Глава 4

Приложения

[120/92%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 4.1

Икосаэдр — правильный многогранник с 20 одинаковыми равносторонними треугольными гранями, 30 рёбрами и 12 вершинами. Пусть $\tau = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$ — число золотого сечения. Декартовы координаты, задающие вершины икосаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат, задаются формулами

(0, \pm 1, \pm \tau ), \quad (\pm 1, \pm \tau , 0), \quad (\pm \tau , 0, \pm 1) .

Дискретная подгруппа компактной группы Ли $SO(3)$ порядка 60 называется икосаэдрической группой; она является группой симметрий икосаэдра. Она изоморфна группе чётных перестановок $A_5$ пяти элементов. Её двойное накрытие $2A_5$ из 120 элементов (бинарная икосаэдрическая группа) можно представить кватернионами или, эквивалентно, унитарными $2 \times 2$ матрицами с определителем единица. Пусть

E_1 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} .

120 элементов бинарной икосаэдрической группы можно породить элементами ( $2 \times 2$ матрицами)

A = \frac{1}{2}(\tau I_2 - \sigma E_1 + E_3), \quad B = \frac{1}{2}(I_2 - \sigma E_2 + \tau E_3)

где $\sigma = \frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) = -1/\tau$ . Пусть $C = E_3$ . Найдите $A^5$ , $B^3$ , $C^2$ и $ABC$ .

Задача 4.2

(i)(ii)

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathcal{H} = \mathbb {C}^4$ и эрмитовы матрицы

H = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} .

Используя произведение Кронекера, рассмотрим $16 \times 16$ матрицу

K = \frac{1}{2}(H \otimes I_4 + I_4 \otimes H) - \lambda A \otimes A - \mu B \otimes B

действующую в гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{16}$ , где $\lambda , \mu \geq 0$ . Будем рассматривать $K$ как гамильтониан.

(i)

Рассмотрим матрицу перестановки

R = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Таким образом, обратная к $R$ существует. Вычислите

(R \otimes R)^{-1} K (R \otimes R)

и коммутатор $[R \otimes R, K]$ . Обсудите случай $\lambda = \mu$ .

(ii)

Рассмотрим матрицы перестановок

S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Найдите коммутаторы $[S \otimes S, K]$ и $[T \otimes T, K]$ . Обсудите.

Задача 4.3

Пусть $R$ — матрица $4 \times 4$ , а $I_2$ — единичная матрица $2 \times 2$ . Пусть $R$ имеет вид

R = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & c & 0 \\ 0 & d & e & 0 \\ 0 & 0 & 0 & f \end{pmatrix} \equiv (a) \oplus \begin{pmatrix} b & c \\ d & e \end{pmatrix} \oplus (f)

где $a, b, c, d, e, f \in \mathbb {R}$ , а $\oplus$ обозначает прямую сумму. Найдите условия на $a, b, c, d, e, f$ , при которых

(R \otimes I_2)(I_2 \otimes R)(R \otimes I_2) = (I_2 \otimes R)(R \otimes I_2)(I_2 \otimes R) .

Предположите, что $a \neq 0$ .

Задача 4.4

Рассмотрим знакопеременную группу $A_4$ . Найдите классы сопряжённости. Найдите таблицу характеров.

Задача 4.5

(i)(ii)

(i)

Пусть $I_2$ — единичная матрица $2 \times 2$ , а $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ — спиновые матрицы Паули. Группа Паули $\mathcal{P}_1$ , состоящая из 16 элементов, задаётся как

\mathcal{P}_1 = \left\{ \pm I_2, \pm i I_2, \pm \sigma _x, \pm i \sigma _x, \pm \sigma _y, \pm i \sigma _y, \pm \sigma _z, \pm i \sigma _z \right\}

с матричным умножением в качестве композиции. Существует ли подгруппа с 8 элементами?

(ii)

Рассмотрим группу порядка 8, состоящую из кватернионов

\left\{ \pm 1, \pm I, \pm J, \pm K \right\}

относительно умножения. Матричное представление кватернионов задаётся как

\begin{aligned} 1 & \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \\ I & \mapsto -i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -i \sigma _x \\ J & \mapsto -i \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = -i \sigma _y \\ K & \mapsto -i \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -i \sigma _z . \end{aligned}

Найдите классы сопряжённости этой группы. Найдите таблицу характеров.

Задача 4.6

(i)(ii)

$n$ -кубитная группа Паули определяется как

\mathcal{P}_n = \left\{ I_2, \sigma _x, \sigma _y, \sigma _z \right\} ^{\otimes n} \otimes \left\{ \pm 1, \pm i \right\} \tag {1}

где $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ — матрицы Паули $2 \times 2$ , а $I_2$ — единичная матрица $2 \times 2$ . Размерность рассматриваемого гильбертова пространства равна $\dim \mathcal{H} = 2^n$ . Таким образом каждый элемент группы Паули $\mathcal{P}_n$ есть (с точностью до общей фазы $\pm 1, \pm i$ ) произведение Кронекера матриц Паули и единичных матриц $2 \times 2$ , действующих на $n$ кубитах. Порядок группы равен $2^{2n+2}$ .

(i)

Найдите все подгруппы группы Паули $\mathcal{P}_1$ .

(ii)

Найдите все классы сопряжённости группы Паули $\mathcal{P}_1$ .

Задача 4.7

(i)(ii)(iii)

$n$ -кубитная группа Клиффорда $\mathcal{C}_n$ — это нормализатор группы Паули. Унитарная матрица $U$ размера $2^n \times 2^n$ , действующая на $n$ кубитах, является элементом группы Клиффорда тогда и только тогда, когда

U M U^* \in \mathcal{P}_n \quad \text{для каждой} \quad M \in \mathcal{P}_n .

Это означает, что унитарная матрица $U$ , действующая сопряжением, переводит произведение Кронекера матриц Паули в произведение Кронекера матриц Паули. Элемент группы Клиффорда определяется именно этим действием сопряжением, так что общая фаза унитарной матрицы $U$ не имеет значения. Другими словами, группа Клиффорда — это группа всех матриц, оставляющих группу Паули инвариантной.

(i)

Покажите, что матрица Адамара

H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

является элементом группы Клиффорда $\mathcal{C}_1$ .

(ii)

Покажите, что матрица

U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}

является элементом группы Клиффорда $\mathcal{C}_1$ .

(iii)

Покажите, что матрица $4 \times 4$

U_{XOR} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

является элементом группы Клиффорда $\mathcal{C}_2$ .

Задача 4.8

Рассмотрим систему линейных уравнений $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ , где $A$ — обратимая матрица $3 \times 3$ . Предположим, что линейная система инвариантна относительно $x_1 \leftrightarrow x_2$ , т.е.

A\overrightarrow {x} = \left. A\overrightarrow {x} \right|_{x_1 \leftrightarrow x_2} = \overrightarrow {b} .

Можно ли заключить, что $x_1 = x_2$ ?

Задача 4.9

Систему уравнений в частных производных для системы уравнений кирального поля можно записать как

\begin{aligned} \frac{\partial \overrightarrow {u}}{\partial t} + \frac{\partial \overrightarrow {u}}{\partial x} - \overrightarrow {u} \times (J \overrightarrow {v}) & = 0 \\ \frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial t} - \frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial x} - \overrightarrow {v} \times (J \overrightarrow {u}) & = 0 \end{aligned}

где $\overrightarrow {u} = (u_1, u_2, u_3)^T$ , $\overrightarrow {v} = (v_1, v_2, v_3)^T$ , $\overrightarrow {u}^2 = \overrightarrow {v}^2 = 1$ , $J = \operatorname {diag}(j_1, j_2, j_3)$ — диагональная матрица $3 \times 3$ , а $\times$ обозначает векторное произведение. Рассмотрим линейное отображение $M : \mathbb {R}^{3} \to \mathfrak {so}(3)$

M(\overrightarrow {u}) = \begin{pmatrix} 0 & u_3 & -u_2 \\ -u_3 & 0 & u_1 \\ u_2 & -u_1 & 0 \end{pmatrix}

где $\mathfrak {so}(3)$ — простая алгебра Ли кососимметрических матриц $3 \times 3$ . Перепишите систему уравнений в частных производных, используя $M(\overrightarrow {u})$ .

Задача 4.10

Уравнение Ландау–Лифшица задаётся как

\frac{\partial \overrightarrow {u}}{\partial t} = \overrightarrow {u} \times \frac{\partial ^2 \overrightarrow {u}}{\partial x^2} + \overrightarrow {u} \times (K \overrightarrow {u})

где $\overrightarrow {u} = (u_1, u_2, u_3)^T$ , $\overrightarrow {u}^2 = 1$ , $K = \operatorname {diag}(k_1, k_2, k_3)$ — диагональная матрица $3 \times 3$ , а $\times$ обозначает векторное произведение. Рассмотрим линейное отображение $M : \mathbb {R}^{3} \to \mathfrak {so}(3)$

M(\overrightarrow {u}) = \begin{pmatrix} 0 & u_3 & -u_2 \\ -u_3 & 0 & u_1 \\ u_2 & -u_1 & 0 \end{pmatrix}

где $\mathfrak {so}(3)$ — простая алгебра Ли кососимметрических матриц $3 \times 3$ . Перепишите уравнение Ландау--Лифшица, используя $M(\overrightarrow {u})$ .

Задача 4.11

Пусть $\left\{ X_1, \ldots , X_n\right\}$ — базис алгебры Ли $L$ , а $\left\{ C_{ij}^k\right\}$ — структурные константы в этом базисе. Тогда мы можем представить $L$ в линейном пространстве $C^{\infty }(L^*)$ линейными дифференциальными операторами

\hat{X}_i = -\sum _{j=1}^{n} \sum _{k=1}^{n} C_{ij}^k x_k \frac{\partial }{\partial x_j}

где $[X_i, X_j] = \sum_{k=1}^{n} C_{ij}^k X_k$ ( $1 \leq i < j \leq n$ ). Дифференциальные операторы удовлетворяют

[\hat{X}_i, \hat{X}_j] = \sum _{k=1}^{n} C_{ij}^k \hat{X}_k .

Таким образом они составляют представление алгебры Ли $L$ . Аналитическая функция $f \in C^{\infty }(L^*)$ называется инвариантом алгебры $L$ , если она является решением системы

\left\{ \hat{X}_i f = 0, \ 1 \leq i \leq n \right\} .

Полиномиальные решения этой системы соответствуют классическим инвариантам Казимира после симметризации. Примените это к простой алгебре Ли $\mathfrak {so}(3)$ с базисом $\left\{ X_1, X_2, X_3\right\}$ и коммутационными соотношениями

[X_1, X_2] = X_3, \quad [X_2, X_3] = X_1, \quad [X_3, X_1] = X_2 .

Задача 4.12

(i)(ii)

Пусть $n \geq 2$ . Дискретная алгебра Вейля порождается матрицами $n \times n$ $\left\{ U, V, I_n\right\}$ над комплексными числами, удовлетворяющими

UV = \omega VU, \quad U^n = V^n = I_n

где $\omega := \exp (2\pi i/n)$ .

(i)

Найдите $U$ , $V$ для $n = 2$ .

(ii)

Найдите $U$ , $V$ для $n = 3$ .

Задача 4.13

Базис алгебры Ли $\mathfrak {su}(N)$ для нечётного $N$ можно построить из двух унитарных унимодулярных матриц $N \times N$

g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \omega & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \omega ^{N-1} \end{pmatrix}, \quad h = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}

где $\omega$ — примитивный корень $N$ -й степени из единицы, т.е. с периодом не менее $N$ , здесь взятый равным $\exp (4\pi i/N)$ . Очевидно, имеем

hg = \omega gh . \tag {1}

(i)

Найдите $g^N$ и $h^N$ .

(ii)

Найдите $\tr [g]$ .

(iii)

Пусть $\overrightarrow {m} = (m_1, m_2)$ , $\overrightarrow {n} = (n_1, n_2)$ и определим $\overrightarrow {m} \times \overrightarrow {n} := m_1 n_2 - m_2 n_1$ , где $m_1 = 0, 1, \ldots , N-1$ , $m_2 = 0, 1, \ldots , N-1$ . Полный набор унитарных унимодулярных матриц $N \times N$

J_{m_1, m_2} := \omega ^{m_1 m_2/2} g^{m_1} h^{m_2}

достаточен для порождения алгебры Ли $\mathfrak {su}(N)$ , где $J_{0,0} = I_N$ . Найдите $J_{(m_1, m_2)}^*$ .

(iv)

Вычислите произведение матриц $J_{\overrightarrow {m}} J_{\overrightarrow {n}}$ .

(v)

Найдите коммутатор $[J_{\overrightarrow {m}}, J_{\overrightarrow {n}}]$ .

Задача 4.14

Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Пусть $A(t)$ — гладкая матричнозначная функция $n \times n$ . Тогда имеем

\frac{d}{dt} e^{A(t)} = e^{A(t)} \left( \frac{I_n - \exp (-\operatorname {ad}_{A(t)})}{\operatorname {ad}_{A(t)}} \left( \frac{dA}{dt} \right) \right)

где $\operatorname {ad}_Y(X) := [Y, X]$ . Пусть

A(t) = \begin{pmatrix} 0 & t \\ -t & 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Вычислите производную $de^{A(t)}/dt$ , используя это выражение.

Задача 4.15

Рассмотрим одномерный гамильтониан

\hat{H} = -\frac{\hbar ^2}{2} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)

где потенциал $V$ — гладкая функция от $x$ . Мы хотим найти линейный дифференциальный оператор $\hat{I}$ , коммутирующий с оператором $\hat{H}$ . Сделаем анзац для дифференциального оператора $\hat{I}$ в виде

\hat{I} = -i \hbar ^3 \frac{d^3}{dx^3} + \frac{i}{2} \hbar \left( \frac{df}{dx} + f(x) \frac{d}{dx} \right) .

Найдите условия на $V$ и $f$ , при которых $[\hat{H}, \hat{I}] = 0$ .

