Аффинные и изометрические преобразования

Даны два аффинных преобразования

Найти преобразование $f^{-1}$, обратное к $f$, и композиции $f^{-1} \circ g$ и $g \circ f^{-1}$.

Относительно системы координат Oxy задано аффинное преобразование $x^{\prime } = 2 x+3 y+1, y^{\prime } = x+2 y-2$. Найти координаты прообразов точек $(0,1),(1,0),(1,1)$, заданных в системе координат $O^{\prime } u v$, если новые координаты связаны со старыми следующим образом:

Составить формулы аффинного преобразования, переводящего точки $(2,0),(0,3),(1,2)$ в точки $(1,3),(-2,1),(0,0)$ соответственно.

Найти аффинное преобразование, переводящее точку $(-1,1)$ в точку $(1,2)$, а векторы $(1,1)$ и $(0,1)$ в векторы $(0,2)$ и $(2,-1)$ соответственно.

Найти аффинное преобразование, при котором все точки прямой $2 x+3 y-5 = 0$ неподвижны, а точка $(0,1)$ переходит в точку $(2,-1)$.

При аффинном преобразовании точка $(0,0)$ переходит в точку, симметричную ей относительно прямой $\frac{x}{2}+\frac{y}{3} = 1$, а точки $(2,0)$ и $(0,3)$ меняются местами. Найти формулы этого преобразования. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование, при котором прямые $10 x-4 y-1 = 0$ и $3 x-3 y+7 = 0$ переходят в прямые $x-2 y+3 = 0$ и $x-y-6 = 0$ соответственно, а точка $(1,-2)$ переходит в $(0,10)$.

Найти аффинную классификацию троек несовпадающих прямых.

Относительно системы координат Oxy задано аффинное преобразование:

Записать это преобразование в системе координат $O^{\prime } u v$, если новые координаты связаны со старыми следующим образом:

Дано аффинное преобразование

На прямой $x+y+2 = 0$ найти точку, которая при этом преобразовании переходит в точку, также лежащую на этой прямой.

Даны аффинное преобразование

и точка $A = (1,4)$. Найти прямую, проходящую через точку $A$, которая переходит в прямую, также проходящую через $A$.

Дано аффинное преобразование

Найти вектор, который при этом преобразовании переходит в ортогональный ему вектор. Система координат прямоугольная.

Найти неподвижную точку аффинного преобразования, переводящего вершины треугольника $A, B, C$ в точки $B, C, A$ соответственно.

Известно, что аффинное преобразование переводит вершины треугольника $A B C$ в середины $K, L, M$ противолежащих сторон. Найти образы точек $K, L, M$ и точки $O$ пересечения медиан треугольника $A B C$ при этом преобразовании. Выяснить геометрический смысл преобразования.

Найти неподвижные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования

Существуют ли аффинные преобразования:

Как запишется аффинное преобразование $x^{\prime } = x+4 y, y^{\prime } = 2 x+3 y$, если за оси новой системы координат $O^{\prime } u v$ принять инвариантные прямые?

Доказать, что если аффинное преобразование обладает единственной неподвижной точкой, то всякая инвариантная прямая проходит через эту точку. Сколько в этом случае может быть инвариантных прямых?

В прямоугольной системе координат написать формулы поворота плоскости на угол $\varphi$ вокруг точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$.

Написать формулы преобразования гомотетии с коэффициентом $k$ и центром в точке $(x_{0}, y_{0})$.

Найти преобразование подобия, являющееся композицией поворота на угол $\pi / 2$ вокруг точки $(-1,2$) и гомотетии с центром в этой точке и коэффициентом 2. Система координат прямоугольная.

Найти преобразование подобия с неподвижной точкой $(1,3)$, переводящее точку $(4,-1)$ в точку $(-9,3)$. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование, являющееся композицией симметрии относительно прямой $x+2 y+3 = 0$ и гомотетии с центром в точке $(1,-2)$ на этой прямой и коэффициентом 5. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование сжатия к прямой $x+y-2 = 0$ по перпендикулярному ей направлению с коэффициентом сжатия, равным 3. Система координат прямоугольная.

Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования:

Относительно прямоугольной системы координат дано аффинное преобразование $x^{\prime } = k_{1} x, y^{\prime } = k_{2} y, k_{1} > 1 > k_{2} > 0$. Найти прямые, проходящие через начало координат, которые этим преобразованием изометрически отображаются на свои образы.

Относительно прямоугольной системы координат дано аффинное преобразование $x^{\prime } = 2 x+2 y, y^{\prime } = x+2 y$. Найти пару взаимно перпендикулярных векторов, которая при этом преобразовании переходит в пару взаимно перпендикулярных векторов.

Доказать, что преобразование

является преобразованием подобия, меняющим ориентацию. Представить это преобразование в виде композиции симметрии относительно прямой и гомотетии с центром на этой прямой. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование, переводящее вершины тетраэдра $A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1)$ :

Найти множество, заметаемое прямыми, которые проходят через начало координат и изометрически отображаются на свои образы при аффинном преобразовании $x^{\prime } = k_{1} x, y^{\prime } = k_{2} y, z^{\prime } = k_{3} z$, где не все $k_{i}$ равны единице.

Выяснить геометрический смысл следующего аффинного преобразования (система координат прямоугольная, $a^{2}+b^{2} \neq 0$):

Доказать, что если аффинное преобразование обладает единственной неподвижной точкой, то все инвариантные прямые и плоскости проходят через эту точку.

Найти неподвижные точки, инвариантные прямые и инвариантные плоскости аффинного преобразования:

Найти аффинное преобразование, при котором координатные плоскости $x = 0, y = 0$ и $z = 0$ переходят в плоскости $x-y+z-1 = 0$, $x+y+1 = 0$ и $2 x-z+1 = 0$ соответственно, а точка $(1,1,1)$ — в точку $(1,1,0)$.

Написать формулы ортогонального проектирования на плоскость $x+y+z = 1$. Система координат прямоугольная.

Существует ли аффинное преобразование, не имеющее инвариантных прямых и неподвижных точек, но имеющее инвариантную плоскость?

Найти аффинное преобразование сжатия по нормали к плоскости $x+2 y+2 z+2 = 0$ с коэффициентом сжатия 4. Система координат прямоугольная.

Найти формулы аффинного преобразования, являющегося композицией симметрии относительно прямой $x = 1+2 t, y = 2-t$, $z = 5 t$ и последующего сжатия пространства в два раза к этой прямой. Система координат прямоугольная.

Пусть $\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}$ — три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, $\ell_{1}^{\prime }, \ell_{2}^{\prime }, \ell_{3}^{\prime }$ — другие три попарно скрещивающиеся прямые, также не параллельные одной плоскости. Доказать, что существует единственное аффинное преобразование пространства, переводящее первую тройку прямых во вторую.

Пусть $\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}$ — три попарно скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости, $\ell_{1}^{\prime }, \ell_{2}^{\prime }, \ell_{3}^{\prime }$ — другие три попарно скрещивающиеся прямые, также параллельные некоторой плоскости. Существует ли аффинное преобразование пространства, переводящее первую тройку прямых во вторую.

Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит его на две одинаковые по объему части.

Составить уравнения прообразов кривых

В условиях предыдущей задачи составить уравнения образов указанных кривых при данном аффинном преобразовании.

Задача 853: даны кривые

Доказать, что если $a$ и $b(a \geqslant b)$ — полуоси образа единичной окружности при аффинном преобразовании, $\mathbf{v}$ — произвольный вектор и $\mathbf{v}^{\prime }$ — его образ при том же преобразовании, то

Найти геометрическое место точек пересечения касательных к эллипсу, проходящих через концы двух его сопряженных диаметров.

Показать, что если линия второго порядка есть эллипс

то геометрическое место точек, из которых к этому эллипсу можно провести касательные, имеющие сопряженные направления, есть эллипс

Если же линия есть гипербола или парабола, то к ней нельзя провести касательные, имеющие сопряженные направления.

