Банк задач по математике

Задача 4.101

Пусть $P = \left\{ P_0, P_2, \ldots , P_{k-1} \right\}$ — полугруппа перестановок на множестве $\Omega = \left\{ 0,1,\ldots ,n-1 \right\}$ . Полугруппа замкнута относительно групповой операции, но обратный элемент и единица не обязаны принадлежать множеству. Множество транзитивности (или орбита), содержащее $i \in \Omega$ , — это множество образов под действием произведений элементов $P$ . Напишите программу на C++, которая находит орбиты по заданным $P$ и $\Omega$ .

?

Задача 4.102

Пусть $\mathcal{B}_n$ обозначает группу кос на $n-1$ нитях. $\mathcal{B}_n$ порождается элементарными косами (образующими) $\left\{ b_1, b_2, \ldots , b_{n-1} \right\}$ с косичными соотношениями

b_j b_{j+1} b_j = b_{j+1} b_j b_{j+1}, \quad 1 \leq j < n-1,

b_j b_k = b_k b_j, \quad \left|j-k\right| \geq 2 .

На самом деле лучше было бы писать $b_{12}, b_{23}, \ldots , b_{n-1n}$ вместо $b_1, b_2, \ldots , b_{n-1}$ . Пусть $\left\{ \overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2, \ldots , \overrightarrow {e}_n \right\}$ обозначает стандартный базис в $\mathbb {R}^{n}$ . Тогда $\overrightarrow {u} \in \mathbb {R}^{n}$ можно записать как

\overrightarrow {u} = \sum _{k=1}^{n} c_k \overrightarrow {e}_k, \quad c_1, c_2, \ldots , c_n \in \mathbb {R} .

Рассмотрим операторы $B_j$ ( $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R}$ и $\alpha ,\gamma \neq 0$ ), определённые как

B_j \overrightarrow {u} := c_1\overrightarrow {e}_1 + \ldots + (\alpha c_{j+1}+\beta )\overrightarrow {e}_j + (\gamma c_{j+1}+\delta )\overrightarrow {e}_{j+1} + \ldots + c_n\overrightarrow {e}_n

и соответствующую обратную операцию

B_j^{-1} \overrightarrow {u} := c_1\overrightarrow {e}_1 + \ldots + \frac{1}{\gamma }(c_{j+1}-\delta )\overrightarrow {e}_j + \frac{1}{\alpha }(\gamma c_j-\beta )\overrightarrow {e}_{j+1} + \ldots + c_n\overrightarrow {e}_n .

Используя компьютерную алгебру, покажите, что $B_1, B_2, \ldots , B_{n-1}$ удовлетворяют косичному условию

B_j B_{j+1} B_j \overrightarrow {u} = B_{j+1} B_j B_{j+1} \overrightarrow {u}

если

\gamma \beta + \delta = \alpha \delta + \beta .

?

Задача 4.103

Напишите программу на C++, которая генерирует все матрицы перестановок $n \times n$ . В main используем эти матрицы, чтобы найти матрицу перестановки, удовлетворяющую

P \begin{pmatrix} a_{00} & 0 & 0 & a_{01} \\ 0 & b_{00} & b_{01} & 0 \\ 0 & b_{10} & b_{11} & 0 \\ a_{10} & 0 & 0 & a_{11} \end{pmatrix} P^T = \begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} b_{00} & b_{01} \\ b_{10} & b_{11} \end{pmatrix}

где $\oplus$ — прямая сумма.

?

Задача 4.104

(i)(ii)

Пусть $n$ — положительное целое число. Число неприводимых представлений группы перестановок $S_n$ в точности равно числу разбиений $\lambda_j$ числа $n$

n = \lambda _1+\lambda _2+\cdots +\lambda _n, \quad \lambda _1 \geq \lambda _2 \geq \cdots \geq \lambda _n \geq 0 .

Например, для $n=4$ имеем 5 разбиений 4000 3100 2200 2110 1111 Пусть $k, n$ — положительные целые числа. Число разбиений $p(1,n)$ можно найти по рекурсии

p(k,n) = \begin{cases} 0 & \text{если } k > n \\ 1 & \text{если } k = n \\ p(k+1,n)+p(k,n-k) & \text{иначе} \end{cases}

?

(i)

Приведите реализацию этой рекурсии на C++.

(ii)

Приведите рекурсивную реализацию для нахождения разбиений.

Задача 4.105

Ряд гамильтоновых систем можно записать в виде

\frac{dL}{dt} = [A,L](t)

где $L$ и $A$ — зависящие от времени матрицы $n \times n$ . Это называется представлением Лакса гамильтоновой системы. Находим, что

\frac{dL^k}{dt} = [A,L^k](t)

и что $\tr [L^k]$ ( $k=1,2,\ldots$ ) являются первыми интегралами. Рассмотрим функцию Гамильтона (цепочка Тоды)

H(\overrightarrow {p},\overrightarrow {q}) = \frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2+p_3^2) + \exp (q_1-q_2) + \exp (q_2-q_3) + \exp (q_3-q_1) .