Задача 4.16

Рассмотрим функцию Гамильтона

H(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) = \frac{1}{2}(p_1^2 + p_2^2) - (A q_1^2 + B q_2^2 + C q_1^2 q_2 + D q_2^3)

где $\overrightarrow {q} = (q_1, q_2) \in \mathbb {R}^{2}$ и $\overrightarrow {p} = (p_1, p_2) \in \mathbb {R}^{2}$ — соответственно вектор положения и вектор импульса частицы. Функция Гамильтона является интегралом движения, т.е. $H(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) = E$ . Рассмотрим вещественно-аналитический диффеоморфизм

\begin{aligned} r & = \left|\overrightarrow {q}\right| \\ \theta & = \arctan (q_2/q_1) \\ u & = \dot{r} = (q_1 p_1 + q_2 p_2)/\left|\overrightarrow {q}\right| \\ v & = r\dot{\theta } = (q_1 p_2 - q_2 p_1)/\left|\overrightarrow {q}\right| \end{aligned}

который является преобразованием типа Мак-Ги второго рода. Уравнения движения принимают вид

\begin{aligned} \dot{r} & = u \\ \dot{\theta } & = v/r \\ \dot{u} & = v^2/r + 2(A \cos ^2 \theta + B \sin ^2 \theta ) r + 3(C \cos ^2 \theta + D \sin ^2 \theta ) r^2 \sin \theta \\ \dot{v} & = -uv/r + 2(B-A) r \sin \theta \cos \theta + (3(D-C)\sin ^2\theta + C) r^2 \cos \theta \end{aligned}

а энергия принимает вид

\frac{1}{2}(u^2+v^2) - (A\cos ^2\theta + B\sin ^2\theta ) r^2 - (C\cos ^2\theta + D\sin ^2\theta ) r^3 \sin \theta = E .

Найдите дискретные симметрии векторного поля, заданного автономной системой дифференциальных уравнений.

Задача 4.17

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим задачу на собственные значения (уравнение Шрёдингера)

\left( -\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_0 (A \cosh (ax) - 1)^2 \right) \psi (x) = E \psi (x)

где $V_0$ положительно (размерность энергии), $0 < A < 1$ , а $a$ положительно и имеет размерность обратной длины. Вводя безразмерные параметры $S$ и $B$

V_0 = \frac{\hbar ^2 a^2}{8m} (2S+1)^2, \quad A = \frac{B}{(2S+1)}, \quad -\frac{1}{2} < S < \infty , \quad B > 0

и безразмерную длину $\zeta = ax$ , находим с $\widetilde{\psi }(\zeta (x)) = \psi (x)$ уравнение на собственные значения в виде

\hat{H} \widetilde{\psi }(\zeta ) = \epsilon \widetilde{\psi }(\zeta )

с гамильтонианом

\hat{H} = -\frac{d^2}{d\zeta ^2} + \frac{1}{4} B^2 \sinh ^2 \zeta - B(S+1/2) \cosh \zeta

\epsilon = \frac{2m}{\hbar ^2 a^2} E - \frac{1}{4}(2S+1)^2 \left( 1 + \left( \frac{B}{2S+1} \right)^2 \right) .

Рассмотрим дифференциальные операторы

\begin{aligned} S_1 & = S \cosh \zeta - \frac{B}{2} \sinh ^2\zeta - \sinh \zeta \frac{d}{d\zeta } \\ S_2 & = i \left( -S \sinh \zeta + \frac{B}{2} \sinh \zeta \cosh \zeta + \cosh \zeta \frac{d}{d\zeta } \right) \\ S_3 & = \frac{B}{2} \sinh \zeta + \frac{d}{d\zeta } . \end{aligned}

(i)

Найдите коммутаторы и тем самым покажите, что они образуют базис алгебры Ли.

(ii)

Покажите, что гамильтониан можно выразить через операторы $S_1, S_2, S_3$ .

(iii)

Найдите $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$ .

Задача 4.18

(i)(ii)(iii)

(i)

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {so}(2,3)$ . Десять образующих $L_1, L_2, L_3, D_1, D_2, D_3, F_1, F_2, F_3$ и $V$ удовлетворяют коммутационным соотношениям

\begin{aligned} [L_j, L_k] & = i \epsilon _{jk\ell } L_\ell \\[L_j, V] & = 0 \\[L_j, D_k] & = i \epsilon _{jk\ell } D_\ell \\[L_j, F_k] & = i \epsilon _{jk\ell } F_\ell \\[D_j, F_k] & = -i \delta _{jk} V \\[D_j, D_k] & = -i \epsilon _{jk\ell } L_\ell \\[F_j, F_k] & = -i \epsilon _{jk\ell } L_\ell \\[D_j, V] & = -i F_j \\[F_j, V] & = i D_j \end{aligned}

где $j,k = 1,2,3$ и $\epsilon_{123} = \epsilon_{312} = \epsilon_{231} = +1$ . Найдите присоединённое представление $\mathfrak {so}(2,3)$ .

(ii)

Найдите форму Киллинга $\kappa (x,y) := \tr [\operatorname {ad}(x)\operatorname {ad}(y)]$ . Затем покажите, что алгебра Ли полупроста.

(iii)

Найдите два квадратичных оператора Казимира алгебры $\mathfrak {so}(2,3)$ . Операторы Казимира коммутируют со всеми элементами алгебры Ли.

Задача 4.19

Любую унитарную матрицу $U$ размера $2^n \times 2^n$ можно разложить как

U = \begin{pmatrix} U_1 & 0 \\ 0 & U_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C & S \\ -S & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_3 & 0 \\ 0 & U_4 \end{pmatrix}

где $U_1, U_2, U_3, U_4$ — унитарные матрицы размера $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ , а $C$ и $S$ — диагональные матрицы размера $2^{n-1} \times 2^{n-1}$

\begin{aligned} C & = \operatorname {diag}(\cos \alpha _1, \cos \alpha _2, \ldots , \cos \alpha _{2^n/2}) \\ S & = \operatorname {diag}(\sin \alpha _1, \sin \alpha _2, \ldots , \sin \alpha _{2^n/2}) \end{aligned}

где $\alpha_j \in \mathbb {R}$ . Это разложение называется косинус-синусным разложением матрицы $U$ . Пусть $V, W$ — унитарные матрицы размера $2^n \times 2^n$ . Предположим, что у нас есть косинус-синусные разложения матриц $V$ и $W$ . Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Существует ли косинус-синусное разложение $V \otimes W$ ?

Задача 4.20

Рассмотрим линейные операторы $L$ и $M$ , определённые как

L\psi (x,t,\lambda ) = \left( i\frac{\partial }{\partial x} + U(x,t,\lambda ) \right) \psi (x,t,\lambda )

M\psi (x,t,\lambda ) = \left( i\frac{\partial }{\partial t} + V(x,t,\lambda ) \right) \psi (x,t,\lambda ) .

Найдите условие на $L$ и $M$ , при котором $[L,M] = 0$ , где $[\, , \, ]$ обозначает коммутатор. Потенциалы $U(x,t,\lambda )$ и $V(x,t,\lambda )$ (квадратные матрицы) обычно выбираются как элементы некоторой полупростой алгебры Ли.

Задача 4.21

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера для волновой функции $\psi$ системы трёх частиц в одном пространственном измерении

-\frac{\hbar ^2}{2m} \Delta \psi + \left( \sum _{j \leq k=1}^{3} (\alpha (x_j-x_k)^2 + \beta (x_j-x_k)^4) \right) \psi = E\psi

где $\Delta$ — лапласиан

\Delta := \frac{\partial ^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_3^2} .

Это означает, что мы рассматриваем три частицы равной массы $m$ , движущиеся в одном пространственном измерении с потенциалом $V$ , заданным как

V(x_j,x_k) = \alpha (x_j-x_k)^2 + \beta (x_j-x_k)^4, \quad \beta > 0 .

Пусть

X := \frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3)

— центр масс системы. Введём систему координат $X, \rho , \theta$

\begin{aligned} r_1 & = x_1 - X = \sqrt{\frac{2}{3}} \rho \cos (\theta - 2\pi /3) \\ r_2 & = x_2 - X = \sqrt{\frac{2}{3}} \rho \cos (\theta + 2\pi /3) \\ r_3 & = x_3 - X = \sqrt{\frac{2}{3}} \rho \cos (\theta ) . \end{aligned}

(i)

Найдите

\sum _{j=1}^{3} r_j, \quad \sum _{j=1}^{3} r_j^2, \quad \sum _{j=1}^{3} r_j^4

\sum _{j \leq k=1}^{3} (x_j-x_k)^2, \quad \sum _{j \leq k=1}^{3} (x_j-x_k)^4 .

(ii)

Перепишите тензорное поле метрики

g = dx_1 \otimes dx_1 + dx_2 \otimes dx_2 + dx_3 \otimes dx_3

используя координаты $X, \rho , \theta$ .

(iii)

Перепишите лапласиан $\Delta$ , используя координаты $X, \rho , \theta$ .

Задача 4.22

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $n \geq 2$ . Группа кос $\mathcal{B}_n$ на $n$ нитях задаётся образующими $\sigma_1, \sigma_2, \ldots , \sigma_{n-1}$ и определяющими соотношениями

\sigma _i \sigma _{i+1} \sigma _i = \sigma _{i+1} \sigma _i \sigma _{i+1} \quad \text{при} \quad 1 \leq i \leq n-2

\sigma _i \sigma _j = \sigma _j \sigma _i \quad \text{при} \quad \left|i-j\right| \geq 2 \quad \text{и} \quad 1 \leq i,j \leq n-1 .

Пусть $\mathbb {Z}[t,t^{-1}]$ — кольцо многочленов Лорана над целыми числами. Пусть $n \geq 4$ . Определим приведённое представление Бурау

R : \mathcal{B}_n \to GL(n-1, \mathbb {Z}[t,t^{-1}])

формулой

R(bb') = R(b)R(b')

R(\sigma _1) = \begin{pmatrix} -t & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \oplus I_{n-3}, \quad R(\sigma _{n-1}) = I_{n-3} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & -t \end{pmatrix}

R(\sigma _i) = I_{i-2} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ t & -t & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \oplus I_{n-i-2}

где $\oplus$ обозначает прямую сумму, а $I_{i-2}$ — единичная матрица размера $(i-2) \times (i-2)$ . Рассмотрим случай $n = 4$ .

(i)

Найдите $R(\sigma_1)$ , $R(\sigma_2)$ , $R(\sigma_3)$ .

(ii)

Покажите, что

R(\sigma _1) R(\sigma _2) R(\sigma _1) = R(\sigma _2) R(\sigma _1) R(\sigma _2) .

(iii)

Покажите, что

R(\sigma _1) R(\sigma _3) = R(\sigma _3) R(\sigma _1) .

(iv)

Найдите обратные матрицы $R^{-1}(\sigma_1)$ , $R^{-1}(\sigma_2)$ , $R^{-1}(\sigma_3)$ .

Задача 4.23

Пусть $X_1, X_2, \ldots , X_n$ — базис конечномерной алгебры Ли. Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Определим

f_{jk}(\epsilon ) := \exp (\epsilon X_j) X_k \exp (-\epsilon X_j), \quad j,k = 1,2,\ldots ,n .

Найдите производную $df_{jk}(\epsilon )/d\epsilon$ и выразите её через структурные константы.

Задача 4.24

Рассмотрим простую алгебру Ли $\mathfrak {so}(3)$ с базисом $\left\{ X_1, X_2, X_3\right\}$ , где $[X_1,X_2] = X_3$ , $[X_2,X_3] = X_1$ , $[X_3,X_1] = X_2$ . Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Вычислите

\begin{aligned} f_{12}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X_1} X_2 e^{-\epsilon X_1} \\ f_{23}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X_2} X_3 e^{-\epsilon X_2} \\ f_{31}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X_3} X_1 e^{-\epsilon X_3} \\ f_{21}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X_2} X_1 e^{-\epsilon X_2} \\ f_{32}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X_3} X_2 e^{-\epsilon X_3} \\ f_{13}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X_1} X_3 e^{-\epsilon X_1} . \end{aligned}

Используйте технику дифференцирования по параметру и решите задачу Коши для автономной системы дифференциальных уравнений.

Задача 4.25

Рассмотрим простую алгебру Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ с базисом $\left\{ K_0, K_+, K_-\right\}$ , где

[K_0,K_+] = K_+, \quad [K_0,K_-] = -K_-, \quad [K_-,K_+] = 2K_0 .

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Вычислите

\begin{aligned} f_{0+}(\epsilon ) & = e^{\epsilon K_0} K_+ e^{-\epsilon K_0} \\ f_{0-}(\epsilon ) & = e^{\epsilon K_0} K_- e^{-\epsilon K_0} \\ f_{+-}(\epsilon ) & = e^{\epsilon K_+} K_- e^{-\epsilon K_+} \\ f_{+0}(\epsilon ) & = e^{\epsilon K_+} K_0 e^{-\epsilon K_+} \\ f_{-0}(\epsilon ) & = e^{\epsilon K_-} K_0 e^{-\epsilon K_-} \\ f_{-+}(\epsilon ) & = e^{\epsilon K_-} K_+ e^{-\epsilon K_-} . \end{aligned}

Задача 4.26

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с базисом $H, X, Y$ и коммутаторами $[H,X]=2X$ , $[H,Y]=-2Y$ , $[X,Y]=H$ , где

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Вычислите

\begin{aligned} f_{XY}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X} Y e^{-\epsilon X} \\ f_{XH}(\epsilon ) & = e^{\epsilon X} H e^{-\epsilon X} \\ f_{YX}(\epsilon ) & = e^{\epsilon Y} X e^{-\epsilon Y} \\ f_{HX}(\epsilon ) & = e^{\epsilon H} X e^{-\epsilon H} \\ f_{YH}(\epsilon ) & = e^{\epsilon Y} H e^{-\epsilon Y} \\ f_{HY}(\epsilon ) & = e^{\epsilon H} Y e^{-\epsilon H} \end{aligned}

используя технику дифференцирования по параметру. Заметим, что «начальные условия» — это $f_{YX}(0) = f_{HX}(0) = X$ , $f_{XY}(0) = f_{HY}(0) = Y$ , $f_{XH}(0) = f_{YH}(0) = H$ .

