизм тензорного произведения и пространства тензоров (см. задачу 1706) превращается в канонический изоморфизм $\tau : V^{*} \otimes V \rightarrow \mathscr {L}(V)$, где $\mathscr {L}(V)$ — пространство линейных операторов. Вычислить (предварительно обосновав независимость от размерности):

В обозначениях предыдущей задачи найти при $\operatorname {dim} V = 4$

где $\circ$ обозначает композицию отображений.

Пусть $V = \mathbb {R}_{n}[x]$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с вещественными коэффициентами, а функция $l: V \rightarrow \mathbb {R}$, заданная формулой

определяет ковектор. Рассмотрим также многочлены $r = 1-x+x^{2}$ и $q = 1+x+x^{2}+\ldots +x^{n}$. Найти $\tau (l \otimes r)(q)$.

Показать, что $f \otimes g$, определенное в теоретической части, корректно заданное линейное отображение.

Будем обозначать $V^{\otimes p} = \underbrace{V \otimes \ldots \otimes V}_{p}$ и $f^{\otimes p} = \underbrace{f \otimes \ldots \otimes f}_{p}$, где $f$ — линейное отображение. Доказать, что $\operatorname {rk}\left(f^{\otimes p}\right) = (\operatorname {rk}\left(f\right))^{p}$. В частности, тензорная степень обратимого оператора обратима.

Для операторов в пространстве $V$ доказать формулы:

Доказать, что $\operatorname {tr}\left(f^{\otimes p}\right) = (\operatorname {tr}(f))^{p}$, где $f$ — линейный оператор.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{p}$ - (не обязательно различные) собственные векторы оператора $f: V \rightarrow V$, отвечающие собственным значениям $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{p}$ соответственно. Доказать, что $e_{1} \otimes \ldots \otimes e_{p}$ является собственным вектором оператора $f^{\otimes p}$, отвечающим собственному значению $\lambda_{1} \cdot \ldots \cdot \lambda_{p}$.

Пусть линейный оператор $f: V \rightarrow V$ приводится к диагональному виду. Доказать, что в этом случае $f^{\otimes p}$ также диагонализируем. Верно ли обратное утверждение?

Пусть $\lambda_{k}(k = 1, \ldots , n)$ — все собственные значения оператора $f: V \rightarrow V$, взятые с учетом кратностей, $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что набор всех собственных значений оператора $f^{\otimes p}$ с учетом кратностей состоит из всевозможных произведений

Доказать, что $\operatorname {det}\left(f^{\otimes p}\right) = (\det f)^{p n^{p-1}}$, где $f$ — оператор в $V$, $\operatorname {dim} V = n$.

Пусть линейные операторы $f: V \rightarrow V$ и $g: W \rightarrow W$ имеют соответствующие разложения на инвариантные подпространства $V = \bigoplus_{i} V_{i}, W = \bigoplus_{j} W_{j}$. Доказать, что $V \otimes W = \bigoplus_{i, j} V_{i} \otimes W_{j}$ — разложение на инвариантные подпространства для $f \otimes g$.

Пусть $\frac{d}{d x}$ и $\frac{d}{d y}$ — операторы дифференцирования в пространствах многочленов $\mathbb {R}_{n}[x]$ и $\mathbb {R}_{m}[y]$ соответственно. Выяснить аналитический смысл оператора $\frac{d}{d x} \otimes \frac{d}{d y}$ и найти его жорданову форму.

Найти жорданову форму тензорного произведения двух операторов, имеющих следующие жордановы формы:

Проверить, что операторы Sym и Alt в пространстве $\mathbf{T}_{0}^{p}$ обладают следующими свойствами (где $\circ$ обозначает композицию отображений):

Показать, что $S(V)$ с операцией — и $\Lambda (V)$ с операцией $\wedge$ являются ассоциативными алгебрами. При этом:

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис пространства $V$. Доказать, что тензоры

образуют базис пространства $S^{p}(V)$. Вычислить его размерность.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис пространства $V$. Доказать, что тензоры

образуют базис в $\Lambda^{p}(V)$. Вычислить его размерность и размерность пространства $\Lambda (V)$. Провести аналогичные рассуждения для $\Omega_{q}(V)$.

Доказать, что линейная оболочка множества

равна $\mathbf{S}^{k}(V)$ (поле $\mathbb {k}$ характеристики 0).

Доказать, что естественные вложения

индуцируют изоморфизмы

Пусть $\operatorname {dim} V > 2$. Показать, что пространства $\Lambda^{2}\left(\Lambda^{2}(V)\right)$ и $\Lambda^{4}(V)$ не изоморфны.

Показать, что внешнее произведение $a_{1} \wedge a_{2} \wedge \ldots \wedge a_{p}$ векторов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{p}$ равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.

Пусть $T$ — кососимметрический ковариантный тензор валентности $n$ в пространстве $V$, причем $n = \operatorname {dim} V$. Показать, что все его компоненты с точностью до знака совпадают с $T_{12 \ldots n}$ (говорят, что тензор $T$ имеет единственную существенную компоненту). Доказать, что эта компонента преобразуется по правилу

где $\det C$ — определитель матрицы перехода к новому базису. Аналогично, в контравариантном случае доказать формулу $\left(T^{\prime }\right)^{12 \ldots n} = (\det C)^{-1} \cdot T^{12 \ldots n}$.

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{p}$ и $b_{1}, \ldots , b_{p}$ — два набора линейно независимых векторов. Доказать, что $a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{p} = \lambda \cdot b_{1} \wedge \ldots \wedge b_{p}$ тогда и только тогда, когда линейные оболочки двух наборов векторов совпадают. При этом $\lambda$ равно определителю матрицы перехода от второй системы векторов к первой.

Показать, что линейная оболочка системы линейно независимых векторов $a_{1}, \ldots , a_{k}$ совпадает с множеством тех векторов $a$, для которых $T \wedge a = 0$, где $T = a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{k}$.

Пусть $T \in \Lambda^{p}(V)$; определим

Доказать, что $T$ представим в виде $\widetilde{T} \wedge S$, где $S = a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{k} \neq 0$, тогда и только тогда, когда $a_{i} \in \operatorname {Ann}(T)$ для $i = 1, \ldots , k$.

Доказать, что соответствие $T \mapsto \operatorname {Ann}(T)$ осуществляет биекцию множества ненулевых разложимых $p$-векторов в $V$ (рассматриваемых с точностью до умножения на скаляр) на множество $p$-мерных подпространств пространства $V$.

Показать, что для $T \in \Lambda^{p}(V)$ размерность пространства $\operatorname {Ann}(T)$ не превосходит $p$, причем равенство имеет место в точности тогда, когда $T$ есть внешнее произведение линейно независимых векторов.

Дан кососимметрический тензор $T \in \Lambda^{n-1}(V)$, где $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что найдутся такие векторы $a_{1}, \ldots , a_{n-1}$, что $T = a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n-1}$ (т.е. $(n-1)$-вектор $T$ разложим). Аналогично, для $S \in \Omega_{n-1}(V)$ найдутся такие ковекторы $\xi^{1}, \ldots , \xi^{n-1}$, что $S = \xi^{1} \wedge \ldots \wedge \xi^{n-1}$.

Доказать, что бивектор $T$ представим в виде $a \wedge b$ для некоторых векторов $a$ и $b$ тогда и только тогда, когда $T \wedge T = 0$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная функция на $V$. Доказать, что на пространстве $\Lambda^{2}(V)$ можно определить такую невырожденную билинейную форму $\Phi$, что для любых элементов $v_{i} \in V$, $i = 1, \ldots , 4$, выполняется

Пусть $f: V \rightarrow V$ — линейный оператор. Показать, что оператор $f^{\otimes p}$ (тензорная степень) коммутирует с оператором Alt, тем самым определено линейное отображение $f^{\wedge p}: \Lambda^{p}(V) \rightarrow \Lambda^{p}(V)$.

Пусть $\operatorname {dim} V = n, f: V \rightarrow V$ — линейный оператор. Доказать, что оператор $f^{\wedge (n-1)}$ либо равен 0, либо невырожден, либо имеет ранг 1.

Пусть $f: V \rightarrow V$ — линейный оператор, $\operatorname {dim} V = n$. Поскольку $\operatorname {dim} \Lambda^{n}(V) = 1$, оператор $f^{\wedge n}$ является умножением на скаляр. Доказать, что этот скаляр равен $\det f$.

Доказать формулы ($\circ$ — композиция):

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{p}$ — линейно независимые собственные векторы оператора $f: V \rightarrow V$, отвечающие соответственно собственным значениям $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{p}$ (не обязательно различным). Доказать, что $e_{1} \wedge \ldots \wedge e_{p}$ является собственным вектором оператора $f^{\wedge p}$, отвечающим собственному значению $\lambda_{1} \cdot \ldots \cdot \lambda_{p}$.

Пусть линейный оператор $f: V \rightarrow V$ приводится к диагональному виду. Доказать, что в этом случае $f^{\wedge p}$ также диагонализируем. Верно ли обратное?

Пусть $\lambda_{k}(k = 1, \ldots , n)$ — все собственные значения оператора $f: V \rightarrow V$, взятые с учетом кратностей, $\operatorname {dim} V = n$. Доказать, что набор всех собственных значений оператора $f^{\wedge p}$ с учетом кратностей состоит из всевозможных произведений

Доказать, что $\operatorname {det}\left(f^{\wedge p}\right) = (\det f)^{\binom {n-1}{p-1}}$, где $f: V \rightarrow V$ — линейный оператор, $\operatorname {dim} V = n$.

Пусть характеристический многочлен оператора $f: V \rightarrow V$, $\operatorname {dim} V = n$, равен $\sum_{p = 0}^{n} a_{p} \lambda^{n-p}$. Доказать равенство $\operatorname {tr}\left(f^{\wedge p}\right) = (-1)^{n-p} a_{p}$.

Найти следы операторов $f^{\wedge p}$ для нетривиальных $\Lambda^{p}(V)$, если $f$ задан своей матрицей:

Доказать, что если $\operatorname {tr}\left(f^{\wedge p}\right) = 0$ для любого $p = 1,2, \ldots$, то оператор $f: V \rightarrow V$ нильпотентен.

Найти жорданову форму $f^{\wedge 2}$ по известной жордановой форме $f$ :

Пусть $W$ является $k$-мерным подпространством $V$. Описать естественное вложение $\Lambda^{p}(W)$ в $\Lambda^{p}(V)$. Доказать, что оператор $f: V \rightarrow V$ имеет $W$ своим инвариантным подпространством тогда и только тогда, когда $\Lambda^{k}(W)$ инвариантно относительно $f^{\wedge k}$.

Определим для ковектора $\varphi \in V^{*}$ оператор внутреннего произведения как отображение

где, как и выше, $F_{T} \in \mathbf{P}_{0}^{p}$ — полилинейная функция, соответствующая $T \in \mathbf{T}_{0}^{p}$. Доказать что оператор внутреннего произведения переводит симметрические тензоры в симметрические, а кососимметрические — в кососимметрические. Пусть $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — два ковектора. Показать, что операторы $i\left(\varphi_{1}\right)$ и $i\left(\varphi_{2}\right)$ коммутируют в $S(V)$ и антикоммутируют в $\Lambda (V)$.

Пусть $\varphi$ — невырожденная билинейная функция. Доказать, что сопоставление каждому базису матрицы, обратной к матрице $\varphi$ в этом базисе, определяет тензор типа (2,0).

Представить операции поднятия и опускания индекса (стоящего на любом месте) в терминах произведения и свертки. Тем самым убедиться, что поднятие и опускание — корректно определенные тензорные операции.

Показать, что если мы ограничимся ортогональными заменами координат в евклидовом пространстве, то закон изменения для верхних индексов будет совпадать с законом изменения для нижних. Точнее, если в некоторой ортогональной системе координат $T^{i_{1} \ldots i_{p}} = T_{i_{1} \ldots i_{p}}$ для всех $i_{1}, \ldots , i_{p}$, то они равны и в любой другой ортогональной системе координат.

Пусть в базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ матрица скалярного произведения равна $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$. Провести опускание и поднятие индексов у тензоров (координаты приведены в указанном базисе):

В пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ всех многочленов степени не выше $n$ от переменной $x$ с вещественными коэффициентами рассмотрим скалярное произведение

Пусть $e_{0} = 1, e_{1} = x, e_{2} = x^{2}, \ldots , e_{n} = x^{n}$ — базис. Найти координаты в дуальном базисе ковектора, полученного поднятием индекса у $q = 1+2 x+3 x^{2}$, при $n = 2$.

Пусть в базисе $(e_{i})$ матрица евклидова скалярного произведения в пространстве $V$ равна $\left\| g_{i j}\right\|$, а уравнение $a_{1} x^{1}+\ldots +a_{n} x^{n} = 0$ задает $(n-1)$-мерное подпространство (гиперплоскость) $W$. Доказать, что выражения $v^{i} = g^{i j} a_{j}$, рассматриваемые как компоненты некоторого вектора в данном базисе, определяют вектор нормали к $W$.

В условиях предыдущей задачи найти формулы для вычисления расстояния от вектора $u = \left(u^{i}\right)$ до гиперплоскости $W$ в терминах тензорных операций.