Найти геометрическое место середин хорд эллипса, соединяющих концы сопряженных диаметров.

Доказать, что центр тяжести треугольника, вписанного в один эллипс и описанного около другого гомотетичного первому с тем же центром, совпадает с центром эллипсов.

Определить геометрическое место середин хорд эллипса

отсекающих от него сегменты постоянной площади $S$.

Доказать, что прямые, соединяющие концы сопряженных диаметров эллипса, касаются эллипса, гомотетичного данному. Найти коэффициент гомотетии.

Доказать, что отрезки $M M_{1}$ и $M M_{2}$ касательных, проведенных из точки $M$ к эллипсу ($M_{1}$ и $M_{2}$ — точки касания), относятся между собой как диаметры, которым они параллельны.

Доказать, что вершины любого ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии того же эллипса.

Доказать, что эллипс наибольшей площади, вписанный в данный параллелограмм, касается его сторон в их серединах.

Доказать, что длины хорд, стягивающих дуги, заключенные между двумя параллельными секущими к эллипсу, относятся друг к другу как диаметры эллипса, параллельные этим хордам.

Около эллипса описан четырехугольник. Доказать, что сумма площадей двух треугольников, имеющих общей вершиной центр эллипса, а основаниями соответственно две противоположные стороны четырехугольника, равна сумме площадей двух других таких же треугольников.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями $a$ и $b$.

Через точку $A$ плоскости к эллипсу проведена секущая, пересекающая этот эллипс в точках $P$ и $Q$. Доказать, что $\frac{\left|A P\right| \cdot \left|A Q\right|}{d^{2}} =$ const, где $d$ — диаметр эллипса, параллельный секущей.

Доказать, что два сопряженных диаметра эллипса делят его на четыре равновеликие части.

Найти эллипс наименьшей площади, проходящий через три точки $A, B, C$ плоскости, и вычислить его площадь.

Найти все аффинные преобразования, которые переводят в себя эллипс

и при этом:

Найти все аффинные преобразования, при которых гипербола $x y = c$ переходит в себя.

Найти все аффинные преобразования, которые переводят в себя гиперболу

и при этом:

При помощи гиперболических функций $\operatorname {sh} t, \operatorname {ch} t$ определить общее аффинное преобразование, которое переводит в себя гиперболу

Найти собственное аффинное преобразование, при котором гипербола $x^{2}-y^{2} = 4$ переходит в себя, а точка $(2,0)$ — в точку $(\sqrt{5}, 1)$. В какие точки это преобразование переводит фокусы гиперболы?

Рассмотрим два центральных радиус-вектора гиперболы, таких что площадь гиперболического сектора, образованного этими радиусами и дугой гиперболы, имеет данную величину. Доказать, что:

Найти аффинные преобразования, переводящие параболу $y^{2} = 2 p x$ в себя. Найти среди них унимодулярные преобразования, т. е. преобразования, определитель которых равен 1.

Найти аффинное преобразование, переводящее параболу $y^{2} = 2 x$ в себя, при котором точки $(0,0)$ и $(2,2)$ переходят в точки $(2,2)$ и $(2,-2)$ соответственно. В какие прямые переходят директриса и ось параболы при этом преобразовании?

Определить аффинное преобразование, переводящее в параболу $y^{2} = 2 p x$ параболу

Определить геометрическое место точек, соответствующих фокусу параболы $y^{2} = 2 p x$ при всех ее унимодулярных преобразованиях в ту же параболу.

Доказать, что существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее параболу в себя, при котором две данные точки параболы переходят в две другие данные точки параболы.

Доказать, что площадь сегмента параболы, отсекаемого хордой $A B$, составляет $2 / 3$ площади треугольника, сторонами которого служат хорда $A B$ и касательные к параболе в концах хорды.

Найти геометрическое место середин хорд параболы $y^{2} = 2 p x$, отсекающих сегменты параболы постоянной площади $S$.