Задача 4.27

Рассмотрим неабелеву конечномерную алгебру Ли $L$ над $\mathbb {C}$ с базисом $\left\{ X_1, \ldots , X_n\right\}$ и коммутаторами

[X_j, X_k] = \sum _{m=1}^{n} C_{jk}^m X_m, \quad j,k = 1,2,\ldots ,n . \tag {1}

Рассмотрим экспоненциальные операторы

\hat{O}_I(\overrightarrow {\alpha }) = \exp \left( \sum _{k=1}^{n} \alpha _k X_k \right) \tag {2}

\hat{O}_{II}(\overrightarrow {\beta }) = \prod _{k=1}^{n} \exp (\beta _k X_k) . \tag {3}

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим

\hat{O}_I(\epsilon \overrightarrow {\alpha }) = \exp \left( \epsilon \sum _{k=1}^{n} \alpha _k X_k \right) \tag {4}

\hat{O}_{II}(\overrightarrow {\beta }(\epsilon )) = \prod _{k=1}^{n} \exp (\beta _k(\epsilon ) X_k) . \tag {5}

Наложим условие

\hat{O}_I(\epsilon \overrightarrow {\alpha }) = \hat{O}_{II}(\overrightarrow {\beta }(\epsilon )) \tag {6}

и найдём систему дифференциальных уравнений для $\beta_1(\epsilon ), \beta_2(\epsilon ), \ldots , \beta_n(\epsilon )$ .

Задача 4.28

Примените технику из предыдущей задачи к двумерной алгебре Ли с базисом $X_1, X_2$ и $[X_1,X_2] = X_1$ , используя дифференцирование по параметру.

Задача 4.29

Пусть $A, H$ — эрмитовы матрицы $n \times n$ , где $H$ играет роль гамильтониана. Уравнение движения Гейзенберга задаётся как

\frac{dA(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar } [H, A(t)] .

с $A = A(t=0) = A(0)$ и решением задачи Коши

A(t) = e^{iHt/\hbar } A e^{-iHt/\hbar } .

Пусть $E_j$ ( $j = 1,2,\ldots ,n^2$ ) — ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ матриц $n \times n$ со скалярным произведением

\left\langle X, Y \right\rangle := \tr [XY^*], \quad X, Y \in \mathcal{H} .

Теперь $A(t)$ можно разложить по этому ортонормированному базису как

A(t) = \sum _{j=1}^{n^2} c_j(t) E_j

а $H$ можно разложить как

H = \sum _{j=1}^{n^2} h_j E_j .

Найдите временную эволюцию коэффициентов $c_j(t)$ , т.е. $dc_j/dt$ , где $j = 1,2,\ldots ,n^2$ .

Задача 4.30

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тогда имеем

e^A B e^{-A} = B + [A,B] + \frac{1}{2!}[A,[A,B]] + \frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]] + \cdots \tag {1}

e^A B e^A = B + [A,B]_+ + \frac{1}{2!}[A,[A,B]_+]_+ + \frac{1}{3!}[A[A,[A,B]_+]_+]_+ + \cdots \tag {2}

где $[\, ,\, ]$ — коммутатор, а $[\, ,\, ]_+$ обозначает антикоммутатор. Из (2) находим

e^A B e^{-A} = \left( B + [A,B]_+ + \frac{1}{2!}[A,[A,B]_+]_+ + \frac{1}{3!}[A[A,[A,B]_+]_+]_+ + \cdots \right) e^{-2A} \tag {3}

e^A B e^{-A} = e^{2A} \left( B - [A,B]_+ + \frac{1}{2!}[A,[A,B]_+]_+ - \frac{1}{3!}[A[A,[A,B]_+]_+]_+ + \cdots \right) . \tag {4}

Пусть $\sigma_1$ и $\sigma_3$ — спиновые матрицы Паули

\sigma _1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma _3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Вычислите

\widetilde{\sigma }_1 = e^{i\sigma _3\phi /2} \sigma _1 e^{-i\sigma _3\phi /2}

где $\phi \in \mathbb {R}$ .

Задача 4.31

(i)(ii)

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с базисом $\left\{ H,X,Y\right\}$ и коммутаторами

[H,X] = 2X, \quad [H,Y] = -2Y, \quad [X,Y] = H

где

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

(i)

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ . Вычислите $\exp (\alpha H)$ , $\exp (\beta X)$ , $\exp (\gamma Y)$ .

(ii)

Вычислите $\exp (\alpha H)\exp (\beta X)\exp (\gamma Y)$ .

Задача 4.32

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ и

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Рассмотрим матрицу

M(\alpha ,\beta ,\gamma ) = \alpha H + \beta X + \gamma Y = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{pmatrix}

со следом 0. Таким образом $M$ — элемент $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ . Вычислите

\exp (M(\alpha ,\beta ,\gamma )) .

Задача 4.33

Пусть $I_n$ — единичная матрица $n \times n$ , а $0_n$ — нулевая матрица $n \times n$ . Покажите, что матрицы $2n \times 2n$

\tau _1 = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ I_n & 0_n \end{pmatrix}, \quad \tau _2 = \begin{pmatrix} 0_n & -iI_n \\ iI_n & 0_n \end{pmatrix}, \quad \tau _3 = \begin{pmatrix} I_n & 0_n \\ 0_n & -I_n \end{pmatrix}

образуют базис алгебры Ли относительно коммутатора.

Задача 4.34

Пусть $z_1, z_2$ — комплексные переменные. Покажите, что дифференциальные операторы (векторные поля)

J_1 = \frac{1}{2}\left( z_1 \frac{\partial }{\partial z_2} + z_2 \frac{\partial }{\partial z_1} \right), \quad J_2 = \frac{1}{2}i\left( z_1 \frac{\partial }{\partial z_2} - z_2 \frac{\partial }{\partial z_1} \right),

J_3 = \frac{1}{2}\left( z_2 \frac{\partial }{\partial z_2} - z_1 \frac{\partial }{\partial z_1} \right)

образуют базис алгебры Ли относительно коммутатора.

Задача 4.35

Пусть $j = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots$ . Покажите, что дифференциальные операторы

J_+ = 2jz - z^2 \frac{\partial }{\partial z}, \quad J_- = \frac{\partial }{\partial z}, \quad J_z = z\frac{\partial }{\partial z} - j

образуют базис алгебры Ли относительно коммутатора.

Задача 4.36

Пусть $j = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots$ . Покажите, что дифференциальные операторы

J_+ = z\left( j - z\frac{\partial }{\partial z} \right), \quad J_- = \frac{1}{z}\left( j + z\frac{\partial }{\partial z} \right), \quad J_z = z\frac{\partial }{\partial z}

образуют базис алгебры Ли относительно коммутатора.

Задача 4.37

(i)(ii)

Рассмотрим функции класса $C^{\infty }(\mathbb {R}^{2n})$ , зависящие от $2n$ переменных

(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) = (q_1, \ldots , q_n, p_1, \ldots , p_n) .

Эти переменные известны как переменные фазового пространства, где $q_j$ обозначает положение, а $p_j$ — импульс. Коммутатор двух таких функций $f$ и $g$ определяется скобкой Пуассона

[f,g] := \sum _{j=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_j} \frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{\partial f}{\partial p_j} \frac{\partial g}{\partial q_j} \right) .

Векторное пространство функций $f(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q})$ класса $C^{\infty }(\mathbb {R}^{2n})$ образует бесконечномерную алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Рассмотрим случай $n=2$ и 10 функций

\begin{aligned} f_{12} & = q_1 p_2 - q_2 p_1 \\ f_{13} & = \frac{1}{\sqrt{2p_0}} \left( \left( \frac{1}{2} \overrightarrow {p}^2 - p_0 \right) q_1 - (\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {p}) p_1 \right) \\ f_{23} & = \frac{1}{\sqrt{2p_0}} \left( \left( \frac{1}{2} \overrightarrow {p}^2 - p_0 \right) q_2 - (\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {p}) p_2 \right) \\ f_{14} & = \frac{1}{\sqrt{2p_0}} \left( \left( \frac{1}{2} \overrightarrow {p}^2 + p_0 \right) q_1 - (\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {p}) p_1 \right) \\ f_{24} & = \frac{1}{\sqrt{2p_0}} \left( \left( \frac{1}{2} \overrightarrow {p}^2 + p_0 \right) q_2 - (\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {p}) p_2 \right) \\ f_{34} & = (\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {p}) \\ f_{15} & = r p_1 \\ f_{25} & = r p_2 \\ f_{35} & = \frac{1}{\sqrt{2p_0}} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow {p}^2 - p_0 \right) r \\ f_{45} & = \frac{1}{\sqrt{2p_0}} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow {p}^2 + p_0 \right) r \end{aligned}

где $p_0$ — константа и

\overrightarrow {p}^2 := p_1^2 + p_2^2, \quad r := \sqrt{q_1^2+q_2^2}, \quad \overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {p} := q_1 p_1 + q_2 p_2 .

(i)

Вычислите скобки Пуассона и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли $\mathfrak {so}(3,2)$ .

(ii)

Найдите подалгебры Ли.

Задача 4.38

(i)(ii)

Векторное пространство функций $f(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q})$ класса $C^{\infty }(\mathbb {R}^{2n})$ образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона.

(i)

Пусть

f(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) = \frac{1}{2}p_1^2 + \frac{1}{2}p_2^2 + \frac{1}{12}(q_1^4+q_2^4) + \frac{1}{2}q_1^2 q_2^2

g(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) = 3p_1 p_2 + q_1 q_2(q_1^2+q_2^2) .

Найдите $[f,g]$ . Обсудите.

(ii)

Рассмотрим цепочку Тоды с функцией Гамильтона

H(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) = \frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2+p_3^2) + e^{q_1-q_2} + e^{q_2-q_3} + e^{q_3-q_1} .

Пусть

\begin{aligned} I_1(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) & = p_1+p_2+p_3 \\ I_2(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) & = p_1 p_2 + p_2 p_3 + p_3 p_1 - e^{q_1-q_2} - e^{q_2-q_3} - e^{q_3-q_1} \\ I_3(\overrightarrow {p}, \overrightarrow {q}) & = p_1 p_2 p_3 - p_1 e^{q_2-q_3} - p_2 e^{q_3-q_1} - p_3 e^{q_1-q_2} . \end{aligned}

Найдите скобки Пуассона. Обсудите.

Задача 4.39

Скобка Мойала (также называемая синус-скобкой) определяется как

[f(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}), g(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q})]_{MB} := f(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}) \frac{2}{\hbar } \sin \left( \frac{\hbar }{2} (\overleftarrow {\partial }_{\overrightarrow {q}} \cdot \overrightarrow {\partial }_{\overrightarrow {p}} - \overleftarrow {\partial }_{\overrightarrow {p}} \cdot \overrightarrow {\partial }_{\overrightarrow {q}}) \right) g(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q})

где

\partial _{\overrightarrow {q}} \cdot \partial _{\overrightarrow {p}} := \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial }{\partial q_j} \frac{\partial }{\partial p_j}, \quad \partial _{\overrightarrow {p}} \cdot \partial _{\overrightarrow {q}} := \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial }{\partial p_j} \frac{\partial }{\partial q_j} .

Скобка Мойала переходит в скобку Пуассона при $\hbar \to 0$ . Скобка Мойала антисимметрична по своим аргументам $f$ и $g$ . Она удовлетворяет тождеству Якоби. Скобка Мойала задаёт бесконечномерную алгебру Ли. Рассмотрим функцию Гамильтона

H(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}) = \frac{1}{2}p_1^2 + \frac{1}{2}p_2^2 + \frac{16}{3}q_2^3 + q_1 q_2^2 + \mu q_1^{-2} .

Пусть

I(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}) = p_1^4 + 4(q_1^2 q_2 + \mu q_1^{-2})p_1^2 - \frac{4}{3}q_1^3 p_1 p_2 - \frac{4}{3}q_1^4 q_2^2 + \frac{8}{3}\mu q_2 - \frac{2}{9}q_1^6 + 4\mu ^2 q_1^{-4} .

Найдите скобку Мойала. Обсудите.

Задача 4.40

Рассмотрим функцию Гамильтона Энона–Эйлеса

H(p_1,p_2,x_1,x_2) = \frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2+x_1^2+x_2^2) + cx_1^2 x_2 - \frac{1}{3}x_2^3

с уравнениями движения

\frac{d^2x_1}{dt^2} = -x_1 - 2cx_1x_2, \quad \frac{d^2x_2}{dt^2} = -x_2 - cx_1^2 + x_2^2 .

Покажите, что уравнения движения инвариантны при $c=1$ относительно поворота на $2\pi /3$

\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} .

Задача 4.41

Пусть $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}, \overrightarrow {z}$ — единичные векторы в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{2}$ . Найдите максимум функции

f(\overrightarrow {x},\overrightarrow {y},\overrightarrow {z}) = \left\| \overrightarrow {x}-\overrightarrow {y}\right\| ^2 + \left\| \overrightarrow {y}-\overrightarrow {z}\right\| ^2 + \left\| \overrightarrow {z}-\overrightarrow {x}\right\| ^2

при ограничениях

\left\| \overrightarrow {x}\right\| = \left\| \overrightarrow {y}\right\| = \left\| \overrightarrow {z}\right\| = 1

т.е. $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {y}, \overrightarrow {z}$ — единичные векторы. Дайте интерпретацию результата. Решите задачу методом множителей Лагранжа. Обсудите дискретные симметрии задачи.

Задача 4.42

Симметрия $D_4$ состоит из четырёх поворотов по 90 градусов и четырёх зеркал отражения, причём угол между ними равен 45 градусов. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

\frac{d^2x_1}{dt^2} = -x_1 + (\mu - x_1^2 - x_2^2)\frac{dx_1}{dt}

\frac{d^2x_2}{dt^2} = -x_2 + (\mu - x_2^2 - x_1^2)\frac{dx_2}{dt}

где $\mu \in \mathbb {R}$ — вещественный параметр бифуркации. Покажите, что при переходе $\mu$ через ноль происходит бифуркация Хопфа с симметрией $D_4$ .

Задача 4.43

Пусть $\sigma \in \mathbb {R}$ . Покажите, что дифференциальные операторы

J_+ = -t\left( w\frac{\partial }{\partial w} - t\frac{\partial }{\partial t} + \sigma \right), \quad J_- = -\frac{1}{t}\left( (w-1)\frac{\partial }{\partial w} + t\frac{\partial }{\partial t} + \sigma \right)

J_3 = t\frac{\partial }{\partial t}

образуют базис полупростой алгебры Ли. Оператор Казимира задаётся как

C = J_3^2 + J_+ J_- - J_3 .

Вычислите $C$ .

Задача 4.44

Пусть $\mu \in \mathbb {R}$ и

\sigma _z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Покажите, что операторы в пространстве произведения

T_+ = e^x \left( i\frac{d}{dx} + \frac{1}{2} + \mu \right) \otimes \sigma _z, \quad T_- = e^{-x} \left( -i\frac{d}{dx} + \frac{1}{2} + \mu \right) \otimes \sigma _z

T_3 = i\frac{d}{dx} \otimes I_2

образуют базис алгебры Ли относительно коммутатора, где $\otimes$ обозначает тензорное произведение.

Задача 4.45

(i)(ii)

Рассмотрим функцию Гамильтона

H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + K\frac{q^4}{4}

для ангармонического осциллятора. Уравнения движения задаются как

\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -Kq^3, \quad \frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}

с начальными значениями $p(0)$ и $q(0)$ .

(i)

Покажите, что $H$ — первый интеграл.

(ii)

Решите задачу Коши, используя эллиптические функции Якоби

Задача 4.46

(i)(ii)

Рассмотрим двумерное евклидово пространство с тензорным полем метрики

g = dx \otimes dx + dy \otimes dy .

(i)

Покажите, что $g$ инвариантно относительно преобразования

x' = x\cos (\alpha ) - y\sin (\alpha ), \quad y' = x\sin (\alpha ) + y\cos (\alpha ) .

(ii)

Найдите векторное поле

V = V_1(x,y)\frac{\partial }{\partial x} + V_2(x,y)\frac{\partial }{\partial y}

такое, что $L_V g = 0$ . Такие векторные поля называются векторными полями Киллинга. Производная Ли $L_V(.)$ линейна и подчиняется правилу произведения.

Задача 4.47

(i)(ii)

Рассмотрим тензорное поле метрики (двумерная сфера $S^2$ )

g = d\theta \otimes d\theta + \sin ^2\theta \, d\phi \otimes d\phi .

(i)

Найдите векторные поля Киллинга $V$ метрики $g$ , т.е. $L_V g = 0$ .

(ii)

Вычислите коммутаторы векторных полей Киллинга и тем самым покажите, что мы имеем алгебру Ли.

Задача 4.48

(i)(ii)

Пространство постоянной отрицательной кривизны описывается верхней половиной $H$ плоскости комплексных чисел $z = x+iy$ с $y > 0$ . Расстояние $ds$ между соседними точками $z$ и $z+dz$ в $H$ задаётся римановой метрикой

ds^2 = \frac{dx^2+dy^2}{y^2}

т.е. тензорное поле метрики задаётся как

g = \frac{dx \otimes dx + dy \otimes dy}{y^2} .

(i)

Найдите векторные поля Киллинга и покажите, что они образуют базис алгебры Ли.

(ii)

Пространство $H$ с тензорным полем метрики $g$ однородно — все точки и все направления в данной точке эквивалентны. Пусть $\zeta = \xi + i\eta$ . Рассмотрим преобразование

\zeta = \frac{az+b}{cz+d}

где вещественные числа $a,b,c,d$ удовлетворяют $ad-bc=1$ . Покажите, что

\frac{d\xi \otimes d\xi + d\eta \otimes d\eta }{\eta ^2} = \frac{dx \otimes dx + dy \otimes dy}{y^2} .

Задача 4.49

Вещественное гиперболическое пространство $H^2(\mathbb {R})$ — некомпактное симметрическое пространство ранга один, которое можно выразить как фактор полупростых групп Ли следующим образом

H^2(\mathbb {R}) \simeq SL(2,\mathbb {R})/SO(2) .

Для $H^2(\mathbb {R})$ существуют различные геометрические модели. Рассмотрим модель единичного диска

B_1(0) := \left\{ \overrightarrow {y} \in \mathbb {R}^{2} : \left|\overrightarrow {y}\right| < 1 \right\}

где $\left|\cdot \right|$ — обычная риманова метрика в векторном пространстве $\mathbb {R}^{2}$ . Рассмотрим единичный диск $B_1(0)$ с тензорным полем метрики

g = \frac{4}{(1-\left|\overrightarrow {y}\right|^2)^2}(dy_1 \otimes dy_1 + dy_2 \otimes dy_2) = \frac{4}{(1-y_1^2-y_2^2)^2}(dy_1 \otimes dy_1 + dy_2 \otimes dy_2) .

Найдите векторные поля Киллинга метрики $g$ . Найдите коммутаторы.

Задача 4.50

(i)(ii)

Пусть $\mathcal{A} = \mathbb {C}[z,z^{-1}]$ — алгебра многочленов Лорана по $z$ . Если

p(z) = \sum _{k \in \mathbb {Z}} c_k z^k

— многочлен Лорана, его вычет определяется как

\operatorname {Res}(p) := c_{-1} .

Имеем свойства

\operatorname {Res}\left( \frac{1}{z} \right) = 1, \quad \operatorname {Res}\left( \frac{dp}{dz} \right) = 0 .

Линейный функционал $\operatorname {Res} : \mathcal{A} \to \mathbb {C}$ задаёт $\mathbb {C}$ -билинейную функцию $\phi$ на $\mathcal{A}$ по формуле

\phi (p,q) := \operatorname {Res}\left( \frac{dp}{dz} q \right) .

(i)

Пусть $p, q \in \mathcal{A}$ . Покажите, что $\phi (p,q) = -\phi (q,p)$ .

(ii)

Покажите («тождество Якоби»)

\phi (pq,r) + \phi (qr,p) + \phi (rp,q) = 0 \quad p,q,r \in \mathcal{A} .

Задача 4.51

Рассмотрим систему линейных уравнений в частных производных (уравнение Книжника–Замолодчикова)

\frac{\partial }{\partial z_i} \Phi = k \sum _{j \neq i}^{n} \frac{P^{(ij)}}{z_i-z_j} \Phi

где $\Phi = \Phi (z_1,\ldots ,z_n)$ — функция от $n$ комплексных независимых переменных, принимающая значения в тензорном произведении $V \otimes V \otimes \cdots \otimes V$ $N$ одинаковых векторных пространств $V$ . $P^{(ij)}$ — перестановка $i$ -го и $j$ -го сомножителей тензорного произведения. Это простая форма уравнения КЗ. Покажите, что уравнение КЗ согласовано. Рассмотрим дифференциальные операторы

O_i := \frac{\partial }{\partial z_i} - k \sum _{j \neq i}^{n} \frac{P^{(ij)}}{z_i-z_j}, \quad i = 1,\ldots ,n .

Покажите, что $O_i$ и $O_j$ коммутируют.

Задача 4.52

Рассмотрим группу диффеоморфизмов $(S^1 \otimes S^1)$ , сохраняющих объём. Это бесконечная группа с композицией в качестве группового закона. Обозначим эту группу через SDiff. Её алгеброй Ли является множество гладких векторных полей на $(S^1 \otimes S^1)$ с нулевой дивергенцией

\operatorname {div}(\overrightarrow {p}) = \frac{\partial p_1}{\partial x_1} + \frac{\partial p_2}{\partial x_2} = 0

и снабжённое коммутатором $[\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}] = \overrightarrow {p}(\overrightarrow {q}) - \overrightarrow {q}(\overrightarrow {p})$ . Покажите, что коммутатор двух векторных полей с нулевой дивергенцией снова является векторным полем с нулевой дивергенцией.

Задача 4.53

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим дифференциальные операторы

J_+ = -x\left( y\frac{\partial }{\partial y} - x\frac{\partial }{\partial x} + n \right), \quad J_- = -\frac{1}{x}\left( (y-1)\frac{\partial }{\partial y} + x\frac{\partial }{\partial x} + n \right)

J_3 = x\frac{\partial }{\partial x}

где $n$ — целое число.

(i)

Вычислите коммутаторы $[J_+,J_-]$ , $[J_+,J_3]$ , $[J_-,J_3]$ и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ .

(ii)

Найдите

\exp (\gamma J_3) J_+ \exp (-\gamma J_3), \quad \exp (\gamma J_3) J_- \exp (-\gamma J_3)

\exp (\alpha J_+) J_- \exp (-\alpha J_+), \quad \exp (\alpha J_+) J_3 \exp (-\alpha J_+)

\exp (\beta J_-) J_+ \exp (-\beta J_-), \quad \exp (\beta J_-) J_3 \exp (-\beta J_-) .

(iii)

Используйте результат из (ii), чтобы вычислить

e^{\alpha J_+} e^{\beta J_-} (\lambda J_3 - m) e^{-\beta J_-} e^{-\alpha J_+} .

Задача 4.54

Рассмотрим автономную систему из $N$ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

\frac{du_j}{dt} = au_{j+1}u_{j+2} + bu_{j-1}u_{j-2} + cu_{j+1}u_{j-1}

с циклическим условием $u_j = u_{j+N}$ для $j=1,\ldots ,N$ и $a+b+c=0$ . Рассмотрим случай $N=4$ . Покажите, что система имеет три интеграла: энергию

E = \frac{1}{2}\sum _{k=1}^{N} u_k^2

и знаки $(u_1-u_3)$ и $(u_2-u_4)$ .

Задача 4.55

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим векторные поля

J_+ = x^2\frac{\partial }{\partial x} - xy\frac{\partial }{\partial y}, \quad J_- = -\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{x}(y-1)\frac{\partial }{\partial y}, \quad J_3 = x\frac{\partial }{\partial x} .

(i)

Найдите коммутаторы и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ .

(ii)

Векторное поле $J_+$ соответствует автономной системе дифференциальных уравнений

\frac{dx}{d\epsilon } = x^2, \quad \frac{dy}{d\epsilon } = -xy .

Решите задачу Коши и тем самым найдите группу преобразований Ли.

(iii)

Векторное поле $J_-$ соответствует автономной системе дифференциальных уравнений

\frac{dx}{d\epsilon } = -1, \quad \frac{dy}{d\epsilon } = -\frac{1}{x}(y-1) .

Решите задачу Коши и тем самым найдите группу преобразований Ли.

Задача 4.56

Рассмотрим дифференциальные операторы

L := \frac{d^2}{dx^2} + f(x), \quad B := \frac{d^3}{dx^3} + \left( \frac{3}{2}f + \frac{1}{2}x \right)\frac{d}{dx} + \frac{3}{4}\frac{df}{dx} .

Из условия $[L,B]\phi (x) = L\phi (x)$ найдите обыкновенное дифференциальное уравнение, которому подчиняется функция $f$ .

Задача 4.57

Рассмотрим линейные уравнения

\left( \frac{\partial }{\partial u} - U \right)\phi (u,v,\lambda ) = 0, \quad \left( \frac{\partial }{\partial v} - V \right)\phi (u,v,\lambda ) = 0

где $U, V$ — функции от $u, v, \lambda$ . Линейные операторы

L = \frac{\partial }{\partial u} - U, \quad M = \frac{\partial }{\partial v} - V

образуют пару Лакса. Условие интегрируемости для $\phi$ — это условие нулевой кривизны на паре Лакса

[L,M]\phi = 0 .

Пусть $g(u,v)$ — обратимая матрица $2 \times 2$ и пусть

U = g^{-1}\frac{\partial g}{\partial u}, \quad V = g^{-1}\frac{\partial g}{\partial v} .

Найдите нелинейное дифференциальное уравнение для $[L,M] = 0$ .

Задача 4.58

(i)(ii)

Рассмотрим алгебру Ли с базисом

J_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad J_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad J_0 = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}

с коммутационными соотношениями

[J_+, J_-] = 2J_0, \quad [J_+, J_0] = -J_+, \quad [J_-, J_0] = J_- .

(i)

Найдите разделённую форму

\exp (a_+J_+ + a_0J_0 + a_-J_-) = \exp (b_+J_+)\exp (\ln (b_0)J_0)\exp (b_-J_-)

т.е. найдите $b_+, b_-, b_0$ как функции $a_+, a_-, a_0$ , где $b_0 > 0$ .

(ii)

Найдите разделённую форму

\exp (a_+J_+ + a_0J_0 + a_-J_-) = \exp (c_-J_-)\exp (\ln (c_0)J_0)\exp (c_+J_+)

т.е. найдите $c_-, c_+, c_0$ как функции $a_+, a_-, a_0$ , где $c_0 > 0$ .

Задача 4.59

Рассмотрим гладкие векторные поля в $\mathbb {R}^{2}$

V = V_1(\overrightarrow {x})\frac{\partial }{\partial x_1} + V_2(\overrightarrow {x})\frac{\partial }{\partial x_2}, \quad W = W_1(\overrightarrow {x})\frac{\partial }{\partial x_1} + W_2(\overrightarrow {x})\frac{\partial }{\partial x_2} .

Предположим, что $[V,W] = 0$ . Вычислите производные Ли

L_V(V_1W_2-V_2W_1), \quad L_W(V_1W_2-V_2W_1) .

Обсудите.

Задача 4.60

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим ангармонический осциллятор с внешним возбуждением

\frac{d^2u}{dt^2} + c_1\frac{du}{dt} + c_2u + u^3 = f(t)

где $f$ — гладкая функция от $t$ . Найдите условия на $c_1, c_2$ и $f$ , при которых

V = -\frac{c_1}{3}\exp \left( \frac{c_1t}{3} \right)u\frac{\partial }{\partial u} + \exp \left( \frac{c_1t}{3} \right)\frac{\partial }{\partial t}

является векторным полем симметрии Ли данного дифференциального уравнения.

(ii)

Подставьте разложение Пенлеве

u(t) = \sum _{j=0}^{\infty } u_j(t-t_1)^{j-1}

в дифференциальное уравнение, рассматриваемое в комплексной области. Найдите условие на $c_1, c_2, f$ , при котором разложение имеет два произвольных коэффициента разложения.

Задача 4.61

Покажите, что одномерное волновое уравнение

\frac{\partial ^2 u}{\partial x_2^2} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x_1^2} \tag {1}

инвариантно относительно преобразования

\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \epsilon & \sinh \epsilon \\ \sinh \epsilon & \cosh \epsilon \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \tag {2a}

u'(\overrightarrow {x}'(\overrightarrow {x})) = u(\overrightarrow {x}) \tag {2b}

где $\overrightarrow {x} = (x_1,x_2)$ и $\overrightarrow {x}' = (x_1',x_2')$ .

