Ортогональные и унитарные операторы. Группы преобразований

Является ли ортогональным (соответственно, унитарным) оператором в евклидовом (соответственно, эрмитовом) пространстве:

Доказать, что любое отображение евклидова пространства на себя, сохраняющее скалярное произведение, линейно.

Доказать, что если оператор А сохраняет длины всех векторов евклидова пространства $V$, т. е. $\left|\mathrm{A} x\right| = \left|x\right|$ для всех $x \in V$, то он является ортогональным оператором.

Доказать, что матрица $A$ ортогонального (унитарного) оператора, записанная в ортонормированном базисе, удовлетворяет соотношению $A^{\top } A = A A^{\top } = E$ (соответственно $\bar{A}^{\top } A = A \bar{A}^{\top } = E$), т. е. является ортогональной (соответственно, унитарной) матрицей.

Показать, что оператор $L_{C}$ умножения слева на произвольную ортогональную (унитарную) матрицу $C, L_{C}(X) = C X$, в евклидовом (соответственно, эрмитовом) пространстве вещественных (соответственно, комплексных) матриц со скалярным произведением

является ортогональным (унитарным).

Доказать, что все ортогональные (унитарные) матрицы порядка $n$ имеют одинаковую длину относительно стандартного скалярного произведения

Найти эту длину.

Доказать, что:

Как устроены группы $O(1), U(1), O(2)$?

Доказать, что множество ортогональных матриц с положительным определителем образует подгруппу в полной ортогональной группе $O(n)$. Эта подгруппа обозначается через $S O(n)$.

Доказать, что множество унитарных матриц с единичным определителем образует подгруппу в группе $U(n)$. Эта подгруппа обозначается через $S U(n)$.

Как устроены группы $S O(1), S U(1), S O(2), S U(2)$?

Показать, что собственные значения ортогонального оператора могут быть равны только $\pm 1$. Показать, что корни характеристического многочлена ортогонального оператора в евклидовом пространстве, а также собственные значения унитарного оператора в эрмитовом пространстве — числа, по модулю равные единице. Верно ли, что если ортогональный оператор А принадлежит $S O(n)$, то все его собственные значения равны 1?

Доказать, что собственные векторы унитарного оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к любому инвариантному подпространству $L$ ортогонального (унитарного) оператора тоже является инвариантным подпространством для этого оператора.

Показать, что для ортогонального оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора состоит из двумерных блоков вида

и одномерных блоков вида $(\pm 1)$, расположенных на главной диагонали. Матрицу оператора в этом базисе будем называть каноническим видом ортогонального оператора, а сам базис — каноническим базисом.

Доказать, что унитарный оператор А в эрмитовом пространстве диагонализируем в некотором ортонормированном базисе. Матрицу унитарного оператора в этом базисе, имеющую вид

мы будем называть каноническим видом унитарного оператора A, а сам базис — каноническим базисом.

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

Проверить, что матрица

является одновременно и унитарной, и косоэрмитовой. Найти канонический вид и базис заданного ею оператора, рассматриваемого как:

Проверить, что матрица

является одновременно и унитарной, и эрмитовой. Найти канонический вид и соответствующий канонический базис заданного ею оператора, рассматриваемого как:

Пусть подпространство $L$ евклидова (соответственно, эрмитова) пространства $\mathbb {R}^{n}$ (соответственно $\mathbb {C}^{n}$) задано своим базисом $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{m}$.

Доказать, что матрица $A$ (в стандартном базисе) оператора ортогонального отражения относительно подпространства $L^{\perp }$ имеет вид

где $W = \left(w_{j}^{i}\right)$ — матрица размера $n \times m$, в которой по столбцам записаны координаты векторов $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{m}$ :

Как будет выглядеть матрица $A^{\prime }$ оператора ортогонального отражения относительно самого подпространства $L$?

Пусть подпространство $L$ евклидова (соответственно, эрмитова) пространства $\mathbb {R}^{n}$ (соответственно $\mathbb {C}^{n}$) задано своим базисом $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{m}$.