Вводя величины

a_j := \frac{1}{2}\exp \left( \frac{1}{2}(q_j-q_{j+1}) \right), \quad b_j := \frac{1}{2}p_j

и циклические граничные условия (т.е. $q_4 \equiv q_1$ ), находим, что уравнения движения Гамильтона принимают вид (с $b_3 = 0$ )

\frac{da_j}{dt} = a_j(b_j-b_{j+1}), \quad \frac{db_1}{dt} = -2a_1^2, \quad \frac{db_2}{dt} = 2(a_1^2-a_2^2), \quad \frac{db_3}{dt} = 2a_2^2

где $j=1,2$ . Вводя матрицы (пара Лакса)

L := \begin{pmatrix} b_1 & a_1 & 0 \\ a_1 & b_2 & a_2 \\ 0 & a_2 & b_3 \end{pmatrix}, \quad A := \begin{pmatrix} 0 & -a_1 & 0 \\ a_1 & 0 & -a_2 \\ 0 & a_2 & 0 \end{pmatrix}

уравнения движения можно записать как представление Лакса. Из $L$ находим первый интеграл как $\tr [L^n]$ , где $n = 1,2,\ldots$ , где $\tr$ обозначает след. Получаем

\tr L = b_1+b_2+b_3, \quad \tr [L^2] = b_1^2+b_2^2+b_3^2+2a_1^2+2a_2^2 .

Напишите программу на SymbolicC++ lax.cpp, которая находит $[L,A]$ и показывает, что $\tr (L)$ , $\tr (L^2)$ и определитель $L$ являются первыми интегралами.

?

Задача 4.106

$n$ -кубитная группа Паули определяется как

\mathcal{P}_n := \left\{ I_2, \sigma _x, \sigma _y, \sigma _z \right\} ^{\otimes n} \otimes \left\{ \pm 1, \pm i \right\} \tag {1}

где $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ — матрицы Паули $2\times 2$ , а $I_2$ — единичная матрица $2\times 2$ . Размерность рассматриваемого гильбертова пространства равна $\dim \mathcal{H} = 2^n$ . Таким образом каждый элемент группы Паули $\mathcal{P}_n$ есть (с точностью до общей фазы $\pm 1,\pm i$ ) произведение Кронекера матриц Паули и единичных матриц $2\times 2$ , действующих на $n$ кубитах. Порядок группы Паули равен $2^{2n+2}$ . Таким образом при $n=1$ порядок равен 16. При $n=2$ порядок равен 64. Напишите программу на SymbolicC++, реализующую группу Паули для $n=2$ .

?

Задача 4.107

Пусть $b_1^\dagger , b_2^\dagger$ — бозонные операторы рождения, а $I$ — тождественный оператор. Полупростая алгебра Ли $\mathfrak {su}(1,1)$ порождается как

K_+ := b_1^\dagger b_2^\dagger , \quad K_- := b_1b_2, \quad K_0 := \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1+b_2^\dagger b_2+I)

с коммутационными соотношениями

[K_0,K_+] = K_+, \quad [K_0,K_-] = -K_-, \quad [K_-,K_+] = 2K_0 .

Используем порядок $K_+, K_-, K_0$ для базиса. Напишите программу компьютерной алгебры, которая находит присоединённое представление этой алгебры Ли.

?

Задача 4.108

Исключительная алгебра Ли $\mathfrak {g}_2$ имеет ранг 2 и размерность 14. Базис задаётся как

H_1, H_2, X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, Y_1, Y_2, Y_3, Y_4, Y_5, Y_6

с коммутационными соотношениями $[H_1,H_2] = 0$ и

H_1 = [X_1,Y_1], \quad H_2 = [X_2,Y_2], \quad [H_1,X_1] = 2X_1, \quad [H_2,X_2] = 2X_2 .

Таким образом

[H_1,Y_1] = -2Y_1, \quad [H_2,Y_2] = -2Y_2 .