Задача 4.62

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

\frac{d^2u}{dt^2} = f(du/dt, u, t)

где $f$ — аналитическая функция. Дифференцируя по времени, получаем

\frac{d^3u}{dt^3} = \frac{\partial f}{\partial \dot{u}}\frac{d^2u}{dt^2} + \frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} .

Рассмотрим гиперповерхности, связанные с этими двумя дифференциальными уравнениями

F_1(u,u_t,u_{tt},t) = u_{tt} - f(u_t,u,t) = 0

F_2(u,u_t,u_{tt},u_{ttt},t) = u_{ttt} - \frac{\partial f}{\partial u_t}u_{tt} - \frac{\partial f}{\partial u}u_t - \frac{\partial f}{\partial t} = 0 .

(i)

Найдите условие, при котором

V = g(t,u,u_t)\frac{\partial }{\partial u}

является векторным полем симметрии Ли (вертикальным векторным полем) обыкновенного дифференциального уравнения. Вычисляется продолжение векторного поля $V$

\widetilde{V} = V + \left( \frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial g}{\partial u} + \frac{\partial g}{\partial u_t}u_{tt} \right)\frac{\partial }{\partial u_t}

+ \left( \frac{\partial ^2 g}{\partial t^2} + 2\frac{\partial ^2 g}{\partial u \partial t}u_t + 2\frac{\partial ^2 g}{\partial u_t \partial t}u_{tt} + \frac{\partial ^2 g}{\partial u^2}u_t^2 + 2\frac{\partial ^2 g}{\partial u \partial u_t}u_t u_{tt} \right.

\left. + \frac{\partial ^2 g}{\partial u_t^2}u_{tt}^2 + \frac{\partial g}{\partial u}u_{tt} + \frac{\partial g}{\partial u_t}u_{ttt} \right)\frac{\partial }{\partial u_{tt}} .

Условие инвариантности тогда имеет вид

L_{\widetilde{V}} F_1 \doteq 0

где $\doteq$ обозначает ограничение на решения $F_1 = 0$ .

(ii)

Упростите результат, если $f(du/dt,u,t) = 0$ .

(iii)

Упростите результат, если $f(du/dt,u,t) = u$ .

Задача 4.63

Найдите векторные поля симметрии Ли для линейного дифференциального уравнения третьего порядка

\frac{d^3u}{dt^3} = 0 .

Классифицируйте алгебру Ли.

Задача 4.64

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных

\frac{\partial ^3 u}{\partial x^3} + u\left( \frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} \right) = 0

где $c$ — константа. Покажите, что дифференциальное уравнение в частных производных допускает векторные поля симметрии Ли

V_1 = \frac{\partial }{\partial t}, \quad V_2 = \frac{\partial }{\partial x},

V_3 = 3t\frac{\partial }{\partial t} + (x+2ct)\frac{\partial }{\partial x}, \quad V_4 = t\frac{\partial }{\partial t} + ct\frac{\partial }{\partial x} + u\frac{\partial }{\partial u} .

Задача 4.65

Рассмотрим стационарное несжимаемое уравнение пограничного слоя Прандтля

\frac{\partial ^3 u}{\partial \eta ^3} = \frac{\partial u}{\partial \eta }\frac{\partial ^2 u}{\partial \eta \partial \xi } - \frac{\partial u}{\partial \xi }\frac{\partial ^2 u}{\partial \eta \partial \xi } .

Используя классический метод Ли, получаем автомодельную редукцию

u(\xi ,\eta ) = \xi ^\beta y(x(\xi ,\eta )), \quad x(\xi ,\eta ) = \eta \xi ^{\beta -1} + f(\xi )

где $f$ — произвольная дифференцируемая функция от $\xi$ . Найдите обыкновенное дифференциальное уравнение для $y$ .

Задача 4.66

Дано дифференциальное уравнение в частных производных

\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} = f(u)

где $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция. Найдите условие, при котором

V = a(x,t,u)\frac{\partial }{\partial x} + b(x,t,u)\frac{\partial }{\partial t} + c(x,t,u)\frac{\partial }{\partial u}

является векторным полем симметрии дифференциального уравнения в частных производных. Начните с соответствующего вертикального векторного поля

V_v = (-a(x,t,u)u_x - b(x,t,u)u_t + c(x,t,u))\frac{\partial }{\partial u}

и вычислите сначала продолжение. Используйте дифференциальные следствия, вытекающие из дифференциальных уравнений в частных производных

u_{xt} - f(u) = 0, \quad u_{xxt} - \frac{df}{du}u_x = 0, \quad u_{xtt} - \frac{df}{du}u_t = 0 .

Задача 4.67

Производную Ли дифференциальной формы $\omega$ относительно векторного поля $W$ можно выразить как

L_W \omega \equiv W \rfloor d\omega + d(W \rfloor \omega )

где $d$ — внешняя производная, а $\rfloor$ обозначает свёртку. Пусть $\alpha$ — гладкая дифференциальная 1-форма, а $V$ — гладкое векторное поле. Предположим, что

L_V \alpha = f\alpha

где $f$ — гладкая функция, а $L_V(.)$ обозначает производную Ли. Определим функцию $F$ как

F := V \rfloor \alpha

Покажите, что

dF = f\alpha - V \rfloor d\alpha .

Задача 4.68

Рассмотрим $n$ -мерное гладкое многообразие $M = \mathbb {R}^{n}$ с координатами $(x_1,\ldots ,x_n)$ и произвольное гладкое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка на $M$

F(x_1,\ldots ,x_n,\partial u/\partial x_1,\ldots ,\partial u/\partial x_n,u) = 0 .

Найдите векторные поля симметрии (иногда называемые бесконечно малыми симметриями) этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Рассмотрим кокасательное расслоение $T^*(M)$ над многообразием $M$ с координатами

(x_1,\ldots ,x_n,p_1,\ldots ,p_n)

и построим многообразие-произведение $T^*(M) \times \mathbb {R}$ . Тогда $T^*(M)$ имеет каноническую дифференциальную 1-форму

\sum _{j=1}^{n} p_j dx_j

которая задаёт контактную дифференциальную 1-форму

\alpha = du - \sum _{j=1}^{n} p_j dx_j

на $T^*(M) \times \mathbb {R}$ . Решения дифференциального уравнения в частных производных — это поверхности в $T^*(M) \times \mathbb {R}$

F(x_1,\ldots ,x_n,p_1,\ldots ,p_n,u) = 0

которые обращают дифференциальную 1-форму $\alpha$ в ноль. Строится замкнутый идеал $I$ , определённый как

F(x_1,\ldots ,x_n,p_1,\ldots ,p_n,u)

\alpha = du - \sum _{j=1}^{n} p_j dx_j

dF = \sum _{j=1}^{n} \left( \frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j + \frac{\partial F}{\partial p_j}dp_j \right) + \frac{\partial F}{\partial u}du

d\alpha = \sum _{j=1}^{n} dx_j \wedge dp_j

где $\wedge$ — внешнее произведение, а $d$ — внешняя производная. Поверхности в $T^*(M) \times \mathbb {R}$ , обращающие в ноль $I$ , будут решениями дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Пусть

V(x_1,\ldots ,x_n,p_1,\ldots ,p_n,u) = \sum _{j=1}^{n} V_{x_j}\frac{\partial }{\partial x_j} + \sum _{j=1}^{n} V_{p_j}\frac{\partial }{\partial p_j} + V_u\frac{\partial }{\partial u}

— гладкое векторное поле. Пусть $L_V$ обозначает производную Ли. Производная Ли линейна и удовлетворяет правилу произведения относительно внешнего произведения $\wedge$ . Тогда условия, при которых $V$ является векторным полем симметрии, таковы

L_V F = gF

L_V \alpha = \lambda \alpha + \eta dF + \left( \sum _{j=1}^{n} (A_j dx_j + B_j dp_j) \right) F .

Здесь $\lambda , \eta , A_j, B_j$ — гладкие функции от $x_1,\ldots ,x_n,p_1,\ldots ,p_n$ и $u$ на $T^*(\mathbb {R}^{n}) \times \mathbb {R}$ , где $g, A_j, B_j$ должны быть невырождены в окрестности $F = 0$ . Найдите $V$ .

Задача 4.69

Рассмотрим нелинейное одномерное уравнение диффузии

\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial }{\partial x}\left( u^n \frac{\partial u}{\partial x} \right) = 0

где $n = 1, 2, \ldots$ . Эквивалентный набор дифференциальных форм задаётся как

\alpha = du - u_t dt - u_x dx

\beta = (u_t - nu^{n-1}u_x^2)dx \wedge dt - u^n du_x \wedge dt

с координатами $t,x,u,u_t,u_x$ . Поскольку $ddu = 0$ , внешняя производная $\alpha$ задаётся как

d\alpha = -du_t \wedge dt - du_x \wedge dx .

Рассмотрим векторное поле

V = V_t\frac{\partial }{\partial t} + V_x\frac{\partial }{\partial x} + V_u\frac{\partial }{\partial u} + V_{u_t}\frac{\partial }{\partial u_t} + V_{u_x}\frac{\partial }{\partial u_x} .

Тогда векторные поля симметрии дифференциального уравнения в частных производных определяются условиями

L_V \alpha = g\alpha , \quad L_V \beta = h\beta + w\alpha + rd\alpha

где $L_V(.)$ обозначает производную Ли, $g, h, r$ — гладкие функции, зависящие от $t,x,u,u_t,u_x$ , а $w$ — дифференциальная 1-форма, также зависящая от $t,x,u,u_t,u_x$ . Найдите векторные поля симметрии из этих двух условий. Заметим, что имеем

L_V(d\alpha ) = d(L_V\alpha ) = d(g\alpha ) = (dg) \wedge \alpha + gd\alpha .

Задача 4.70

(i)(ii)

Рассмотрим гильбертово пространство всех матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ со скалярным произведением

\left\langle X, Y \right\rangle := \tr [XY^T] .

Рассмотрим группу Ли $G = SO(n,\mathbb {R})$ .

(i)

Пусть $X \in G$ . Найдите $\left\langle X, X \right\rangle$ .

(ii)

Бесконечно малые образующие группы Ли $SO(3,\mathbb {R})$ задаются как

A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} .

Найдите скалярные произведения

\left\langle A_1, A_2 \right\rangle , \quad \left\langle A_2, A_3 \right\rangle , \quad \left\langle A_3, A_1 \right\rangle

и ( $t \in \mathbb {R}$ )

\left\langle e^{tA_1}, e^{tA_2} \right\rangle , \quad \left\langle e^{tA_2}, e^{tA_3} \right\rangle , \quad \left\langle e^{tA_3}, e^{tA_1} \right\rangle .

Задача 4.71

Рассмотрим нелинейное уравнение Шрёдингера

i\frac{\partial \psi }{\partial t} + \Delta \psi = c_0\psi + c_1\left|\psi \right|^2\psi + c_2\left|\psi \right|^4\psi

в $3+1$ измерениях, где

\psi (x_1,x_2,x_3,t) = u_1(x_1,x_2,x_3,t) + iu_2(x_1,x_2,x_3,t)

а $u_1, u_2$ — вещественные поля. Далее

\Delta := \frac{\partial ^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_3^2} .

Найдите векторные поля симметрии Ли этого дифференциального уравнения в частных производных, т.е. рассмотрите векторное поле симметрии Ли

V = \eta _1\frac{\partial }{\partial x_1} + \eta _2\frac{\partial }{\partial x_2} + \eta _3\frac{\partial }{\partial x_3} + \eta _4\frac{\partial }{\partial t} + \xi _1\frac{\partial }{\partial u_1} + \xi _2\frac{\partial }{\partial u_2}

где $\eta_j$ ( $j=1,2,3,4$ ) и $\xi_k$ ( $k=1,2$ ) — гладкие функции от $x_1, x_2, x_3, t, u_1, u_2$ . Предположим, что $c_0, c_1, c_2$ отличны от нуля.

Задача 4.72

(i)(ii)

Уравнение Эйлера–Пуассона–Дарбу задаётся как

\left( \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2}{\partial r^2} - \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r} + \frac{m^2}{r^2} \right)u(t,r) = 0

где $r \geq 0$ и $-\infty < t < \infty$ . Алгебра Ли симметрии уравнения Эйлера--Пуассона--Дарбу — это множество всех линейных дифференциальных операторов

S = a_1(t,r)\frac{\partial }{\partial t} + a_2(t,r)\frac{\partial }{\partial r} + b(t,r)

таких, что $Su$ является локальным решением уравнения Эйлера--Пуассона--Дарбу всякий раз, когда $u$ — локальное решение.

(i)

Найдите множество всех $S$ .

(ii)

Покажите, что дифференциальное уравнение в частных производных можно выразить с помощью дифференциальных операторов из (i).

Задача 4.73

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим три дифференциальных оператора

J_3 = t\frac{\partial }{\partial t}

J_- = -\frac{1}{t}\left( (w-1)\frac{\partial }{\partial w} + t\frac{\partial }{\partial t} + \sigma \right)

J_+ = -t\left( w\frac{\partial }{\partial w} - t\frac{\partial }{\partial t} + \sigma \right) .

(i)

Найдите коммутаторы $[J_3,J_+]$ , $[J_3,J_-]$ , $[J_+,J_-]$ и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ .

(ii)

Пусть $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \in \mathbb {R}$ . Пусть $f$ — аналитическая функция. Вычислите

\exp (\epsilon _1 J_+)\exp (\epsilon _2 J_-)\exp (\epsilon _3 J_3)f(w,t)

решая задачу Коши для автономной системы дифференциального уравнения первого порядка для $\exp (\epsilon_3 J_3)$

\frac{dt}{d\epsilon _3} = t, \quad t(0) = t,

и решая задачу Коши для автономной системы дифференциальных уравнений первого порядка для $\exp (\epsilon_2 J_-)$

\frac{dw}{d\epsilon _2} = \frac{1-w}{t}, \quad \frac{dt}{d\epsilon _2} = -1, \quad \frac{dv}{d\epsilon _2} = -\frac{\sigma v}{t}, \quad w(0)=w, \quad t(0)=t, \quad v(0)=1

и решая задачу Коши для автономной системы дифференциальных уравнений первого порядка для $\exp (\epsilon_1 J_+)$

\frac{dw}{d\epsilon _1} = -tw, \quad \frac{dt}{d\epsilon _1} = t^2, \quad \frac{dv}{d\epsilon _1} = -\sigma tv, \quad w(0)=w, \quad t(0)=t, \quad v(0)=1 .