Найти геометрическое место центров эллипсов, получающихся в пересечении эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ плоскостями, проходящими через точку $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$.

Доказать, что плоскости, проходящие через концы трех взаимно сопряженных диаметров эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$, касаются эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{3}$.

Найти неподвижную точку изометрического преобразования $x^{\prime } = x \cos \varphi -y \sin \varphi +x_{0}, \quad y^{\prime } = x \sin \varphi +y \cos \varphi +y_{0}, \quad 0 < \varphi < 2 \pi$.

Написать формулы изометрического преобразования, являющегося композицией симметрии относительно прямой, проходящей через точку $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ с направляющим вектором $(\cos \varphi , \sin \varphi )$, и переноса вдоль этой прямой на вектор, имеющий направление данного вектора и длину $d$.

Дано изометрическое преобразование $x^{\prime } = x+x_{0}, y^{\prime } = -y+y_{0}$, меняющее ориентацию плоскости. Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.

Дано изометрическое преобразование

Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.

Найти изометрическое преобразование, являющееся симметрией относительно прямой $A x+B y+C = 0$.

Найти изометрическое преобразование, сохраняющее ориентацию и переводящее точку $(0,2)$ в точку $(1, \sqrt{3})$, а точку $(1, \sqrt{3})$ в точку $(2,2)$. Найти угол поворота и неподвижную точку этого преобразования.

Найти изометрическое преобразование, меняющее ориентацию и переводящее точку $(2,0)$ в точку $(1, \sqrt{3})$, а точку $(1, \sqrt{3})$ в точку $(3, \sqrt{3}$). Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.

Доказать, что любой поворот плоскости можно представить в виде композиции двух симметрий.

Пусть дано изометрическое преобразование:

Доказать, что если его матрица $A$ отлична от единичной матрицы и $\det A = 1$, то это преобразование является композицией поворота вокруг некоторой оси и переноса вдоль этой оси. Найти угол $\varphi$ этого поворота и направляющий вектор а оси вращения в двух случаях: когда а не коллинеарен единичному вектору $\mathbf{e}_{1}$ и когда они коллинеарны. Найти вектор с переноса вдоль оси вращения, уравнения оси вращений и канонический вид преобразования.

В тех же обозначениях доказать, что если $\det A = -1$ и $a_{11} + a_{22}+a_{33} \neq 1$, то преобразование (8.1) является композицией симметрии относительно некоторой плоскости и поворота вокруг некоторой оси, перпендикулярной этой плоскости. Найти угол $\varphi$ этого поворота и направляющий вектор а оси вращения в двух случаях: когда а не коллинеарен единичному вектору $\mathbf{e}_{1}$ и $\varphi \neq \pi$, и когда они коллинеарны. Найти (единственную) неподвижную точку, плоскость симметрии, ось вращения и канонический вид преобразования.

Доказать, что если $\det A = -1$ и $a_{11}+a_{22}+a_{33} = 1$ (в тех же обозначениях), то преобразование (8.1) является композицией симметрии относительно некоторой плоскости и переноса на вектор $\mathbf{d}$, компланарный этой плоскости. Найти плоскость симметрии, вектор $\mathbf{d}$ и канонический вид преобразования.

Пользуясь результатами предыдущих задач, доказать, что любое изометрическое преобразование пространства представляется в виде композиции конечного числа симметрий.

Найти изометрическое преобразование, являющееся композицией поворота на угол $\pi / 2$ и переноса вдоль оси вращения на вектор с координатой 9 по отношению к оси вращения, зная, что ось вращения проходит через точку $(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $(-1,2,2)$.

Найти нетождественное изометрическое преобразование, оставляющее неподвижными три точки $(1,0,0),(0,1,0)$ и $(0,0,1)$.

В ориентированном пространстве даны два взаимно перпендикулярных вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Найти вектор $\mathbf{a}^{\prime }$, получающийся из вектора а при повороте пространства на угол $\varphi$ вокруг оси с направляющим вектором $\mathbf{b}$.

Выяснить геометрический смысл и найти канонический вид следующих изометрических преобразований пространства: