12.7 Влияние выбора модели на статистические выводы: 12.7.1 Условные и безусловные распределения, 12.7.2 Смещение, 12.7.3 Условные средние и дисперсии, 12.7.4 Оценивание коэффициентов с помощью условного правдоподобия, 12.7.5 Другие эффекты выбора модели

Рассмотрим модель регрессии

где $\sum_{i} x_{i} = 0$ и $\sum_{i} x_{i}^{2} = 1$. Пусть $r = \sum_{i} x_{i} Y_{i}$. Предположим, что мы оцениваем параметр $\beta$ с помощью оценки

где $c$ — некоторая положительная константа. Как СКО оценки $\tilde{\beta }$ как оценки $\beta$ соотносится со СКО обычной МНК-оценки?

Предположим, что вы используете пошаговый отбор для выбора либо нулевой модели $Y_{i} = \alpha +\varepsilon_{i}$, либо модели простой линейной регрессии из упражнения 1 выше. Объясните, как бы вы вычислили условную плотность (12.74) в этой ситуации.

Для любой пары случайных векторов $\mathbf{Y}$ и $\mathbf{Z}$ покажите, что разность $\operatorname {Var}\left[\mathbf{Y}\right]-\mathbb {E}\left[\operatorname {Var}\left[\mathbf{Y} \mid \mathbf{Z}\right]\right]$ является положительно полуопределённой. Указание: покажите, что эта разность равна $\operatorname {Var}\left[\mathbb {E}\left[\mathbf{Y} \mid \mathbf{Z}\right]\right]$.