Доказать, что матрица $A$ (в стандартном базисе) оператора ортогонального проектирования на подпространство $L$ имеет вид

где $W = \left(w_{j}^{i}\right)$ — матрица размера $n \times m$, в которой по столбцам записаны координаты векторов $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{m}$ :

Доказать, что если оператор А является одновременно унитарным (соответственно, ортогональным) и самосопряженным, то он является оператором ортогонального отражения относительно некоторого подпространства эрмитова (соответственно, евклидова) пространства. Доказать, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством симметричных ортогональных матриц порядка $n$ и множеством всех подпространств евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$.

Доказать, что комплексификация $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ ортогонального оператора А, действующего в евклидовом пространстве $V$, является унитарным оператором в соответствующем эрмитовом пространстве $V_{\mathbb {C}}$ (комплексификации пространства $V$). Причем если оператор А был задан (вещественной ортогональной) матрицей в некотором ортонормированном базисе $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства $V$, то эта матрица будет являться и матрицей комплексификации $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ в ортонормированном базисе $e_{1}+i 0, e_{2}+i 0, \ldots , e_{n}+i 0$ эрмитова пространства $V_{\mathbb {C}}$.

Доказать, что в каноническом виде ортогонального оператора А двумерные блоки вида

и векторы $e_{2 k-1}, e_{2 k}$ канонического базиса, относящиеся к таким блокам, т. е. такие, что

могут быть найдены следующим образом.

Рассмотрим комплексификацию $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ нашего оператора. Согласно предыдущей задаче, оператор $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ имеет такую же матрицу, что и исходный оператор А (в базисе $e_{1}+i 0, e_{2}+i 0, \ldots , e_{n}+i 0 \in V_{\mathbb {C}}$). Найдем характеристические числа матрицы $A$. Для каждого корня $\lambda = e^{i \varphi } = \cos \varphi +i \sin \varphi$ найдем базис соответствующего собственного подпространства $V_{\lambda } \subset V$ и ортогонализуем его (относительно эрмитова скалярного произведения). Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{l}$ — получившиеся векторы, где $x_{j}, y_{j}, j = 1, \ldots , l$, — соответствующие действительные и мнимые части. Тогда система вещественных векторов $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots , x_{l}, y_{l}$ ортогональна, причем $\left|x_{j}\right| = \left|y_{j}\right|, j = 1, \ldots , l$ (в евклидовом пространстве), а оператор А действует на ее векторах нужным образом:

Нормируем векторы $x_{j}^{\prime } = x_{j} /\left|x_{j}\right|, y_{j}^{\prime } = y_{j} /\left|y_{j}\right|$ и включаем их в канонический базис. Каждая такая пара векторов $x_{j}^{\prime }, y_{j}^{\prime }$ отвечает блоку $\left(\begin{smallmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{smallmatrix}\right)$.

Не находя канонического ортонормированного базиса, найти канонический вид ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

В некотором базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ пространства $V$ оператор $\mathbf{A}$ имеет матрицу

Можно ли ввести в пространстве $V$ такое скалярное произведение, чтобы относительно него оператор А стал ортогональным оператором? Если да, то указать соответствующую матрицу Грама.

В базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ пространства $V$ оператор А имеет матрицу

Можно ли ввести в пространстве $V$ такое скалярное произведение, чтобы оператор А относительно него стал:

Доказать, что если A- косоэрмитов оператор в эрмитовом пространстве, то оператор ехр А является унитарным. Верно ли аналогичное утверждение в евклидовом пространстве (т. е. если В кососимметрический оператор, то $\exp \mathbf{B}$ — ортогональный оператор)?

Найти такую кососимметричную матрицу $B$, что

Доказать, что любой унитарный оператор представляется в виде $\exp \mathrm{A}$, где А-некоторый косоэрмитов оператор. Верно ли аналогичное утверждение для ортогональных операторов (т. е. любой ортогональный оператор представляется в виде ехр В, где Вкососимметрический оператор)?

Пусть $\mathbf{A}_{t, a}$ — оператор поворота в $\mathbb {R}^{3}$ вокруг некоторого единичного вектора $a$ на угол $t$, а $\varphi_{a}$ — оператор, определенный по формуле: $\varphi_{a}(x) = [a, x]$, где $[\cdot , \cdot ]$ — векторное произведение в $\mathbb {R}^{3}$. Доказать, что $\mathbf{A}_{t, a} = \exp \left(t \varphi_{a}\right)$.

