2.1

Открытые, замкнутые и компактные множества; теоремы Гейне–Бореля и Асколи–Арцела

[15/0%]
LaTeX
Задача 2.1.1

Докажите теорему 2.1.

Теорема 2.1: Множество EE в метрическом пространстве (M,d)(M, d) открыто тогда и только тогда, когда его дополнение Ec=M∖EE^{c} = M \setminus E замкнуто.

?
Задача 2.1.2

Докажите теорему 2.2.

Теорема 2.2:

  1. Для любого семейства {Eα}\left\{ E_{\alpha }\right\} открытых множеств ⋃αEα\bigcup_{\alpha } E_{\alpha } открыто.

  2. Для любого семейства {Fα}\left\{ F_{\alpha }\right\} замкнутых множеств ⋂αFα\bigcap_{\alpha } F_{\alpha } замкнуто.

  3. Для любого конечного семейства {Ei}i=1n\left\{ E_{i}\right\}_{i=1}^{n} открытых множеств ⋂i=1nEi\bigcap_{i=1}^{n} E_{i} открыто.

  4. Для любого конечного семейства {Fi}i=1n\left\{ F_{i}\right\}_{i=1}^{n} замкнутых множеств ⋃i=1nFi\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} замкнуто.

?
Задача 2.1.3

Приведите примеры, показывающие, что слово «конечное» нельзя опустить в двух последних частях теоремы 2.2.

Теорема 2.2: (a) Для любого семейства {Eα}\left\{ E_{\alpha }\right\} открытых множеств ⋃αEα\bigcup_{\alpha } E_{\alpha } открыто. (b) Для любого семейства {Fα}\left\{ F_{\alpha }\right\} замкнутых множеств ⋂αFα\bigcap_{\alpha } F_{\alpha } замкнуто. (c) Для любого конечного семейства {Ei}i=1n\left\{ E_{i}\right\}_{i=1}^{n} открытых множеств ⋂i=1nEi\bigcap_{i=1}^{n} E_{i} открыто. (d) Для любого конечного семейства {Fi}i=1n\left\{ F_{i}\right\}_{i=1}^{n} замкнутых множеств ⋃i=1nFi\bigcup_{i=1}^{n} F_{i} замкнуто.

?
Задача 2.1.4

Докажите теорему 2.3. Помните, что ваше доказательство должно быть проведено в общем метрическом пространстве.

Теорема 2.3: Если EE — компактное подмножество метрического пространства, то EE замкнуто.

?
Задача 2.1.5
?
(a)

Рассмотрим R\mathbb {R} с евклидовой метрикой. Является ли (0,1)(0,1) открытым, замкнутым, ни тем ни другим, или и тем и другим одновременно? Объясните. (Вас может удивить, что множество может быть ни открытым, ни замкнутым, либо и тем и другим сразу (открыто-замкнутое множество). В оставшейся части этого набора упражнений вам встретятся примеры таких множеств.)

(b)

Рассмотрим R2\mathbb {R}^{2} с евклидовой метрикой. Является ли (0,1)={(x,0)∣0<x<1}(0,1)=\left\{ (x, 0) \mid 0<x<1\right\} открытым, замкнутым, ни тем ни другим, или и тем и другим? Объясните.

Задача 2.1.6

Верно ли, что int (A∪B)=int⁡(A)∪int⁡(B)(A \cup B)=\operatorname {int}(A) \cup \operatorname {int}(B)? Докажите или приведите контрпример. Что если объединение заменить пересечением?

?
Задача 2.1.7

Пусть MM — произвольное множество с дискретной метрикой. Какие множества являются открытыми?

?
Задача 2.1.8

Рассмотрим R\mathbb {R} с евклидовой метрикой.

?
(a)

Найдите множество предельных точек {1n∣n=1,2,3,…}\left\{ \frac{1}{n} \mid n=1,2,3, \ldots \right\}.

(b)

Найдите множество предельных точек Q\mathbb {Q}.

Задача 2.1.9

Приведите пример замкнутого и ограниченного множества в метрическом пространстве, которое не является компактным.

?
Задача 2.1.10

Рассмотрим R\mathbb {R} с евклидовой метрикой. Приведите открытое покрытие (−10,10](-10,10], не имеющее конечного подпокрытия.

?
Задача 2.1.11

Это упражнение посвящено знаменитому множеству, введённому Георгом Кантором. Если вы не знаете определения канторова множества, найдите его в учебнике по вещественному анализу или спросите у своего преподавателя ссылку на источник.

?
(a)

Является ли канторово множество компактным? Объясните.

(b)

Что представляет собой внутренность канторова множества? Объясните.

Задача 2.1.12

Докажите, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено. Затем, используя дискретную метрику на произвольном множестве по вашему выбору, покажите, что ограниченное множество не обязано быть вполне ограниченным.

?
Задача 2.1.13
?
(a)

Покажите, что замкнутый единичный шар в C([0,1])C([0,1]) не компактен, показав, что он не является секвенциально компактным. То есть постройте последовательность функций с нормой не больше единицы, не имеющую сходящейся подпоследовательности.

(b)

Покажите, что замкнутый единичный шар в ℓ1\ell^{1} (соответственно в ℓ∞\ell^{\infty }) не компактен.

(c)

Покажите, что замкнутый единичный шар в любом бесконечномерном пространстве не компактен.

Задача 2.1.14

Покажите, что если MM — метрическое пространство, A⊆MA \subseteq M компактно, а U⊆MU \subseteq M открыто, то A\UA \backslash U компактно.

?
Задача 2.1.15

Рассмотрим метрические пространства M1M_{1} и M2M_{2}.

?
(a)

Докажите, что функция f:M1→M2f: M_{1} \rightarrow M_{2} непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества в M2M_{2} открыт в M1M_{1}.

(b)

Предположим, что A⊆MA \subseteq M компактно и f:M→Rf: M \rightarrow \mathbb {R} непрерывна. Покажите, что f(A)f(A) является ограниченным подмножеством R\mathbb {R}.