Кососимметрические и косоэрмитовы операторы

Показать, что матрица кососимметрического оператора в ортонормированном базисе евклидова пространства кососимметрична. Аналогично матрица $A$ косоэрмитова оператора в ортонормированном базисе эрмитова пространства косоэрмитова, т. е. $A = -\bar{A}^{\top }$.

Показать, что любой кососимметрический оператор в двумерном евклидовом пространстве представляется в виде композиции поворота плоскости на угол $\pi / 2$ и гомотетии.

В трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{3}$, снабженном векторным произведением $[\cdot , \cdot ]$, зададим оператор $\varphi_{a}$ по формуле $\varphi_{a}(x) = [x, a]$, где $a \in \mathbb {R}^{3}$ — некоторый фиксированный вектор. Доказать, что оператор $\varphi_{a}$ является кососимметрическим оператором.

Показать, что оператор $L_{C}$ левого умножения на кососимметричную (косоэрмитову) матрицу $C, L_{C}(X) = C X$, в евклидовом (эрмитовом) пространстве вещественных (комплексных) матриц порядка $n$ со стандартным скалярным произведением

является кососимметрическим (косоэрмитовым).

Доказать, что линейный оператор переводит каждый вектор пространства в вектор, ему ортогональный, тогда и только тогда, когда этот оператор кососимметрический.

Доказать, что собственные векторы косоэрмитова оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к инвариантному подпространству $L$ кососимметрического (косоэрмитова) оператора А тоже инвариантно относительно этого оператора.

Показать, что для кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора состоит из двумерных блоков вида

и одномерных нулевых блоков, расположенных на главной диагонали. Матрицу оператора в этом базисе будем называть каноническим видом кососимметрического оператора, а сам базис — каноническим базисом.

Показать, что кососимметрический оператор в нечетномерном евклидовом пространстве вырожден.

В трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{3}$, снабженном векторным произведением $[\cdot , \cdot ]$, зададим оператор $\varphi_{a}$ по формуле $\varphi_{a}(x) = [x, a]$, где $a \in \mathbb {R}^{3}$ — некоторый фиксированный вектор. Найти (не вычисляя канонического базиса) канонический вид оператора $\varphi_{a}$ как кососимметрического оператора.

Доказать, что в трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{3}$, снабженном векторным произведением $[\cdot , \cdot ]$, всякий кососимметрический оператор $\varphi$ может быть представлен в виде

где $a \in \mathbb {R}^{3}$ — некоторый фиксированный вектор.

Показать, что корни характеристического многочлена кососимметрического оператора в евклидовом пространстве, а также собственные значения косоэрмитова оператора в эрмитовом пространстве — чисто мнимые числа (или нули).

Доказать, что косоэрмитов оператор А в эрмитовом пространстве диагонализируем в некотором ортонормированном базисе. Матрицу косоэрмитова оператора в этом базисе, имеющую вид

(где по диагонали стоят чисто мнимые числа $i \varphi_{k}, \varphi_{k} \in \mathbb {R}, k = 1, \ldots , n$), мы будем называть каноническим видом косоэрмитова оператора А, а сам базис — каноническим базисом.

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис косоэрмитова оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Доказать, что комплексификация $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ кососимметрического оператора А, действующего в евклидовом пространстве $V$, является косоэрмитовым оператором в соответствующем эрмитовом пространстве $V_{\mathbb {C}}$ (комплексификации пространства $V$). Причем если оператор А был задан (вещественной кососимметричной) матрицей в некотором ортонормированном базисе $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ евклидова пространства $V$, то эта матрица будет являться и матрицей комплексификации $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ в ортонормированном базисе $e_{1}+i 0, e_{2}+i 0, \ldots , e_{n}+i 0$ эрмитова пространства $V_{\mathbb {C}}$.

Доказать, что в каноническом виде кососимметрического оператора А двумерные блоки вида $\left(\begin{smallmatrix} 0 & a \\ -a & 0\end{smallmatrix}\right), a \in \mathbb {R}$, и векторы $e_{2 k-1}, e_{2 k}$ канонического базиса, относящиеся к таким блокам, т. е. такие, что

могут быть найдены следующим образом.

Комплексификация $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$ данного оператора имеет такую же матрицу $A$, что и оператор $\mathbf{A}$. Найдем характеристические числа этой матрицы $A$. Рассмотрим корень $\lambda = i a$. Найдем базис соответствующего собственного подпространства $V_{\lambda } \subset V$ и ортогонализуем его (относительно эрмитова скалярного произведения). Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots \ldots , z_{l}$ — получившиеся векторы. Обозначим через $x_{j}$ и $y_{j}$ их действительные и мнимые части: $z_{j} = x_{j}+i y_{j}, j = 1,2, \ldots , l$.

Система вещественных векторов $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots , x_{l}, y_{l}$ ортогональна, причем $\left|x_{j}\right| = \left|y_{j}\right|, j = 1, \ldots , l$ (в евклидовом пространстве), и оператор А действует на ее векторах нужным образом:

Нормируем векторы $x_{j}^{\prime } = x_{j} /\left|x_{j}\right|, y_{j}^{\prime } = y_{j} /\left|y_{j}\right|$ и включим их в канонический базис. Каждая такая пара векторов $x_{j}^{\prime }, y_{j}^{\prime }$ будет отвечать блоку вида $\left(\begin{smallmatrix} 0 & a \\ -a & 0\end{smallmatrix}\right)$ канонического вида оператора А.

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис кососимметрического оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Пусть $V$ — пространство бесконечно дифференцируемых периодических функций с периодом $2 \pi$ с евклидовым скалярным произведением

Показать, что в этом пространстве оператор дифференцирования $\mathbf{A} = \frac{d}{d x}$ является кососимметрическим. Найти матрицу его ограничения $\widetilde{\mathbf{A}} = \left.\mathbf{A}\right|_{V_{2 n+1}}$ на подпространство $V_{2 n+1}$ тригонометрических многочленов в базисе

пространства $V_{2 n+1}$. Найти собственные функции и собственные значения комплексификации $\widetilde{\mathbf{A}}_{\mathbb {C}}$ оператора $\widetilde{\mathbf{A}}$.

Как устроена жорданова нормальная форма косоэрмитова оператора?

Можно ли так ввести скалярное произведение в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$, где $n \geqslant 1$, чтобы оператор дифференцирования $\frac{d}{d x}$ стал бы кососимметрическим?

Показать, что любой оператор А в евклидовом (соответственно, эрмитовом) пространстве единственным образом представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметрического (соответственно самосопряженного и косоэрмитова) операторов.

Показать, что операция $\mathrm{A} \mapsto i \mathrm{~ A}$ умножения операторов в эрмитовом пространстве на мнимую единицу устанавливает изоморфизм вещественного пространства всех самосопряженных операторов и вещественного пространства косоэрмитовых операторов.

Показать также, что этот изоморфизм является и изоморфизмом евклидовых пространств, где скалярное произведение в пространствах самосопряженных и косоэрмитовых операторов задается единой формулой $(A, B) = \operatorname {tr}\left(A^{*} B\right)$.

Доказать, что для любой кососимметрической билинейной функции в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица имеет блочно-диагональный вид с блоками вида $\left(\begin{smallmatrix} 0 & a \\ -a & 0\end{smallmatrix}\right), a \in \mathbb {R}$ или (0), на главной диагонали.

Доказать, что для любой косоэрмитовой полуторалинейной функции в эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид с чисто мнимыми числами (или нулями) на диагонали.