(iii)

Вычислите

\exp (\epsilon _3J_3)J_+\exp (-\epsilon _3J_3), \quad \exp (\epsilon _3J_3)J_-\exp (-\epsilon _3J_3),

\exp (\epsilon _1J_+)J_-\exp (-\epsilon _1J_+), \quad \exp (\epsilon _1J_+)J_3\exp (-\epsilon _1J_+),

\exp (\epsilon _2J_-)J_+\exp (-\epsilon _2J_-), \quad \exp (\epsilon _2J_-)J_3\exp (-\epsilon _2J_-) .

Задача 4.74

(i)(ii)

Рассмотрим трёхдиагональные матрицы $n \times n$

A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & \ldots & 0 \\ b_1 & a_2 & b_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & b_{n-1} \\ 0 & \ldots & 0 & b_{n-1} & a_n \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & b_1 & 0 & \ldots & 0 \\ -b_1 & 0 & b_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & b_{n-1} \\ 0 & \ldots & 0 & -b_{n-1} & 0 \end{pmatrix}

где элементы $a_j$ и $b_j$ — вещественно-аналитические функции от $t$ . Таким образом $A$ симметрична над $\mathbb {R}$ , а $B$ кососимметрична над $\mathbb {R}$ .

(i)

Пусть $n=2$ . Найдите уравнения движения (представление Лакса)

\frac{dA}{dt} = [A,B](t) .

Найдите первый интеграл.

(ii)

Пусть $n=3$ . Найдите уравнения движения

\frac{dA}{dt} = [A,B](t) .

Найдите первый интеграл.

Задача 4.75

(i)(ii)

(i)

Покажите, что нелинейная автономная система дифференциальных уравнений первого порядка

\frac{du_1}{dt} = u_2, \quad \frac{du_2}{dt} = u_1u_3, \quad \frac{du_3}{dt} = -u_1u_2

допускает представление Лакса $dL/dt = [B,L](t)$ с

L = \begin{pmatrix} u_3 & (u_2-\frac{1}{2}u_1^2)/\sqrt{2} \\ (u_2+\frac{1}{2}u_1^2)/\sqrt{2} & \frac{1}{2}u_1^2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} u_1 & -u_1/\sqrt{2} \\ u_1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} .

(ii)

Найдите первые интегралы из $\tr [L]$ и $\frac{1}{2}\tr [L^2]$ .

Задача 4.76

Рассмотрим векторные поля

V_1 = \frac{d}{dz}, \quad V_2 = z\frac{d}{dz}, \quad V_3 = z^2\frac{d}{dz} .

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

[V_2,V_1] = -V_1, \quad [V_2,V_3] = V_3, \quad [V_3,V_1] = -2V_2 .

Таким образом мы имеем реализацию алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ . Расширим векторные поля до операторов

W_1 = \frac{d}{dz} + f_1(z), \quad W_2 = z\frac{d}{dz} + f_2(z), \quad W_3 = z^2\frac{d}{dz} + f_3(z) .

Найдите условие на аналитические функции $f_1, f_2, f_3$ , при котором $W_1, W_2, W_3$ также удовлетворяют коммутационным соотношениям

[W_2,W_1] = -W_1, \quad [W_2,W_3] = W_3, \quad [W_3,W_1] = -2W_2 .

Задача 4.77

(i)(ii)

Рассмотрим операторы

H_1 = 1, \quad H_2 = x, \quad H_3 = \frac{\partial ^2}{\partial x^2}, \quad H_4 = i\frac{\partial }{\partial x} .

(i)

Покажите, что мы имеем нильпотентную алгебру Ли относительно коммутатора.

(ii)

Пусть

\alpha _1(t) = cf(t), \quad \alpha _2(t) = c, \quad \alpha _3(t) = -\frac{1}{2}, \quad \alpha _4(t) = \frac{df}{dt} .

Рассмотрим гамильтониан

K = \sum _{j=1}^{4} \alpha _j(t)H_j

и уравнение Шрёдингера

i\frac{\partial \psi }{\partial t} = K\psi .

Запишем решение уравнения Шрёдингера в виде

\psi (x,t) = U(t,0)\psi (x,0)

где унитарный оператор эволюции во времени задаётся как

U(t,0) = \exp (\beta _1(t)H_1)\exp (\beta _2(t)H_2)\exp (\beta _3(t)H_3)\exp (\beta _4(t)H_4) .

Найдите систему обыкновенных дифференциальных уравнений для $\beta_j(t)$ ( $j=1,2,3,4$ ) и решите её.

Задача 4.78

(i)(ii)

Многие солитонные уравнения в $1+1$ измерениях можно записать как условие интегрируемости для набора линейных уравнений, называемого задачей линейного рассеяния

d\overrightarrow {v} = \Omega \overrightarrow {v}

где $\Omega$ — матрица $N \times N$ , составленная из однопараметрического ( $\zeta$ — спектральный параметр) семейства дифференциальных 1-форм. Условие интегрируемости — это $\Theta = 0$ (уравнение нулевой кривизны), где

\Theta := d\Omega - \Omega \wedge \Omega

$d$ — внешняя производная, а $\wedge$ — внешнее произведение. Предположим, что

\Omega = (\zeta D + P(x,t))dx + Q(\zeta ,x,t)dt, \quad \tr [\Omega ] = 0

где $\zeta$ — комплексный спектральный параметр, $D$ — диагональная матрица $N \times N$ с попарно различными комплексными $d_{jj}$ . Матрица $P(x,t)$ размера $N \times N$ внедиагональна, и предполагается, что она удовлетворяет граничным условиям

P_{jk}(x,t), \quad \frac{\partial P_{jk}(x,t)}{\partial x}, \quad \ldots , \quad \left( \frac{\partial }{\partial x} \right)^m P_{jk}(x,t), \quad \cdots \to 0 \quad \text{при} \quad \left|x\right| \to \infty .

(i)

Запишите линейную задачу $d\overrightarrow {v} = \Omega \overrightarrow {v}$ для этого случая.

(ii)

Приведите уравнение нулевой кривизны $d\Omega - \Omega \wedge \Omega = 0$ для этого случая.

Задача 4.79

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим группу Ли $SL(2,\mathbb {R})$ . Пусть $X \in SL(2,\mathbb {R})$ , т.е.

X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}, \quad x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21} = 1, \quad x_{jk} \in \mathbb {R} .

Рассмотрим матричные дифференциальные 1-формы

\Omega = X^{-1}dX .

(i)

Найдите $\Omega$ .

(ii)

Найдите $\tr [\Omega ]$ .

(iii)

Найдите левоинвариантные 1-формы.

Задача 4.80

Пусть $i,j \in \left\{ 1,2,\ldots ,n\right\}$ . Рассмотрим алгебру Ли, натянутую на операторы $E_{ij} = (E_{ij})^\dagger$ , $B_i^\dagger$ , $B_i = (B_i^\dagger )^\dagger$ , $I$ (тождественный оператор) с ненулевыми коммутаторами

[E_{ij}, E_{k\ell }] = \delta _{jk}E_{i\ell } - \delta _{i\ell }E_{kj}

[B_i, B_j^\dagger ] = \delta _{ij}I

[E_{ij}, B_k^\dagger ] = \delta _{jk}B_i^\dagger

[E_{ij}, B_k] = -\delta _{ik}B_j .

Определим операторы

\widetilde{E}_{ij} := E_{ij} - B_i^\dagger B_j .

Найдите коммутаторы $[\widetilde{E}_{ij}, B_k^\dagger ]$ , $[\widetilde{E}_{ij}, B_k]$ , $[\widetilde{E}_{ij}, \widetilde{E}_{k\ell }]$ .

Задача 4.81

Оператор чётности $\Pi$ определяется как

\Pi \overrightarrow {r} := -\overrightarrow {r}, \quad \Pi (r,\theta ,\phi ) := (r,\pi -\theta ,\pi +\phi ) .

Пусть $Y_{\ell m}$ — сферические гармоники, где $\ell = 0,1,\ldots$ и $m = -\ell ,-\ell +1,\ldots ,+\ell$ . Найдите $\Pi Y_{\ell m}$ .

Задача 4.82

(i)(ii)

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {u}(n)$ и $A_j \in \mathfrak {u}(n)$ . Таким образом $A_j^* = -A_j$ . Кривизна

F_A = \sum _{j,k=1}^{4} F_{jk}dx_j \wedge dx_k

$\mathfrak {u}(n)$ -значной связной дифференциальной 1-формы

A = \sum _{j=1}^{4} A_j dx_j

на $\mathbb {R}^{4}$ равна

F_{jk} = [\nabla _j, \nabla _k] = -\frac{\partial }{\partial x_j}A_k + \frac{\partial }{\partial x_k}A_j + [A_j,A_k]

где

\nabla _j := \frac{\partial }{\partial x_j} - A_j .

Связность (матричнозначная дифференциальная 1-форма) $A$ является антиавтодуальным решением уравнений Янга--Миллса на $\mathbb {R}^{4}$ , если

*F_A = -F_A

где $*$ — оператор звезды Ходжа относительно евклидова тензорного поля метрики

g = dx_1 \otimes dx_1 + dx_2 \otimes dx_2 + dx_3 \otimes dx_3 + dx_4 \otimes dx_4 .

Оператор звезды Ходжа $f$ -линеен. Имеем $*(dx_1 \wedge dx_2) = dx_3 \wedge dx_4$ , $*(dx_1 \wedge dx_3) = -dx_2 \wedge dx_4$ .

(i)

Запишите антиавтодуальные уравнения Янга--Миллса в координатах.

(ii)

Покажите, что антиавтодуальное уравнение Янга--Миллса имеет представление в виде пары Лакса. Положим

z = x_1+ix_2, \quad w = x_3+ix_4 .

Таким образом

\nabla _z = \frac{1}{2}(\nabla _1-i\nabla _2) = \frac{\partial }{\partial z} - A_z, \quad \nabla _{\overline{z}} = \frac{1}{2}(\nabla _1+i\nabla _2) = \frac{\partial }{\partial \overline{z}} - A_{\overline{z}}

и аналогично $\nabla_w, \nabla_{\overline{w}}$ .

Задача 4.83

Уравнение движения для обобщённой анизотропной модели задаётся автономной системой дифференциальных уравнений первого порядка

\frac{dr}{dt} = p_r

\frac{d\theta }{dt} = \frac{1}{r^2}p_\theta

\frac{dp_r}{dt} = \frac{1}{r^3}p_\theta ^2 - \frac{dV}{dr}f(\theta )

\frac{dp_\theta }{dt} = -V(r)\frac{df}{d\theta }

где $f(\theta ) = (\mu \cos^2\theta +\sin^2\theta )^{-x/2}$ , $\mu$ — отношение масс, а $x \in (0,2)$ . Условия на потенциал $V$ таковы

\lim _{r\to +\infty } V(r) = 0, \quad \lim _{r\to 0^+} V(r) = -\infty

и существуют $c \in \mathbb {R}^{+}$ , $x \in (0,2)$ такие, что

\lim _{r\to 0^+} r^x V(r) = -c, \quad \lim _{r\to 0^+} r^{x+1}\frac{dV}{dr} = xc

\lim _{r\to 0^+} \frac{d}{dr}\left( r^{x+1}\frac{dV}{dr} \right) = c_1 \in \mathbb {R}, \quad \lim _{r\to 0^+} \frac{d}{dr}(r^xV(r)) = c_2 \in \mathbb {R}

и $dV/dr = -xr^{-1}V(r)$ . Уравнение движения можно вывести из функции Гамильтона

H(r,\theta ,p_r,p_\theta ) = \frac{p_r^2}{2} + \frac{p_\theta ^2}{2r^2} + V(r)f(\theta ) .

Покажите, что особенность при $r=0$ можно устранить неканонической заменой переменных типа Мак-Ги

(r,\theta ,p_r,p_\theta ,t) \mapsto (r,\theta ,v=r^{x/2}p_r,u=r^{(x-2)/2}p_\theta ,\tau )

где $dt/d\tau = r^{x/2+1}$ .

Задача 4.84

(i)(ii)

(i)

Пусть $b^\dagger , b$ — бозонные операторы рождения и уничтожения с коммутационными соотношениями

[b,b^\dagger ] = I, \quad [b,b] = 0, \quad [b^\dagger ,b^\dagger ] = 0

где $I$ — тождественный оператор. Рассмотрим операторы

b^\dagger b, \quad b^\dagger , \quad b, \quad I .

Найдите коммутаторы.

(ii)

Покажите, что существует неэрмитово точное представление матрицами $3 \times 3$

b^\dagger b \to M_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

b^\dagger \to M_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad b \to M_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

I \to M_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Заметим, что тождественный оператор $I$ не отображается в единичную матрицу $3 \times 3$ .

Задача 4.85

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ некомпактной группы Ли $SU(1,1)$ с базисом $K_+, K_-, K_3$ , удовлетворяющим коммутационным соотношениям

[K_3,K_+] = K_+, \quad [K_3,K_-] = -K_-, \quad [K_+,K_-] = -2K_3 .

Точное матричное представление задаётся как

K_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad K_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad K_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

(i)

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Вычислите

\exp (x(K_--K_+)) .

(ii)

Пусть $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$ . Вычислите

\exp (\alpha K_+)\exp (\beta K_3)\exp (\gamma K_-) .

(iii)

Решите

\exp (x(K_--K_+)) = \exp (\alpha K_+)\exp (\beta K_3)\exp (\gamma K_-)

относительно $\alpha , \beta , \gamma$ .

(iv)

Результат, полученный в (iii), справедлив для всех точных представлений. Пусть $b, b^\dagger$ — бозонные операторы уничтожения и рождения. Рассмотрим точное представление

K_+ = \frac{1}{2}b^\dagger b^\dagger , \quad K_- = \frac{1}{2}bb, \quad K_3 = \frac{1}{4}(b^\dagger b+bb^\dagger ) .

