Изометрические преобразования плоскости и пространства

Найти неподвижную точку изометрического преобразования $x^{\prime } = x \cos \varphi -y \sin \varphi +x_{0}, \quad y^{\prime } = x \sin \varphi +y \cos \varphi +y_{0}, \quad 0 < \varphi < 2 \pi$.

Написать формулы изометрического преобразования, являющегося композицией симметрии относительно прямой, проходящей через точку $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ с направляющим вектором $(\cos \varphi , \sin \varphi )$, и переноса вдоль этой прямой на вектор, имеющий направление данного вектора и длину $d$.

Дано изометрическое преобразование $x^{\prime } = x+x_{0}, y^{\prime } = -y+y_{0}$, меняющее ориентацию плоскости. Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.

Дано изометрическое преобразование

Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.

Найти изометрическое преобразование, являющееся симметрией относительно прямой $A x+B y+C = 0$.

Найти изометрическое преобразование, сохраняющее ориентацию и переводящее точку $(0,2)$ в точку $(1, \sqrt{3})$, а точку $(1, \sqrt{3})$ в точку $(2,2)$. Найти угол поворота и неподвижную точку этого преобразования.

Найти изометрическое преобразование, меняющее ориентацию и переводящее точку $(2,0)$ в точку $(1, \sqrt{3})$, а точку $(1, \sqrt{3})$ в точку $(3, \sqrt{3}$). Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.

Доказать, что любой поворот плоскости можно представить в виде композиции двух симметрий.

Пусть дано изометрическое преобразование:

Доказать, что если его матрица $A$ отлична от единичной матрицы и $\det A = 1$, то это преобразование является композицией поворота вокруг некоторой оси и переноса вдоль этой оси. Найти угол $\varphi$ этого поворота и направляющий вектор а оси вращения в двух случаях: когда а не коллинеарен единичному вектору $\mathbf{e}_{1}$ и когда они коллинеарны. Найти вектор с переноса вдоль оси вращения, уравнения оси вращений и канонический вид преобразования.

В тех же обозначениях доказать, что если $\det A = -1$ и $a_{11} + a_{22}+a_{33} \neq 1$, то преобразование (8.1) является композицией симметрии относительно некоторой плоскости и поворота вокруг некоторой оси, перпендикулярной этой плоскости. Найти угол $\varphi$ этого поворота и направляющий вектор а оси вращения в двух случаях: когда а не коллинеарен единичному вектору $\mathbf{e}_{1}$ и $\varphi \neq \pi$, и когда они коллинеарны. Найти (единственную) неподвижную точку, плоскость симметрии, ось вращения и канонический вид преобразования.

Доказать, что если $\det A = -1$ и $a_{11}+a_{22}+a_{33} = 1$ (в тех же обозначениях), то преобразование (8.1) является композицией симметрии относительно некоторой плоскости и переноса на вектор $\mathbf{d}$, компланарный этой плоскости. Найти плоскость симметрии, вектор $\mathbf{d}$ и канонический вид преобразования.

Пользуясь результатами предыдущих задач, доказать, что любое изометрическое преобразование пространства представляется в виде композиции конечного числа симметрий.

Найти изометрическое преобразование, являющееся композицией поворота на угол $\pi / 2$ и переноса вдоль оси вращения на вектор с координатой 9 по отношению к оси вращения, зная, что ось вращения проходит через точку $(1,0,0)$ и имеет направляющий вектор $(-1,2,2)$.

Найти нетождественное изометрическое преобразование, оставляющее неподвижными три точки $(1,0,0),(0,1,0)$ и $(0,0,1)$.

В ориентированном пространстве даны два взаимно перпендикулярных вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Найти вектор $\mathbf{a}^{\prime }$, получающийся из вектора а при повороте пространства на угол $\varphi$ вокруг оси с направляющим вектором $\mathbf{b}$.

Выяснить геометрический смысл и найти канонический вид следующих изометрических преобразований пространства: