Самосопряженные операторы

Доказать, что матрица $A$ самосопряженного оператора в ортонормированном базисе:

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу оператора ортогонального проектирования пространства на подпространство $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 0$.

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу ортогонального проектирования пространства на двумерное подпространство

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу ортогонального отражения пространства относительно одномерного подпространства, порожденного вектором $e = (1,1,1,1)$.

В стандартном базисе четырехмерного евклидова пространства $\mathbb {R}^{4}$ найти матрицу ортогонального отражения пространства относительно двумерного подпространства

Доказать, что для того чтобы оператор проектирования пространства $V$ на подпространство $V_{1}$ параллельно подпространству $V_{2}$ был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы подпространства $V_{1}$ и $V_{2}$ были ортогональны.

Показать, что оператор C умножения на симметричную (эрмитову) матрицу $C, \mathrm{C}(X) = C X$, в евклидовом (эрмитовом) пространстве вещественных (комплексных) квадратных матриц порядка $n$ со стандартным скалярным произведением

является самосопряженным.

Показать, что оператор двукратного дифференцирования $\mathbf{A} = \frac{d^{2}}{d x^{2}}$ является самосопряженным оператором в пространстве $V$ тригонометрических многочленов

с евклидовым скалярным произведением

Показать, что функции $1 / 2, \cos x, \sin x, \ldots , \cos n x, \sin n x$ образуют собственный ортонормированный базис оператора $\mathbf{A}$, найти соответствующие собственные значения.

Показать, что оператор А в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$, значение которого на произвольном многочлене $f$ задано формулой

является самосопряженным оператором относительно скалярного произведения $(f, g) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$. Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном из многочленов Лежандра $P_{0}(x), P_{1}(x), \ldots \ldots , P_{n}(x)$, где

Показать, что оператор А в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$, значение которого на произвольном многочлене $f$ задано формулой

является самосопряженным оператором относительно скалярного произведения

Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном из многочленов Чебышёва (первого рода) $T_{0}, T_{1}, T_{2}, \ldots , T_{n}$, где $T_{k}(\cos \theta ) = \cos (k \theta )$, $k = 1,2, \ldots , n$.

Доказать, что если A-самосопряженный оператор в евклидовом пространстве $V$, то $V$ представляется в виде прямой суммы ядра и образа этого оператора: $V = \operatorname {Ker} \mathbf{A} \oplus \operatorname {Im} \mathbf{A}$.

Доказать, что для того чтобы произведение двух самосопряженных операторов было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были перестановочны.

Доказать, что в евклидовом пространстве линейная комбинация самосопряженных операторов является самосопряженным оператором. Верно ли аналогичное утверждение в эрмитовом пространстве?

Доказать, что все собственные значения самосопряженного (эрмитова) оператора в эрмитовом пространстве и все корни характеристического многочлена самосопряженного оператора в евклидовом пространстве вещественны.

Показать, что собственные векторы самосопряженного оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что ортогональное дополнение $L^{\perp }$ к инвариантному подпространству $L$ самосопряженного оператора А также является инвариантным подпространством для этого оператора.

Доказать, что для самосопряженного оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве $V$ существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Матрицу оператора в этом базисе, имеющую вид

где по диагонали стоят вещественные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ (собственные значения оператора), будем называть каноническим видом самосопряженного оператора, соответствующий базис будет называться каноническим базисом самосопряженного оператора.

Показать, что в евклидовом пространстве оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства, состоящий из собственных векторов оператора А. Верно ли аналогичное утверждение в эрмитовом пространстве?

Каков вид жордановой нормальной формы самосопряженного оператора?

Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис для самосопряженного оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Выяснить, может ли матрица $A$ являться матрицей самосопряженного оператора в евклидовом пространстве в некотором (не обязательно ортонормированном) базисе, если

Может ли матрица $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{smallmatrix}\right)$ быть матрицей самосопряженного оператора (для некоторого евклидова скалярного произведения в $\mathbb {R}^{3}$)? Если да, то найти соответствующую матрицу Грама.

Доказать, что два самосопряженных оператора в евклидовом или эрмитовом пространстве коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют общий канонический базис.

