4.2

Дополнительные задачи

[10/0%]
LaTeX
Задача 4.111
?
(i)

При n=4n=4 матрица преобразования для вейвлета Добеши задаётся как

D4=(c0c1c2c3c3−c2c1−c0c2c3c0c1c1−c0c3−c2),(c0c1c2c3)=142(1+33+33−31−3). D_4 = \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & -c_2 & c_1 & -c_0 \\ c_2 & c_3 & c_0 & c_1 \\ c_1 & -c_0 & c_3 & -c_2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1+\sqrt{3} \\ 3+\sqrt{3} \\ 3-\sqrt{3} \\ 1-\sqrt{3} \end{pmatrix} .

Является ли D4D_4 ортогональной? Докажите или опровергните.

(ii)

При n=8n=8 матрица преобразования для вейвлета Добеши задаётся как

D8=(c0c1c2c30000c3−c2c1−c0000000c0c1c2c30000c3−c2c1−c0000000c0c1c2c30000c3−c2c1−c0c2c30000c0c1c1−c00000c3−c2). D_8 = \begin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c_3 & -c_2 & c_1 & -c_0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_0 & c_1 & c_2 & c_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & -c_2 & c_1 & -c_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_0 & c_1 & c_2 & c_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_3 & -c_2 & c_1 & -c_0 \\ c_2 & c_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_0 & c_1 \\ c_1 & -c_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_3 & -c_2 \end{pmatrix} .

Является ли D8D_8 ортогональной? Докажите или опровергните.

Задача 4.112

Рассмотрим алгебру Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) с базисом x,y,hx, y, h и коммутаторами

[x,h]=−2x,[x,y]=h,[h,y]=−2y. [x,h] = -2x, \quad [x,y] = h, \quad [h,y] = -2y .

Пусть t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
(i)

Найдите a(t),b(t),c(t)a(t), b(t), c(t) такие, что

exp⁡(tx)yexp⁡(−tx)=a(t)x+b(t)y+c(t)h. \exp (tx)y\exp (-tx) = a(t)x+b(t)y+c(t)h .
(ii)

Найдите a(t),b(t),c(t)a(t), b(t), c(t) такие, что

exp⁡(tx)hexp⁡(−tx)=a(t)x+b(t)y+c(t)h. \exp (tx)h\exp (-tx) = a(t)x+b(t)y+c(t)h .
(iii)

Найдите a(t),b(t),c(t)a(t), b(t), c(t) такие, что

exp⁡(ty)hexp⁡(−ty)=a(t)x+b(t)y+c(t)h. \exp (ty)h\exp (-ty) = a(t)x+b(t)y+c(t)h .

Рассмотрим представление

h=(100−1),x=(0100),y=(0010). h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .
Задача 4.113

Реализация алгебры Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) с помощью векторных полей —

V1=ddu,V2=uddu,V3=u2ddu. V_1 = \frac{d}{du}, \quad V_2 = u\frac{d}{du}, \quad V_3 = u^2\frac{d}{du} .

Рассмотрим уравнение Риккати

dudt=1+u+u2. \frac{du}{dt} = 1+u+u^2 .
?
(i)

Найдите решение задачи Коши, используя ряд Ли

u(t)=exp⁡(tV)u∣u=u0 u(t) = \exp (tV)u\vert _{u=u_0}

где

V=V1+V2+V3=(1+u+u2)ddu. V = V_1+V_2+V_3 = (1+u+u^2)\frac{d}{du} .
(ii)

Найдите функции f(t),g(t),h(t)f(t), g(t), h(t) такие, что

etV=ef(t)d/dueg(t)ud/dueh(t)u2d/du. e^{tV} = e^{f(t)d/du}e^{g(t)ud/du}e^{h(t)u^2d/du} .
Задача 4.114

Пусть FF — поле. Далее F=RF = \mathbb {R} или F=CF = \mathbb {C}. Алгебра Хопфа — это векторное пространство A\mathcal{A}, наделённое пятью линейными операциями

μ:A⊗A→A \mu : \mathcal{A}\otimes \mathcal{A} \to \mathcal{A} η:F→A \eta : F \to \mathcal{A} Δ:A→A⊗A \Delta : \mathcal{A} \to \mathcal{A}\otimes \mathcal{A} ϵ:A→F \epsilon : \mathcal{A} \to F γ:A→A \gamma : \mathcal{A} \to \mathcal{A}

обладающими следующими свойствами

μ⋅(id⊗μ)=μ⊗(μ⊗id) \mu \cdot (id\otimes \mu ) = \mu \otimes (\mu \otimes id) μ⋅(id⊗η)=id=μ⋅(η⊗id) \mu \cdot (id\otimes \eta ) = id = \mu \cdot (\eta \otimes id) (id⊗Δ)⋅Δ=(Δ⊗id)⋅Δ (id\otimes \Delta ) \cdot \Delta = (\Delta \otimes id) \cdot \Delta (ϵ⊗id)⋅Δ=id=(id⊗ϵ)⋅Δ (\epsilon \otimes id) \cdot \Delta = id = (id\otimes \epsilon ) \cdot \Delta μ⋅(id⊗γ)⋅Δ=η⋅ϵ=μ⋅(γ⊗id)⋅Δ \mu \cdot (id\otimes \gamma ) \cdot \Delta = \eta \cdot \epsilon = \mu \cdot (\gamma \otimes id) \cdot \Delta

а комножение Δ\Delta и коединица ϵ\epsilon являются морфизмами FF-алгебры, т.е. сохраняют умножение. Приведите пример алгебры Хопфа, используя конечную группу GG.