Таким образом $H_1, X_1, Y_1$ и $H_2, X_2, Y_2$ каждая натягивают подалгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ алгебры $\mathfrak {g}_2$ . Таблица коммутаторов для $\mathfrak {g}_2$ (таблица 4.1) такова, где элемент $(i,j)$ даёт $[\text{строка}_i, \text{столбец}_j]$ при $i < j$ и оставлен пустым (не является частью таблицы) в противном случае:

\begin{array}{c|ccccccccccccc}& H_2 & X_1 & Y_1 & X_2 & Y_2 & X_3 & Y_3 & X_4 & Y_4 & X_5 & Y_5 & X_6 & Y_6 \\ \hline H_1 & 0 & 2X_1 & -2Y_1 & -3X_2 & 3Y_2 & -X_3 & Y_3 & X_4 & -Y_4 & 3X_5 & -3Y_5 & 0 & 0 \\ H_2 & & -X_1 & Y_1 & 2X_2 & -2Y_2 & X_3 & -Y_3 & 0 & 0 & -X_5 & Y_5 & X_6 & -Y_6 \\ X_1 & & & H_1 & X_3 & 0 & 2X_4 & -3Y_2 & -3X_5 & -2Y_3 & 0 & Y_4 & 0 & 0 \\ Y_1 & & & & 0 & -Y_3 & 3X_2 & -2Y_4 & 2X_3 & 3Y_5 & -X_4 & 0 & 0 & 0 \\ X_2 & & & & & H_2 & 0 & Y_1 & 0 & 0 & -X_6 & 0 & 0 & Y_5 \\ Y_2 & & & & & & -X_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & Y_6 & -X_5 & 0 \\ X_3 & & & & & & & H_1+3H_2 & -3X_6 & 2Y_1 & 0 & 0 & 0 & Y_4 \\ Y_3 & & & & & & & & -2X_1 & 3Y_6 & 0 & 0 & -X_4 & 0 \\ X_4 & & & & & & & & & 2H_1+3H_2 & 0 & -Y_1 & 0 & Y_3 \\ Y_4 & & & & & & & & & & X_1 & 0 & X_3 & 0 \\ X_5 & & & & & & & & & & & H_1+H_2 & 0 & -Y_2 \\ Y_5 & & & & & & & & & & & & X_2 & 0 \\ X_6 & & & & & & & & & & & & & H_1+2H_2 \end{array}

Заметим, что $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {C})$ — подалгебра Ли алгебры $\mathfrak {g}_2$ . Напишите программу на SymbolicC++, которая находит присоединённое представление.

?

Задача 4.109

Пусть $b_1, b_2, b_3$ — бозонные операторы уничтожения. Покажите, что

H_1 = b_1^\dagger b_1 - b_2^\dagger b_2, \quad H_2 = b_2^\dagger b_2 - b_3^\dagger b_3

E_{12} = b_1^\dagger b_2, \quad E_{23} = b_2^\dagger b_3, \quad E_{13} = b_1^\dagger b_3

E_{21} = b_2^\dagger b_1, \quad E_{32} = b_3^\dagger b_2, \quad E_{31} = b_3^\dagger b_1

являются представлением алгебры Ли $\mathfrak {su}(3)$ . Напишите программу на SymbolicC++, реализующую это представление.

?

Задача 4.110

Рассмотрим фундаментальное представление супералгебры $\mathfrak {su}(2|1)$ . Пусть $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ — спиновые матрицы Паули. Пусть $\oplus$ обозначает прямую сумму. Её образующие задаются матрицами $3 \times 3$

L_1 = \frac{1}{2}\sigma _1\oplus (0), \quad L_2 = \frac{1}{2}\sigma _2\oplus (0), \quad L_3 = \frac{1}{2}\sigma _3\oplus (0), \quad L_4 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

V_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad V_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}

W_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad W_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} .

Пусть

L_\pm = L_1\pm iL_2, \quad V_\pm = V_1\pm iV_2, \quad W_\pm = W_1\pm iW_2 .

Здесь $L_1, L_2, L_3, L_4$ — образующие, натягивающие подалгебру Ли $\mathfrak {su}(2)\otimes \mathfrak {u}(1)$ алгебры $\mathfrak {su}(2|1)$ , а $V_1, V_2, W_1, W_2$ — суперобразующие. Пусть $c^\dagger , c$ — фермионные операторы рождения и уничтожения. Пусть $b_1^\dagger , b_2^\dagger$ — бозонные операторы рождения. Бозон-фермионная реализация задаётся как

L_+ = b_1^\dagger b_2 \otimes I_F, \quad L_- = b_2^\dagger b_1 \otimes I_F

L_3 = \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1 \otimes I_F - b_2^\dagger b_2 \otimes I_F), \quad L_4 = \frac{1}{2}(b_1^\dagger b_1 \otimes I_F + b_2^\dagger b_2 \otimes I_F) + I_B\otimes c^\dagger c

V_+ = b_1^\dagger \otimes c, \quad V_- = b_1 \otimes c^\dagger , \quad W_+ = b_2^\dagger \otimes c, \quad W_- = b_2 \otimes c^\dagger .

Покажите, что представления изоморфны. Приведите реализацию на SymbolicC++ для бозон-фермионной реализации.

?

Задачи на программирование