Найдите

\exp (\tanh (x)K_+)b\exp (-\tanh (x)K_+),

\exp (\tanh (x)K_-)b^\dagger \exp (-\tanh (x)K_-),

\exp (-2\ln (\cosh (x))K_3)(b^\dagger +\tanh (x)b)\exp (2\ln (\cosh (x))K_3) .

(v)

Пусть $\ket {0}$ — вакуумное состояние, т.е. $b\ket {0} = 0$ . Вычислите состояние

\exp (-2\ln (\cosh (x))K_3)\ket {0} .

Задача 4.86

Пусть $b^\dagger , b$ — бозонные операторы рождения и уничтожения с $[b,b^\dagger ] = I$ . Здесь $I$ обозначает тождественный оператор. Покажите, что $b^\dagger b^\dagger , bb, b^\dagger b, I$ образуют алгебру Ли относительно коммутатора.

Задача 4.87

(i)(ii)

В бозонном осцилляторном представлении образующие алгебры Ли $\mathfrak {u}(2)$ принимают вид

K_1 = b_1^\dagger b_1, \quad K_2 = b_2^\dagger b_2, \quad K_+ = b_2^\dagger b_1, \quad K_- = b_1^\dagger b_2 .

(i)

Найдите оператор Казимира.

(ii)

Запишите $\mathfrak {u}(2)$ как $\mathfrak {u}(2) = \mathfrak {su}(2) \oplus \mathfrak {u}(1)$ .

Задача 4.88

Рассмотрим бозонные операторы рождения и уничтожения $b^\dagger$ и $b$ соответственно. Образуют ли операторы $b^\dagger b$ и $b^\dagger + b$ алгебру Ли относительно коммутатора? Если нет, расширьте её так, чтобы получить алгебру Ли.

Задача 4.89

Пусть $b_j^\dagger , b_j$ ( $j=1,2$ ) — бозонные операторы рождения и уничтожения. Рассмотрим гамильтониан

\widehat{H} = \epsilon (b_1^\dagger b_1+b_2^\dagger b_2) + \gamma _1(b_1^\dagger b_1^\dagger b_1b_1+b_2^\dagger b_2^\dagger b_2b_2) + \gamma _2 b_1^\dagger b_2^\dagger b_1b_2 .

Гамильтониан описывает квантовую систему из двух нелинейно взаимодействующих осцилляторов. Двумодовое представление алгебры Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ задаётся как

J_- = b_1b_2, \quad J_+ = b_1^\dagger b_2^\dagger , \quad J_0 = \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1+b_2^\dagger b_2+I) .

Выразите гамильтониан $\widehat{H}$ через $J_-, J_+, J_0$ .

Задача 4.90

(i)(ii)

Рассмотрим бозонные операторы рождения $b_j^\dagger$ и бозонные операторы уничтожения $b_j$ соответственно, где $j=1,2,\ldots ,n$ .

(i)

Покажите, что векторное пространство операторов

\left\{ b_j^\dagger b_k : j,k=1,2,\ldots ,n \right\}

образует алгебру Ли относительно коммутатора. Существует $n^2$ таких операторов.

(ii)

Рассмотрим оператор (так называемый оператор числа частиц)

\widehat{N} = \sum _{j=1}^{n} b_j^\dagger b_j .

Вычислите коммутатор $[\widehat{N}, b_k^\dagger b_\ell ]$ . Обсудите.

Задача 4.91

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ с базисом $J_+, J_-, J_0$ и коммутационным соотношением

[J_+,J_-] = -2J_0, \quad [J_0,J_\pm ] = \pm J_\pm .

Двумодовое представление $\mathfrak {su}(1,1)$ задаётся как

J_- = b_1b_2, \quad J_+ = b_1^\dagger b_2^\dagger , \quad J_0 = \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1+b_2^\dagger b_2+I)

с оператором Казимира

C = -\frac{1}{4}I + \frac{1}{4}(b_1^\dagger b_1-b_2^\dagger b_2)^2 .

Одна бозонная реализация —

J_- = (2kI+b^\dagger b)^{1/2}b, \quad J_+ = b^\dagger (2kI+b^\dagger b)^{1/2}, \quad J_0 = kI+b^\dagger b

где $k = 0,1,2,\ldots$ , а $I$ — тождественный оператор. Оператор Казимира равен $C = k(k-1)I$ . Рассмотрим гамильтониан

\widehat{H}(t) = a_1(t)J_+ + a_2(t)J_0 + a_3(t)J_-

где $a_1, a_2, a_3$ — гладкие функции от $t$ . Уравнение Шрёдингера имеет вид

\widehat{H}(t)\ket {\psi (t)} = i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\ket {\psi (t)} .

Определим оператор эволюции $U(t,0)$ так, что $\ket {\phi (t)} = U(t)\ket {\phi (0)}$ , где $\ket {\phi (0)}$ — начальное состояние в момент времени $t=0$ . Таким образом

\widehat{H}(t)U(t) = i\hbar \frac{\partial U(t)}{\partial t}, \quad U(0) = I .

Поскольку $J_-, J_0, J_+$ образуют базис конечномерной алгебры Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ , оператор эволюции можно выразить в виде

U(t) = \exp (c_1(t)J_+)\exp (c_2(t)J_0)\exp (c_3(t)J_-) .

Найдите систему обыкновенных дифференциальных уравнений для $c_1, c_2, c_3$ , зависящих от $a_1(t), a_2(t), a_3(t)$ .

Задача 4.92

Пусть $b, b^\dagger$ — бозонные операторы уничтожения и рождения. Рассмотрим операторы

T_1 = \frac{1}{4}((b^\dagger )^2+b^2), \quad T_2 = \frac{i}{4}(b^2-(b^\dagger )^2), \quad T_3 = \frac{1}{2}b^\dagger b + \frac{1}{4}I

где $I$ — тождественный оператор. Найдите коммутаторы $[T_1,T_2]$ , $[T_2,T_3]$ , $[T_3,T_1]$ . Обсудите.

Задача 4.93

Рассмотрим дифференциальные операторы

b := \frac{1}{\sqrt{2}}\left( x + \frac{d}{dx} \right), \quad b^\dagger := \frac{1}{\sqrt{2}}\left( x - \frac{d}{dx} \right)

действующие на векторное пространство $S(\mathbb {R})$ . Найдите коммутатор $[b,b^\dagger ]$ . Найдите оператор $\widehat{N} = b^\dagger b$ .

Задача 4.94

Пусть $c^\dagger , c$ — фермионные операторы рождения и уничтожения, т.е.

[c,c^\dagger ]_+ = I

где $[\, ,\, ]_+$ обозначает антикоммутатор, а $I$ — тождественный оператор. Также имеем $c^2 = 0$ и $(c^\dagger )^2 = 0$ . Вычислите коммутатор

[c^\dagger c, c^\dagger +c] .

Образуют ли операторы $c^\dagger c, (c^\dagger +c)$ базис алгебры Ли? Можно ли расширить набор операторов так, чтобы получить базис алгебры Ли?

Задача 4.95

(i)(ii)

Пусть $c_\uparrow^\dagger , c_\downarrow^\dagger$ — фермионные операторы рождения со спином вверх и вниз соответственно. Пусть $c_\uparrow , c_\downarrow$ — фермионные операторы уничтожения со спином вверх и вниз соответственно. Пусть

\overrightarrow {c}^\dagger = \begin{pmatrix} c_\uparrow ^\dagger & c_\downarrow ^\dagger \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow {c} = \begin{pmatrix} c_\uparrow \\ c_\downarrow \end{pmatrix} .

Фермионные операторы удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

c_\uparrow ^\dagger c_\uparrow + c_\uparrow c_\uparrow ^\dagger = I, \quad c_\downarrow ^\dagger c_\downarrow + c_\downarrow c_\downarrow ^\dagger = I, \quad c_\uparrow ^\dagger c_\downarrow + c_\downarrow c_\uparrow ^\dagger = 0,

c_\uparrow ^\dagger c_\uparrow ^\dagger + c_\uparrow ^\dagger c_\uparrow ^\dagger = 0, \quad c_\downarrow ^\dagger c_\downarrow ^\dagger + c_\downarrow ^\dagger c_\downarrow ^\dagger = 0,

c_\uparrow c_\uparrow + c_\uparrow c_\uparrow = 0, \quad c_\downarrow c_\downarrow + c_\downarrow c_\downarrow = 0,

c_\uparrow ^\dagger c_\downarrow ^\dagger + c_\downarrow ^\dagger c_\uparrow ^\dagger = 0, \quad c_\uparrow c_\downarrow + c_\downarrow c_\uparrow = 0 .

(i)

Пусть $M, N$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что

[\overrightarrow {c}^\dagger M\overrightarrow {c}, \overrightarrow {c}^\dagger N\overrightarrow {c}] = \overrightarrow {c}^\dagger [M,N]\overrightarrow {c} .

(ii)

Таким образом мы имеем отображение $M \mapsto \overrightarrow {c}^\dagger M\overrightarrow {c}$ . Рассмотрим случай, когда эти матрицы $M$ и $N$ заданы как

X_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Найдите $\overrightarrow {c}^\dagger X_+\overrightarrow {c}$ , $\overrightarrow {c}^\dagger X_-\overrightarrow {c}$ , $\overrightarrow {c}^\dagger H\overrightarrow {c}$ . Покажите, что эти операторы образуют алгебру Ли относительно коммутатора.

Задача 4.96

(i)(ii)

Фермионные операторы рождения $c_j^\dagger$ и фермионные операторы уничтожения $c_j$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

[c_j^\dagger , c_k]_+ = \delta _{jk}I

и $c_j^2 = 0$ , $(c_j^\dagger )^2 = 0$ .

(i)

Покажите, что векторное пространство операторов

\left\{ c_j^\dagger c_k : j,k=1,2,\ldots ,n \right\}

образует алгебру Ли относительно коммутатора. Существует $n^2$ таких операторов.

(ii)

Рассмотрим оператор (так называемый оператор числа частиц)

\widehat{N} = \sum _{j=1}^{n} c_j^\dagger c_j .

Вычислите коммутатор $[\widehat{N}, c_k^\dagger c_\ell ]$ . Обсудите.

Задача 4.97

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим модель Джейнса–Каммингса. Она описывает двухуровневый атом, линейно связанный с одной бозонной модой. Пусть $c^\dagger , b^\dagger$ — фермионный и бозонный операторы рождения соответственно. Гамильтониан $\widehat{H}$ задаётся как

\widehat{H} = 2\omega _1 b^\dagger b \otimes I_F + 2\omega _2 I_B \otimes c^\dagger c + \lambda b \otimes c^\dagger + b^\dagger \otimes c\overline{\lambda }

где $I_B$ — тождественный оператор (бесконечномерная единичная матрица) для бозонов, а $I_F$ — тождественный оператор (единичная матрица $2\times 2$ ) для фермионов. Таким образом атом имеет собственные состояния с собственными значениями $E = 2\omega_2$ и $E = 0$ . Константу взаимодействия $\lambda$ можно рассматривать как грассманово или обычное $c$ -значное число.

(i)

Найдите антикоммутаторы

[b\otimes c^\dagger , b^\dagger \otimes c]_+, \quad [b\otimes c^\dagger , b\otimes c^\dagger ]_+, \quad [b\otimes c, b\otimes c]_+ .

(ii)

Найдите коммутаторы

[b\otimes I_F, b^\dagger \otimes c], \quad [I_B\otimes c, b\otimes c^\dagger ] .

(iii)

Найдите антикоммутатор

[I_B\otimes c, b\otimes c^\dagger ]_+ .

Задача 4.98

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с базисом $H, X, Y$ и коммутаторами

[H,X] = 2X, \quad [H,Y] = -2Y, \quad [X,Y] = H .

Приведите точные представления $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ , используя (i) матрицы $2\times 2$ , (ii) матрицы $3\times 3$ , (iii) векторные поля, (iv) дифференциальные операторы второго порядка, (v) бозонные операторы, (vi) фермионные операторы.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

Задача 4.99

Супералгебра $\mathfrak {gl}(1|1)$ имеет две чётные и две нечётные образующие, которые мы обозначим $h, z$ и $e, f$ соответственно. Выполняются следующие коммутационные соотношения

[z,e] = [z,f] = [z,h] = 0, \quad [h,e] = e, \quad [h,f] = -f

[e,f]_+ = z, \quad e^2 = f^2 = 0

где $[\, ,\, ]_+$ обозначает антикоммутатор. Найдите представление матрицами $2\times 2$ .

Задача 4.100

Супералгебра Ли $\mathfrak {osp}(1/2)$ имеет пять образующих $K_0, K_+, K_-, F_+, F_-$ . Коммутационные соотношения задаются как

[K_0,K_\pm ] = \pm K_\pm , \quad [K_+,K_-] = -2K_0 .

[K_0,F_\pm ] = \pm \frac{1}{2}F_\pm , \quad [K_\pm ,F_\pm ] = 0, \quad [K_\pm ,F_\mp ] = \mp F_\pm .

Антикоммутационные соотношения задаются как

[F_\pm ,F_\pm ]_+ = K_\pm , \quad [F_+,F_-]_+ = K_0 .

Таким образом супералгебра Ли содержит подалгебру Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ , натянутую на $K_0, K_+, K_-$ .

(i)

Найдите оператор Казимира супералгебры Ли $\mathfrak {osp}(1/2)$ .

(ii)

Найдите точное представление бозонными операторами $b^\dagger , b$ и тождественным оператором $I$ .

(iii)

Введите состояния с числом частиц (фоковские состояния) $\ket {n}$ ( $n=0,1,\ldots ,$ ) и примените операторы из (ii) к состояниям с числом частиц.

(iv)

Пусть $\beta , \gamma \in \mathbb {C}$ . Введём операторы

D(\beta ) = \exp (\beta F_+-\beta ^*F_-), \quad S(\gamma ) = \exp (\gamma K_+-\gamma ^*K_-) .

Вычислите

D^\dagger (\beta ) \begin{pmatrix} F_- \\ F_+ \end{pmatrix} D(\beta ), \quad S^\dagger (\gamma ) \begin{pmatrix} F_- \\ F_+ \end{pmatrix} S(\gamma ),

D^\dagger (\beta ) \begin{pmatrix} K_- \\ K_+ \end{pmatrix} D(\beta ), \quad S^\dagger (\gamma ) \begin{pmatrix} K_- \\ K_+ \end{pmatrix} S(\gamma ) .

(v)

Рассмотрим когерентно-сжатое состояние

\ket {\beta \gamma } := S(\gamma )D(\beta )\ket {0} .

Вычислите состояние $\ket {\beta \gamma }$ , используя состояния с числом частиц $\ket {n}$ и тождество

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(t/2)^n}{n!}H_n(x)H_n(y) \equiv \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\exp ((1-t)^{-1}(2xyt-(x^2+y^2)t))

где $H_n$ ( $n=0,1,\ldots$ ) — многочлены Эрмита.

4.1 · Задачи на программирование[10/100%]

Задача 4.101

Пусть $P = \left\{ P_0, P_2, \ldots , P_{k-1} \right\}$ — полугруппа перестановок на множестве $\Omega = \left\{ 0,1,\ldots ,n-1 \right\}$ . Полугруппа замкнута относительно групповой операции, но обратный элемент и единица не обязаны принадлежать множеству. Множество транзитивности (или орбита), содержащее $i \in \Omega$ , — это множество образов под действием произведений элементов $P$ . Напишите программу на C++, которая находит орбиты по заданным $P$ и $\Omega$ .

Задача 4.102

Пусть $\mathcal{B}_n$ обозначает группу кос на $n-1$ нитях. $\mathcal{B}_n$ порождается элементарными косами (образующими) $\left\{ b_1, b_2, \ldots , b_{n-1} \right\}$ с косичными соотношениями

b_j b_{j+1} b_j = b_{j+1} b_j b_{j+1}, \quad 1 \leq j < n-1,

b_j b_k = b_k b_j, \quad \left|j-k\right| \geq 2 .

На самом деле лучше было бы писать $b_{12}, b_{23}, \ldots , b_{n-1n}$ вместо $b_1, b_2, \ldots , b_{n-1}$ . Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2, \ldots , \overrightarrow {e}_n \right\}$ обозначает стандартный базис в $\mathbb {R}^{n}$ . Тогда $\overrightarrow {u} \in \mathbb {R}^{n}$ можно записать как

\overrightarrow {u} = \sum _{k=1}^{n} c_k \overrightarrow {e}_k, \quad c_1, c_2, \ldots , c_n \in \mathbb {R} .

Рассмотрим операторы $B_j$ ( $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R}$ и $\alpha ,\gamma \neq 0$ ), определённые как

B_j \overrightarrow {u} := c_1\overrightarrow {e}_1 + \ldots + (\alpha c_{j+1}+\beta )\overrightarrow {e}_j + (\gamma c_{j+1}+\delta )\overrightarrow {e}_{j+1} + \ldots + c_n\overrightarrow {e}_n

и соответствующую обратную операцию

B_j^{-1} \overrightarrow {u} := c_1\overrightarrow {e}_1 + \ldots + \frac{1}{\gamma }(c_{j+1}-\delta )\overrightarrow {e}_j + \frac{1}{\alpha }(\gamma c_j-\beta )\overrightarrow {e}_{j+1} + \ldots + c_n\overrightarrow {e}_n .

Используя компьютерную алгебру, покажите, что $B_1, B_2, \ldots , B_{n-1}$ удовлетворяют косичному условию

B_j B_{j+1} B_j \overrightarrow {u} = B_{j+1} B_j B_{j+1} \overrightarrow {u}

если

\gamma \beta + \delta = \alpha \delta + \beta .

Задача 4.103

Напишите программу на C++, которая генерирует все матрицы перестановок $n \times n$ . В main используем эти матрицы, чтобы найти матрицу перестановки, удовлетворяющую

P \begin{pmatrix} a_{00} & 0 & 0 & a_{01} \\ 0 & b_{00} & b_{01} & 0 \\ 0 & b_{10} & b_{11} & 0 \\ a_{10} & 0 & 0 & a_{11} \end{pmatrix} P^T = \begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} b_{00} & b_{01} \\ b_{10} & b_{11} \end{pmatrix}

где $\oplus$ — прямая сумма.

Задача 4.104

(i)(ii)

Пусть $n$ — положительное целое число. Число неприводимых представлений группы перестановок $S_n$ в точности равно числу разбиений $\lambda_j$ числа $n$

n = \lambda _1+\lambda _2+\cdots +\lambda _n, \quad \lambda _1 \geq \lambda _2 \geq \cdots \geq \lambda _n \geq 0 .

Например, для $n=4$ имеем 5 разбиений 4000 3100 2200 2110 1111 Пусть $k, n$ — положительные целые числа. Число разбиений $p(1,n)$ можно найти по рекурсии

p(k,n) = \begin{cases} 0 & \text{если } k > n \\ 1 & \text{если } k = n \\ p(k+1,n)+p(k,n-k) & \text{иначе} \end{cases}

(i)

Приведите реализацию этой рекурсии на C++.

(ii)

Приведите рекурсивную реализацию для нахождения разбиений.

Задача 4.105

Ряд гамильтоновых систем можно записать в виде

\frac{dL}{dt} = [A,L](t)

где $L$ и $A$ — зависящие от времени матрицы $n \times n$ . Это называется представлением Лакса гамильтоновой системы. Находим, что

\frac{dL^k}{dt} = [A,L^k](t)

и что $\tr [L^k]$ ( $k=1,2,\ldots$ ) являются первыми интегралами. Рассмотрим функцию Гамильтона (цепочка Тоды)

H(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}) = \frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2+p_3^2) + \exp (q_1-q_2) + \exp (q_2-q_3) + \exp (q_3-q_1) .

Вводя величины

a_j := \frac{1}{2}\exp \left( \frac{1}{2}(q_j-q_{j+1}) \right), \quad b_j := \frac{1}{2}p_j

и циклические граничные условия (т.е. $q_4 \equiv q_1$ ), находим, что уравнения движения Гамильтона принимают вид (с $b_3 = 0$ )

\frac{da_j}{dt} = a_j(b_j-b_{j+1}), \quad \frac{db_1}{dt} = -2a_1^2, \quad \frac{db_2}{dt} = 2(a_1^2-a_2^2), \quad \frac{db_3}{dt} = 2a_2^2

где $j=1,2$ . Вводя матрицы (пара Лакса)

L := \begin{pmatrix} b_1 & a_1 & 0 \\ a_1 & b_2 & a_2 \\ 0 & a_2 & b_3 \end{pmatrix}, \quad A := \begin{pmatrix} 0 & -a_1 & 0 \\ a_1 & 0 & -a_2 \\ 0 & a_2 & 0 \end{pmatrix}

уравнения движения можно записать как представление Лакса. Из $L$ находим первый интеграл как $\tr [L^n]$ , где $n = 1,2,\ldots$ , где $\tr$ обозначает след. Получаем

\tr L = b_1+b_2+b_3, \quad \tr [L^2] = b_1^2+b_2^2+b_3^2+2a_1^2+2a_2^2 .

Напишите программу на SymbolicC++ lax.cpp, которая находит $[L,A]$ и показывает, что $\tr (L)$ , $\tr (L^2)$ и определитель $L$ являются первыми интегралами.

Задача 4.106

$n$ -кубитная группа Паули определяется как

\mathcal{P}_n := \left\{ I_2, \sigma _x, \sigma _y, \sigma _z \right\} ^{\otimes n} \otimes \left\{ \pm 1, \pm i \right\} \tag {1}

где $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ — матрицы Паули $2\times 2$ , а $I_2$ — единичная матрица $2\times 2$ . Размерность рассматриваемого гильбертова пространства равна $\dim \mathcal{H} = 2^n$ . Таким образом каждый элемент группы Паули $\mathcal{P}_n$ есть (с точностью до общей фазы $\pm 1,\pm i$ ) произведение Кронекера матриц Паули и единичных матриц $2\times 2$ , действующих на $n$ кубитах. Порядок группы Паули равен $2^{2n+2}$ . Таким образом при $n=1$ порядок равен 16. При $n=2$ порядок равен 64. Напишите программу на SymbolicC++, реализующую группу Паули для $n=2$ .

Задача 4.107

Пусть $b_1^\dagger , b_2^\dagger$ — бозонные операторы рождения, а $I$ — тождественный оператор. Полупростая алгебра Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ порождается как

K_+ := b_1^\dagger b_2^\dagger , \quad K_- := b_1b_2, \quad K_0 := \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1+b_2^\dagger b_2+I)

с коммутационными соотношениями

[K_0,K_+] = K_+, \quad [K_0,K_-] = -K_-, \quad [K_-,K_+] = 2K_0 .

Используем порядок $K_+, K_-, K_0$ для базиса. Напишите программу компьютерной алгебры, которая находит присоединённое представление этой алгебры Ли.

Задача 4.108

Исключительная алгебра Ли $\mathfrak {g}_2$ имеет ранг 2 и размерность 14. Базис задаётся как

H_1, H_2, X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, Y_1, Y_2, Y_3, Y_4, Y_5, Y_6

с коммутационными соотношениями $[H_1,H_2] = 0$ и

H_1 = [X_1,Y_1], \quad H_2 = [X_2,Y_2], \quad [H_1,X_1] = 2X_1, \quad [H_2,X_2] = 2X_2 .

Таким образом

[H_1,Y_1] = -2Y_1, \quad [H_2,Y_2] = -2Y_2 .

Таким образом $H_1, X_1, Y_1$ и $H_2, X_2, Y_2$ каждая натягивают подалгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ алгебры $\mathfrak {g}_2$ . Таблица коммутаторов для $\mathfrak {g}_2$ (таблица 4.1) такова, где элемент $(i,j)$ даёт $[\text{строка}_i, \text{столбец}_j]$ при $i < j$ и оставлен пустым (не является частью таблицы) в противном случае:

\begin{array}{c|ccccccccccccc}& H_2 & X_1 & Y_1 & X_2 & Y_2 & X_3 & Y_3 & X_4 & Y_4 & X_5 & Y_5 & X_6 & Y_6 \\ \hline H_1 & 0 & 2X_1 & -2Y_1 & -3X_2 & 3Y_2 & -X_3 & Y_3 & X_4 & -Y_4 & 3X_5 & -3Y_5 & 0 & 0 \\ H_2 & & -X_1 & Y_1 & 2X_2 & -2Y_2 & X_3 & -Y_3 & 0 & 0 & -X_5 & Y_5 & X_6 & -Y_6 \\ X_1 & & & H_1 & X_3 & 0 & 2X_4 & -3Y_2 & -3X_5 & -2Y_3 & 0 & Y_4 & 0 & 0 \\ Y_1 & & & & 0 & -Y_3 & 3X_2 & -2Y_4 & 2X_3 & 3Y_5 & -X_4 & 0 & 0 & 0 \\ X_2 & & & & & H_2 & 0 & Y_1 & 0 & 0 & -X_6 & 0 & 0 & Y_5 \\ Y_2 & & & & & & -X_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & Y_6 & -X_5 & 0 \\ X_3 & & & & & & & H_1+3H_2 & -3X_6 & 2Y_1 & 0 & 0 & 0 & Y_4 \\ Y_3 & & & & & & & & -2X_1 & 3Y_6 & 0 & 0 & -X_4 & 0 \\ X_4 & & & & & & & & & 2H_1+3H_2 & 0 & -Y_1 & 0 & Y_3 \\ Y_4 & & & & & & & & & & X_1 & 0 & X_3 & 0 \\ X_5 & & & & & & & & & & & H_1+H_2 & 0 & -Y_2 \\ Y_5 & & & & & & & & & & & & X_2 & 0 \\ X_6 & & & & & & & & & & & & & H_1+2H_2 \end{array}

Заметим, что $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {C})$ — подалгебра Ли алгебры $\mathfrak {g}_2$ . Напишите программу на SymbolicC++, которая находит присоединённое представление.

Задача 4.109

Пусть $b_1, b_2, b_3$ — бозонные операторы уничтожения. Покажите, что

H_1 = b_1^\dagger b_1 - b_2^\dagger b_2, \quad H_2 = b_2^\dagger b_2 - b_3^\dagger b_3

E_{12} = b_1^\dagger b_2, \quad E_{23} = b_2^\dagger b_3, \quad E_{13} = b_1^\dagger b_3

E_{21} = b_2^\dagger b_1, \quad E_{32} = b_3^\dagger b_2, \quad E_{31} = b_3^\dagger b_1

являются представлением алгебры Ли $\mathfrak {su}(3)$ . Напишите программу на SymbolicC++, реализующую это представление.

Задача 4.110

Рассмотрим фундаментальное представление супералгебры $\mathfrak {su}(2|1)$ . Пусть $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ — спиновые матрицы Паули. Пусть $\oplus$ обозначает прямую сумму. Её образующие задаются матрицами $3 \times 3$

L_1 = \frac{1}{2}\sigma _1\oplus (0), \quad L_2 = \frac{1}{2}\sigma _2\oplus (0), \quad L_3 = \frac{1}{2}\sigma _3\oplus (0), \quad L_4 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

V_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad V_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}

W_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad W_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} .

Пусть

L_\pm = L_1\pm iL_2, \quad V_\pm = V_1\pm iV_2, \quad W_\pm = W_1\pm iW_2 .

Здесь $L_1, L_2, L_3, L_4$ — образующие, натягивающие подалгебру Ли $\mathfrak {su}(2)\otimes \mathfrak {u}(1)$ алгебры $\mathfrak {su}(2|1)$ , а $V_1, V_2, W_1, W_2$ — суперобразующие. Пусть $c^\dagger , c$ — фермионные операторы рождения и уничтожения. Пусть $b_1^\dagger , b_2^\dagger$ — бозонные операторы рождения. Бозон-фермионная реализация задаётся как

L_+ = b_1^\dagger b_2 \otimes I_F, \quad L_- = b_2^\dagger b_1 \otimes I_F

L_3 = \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1 \otimes I_F - b_2^\dagger b_2 \otimes I_F), \quad L_4 = \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1 \otimes I_F + b_2^\dagger b_2 \otimes I_F) + I_B\otimes c^\dagger c

V_+ = b_1^\dagger \otimes c, \quad V_- = b_1 \otimes c^\dagger , \quad W_+ = b_2^\dagger \otimes c, \quad W_- = b_2 \otimes c^\dagger .

Покажите, что представления изоморфны. Приведите реализацию на SymbolicC++ для бозон-фермионной реализации.