Топология метрических пространств

Докажите теорему 2.1.

Теорема 2.1: Множество $E$ в метрическом пространстве $(M, d)$ открыто тогда и только тогда, когда его дополнение $E^{c} = M \setminus E$ замкнуто.

Докажите теорему 2.2.

Теорема 2.2:

1. Для любого семейства $\left\{ E_{\alpha }\right\}$ открытых множеств $\bigcup_{\alpha } E_{\alpha }$ открыто.

2. Для любого семейства $\left\{ F_{\alpha }\right\}$ замкнутых множеств $\bigcap_{\alpha } F_{\alpha }$ замкнуто.

3. Для любого конечного семейства $\left\{ E_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ открытых множеств $\bigcap_{i=1}^{n} E_{i}$ открыто.

4. Для любого конечного семейства $\left\{ F_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ замкнутых множеств $\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}$ замкнуто.

Приведите примеры, показывающие, что слово «конечное» нельзя опустить в двух последних частях теоремы 2.2.

Теорема 2.2: (a) Для любого семейства $\left\{ E_{\alpha }\right\}$ открытых множеств $\bigcup_{\alpha } E_{\alpha }$ открыто. (b) Для любого семейства $\left\{ F_{\alpha }\right\}$ замкнутых множеств $\bigcap_{\alpha } F_{\alpha }$ замкнуто. (c) Для любого конечного семейства $\left\{ E_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ открытых множеств $\bigcap_{i=1}^{n} E_{i}$ открыто. (d) Для любого конечного семейства $\left\{ F_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ замкнутых множеств $\bigcup_{i=1}^{n} F_{i}$ замкнуто.

Докажите теорему 2.3. Помните, что ваше доказательство должно быть проведено в общем метрическом пространстве.

Теорема 2.3: Если $E$ — компактное подмножество метрического пространства, то $E$ замкнуто.

Верно ли, что int $(A \cup B)=\operatorname {int}(A) \cup \operatorname {int}(B)$? Докажите или приведите контрпример. Что если объединение заменить пересечением?

Пусть $M$ — произвольное множество с дискретной метрикой. Какие множества являются открытыми?

Рассмотрим $\mathbb {R}$ с евклидовой метрикой.

Приведите пример замкнутого и ограниченного множества в метрическом пространстве, которое не является компактным.

Рассмотрим $\mathbb {R}$ с евклидовой метрикой. Приведите открытое покрытие $(-10,10]$, не имеющее конечного подпокрытия.

Это упражнение посвящено знаменитому множеству, введённому Георгом Кантором. Если вы не знаете определения канторова множества, найдите его в учебнике по вещественному анализу или спросите у своего преподавателя ссылку на источник.

Докажите, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено. Затем, используя дискретную метрику на произвольном множестве по вашему выбору, покажите, что ограниченное множество не обязано быть вполне ограниченным.

Покажите, что если $M$ — метрическое пространство, $A \subseteq M$ компактно, а $U \subseteq M$ открыто, то $A \backslash U$ компактно.

Рассмотрим метрические пространства $M_{1}$ и $M_{2}$.

Завершите доказательство, намеченное в примере 2, чтобы показать, что $C([a, b])$ сепарабельно.

Сепарабельно ли $\ell^{1}$? Докажите своё утверждение.

Сепарабельно ли $\ell^{\infty }$? Докажите своё утверждение.

Докажите, что в метрическом пространстве всякая фундаментальная последовательность ограничена.

Пусть $\left\| \cdot \right\|$ и $\vertiii {\cdot }$ обозначают две нормы, заданные на одном и том же линейном пространстве $X$. Предположим, что существуют константы $a>0$ и $b>0$, такие что

для каждого $x \in X$. Покажите, что $(X,\left\| \cdot \right\| )$ полно тогда и только тогда, когда $(X,\vertiii {\cdot })$ полно. Если две нормы удовлетворяют (2.1), они называются эквивалентными нормами.

Пусть $M$ — множество с дискретной метрикой. Полно ли $M$? Объясните.

Определим

на $C([a, b])$. Покажите, что это действительно задаёт норму. Порождена ли эта норма скалярным произведением? Является ли $\left(C([a, b]),\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ банаховым пространством?

Покажите, что $\left(C([a, b]),\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ не полно.

Докажите, что $\ell^{1}$ полно.

Докажите, что $\ell^{\infty }$ полно.