Аффинные преобразования плоскости

Даны два аффинных преобразования

Найти преобразование $f^{-1}$, обратное к $f$, и композиции $f^{-1} \circ g$ и $g \circ f^{-1}$.

Относительно системы координат Oxy задано аффинное преобразование $x^{\prime } = 2 x+3 y+1, y^{\prime } = x+2 y-2$. Найти координаты прообразов точек $(0,1),(1,0),(1,1)$, заданных в системе координат $O^{\prime } u v$, если новые координаты связаны со старыми следующим образом:

Составить формулы аффинного преобразования, переводящего точки $(2,0),(0,3),(1,2)$ в точки $(1,3),(-2,1),(0,0)$ соответственно.

Найти аффинное преобразование, переводящее точку $(-1,1)$ в точку $(1,2)$, а векторы $(1,1)$ и $(0,1)$ в векторы $(0,2)$ и $(2,-1)$ соответственно.

Найти аффинное преобразование, при котором все точки прямой $2 x+3 y-5 = 0$ неподвижны, а точка $(0,1)$ переходит в точку $(2,-1)$.

При аффинном преобразовании точка $(0,0)$ переходит в точку, симметричную ей относительно прямой $\frac{x}{2}+\frac{y}{3} = 1$, а точки $(2,0)$ и $(0,3)$ меняются местами. Найти формулы этого преобразования. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование, при котором прямые $10 x-4 y-1 = 0$ и $3 x-3 y+7 = 0$ переходят в прямые $x-2 y+3 = 0$ и $x-y-6 = 0$ соответственно, а точка $(1,-2)$ переходит в $(0,10)$.

Найти аффинную классификацию троек несовпадающих прямых.

Относительно системы координат Oxy задано аффинное преобразование:

Записать это преобразование в системе координат $O^{\prime } u v$, если новые координаты связаны со старыми следующим образом:

Дано аффинное преобразование

На прямой $x+y+2 = 0$ найти точку, которая при этом преобразовании переходит в точку, также лежащую на этой прямой.

Даны аффинное преобразование

и точка $A = (1,4)$. Найти прямую, проходящую через точку $A$, которая переходит в прямую, также проходящую через $A$.

Дано аффинное преобразование

Найти вектор, который при этом преобразовании переходит в ортогональный ему вектор. Система координат прямоугольная.

Найти неподвижную точку аффинного преобразования, переводящего вершины треугольника $A, B, C$ в точки $B, C, A$ соответственно.

Известно, что аффинное преобразование переводит вершины треугольника $A B C$ в середины $K, L, M$ противолежащих сторон. Найти образы точек $K, L, M$ и точки $O$ пересечения медиан треугольника $A B C$ при этом преобразовании. Выяснить геометрический смысл преобразования.

Найти неподвижные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования

Существуют ли аффинные преобразования:

Как запишется аффинное преобразование $x^{\prime } = x+4 y, y^{\prime } = 2 x+3 y$, если за оси новой системы координат $O^{\prime } u v$ принять инвариантные прямые?

Доказать, что если аффинное преобразование обладает единственной неподвижной точкой, то всякая инвариантная прямая проходит через эту точку. Сколько в этом случае может быть инвариантных прямых?

В прямоугольной системе координат написать формулы поворота плоскости на угол $\varphi$ вокруг точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$.

Написать формулы преобразования гомотетии с коэффициентом $k$ и центром в точке $(x_{0}, y_{0})$.

Найти преобразование подобия, являющееся композицией поворота на угол $\pi / 2$ вокруг точки $(-1,2$) и гомотетии с центром в этой точке и коэффициентом 2. Система координат прямоугольная.

Найти преобразование подобия с неподвижной точкой $(1,3)$, переводящее точку $(4,-1)$ в точку $(-9,3)$. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование, являющееся композицией симметрии относительно прямой $x+2 y+3 = 0$ и гомотетии с центром в точке $(1,-2)$ на этой прямой и коэффициентом 5. Система координат прямоугольная.

Найти аффинное преобразование сжатия к прямой $x+y-2 = 0$ по перпендикулярному ей направлению с коэффициентом сжатия, равным 3. Система координат прямоугольная.

Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования:

Относительно прямоугольной системы координат дано аффинное преобразование $x^{\prime } = k_{1} x, y^{\prime } = k_{2} y, k_{1} > 1 > k_{2} > 0$. Найти прямые, проходящие через начало координат, которые этим преобразованием изометрически отображаются на свои образы.

Относительно прямоугольной системы координат дано аффинное преобразование $x^{\prime } = 2 x+2 y, y^{\prime } = x+2 y$. Найти пару взаимно перпендикулярных векторов, которая при этом преобразовании переходит в пару взаимно перпендикулярных векторов.

Доказать, что преобразование

является преобразованием подобия, меняющим ориентацию. Представить это преобразование в виде композиции симметрии относительно прямой и гомотетии с центром на этой прямой. Система координат прямоугольная.