?
Задача 4.115

Рассмотрим нелинейное волновое уравнение

∂2u∂t2−∂∂x(u∂u∂x)=0. \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial }{\partial x}\left( u\frac{\partial u}{\partial x} \right) = 0 .

Покажите, что это дифференциальное уравнение в частных производных допускает векторные поля симметрии Ли

∂∂t,∂∂x,t∂∂t+x∂∂x,t∂∂t−2u∂∂u. \frac{\partial }{\partial t}, \quad \frac{\partial }{\partial x}, \quad t\frac{\partial }{\partial t}+x\frac{\partial }{\partial x}, \quad t\frac{\partial }{\partial t}-2u\frac{\partial }{\partial u} .

Вычислите коммутаторы этих векторных полей и классифицируйте алгебру Ли.

?
Задача 4.116

Пусть ∂:=∂/∂x\partial := \partial /\partial x. Два псевдодифференциальных оператора

L:=∂+∑j=1∞uj+1∂−j,W:=1+∑j=1∞wj∂−j L := \partial + \sum _{j=1}^{\infty } u_{j+1}\partial ^{-j}, \quad W := 1+\sum _{j=1}^{\infty } w_j\partial ^{-j}

называются оператором Лакса и калибровочным оператором соответственно. При ∂−1∂=∂∂−1=1\partial^{-1}\partial = \partial \partial^{-1} = 1 выполняется обобщённое правило Лейбница

∂kf⋅=∑j=0∞(kj)(∂jf)∂k−j. \partial ^k f\cdot = \sum _{j=0}^{\infty } \binom {k}{j} (\partial ^j f)\partial ^{k-j} .

для любого k∈Zk \in \mathbb {Z} и L=W∂W−1L = W\partial W^{-1}. Иерархия КП задаётся уравнениями Лакса

∂nL=[Bn,L] \partial _n L = [B_n,L]

где ∂n:=∂/∂tn\partial_n := \partial /\partial t_n, а Bn:=L+nB_n := L_+^n — дифференциальная часть Ln=L+n+L−nL^n = L_+^n+L_-^n с

L+n=∑j=0∞cjn∂j,L−n=∑j=−∞−1cjn∂j. L_+^n = \sum _{j=0}^{\infty } c_j^n \partial ^j, \quad L_-^n = \sum _{j=-\infty }^{-1} c_j^n \partial ^j .

Выведите первые три уравнения иерархии КП.

?
Задача 4.117

Пусть v→(x,t)=(v1(x,t),v2(x,t))T\overrightarrow {v}(x,t) = (v_1(x,t),v_2(x,t))^T. Рассмотрим линейные уравнения

∂v→∂x=(i∣u∣2−2iζ2i∂u/∂t+2ζui∂u∗/∂t−2ζ∗u−i∣u∣2+2iζ2)v→ \frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial x} = \begin{pmatrix} i\left|u\right|^2-2i\zeta ^2 & i\partial u/\partial t+2\zeta u \\ i\partial u^*/\partial t-2\zeta ^*u & -i\left|u\right|^2+2i\zeta ^2 \end{pmatrix} \overrightarrow {v} ∂v→∂t=(−iζu−u∗iζ)v→. \frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial t} = \begin{pmatrix} -i\zeta & u \\ -u^* & i\zeta \end{pmatrix} \overrightarrow {v} .

Покажите, что условие совместности этих двух уравнений с ∂ζ/∂t=0\partial \zeta /\partial t = 0 даёт неустойчивое нелинейное уравнение Шрёдингера

i∂u∂x+∂2u∂t2+2∣u∣2u=0. i\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2\left|u\right|^2u = 0 .
?
Задача 4.118

Рассмотрим двумерную сферу

S12+S22+S32=S2 S_1^2+S_2^2+S_3^2 = S^2

где S>0S > 0 — радиус сферы. Рассмотрим симплектическую структуру на этой сфере с симплектической дифференциальной 2-формой

ω:=−12S2∑j,k,ℓ=13ϵjkℓSjdSk∧dSℓ \omega := -\frac{1}{2S^2} \sum _{j,k,\ell =1}^{3} \epsilon _{jk\ell }S_j dS_k \wedge dS_\ell

(ϵ123=1\epsilon_{123} = 1) и гамильтоновыми векторными полями

VSj:=∑k,ℓ=13ϵjkℓSk∂∂Sℓ. V_{S_j} := \sum _{k,\ell =1}^{3} \epsilon _{jk\ell }S_k\frac{\partial }{\partial S_\ell } .

Скобка Пуассона определяется как

[Sj,Sk]PB:=−VSjSk. [S_j,S_k]_{PB} := -V_{S_j}S_k .
?
(i)

Вычислите [Sj,Sk]PB[S_j,S_k]_{PB}.

