12a

12.1 Введение, 12.2 Зачем выбирать модель?

[2/100%]
Показать
LaTeX
Задача 12a.1

Покажите, что квадрат полного смещения ∥μ−E[Xβ^]∥2\left\| \mathbf{\mu }-\mathbb {E}\left[\mathbf{X} \widehat{\mathbf{\beta }}\right]\right\|^{2} равен первому слагаемому в (12.8).

?
Задача 12a.2

Рассмотрим регрессионную модель

Yi=α+γ1xi+γ2zi+εi(i=1,…,n)(12.13) Y_{i} = \alpha +\gamma _{1} x_{i}+\gamma _{2} z_{i}+\varepsilon _{i} \quad (i = 1, \ldots , n) \tag {12.13}

где ∑ixi=∑izi=0\sum_{i} x_{i} = \sum_{i} z_{i} = 0 и ∑ixi2=∑izi2=1\sum_{i} x_{i}^{2} = \sum_{i} z_{i}^{2} = 1. Предположим, что мы хотим предсказать отклик YY, соответствующий вектору (x,z)(x, z), используя предиктор вида

Y^=Yˉ+γ~1x \widehat{Y} = \bar{Y}+\tilde{\gamma }_{1} x

где γ~1\tilde{\gamma }_{1} — оценка наименьших квадратов, полученная подгонкой модели

Yi=α+γ1xi+εi(i=1,…,n) Y_{i} = \alpha +\gamma _{1} x_{i}+\varepsilon _{i} \quad (i = 1, \ldots , n)
?
(a)

Предполагая, что модель (12.13) верна, покажите, что математическое ожидание ошибки модели E[ME]=E[(Y^−α−γ1x−γ2z)2]\mathbb {E}\left[\mathrm{ME}\right] = \mathbb {E}\left[\left(\widehat{Y}-\alpha -\gamma_{1} x-\gamma_{2} z\right)^{2}\right] предиктора Y^\widehat{Y} задаётся выражением

E[ME]=σ2(n−1+x2)+γ22(rx−z)2, \mathbb {E}\left[\mathrm{ME}\right] = \sigma ^{2}\left(n^{-1}+x^{2}\right)+\gamma _{2}^{2}(r x-z)^{2},

где r=∑ixizir = \sum_{i} x_{i} z_{i}.

(b)

При каких условиях Y^\widehat{Y} будет лучшим предиктором, чем предиктор, основанный как на xx, так и на zz?