Нормальные операторы

Доказать, что самосопряженные, ортогональные (унитарные), кососимметрические (косоэрмитовы) операторы являются нормальными операторами.

Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда для любого вектора $x$ выполнено

Доказать, что линейный оператор А тогда и только тогда является нормальным, когда в его полярном разложении $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$, где B — неотрицательный самосопряженный, а U — унитарный (ортогональный) оператор, операторы B и U коммутируют.

Пусть А- нормальный оператор, а оператор В коммутирует с А, т. е. $\mathbf{A B} = \mathbf{B A}$. Доказать, что В также коммутирует с А* .

Пусть A, B — нормальные операторы, а оператор С удовлетворяет соотношению $\mathbf{A C} = \mathbf{C B}$. Доказать, что $\mathbf{A}^{*} \mathbf{C} = \mathbf{C B}^{*}$.

Доказать, что оператор А в эрмитовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда в его эрмитовом разложении $\mathbf{A} = \mathbf{H}_{1}+i \mathbf{H}_{2}$ самосопряженные операторы $\mathbf{H}_{1}$ и $\mathbf{H}_{2}$ (эрмитовы компоненты оператора А) коммутируют.

Доказать, что если оператор А нормален, то для любого скаляра $\lambda$ оператор $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}$ также нормален.

Доказать, что оператор А в евклидовом (эрмитовом) пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда в его полярных разложениях $\mathbf{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U} = \mathbf{U P}_{2}$ операторы $\mathbf{P}_{1}$ и $\mathbf{P}_{2}$ совпадают.

Доказать, что оператор А в евклидовом (эрмитовом) пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда существует общий канонический ортонормированный базис неотрицательного оператора $\mathbf{P}_{1}$ и ортогонального (унитарного) оператора $\mathbf{U}$ его полярного разложения $\mathrm{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U}$. Аналогичное утверждение имеет место и для полярного разложения $\mathbf{A} = \mathbf{U P}_{2}$.

Доказать, что оператор А в евклидовом (эрмитовом) пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда собственные числа неотрицательного оператора $\mathbf{P}_{1}$ в его полярном разложении $\mathrm{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U}$ равны модулям собственных чисел $\mathbf{A}$. Аналогичное утверждение имеет место и для полярного разложения $\mathbf{A} = \mathbf{U P}_{2}$.

Доказать, что собственный вектор $x$ нормального оператора А в евклидовом (эрмитовом) пространстве с собственным значением $\lambda$ является также собственным вектором оператора $\mathbf{A}^{*}$ с собственным значением $\bar{\lambda }$.

Доказать, что ортогональное дополнение к собственному вектору нормального оператора А в евклидовом (эрмитовом) пространстве инвариантно относительно А и А*.

Доказать, что собственные векторы нормального оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что оператор А в эрмитовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства, состоящий из собственных векторов. Верно ли это утверждение в евклидовом пространстве (сравнить с задачей 1447)?

Доказать, что для любого (конечного или бесконечного) множества попарно коммутирующих нормальных операторов в эрмитовом пространстве существует общий ортонормированный канонический базис.

Доказать, что оператор А в эрмитовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда любой его собственный вектор является собственным и для A*. Верно ли это утверждение в евклидовом пространстве?

Показать, что в эрмитовом пространстве инвариантные подпространства для нормального оператора А также инвариантны относительно A*.

Доказать, что оператор А в эрмитовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда инвариантность подпространства $W$ относительно А влечет инвариантность $W^{\perp }$ относительно А. Верно ли это утверждение в евклидовом пространстве?

Доказать, что ограничение нормального оператора на инвариантное подпространство в эрмитовом пространстве является нормальным оператором.

Доказать, что оператор А в эрмитовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда сопряженный оператор A* является многочленом от А.

Доказать, что если $W$ — инвариантное подпространство относительно нормального оператора А в евклидовом пространстве, то $W^{\perp }$ также инвариантно.

Доказать, что нормальный оператор А в евклидовом (эрмитовом) пространстве является:

Доказать, что оператор А в евклидовом пространстве является нормальным тогда и только тогда, когда в некотором ортонормированном базисе он имеет блочно-диагональную матрицу, состоящую из блоков размера 1 и размера 2 вида $\left(\begin{smallmatrix} \mu & -\nu \\ \nu & \mu \end{smallmatrix}\right)$. Эта матрица называется каноническим видом нормального оператора, а соответствующий ортонормированный базис — каноническим базисом нормального оператора.

Доказать, что в каноническом виде нормального оператора А двумерные блоки вида

и векторы $e_{2 k-1}, e_{2 k}$ канонического базиса, относящиеся к таким блокам, т. е.

могут быть найдены следующим образом.

Рассмотрим комплексификацию $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ нашего оператора. Оператор $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ имеет такую же матрицу, что и $\mathbf{A}$. Пусть $\lambda = \mu +i \nu$ — корень характеристического многочлена этой матрицы. Найдем базис соответствующего собственного подпространства $V_{\lambda } \subset V$ и ортогонализуем его (относительно эрмитова скалярного произведения): пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{l}$ — получившиеся векторы, где $x_{j}, y_{j}$ — их действительные и мнимые части: $z_{j} = x_{j}+i y_{j}, j = 1,2, \ldots , l$.

Тогда система вещественных векторов $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots , x_{l}, y_{l}$ ортогональна, причем $\left|x_{j}\right| = \left|y_{j}\right|, j = 1, \ldots , l$ (относительно евклидова скалярного произведения), а оператор А действует на векторах системы нужным образом: $\mathbf{A}\left(x_{j}\right) = \mu x_{j}+\nu y_{j}, \mathbf{A}\left(y_{j}\right) = -\nu x_{j}+\mu y_{j}$. Нормируем векторы

и включаем их в канонический базис: каждая такая пара векторов $x_{j}^{\prime }, y_{j}^{\prime }$ отвечает блоку $\left(\begin{smallmatrix} \mu & -\nu \\ \nu & \mu \end{smallmatrix}\right)$.

Доказать, что минимальный многочлен нормального оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве есть произведение попарно различных неприводимых сомножителей.

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис нормального оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис нормального оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей

Доказать, что оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе $\mathbb {R}^{3}$ матрицей

нормален при любых вещественных значениях $\lambda_{0}$. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис.