Полярное разложение

Доказать, что для произвольного невырожденного оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве существуют такие положительные самосопряженные операторы $\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}$ и ортогональные (унитарные) операторы $\mathbf{U}_{1}, \mathbf{U}_{2}$, что имеют место полярные разложения $\mathbf{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U}_{1} = \mathbf{U}_{2} \mathbf{P}_{2}$.

Доказать, что операторы $\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \mathbf{U}_{1}, \mathbf{U}_{2}$ в полярных разложениях $\mathbf{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U}_{1} = \mathbf{U}_{2} \mathbf{P}_{2}$ (см. предыдущую задачу) определены однозначно, причем $\mathbf{U}_{1} = \mathrm{U}_{2}$.

Доказать, что если $\mathrm{A}$ — невырожденный оператор, а $\mathbf{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U} = \mathbf{U P}_{2}$ — его полярные разложения, то имеет место соотношение подобия $\mathrm{AA}^{*} = \mathbf{U}\left(\mathrm{A}^{*} \mathbf{A}\right) \mathbf{U}^{-1}$.

Доказать, что для произвольного оператора А в евклидовом (эрмитовом) пространстве существуют такие неотрицательные самосопряженные операторы $\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}$ и ортогональный (унитарный) оператор $\mathbf{U}$, что имеют место полярные разложения $\mathbf{A} = \mathbf{P}_{1} \mathbf{U} = \mathbf{U P}_{2}$.

Представить оператор А, заданный своей матрицей $\left(\begin{smallmatrix} 2 & -11 \\ 5 & 10\end{smallmatrix}\right)$ в некотором ортонормированном базисе, в виде произведения $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$ положительного самосопряженного оператора $\mathbf{B}$ и ортогонального оператора U.

Представить данный оператор А, заданный своей матрицей $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2\end{smallmatrix}\right)$ в некотором ортонормированном базисе, в виде произведения $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$ положительного самосопряженного оператора $\mathbf{B}$ и ортогонального оператора $\mathbf{U}$.

Представить оператор А, заданный матрицей $\left(\begin{smallmatrix} -3 & -4 \\ 3 & 4\end{smallmatrix}\right)$ в некотором ортонормированном базисе, в виде произведения $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$ неотрицательного самосопряженного оператора В и ортогонального оператора U. Насколько неоднозначен выбор оператора U?

Представить данный оператор A, заданный матрицей

в некотором ортонормированном базисе, в виде произведения $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$ неотрицательного самосопряженного оператора $\mathbf{B}$ и ортогонального оператора $\mathbf{U}$.

Найти оба полярных разложения (т.е. представления $\mathrm{A} = \mathbf{B}_{1} \mathbf{U}_{1}$ и $\mathbf{A} = \mathbf{U}_{2} \mathbf{B}_{2}$) оператора $\mathbf{A}$, заданного матрицей

Найти полярное разложение $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$ оператора $\mathbf{A}$, заданного матрицей

Найти полярное разложение $\mathbf{A} = \mathbf{B U}$ оператора $\mathbf{A}$, заданного матрицей