Показать, что самосопряженный оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве положителен (неотрицателен) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (неотрицательны).

Показать, что для любого оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве имеют место следующие утверждения:

Показать, что самосопряженный оператор А в евклидовом (эрмитовом) пространстве является положительным тогда и только тогда, когда в некотором базисе матрица скалярного произведения $G$ и матрица оператора $A$ связаны соотношением $A = G^{-1}$.

Показать, что для любого положительного (неотрицательного) самосопряженного оператора А существует, притом единственный, положительный (соответственно, неотрицательный) самосопряженный оператор $\mathbf{B}$, для которого $\mathbf{A} = \mathbf{B}^{2}$. Оператор $\mathbf{B}$ называется неотрицательным квадратным корнем из А.

Найти неотрицательный квадратный корень из оператора, заданного (в некотором ортонормированном базисе) матрицей:

Пусть $A$ — произвольная вещественная матрица размера $m \times n$. Доказать, что квадратные матрицы $A^{*} A$ и $A A^{*}$ являются симметричными и неотрицательно определенными. Корни из собственных значений матрицы $A^{*} A$ называются сингулярными числами матрицы $A$.

Пусть $A$ — произвольная действительная (комплексная) невырожденная матрица. Доказать, что $A$ может быть представлена в виде произведения матриц $A = U_{1} C U_{2}$, где $U_{1}$ и $U_{2}$ — ортогональные (унитарные) матрицы, а $C$ — диагональная матрица, у которой по диагонали стоят вещественные положительные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$. Доказать, что эти числа являются сингулярными числами матрицы $A$ (см. предыдущую задачу). Разложение $A = U_{1} C U_{2}$ называется сингулярным разложением матрицы $A$. Каков геометрический смысл этого разложения?

Пусть $\mathrm{A}: V \rightarrow \widetilde{V}$ — линейное отображение ранга $r$ из $n$-мерного евклидова пространства $V$ в $m$-мерное $\tilde{V}$. Доказать, что в пространствах $V$ и $\widetilde{V}$ можно так выбрать ортонормированные базисы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ и $\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \ldots , \widetilde{e}_{m}$ соответственно, что матрицы отображений А: $V \rightarrow \widetilde{V}$ и $\mathbf{A}^{*}: \widetilde{V} \rightarrow V$ (определение $\mathbf{A}^{*}$ см. в задаче 1426), записанные в этих базисах, имеют вид

где в матрице А последние $n-r$ столбцов (справа от черты) и последние $m-r$ строк (ниже черты) нулевые, а в матрице $\mathbf{A}^{*}$ последние $m-r$ столбцов (справа от черты) и последние $n-r$ строк (ниже черты) нулевые. Базисы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ и $\tilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \ldots , \widetilde{e}_{m}$ называются сингулярными базисами линейного отображения А. Доказать, что числа $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{r}$ являются ненулевыми сингулярными числами матрицы отображения А.

Пусть $A$ — симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что $A$ представляется в виде произведения $A = L R$, где $L$ и $R$ — соответственно нижнетреугольная и верхнетреугольная матрицы.

Представить симметричную матрицу

в виде произведения нижнетреугольной матрицы $L$ на верхнетреугольную $R$.

(Эрмитово разложение). Показать, что любой оператор А в эрмитовом пространстве единственным образом представляется в виде $\mathbf{A} = \mathbf{H}_{1}+i \mathbf{H}_{2}$, где $\mathbf{H}_{1}, \mathbf{H}_{2}$ — самосопряженные операторы. Какой смысл имеет это разложение в случае одномерного пространства?

Найти эрмитово разложение оператора A, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

Доказать, что:

С помощью матриц Паули удобно задавать матричную реализацию алгебры кватернионов $\mathbb {H}$. Проверить, что отображение $\rho : \mathbb {H} \rightarrow W$, заданное на образующих алгебры кватернионов

определяет изоморфизм $\rho$ алгебры кватернионов $\mathbb {H}$ и алгебры $W$ комплексных матриц вида $\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a}\end{smallmatrix}\right)$.