(Формулы Кэли). Доказать, что следующие формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством всех эрмитовых операторов и подмножеством множества всех унитарных операторов, не имеющих -1 среди своих собственных значений:

(Формулы Кэли, вещественный случай). Доказать, что формула:

Пусть А — унитарный оператор в конечномерном пространстве. Доказать, что для любого натурального $n$ существует такой унитарный оператор $\mathbf{B}$, что $\mathbf{B}^{n} = \mathbf{A}$, причем его можно искать в виде $B = g(\mathbf{A})$, где $g$ — многочлен.

Доказать, что любая унитарная матрица $U$ представляется в виде произведения вещественной ортогональной матрицы на комплексную симметричную.

Представить унитарную матрицу $U$ в виде произведения ортогональной матрицы $A$ на комплексную симметричную матрицу $T$ :

Доказать, что для векторов $x$ и $y$ евклидова (унитарного) пространства такой ортогональный (унитарный) оператор А, что $\mathrm{A} x = y$, существует тогда и только тогда, когда $\left|x\right| = \left|y\right|$.

Доказать, что для пар векторов $x_{1}, y_{1}$ и $x_{2}, y_{2}$ евклидова пространства $V$ существует ортогональный оператор А, переводящий первую пару во вторую, $\mathbf{A}\left(x_{1}\right) = x_{2}, \mathbf{A}\left(y_{1}\right) = y_{2}$, тогда и только тогда, когда $\left|x_{1}\right| = \left|x_{2}\right|,\left|y_{1}\right| = \left|y_{2}\right|$ и угол между векторами $x_{1}$ и $y_{1}$ равен углу между $x_{2}$ и $y_{2}$.

Доказать, что система векторов $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k}$ в евклидовом (эрмитовом) пространстве переводится ортогональным (унитарным) оператором в систему $y_{1}, y_{2}, \ldots , y_{k}$ тогда и только тогда, когда матрицы Грама обеих систем совпадают:

Доказать, что в трехмерном евклидовом пространстве угол $\varphi \left(L_{1}, L_{2}\right)$ между двумя подпространствами $L_{1}$ и $L_{2}$ является единственным ортогональным инвариантом их взаимного расположения:

В многомерном случае введенный ранее угол между подпространствами перестает быть единственным ортогональным инвариантом. Проверьте следующее.

Даны две пары подпространств:

Доказать, что $\varphi \left(L_{1}, L_{2}\right) = \varphi \left(L_{1}^{\prime }, L_{2}^{\prime }\right)$ (найти этот угол), но при этом не существует ортогонального оператора A: $\mathbb {R}^{4} \rightarrow \mathbb {R}^{4}$, переводящего $L_{1}$ в $L_{1}^{\prime }$, а $L_{2}$ в $L_{2}^{\prime }$.

Доказать, что полным набором ортогональных инвариантов взаимного расположения пары пересекающихся по нулю подпространств $L_{1}, L_{2}\left(L_{1} \cap L_{2} = \left\{ 0\right\} \right)$ являются все характеристические значения $\lambda_{i}$, а не только максимальное $\lambda_{\max }$, пары квадратичных функций $f(x) = \left(x^{\| }, x^{\| }\right)$и $g(x) = (x, x)$, определенных на подпространстве $L_{1}$, где через $x^{\| }$ обозначена ортогональная проекция произвольного вектора $x \in L_{1}$ на подпространство $L_{2}$. Более точно: Даны две пары подпространств $(L_{1}, L_{2})$ и $\left(L_{1}^{\prime }, L_{2}^{\prime }\right)$, причем $L_{1} \cap L_{2} = \left\{ 0\right\}$, $L_{1}^{\prime } \cap L_{2}^{\prime } = \left\{ 0\right\}$ и $\operatorname {dim} L_{1} = \operatorname {dim} L_{1}^{\prime }, \operatorname {dim} L_{2} = \operatorname {dim} L_{2}^{\prime }$. Пара $\left(L_{1}, L_{2}\right)$ переводится в пару $(L_{1}^{\prime }, L_{2}^{\prime })$ ортогональным оператором тогда и только тогда, когда соответствующие характеристические уравнения $\operatorname {det}\left(F-\lambda G\right) = 0$ и $\operatorname {det}\left(F^{\prime }-\lambda G^{\prime }\right) = 0$ имеют одинаковые корни, где $F, G$ и $F^{\prime }, G^{\prime }$ есть матрицы квадратичных функций $f, g$ и $f^{\prime }, g^{\prime }$ соответственно.

Пусть $x^{\prime } = A x+b$ — изометрическое преобразование аффинного евклидова пространства. Доказать, что это преобразование имеет неподвижную точку тогда и только тогда, когда вектор $b$ ортогонален к собственному линейному подпространству $V_{1}$, соответствующему собственному значению +1 оператора А.

Доказать, что всякое изометрическое преобразование аффинного евклидового пространства обладает либо неподвижной точкой, либо инвариантной прямой.

В четырехмерном аффинном евклидовом пространстве написать формулу преобразования симметрии относительно плоскости, заданной параметрическими уравнениями

В четырехмерном аффинном евклидовом пространстве написать формулу преобразования вращения на угол $\pm \arccos (4 / 5)$ вокруг плоскости, заданной параметрическими уравнениями

Определить геометрический смысл преобразования аффинного евклидова пространства, заданного формулой

Рассмотрим трехмерное евклидово пространство $V_{H}^{0}$ эрмитовых матриц порядка 2 с нулевым следом, снабженное скалярным произведением $(A, B) = \frac{1}{2} \operatorname {tr}\left(\bar{A}^{\top } B\right)$. Доказать, что линейный оператор $\mathbf{F}_{U}: V_{H}^{0} \rightarrow V_{H}^{0}$, заданный при помощи произвольной унитарной матрицы $U$ по формуле $\mathbf{F}_{U}(X) = U^{*} X U$, является ортогональным оператором на пространстве $V_{H}^{0}$.

Найти такие унитарные $(2 \times 2)$-матрицы $U_{\varphi }, U_{\psi }, U_{\theta }$ с единичным определителем, что оператор $F_{U}: V_{H}^{0} \rightarrow V_{H}^{0}$ представляет собой соответственно:

Доказать, что любое собственное $(\det A = 1)$ ортогональное преобразование (вращение) А евклидова пространства $V_{H}^{0} = \mathbb {R}^{3}$ может быть представлено как оператор $\mathbf{F}_{U}: V_{H}^{0} \rightarrow V_{H}^{0}$, где $U = \left(\begin{smallmatrix} \bar{a} & -b \\ \bar{b} & a\end{smallmatrix}\right)$ — некоторая унитарная $(2 \times 2)$-матрица с единичным детерминантом. Комплексные числа $a$ и $b, \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2} = 1$, называются параметрами Кэли-Клейна преобразования (вращения) $\mathbf{F}_{U}$.

Доказать, что отображение $\mathbf{F}_{U}: V_{H}^{0} \rightarrow V_{H}^{0}$, построенное выше, определяет гомоморфизм групп, $F: S U(2) \rightarrow O(3)$, т. е. $\mathbf{F}_{U_{1} U_{2}} = \mathbf{F}_{U_{1}} \mathbf{F}_{U_{2}}$, причем:

Рассмотрим алгебру кватернионов $\mathbb {H}$ и подпространство $\mathbb {H}_{0}$ чисто мнимых кватернионов — линейную оболочку образующих $\langle i, j, k\rangle$.

Доказать, что для оператора $\psi_{\tilde{q}}: \mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$, определенного своим значением $\psi_{\widetilde{q}}(q) = \widetilde{q}^{-1} q \widetilde{q}$ на произвольном кватернионе $q$, где $\left|\widetilde{q}\right| = 1$, справедливы следующие утверждения:

Доказать, что множество $\mathbb {H}_{1}$ кватернионов единичной длины образует группу относительно операции умножения кватернионов, причем эта группа изоморфна $S U(2)$.

(Параметризация Кэли-Клейна матриц вращений при помощи алгебры кватернионов $\mathbb {H}$). Доказать, что любая ортогональная $(3 \times 3)$-матрица $A$ с единичным детерминантом $\det A = 1$ (т. е. любая матрица из группы $S O(3))$ имеет вид

где $a, b, c, d$ — такие вещественные числа, что $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} = 1$. Обратно, любая матрица указанного вида является матрицей из группы $S O(3)$.