(ii)

Вычислите VSj⌋ωV_{S_j}\rfloor \omega.

(iii)

Вычислите VSj⌋VSk⌋ωV_{S_j}\rfloor V_{S_k}\rfloor \omega.

(iv)

Вычислите производную Ли LVSjωL_{V_{S_j}}\omega.

Задача 4.119

Специальная унитарная группа степени nn, обозначаемая SU(n)SU(n), — это группа унитарных матриц n×nn \times n с определителем 1. Групповая операция — матричное умножение. Бесконечномерная специальная унитарная группа SU(∞)SU(\infty ) — это предел унитарных групп SU(n)SU(n). Элементы SU(∞)SU(\infty ) можно рассматривать как преобразования бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}). Пространство последовательностей ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}) состоит из всех бесконечных последовательностей z→=(z1,z2,…)\overrightarrow {z} = (z_1,z_2,\ldots ) комплексных чисел таких, что

∑j=1∞zjz‾n=∑j=1∞∣zj∣2<∞. \sum _{j=1}^{\infty } z_j\overline{z}_n = \sum _{j=1}^{\infty } \left|z_j\right|^2 < \infty .

Скалярное произведение в гильбертовом пространстве ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}) определяется как

⟨z→,w→⟩=⟨w→‾,z→‾⟩=∑j=1∞zjw‾j. \left\langle \overrightarrow {z}, \overrightarrow {w} \right\rangle = \left\langle \overline{\overrightarrow {w}}, \overline{\overrightarrow {z}} \right\rangle = \sum _{j=1}^{\infty } z_j\overline{w}_j .

Сходимость этого последнего ряда следует из неравенства Коши--Шварца. Пространство ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}) полно. Это означает, что каждый ряд Коши из элементов ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}) сходится к элементу ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}). Рассмотрим ортонормированные последовательности z→j∈ℓ2(N)\overrightarrow {z}_j \in \ell_2(\mathbb {N}). Это означает, что если z→j\overrightarrow {z}_j и z→k\overrightarrow {z}_k — два произвольных различных элемента ортонормированной последовательности, то ∣z→j∣=∣z→k∣=1\left|\overrightarrow {z}_j\right| = \left|\overrightarrow {z}_k\right| = 1 и ⟨z→j,z→k⟩=0\left\langle \overrightarrow {z}_j, \overrightarrow {z}_k \right\rangle = 0. Рассмотрим линейные операторы AA в гильбертовом пространстве ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}). Линейный оператор AA — это функция из линейного подмножества D(A)D(A) гильбертова пространства (область определения оператора) в линейное подмножество R(A)R(A) (область значений оператора), сохраняющая операции сложения векторов и умножения на скаляр.

?
(i)

Покажите, что множество унитарных операторов в гильбертовом пространстве ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}) образует группу U(∞)U(\infty ) относительно композиции.

(ii)

Пусть UU — унитарный оператор в ℓ2(N)\ell_2(\mathbb {N}), отображающий

u→=(u1u2u3u4u5…u2nu2n+1…)T \overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & \ldots & u_{2n} & u_{2n+1} & \ldots \end{pmatrix}^T

в

Au→=(u2u4u1u6u3…u2n+2u2n−1…)T. A\overrightarrow {u} = \begin{pmatrix} u_2 & u_4 & u_1 & u_6 & u_3 & \ldots & u_{2n+2} & u_{2n-1} & \ldots \end{pmatrix}^T .

Найдите спектр.

Задача 4.120
?
(i)

Рассмотрим векторное пространство операторов

{cj1†cj2ck1†ck2} \left\{ c_{j_1}^\dagger c_{j_2} c_{k_1}^\dagger c_{k_2} \right\}

где cj†,cjc_j^\dagger , c_j — фермионные операторы рождения и уничтожения, а j1,j2,k1,k2=1,2,…,nj_1,j_2,k_1,k_2 = 1,2,\ldots ,n. Заметим, что в зависимости от j1,j2,k1,k2j_1,j_2,k_1,k_2 оператор cj1†cj2ck1†ck2c_{j_1}^\dagger c_{j_2} c_{k_1}^\dagger c_{k_2} может быть нулевым оператором. Вычислите коммутатор

[cj1†cj2ck1†ck2,cm1†cm2cn1†cn2]. [c_{j_1}^\dagger c_{j_2} c_{k_1}^\dagger c_{k_2}, c_{m_1}^\dagger c_{m_2} c_{n_1}^\dagger c_{n_2}] .

Тем самым покажите, что мы имеем алгебру Ли для этого набора операторов. Разумеется, тождество Якоби также нужно проверить.

(ii)

Рассмотрим оператор числа частиц, определённый как

N^:=∑j=1ncj†cj. \widehat{N} := \sum _{j=1}^{n} c_j^\dagger c_j .

Вычислите коммутатор [N^,cj1†cj2ck1†ck2][\widehat{N}, c_{j_1}^\dagger c_{j_2} c_{k_1}^\dagger c_{k_2}]. Обсудите.