Глава 3

Алгебры Ли

[110/92%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 3.1

Пусть $L$ — алгебра Ли и $a, b, h \in L$ . Предположим, что

[a,h] = 0, \qquad [b,h] = 0.

Вычислите $[[a,b],h]$ .

Задача 3.2

Пусть $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ — образующие трёхмерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями

[e_{1},e_{3}] = e_{1}, \qquad [e_{2},e_{3}] = e_{1}+e_{2}, \qquad [e_{1},e_{2}] = 0 \, .

Найдите

[e_{1},[e_{2},e_{3}]] + [e_{3},[e_{1},e_{2}]] \, .

Задача 3.3

(i)(ii)

Пусть $L$ — трёхмерная алгебра Ли с базисом $a, b, c$ и коммутационными соотношениями (разрешимая алгебра Ли)

[a,b] = 0, \qquad [b,c] = a+kb, \qquad [c,a] = -ka+b, \qquad k > 0 \, .

(i)

Найдите коммутатор $[[b,c],[c,a]]$ .

(ii)

Проверьте тождество Якоби

[[a,b],c] + [[c,a],b] + [[b,c],a] = 0 \, .

Задача 3.4

Пусть $L$ — алгебра Ли и пусть $I$ — идеал в $L$ . Определим скобку $[\, , \, ] : L/I \to L/I$ по формуле

[a+I, b+I] := [a,b] + I

где $a, b \in L$ . Покажите, что фактор-пространство становится алгеброй Ли относительно этой скобки.

Задача 3.5

Пусть $L$ — алгебра Ли. Линейное отображение $D : L \to L$ называется дифференцированием, если

D[a,b] = [Da,b] + [a,Db]

для всех $a, b \in L$ . Совокупность всех дифференцирований алгебры $L$ обозначается $\operatorname {Der}(L)$ . Пусть $n \in \mathbb {N}$ . Покажите, что (формула Лейбница)

D^{n}[a,b] = \sum _{j=0}^{n} {}^{n}C_{j} [D^{j}a, D^{n-j}b]

где биномиальные коэффициенты ${}^{n}C_{j}$ определены для произвольного поля $\mathbb {F}$

{}^{n}C_{0} = {}^{n}C_{n} = 1, \qquad {}^{n}C_{j} = {}^{n-1}C_{j-1} + {}^{n-1}C_{j} \quad \text{для} \quad 0 < j < n \, .

Задача 3.6

Алгебра Ли $L$ называется простой, если $L$ неабелева и не имеет собственных идеалов. Покажите, что для простой алгебры Ли производная алгебра Ли $L^{(1)} = [L,L]$ равна $L$ , т.е. $L^{(1)} = L$ .

Задача 3.7

Алгебра Ли $L$ называется полупростой, если $L \neq 0$ и $L$ не имеет абелевых идеалов $\neq 0$ . Покажите, что конечномерная алгебра Ли $L$ полупроста тогда и только тогда, когда $\operatorname {rad}L = 0$ .

Задача 3.8

Покажите, что присоединённое представление полупростой алгебры Ли точно. Точное представление алгебры Ли — это линейное представление, в котором различным элементам $L$ соответствуют различные линейные отображения.

Задача 3.9

Рассмотрим алгебру Ли с базисом $\{ e_{1}, e_{2}, e_{3}\}$ и коммутаторами

[e_{1},e_{2}] = e_{3}, \qquad [e_{2},e_{3}] = e_{1}, \qquad [e_{3},e_{1}] = e_{2} \, .

Найдите присоединённое представление.

Задача 3.10

Примените теорему о разложении Леви к конечномерной алгебре Ли $\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R})$ . Рассмотрим в качестве базиса

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, .

Задача 3.11

Рассмотрим конечномерную алгебру Ли с базисными элементами $\{ X_{\alpha } : \alpha = 1, \ldots , r \}$ . Коммутатор можно разложить по базису

[X_{\alpha }, X_{\beta }] = \sum _{\gamma =1}^{r} C_{\alpha \beta }^{\gamma } X_{\gamma } \tag {1}

( $\alpha , \beta = 1, \ldots , r$ ), где $C_{\alpha \beta }^{\gamma }$ называются структурными константами. Структурные константы $C_{\alpha \beta }^{\gamma }$ в (1) являются константами. Структурные константы, определённые коммутационными соотношениями (1), удовлетворяют соотношениям

C_{\alpha \beta }^{\gamma } = -C_{\beta \alpha }^{\gamma }

\sum _{\rho =1}^{r} \left( C_{\alpha \beta }^{\rho } C_{\rho \gamma }^{\delta } + C_{\beta \gamma }^{\rho } C_{\rho \alpha }^{\delta } + C_{\gamma \alpha }^{\rho } C_{\rho \beta }^{\delta } \right) = 0

где $\alpha , \beta , \gamma = 1, \ldots , r$ . Это третья фундаментальная теорема Ли.

Задача 3.12

(i)(ii)

Алгебра Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ порождена матрицами $2 \times 2$

h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

с соотношениями

[e,f] = h, \qquad [h,e] = 2e, \qquad [h,f] = -2f \, .

(i)

Пусть $x$ — линейная комбинация базисных элементов $h, e, f$

x = c_{1}h + c_{2}e + c_{3}f

где $c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb {R}$ . Вычислите коммутаторы $[h,x], [e,x], [f,x]$ .

(ii)

Покажите, что алгебра Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ проста.

Задача 3.13

Алгебра Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ проста. Исследуйте алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {F})$ , где $\operatorname {char}\mathbb {F} = 2$ .

Задача 3.14

Покажите, что для простой алгебры Ли $L$ производная алгебра $L^{(1)} = [L,L]$ равна $L$ .

Задача 3.15

Алгебру Ли $\mathfrak {gl}(n,\mathbb {R})$ можно представить матрицами $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим стандартный базис пространства всех матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ , состоящий из матриц $M_{ij}$ (имеющих 1 на позиции $(i,j)$ и 0 в остальных местах). Найдите коммутатор

[M_{ij}, M_{k\ell }] \, .

Задача 3.16

Полупростая алгебра Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {R})$ имеет размерность 8. Стандартный базис задаётся формулами

h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},

e_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

f_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

e_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

Найдите таблицу коммутаторов. Найдите ранг алгебры Ли.

Задача 3.17

Приведите пример алгебры Ли, которая полупроста, но не проста. Приведите матричное представление.

Задача 3.18

(i)(ii)(iii)

(i)

Классифицируйте все вещественные двумерные алгебры Ли, где $\mathbb {F} = \mathbb {R}$ . Обозначьте базисные элементы через $X$ и $Y$ .

(ii)

Найдите представление неабелевой двумерной алгебры Ли с помощью дифференциальных операторов.

(iii)

Найдите представление неабелевой двумерной алгебры Ли с помощью матриц $2 \times 2$ .

Задача 3.19

Пусть $I_{n}$ — единичная матрица $n \times n$ . Можно ли найти такие матрицы $A, B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , что $[A,B] = I_{n}$ ?

Задача 3.20

(i)(ii)

(i)

Пусть $A$ — ассоциативная алгебра над полем $\mathbb {F}$ . Определим коммутатор

[a,b] := ab - ba

для всех $a, b \in A$ . Покажите, что с этим определением коммутатора мы получаем алгебру Ли.

(ii)

Приведите пример.

Задача 3.21

Конечномерная алгебра Ли над полем $\mathbb {F}$ характеристики 0 (например, $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ ) называется редуктивной, если её присоединённое представление вполне приводимо. Приведите пример алгебры Ли, которая редуктивна, но не полупроста.

Задача 3.22

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим векторное пространство аналитических функций $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . Определим скобку

[f,g] := f\frac{dg}{dx} - \frac{df}{dx}g \, .

(i)

Покажите, что это определяет бесконечномерную алгебру Ли.

(ii)

Рассмотрим аналитические функции

f(x) = \sin (x), \qquad g(x) = \cos (x), \qquad h(x) = 1 \, .

Покажите, что эти функции образуют базис конечномерной алгебры Ли. Является ли эта алгебра Ли полупростой?

(iii)

Пусть $m, n \in \mathbb {Z}$ . Рассмотрим

p(x) = x^{m}, \qquad q(x) = x^{n} \, .

Найдите $[p,q]$ .

Задача 3.23

Пусть $f, g, p, q : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — аналитические функции. Рассмотрим дифференциальные операторы

f(x)\frac{d}{dx} + p(x), \qquad g(x)\frac{d}{dx} + q(x) \, .

Вычислите коммутатор

\left[ f(x)\frac{d}{dx} + p(x), \, g(x)\frac{d}{dx} + q(x) \right] h(x)

где $h$ — аналитическая функция. Обсудите результат.

Задача 3.24

Пусть $f, g : W \to W$ — два отображения, где $W$ — топологическое векторное пространство ( $u \in W$ ). Предположим, что производная Гато функций $f$ и $g$ существует, т.е.

f'(u)[v] := \left. \frac{\partial f(u+\epsilon v)}{\partial \epsilon } \right|_{\epsilon =0}, \qquad g'(u)[v] := \left. \frac{\partial g(u+\epsilon v)}{\partial \epsilon } \right|_{\epsilon =0} \, . \tag {1}

Произведение Ли (или коммутатор) функций $f$ и $g$ определяется формулой

[f,g](u) := f'(u)[g(u)] - g'(u)[f(u)] \, . \tag {2}

Пусть

f(u) := \frac{\partial u}{\partial t} - u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial ^{3} u}{\partial x^{3}}, \qquad g(u) := \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} \, . \tag {3}

Вычислите коммутатор $[f,g](u)$ .

Задача 3.25

(i)(ii)

Пусть $L$ — вещественное векторное пространство $\mathbb {R}^{3}$ . Пусть $\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b} \in L$ . Определим

\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b} := \begin{pmatrix} a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2} \\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3} \\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1} \end{pmatrix} \, . \tag {1}

Формула (1) — это векторное (или перекрёстное) произведение.

(i)

Покажите, что $L$ является алгеброй Ли.

(ii)

Покажите, что в общем случае

\overrightarrow {a} \times (\overrightarrow {b} \times \overrightarrow {c}) \neq (\overrightarrow {a} \times \overrightarrow {b}) \times \overrightarrow {c} \, .

Задача 3.26

Простая алгебра Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ порождена матрицами $2 \times 2$

h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

с $[e,f] = h$ , $[h,e] = 2e$ , $[h,f] = -2f$ . Покажите, что скобочные соотношения выполняются также для матриц

\rho _{2}(h) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix},

\rho _{2}(e) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \rho _{2}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}

\rho _{3}(h) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix},

\rho _{3}(e) = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \rho _{3}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} \, .

Задача 3.27

(i)(ii)

Рассмотрим в качестве базиса простой алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ обратимые матрицы со следом 0

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, .

(i)

Найдите коммутаторы.

(ii)

Покажите, что собственные значения этих матриц образуют группу относительно умножения.

Задача 3.28

Алгебра Ли $\mathfrak {su}(n)$ — это матрицы $X$ размера $n \times n$ с условиями $X^{*} = -X$ , $\tr X = 0$ . Найдите базис для $\mathfrak {su}(3)$ при условии, что элементы базиса ортогональны друг другу относительно скалярного произведения

\left\langle X, Y \right\rangle := \tr (XY^{*}) \, .

Задача 3.29

Алгебра Ли $\mathfrak {su}(4)$ состоит из всех матриц $4 \times 4$ над $\mathbb {C}$ таких, что $A^{*} = -A$ , $\tr A = 0$ . Первое условие означает, что матрицы косоэрмитовы. Приведите базис алгебры Ли при условии, что элементы базиса ортогональны друг другу относительно скалярного произведения

\left\langle A, B \right\rangle := \tr (AB^{*}) \, .

Задача 3.30

(i)(ii)

Пусть $X$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Пусть

L = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, .

(i)

Найдите условие на $X$ , при котором $X^{*}L + LX = 0_{2}$ . Тогда $X$ является элементом алгебры Ли $\mathfrak {u}(1,1)$ .

(ii)

Приведите базис алгебры Ли. Является ли алгебра Ли полупростой?

Задача 3.31

Существует только одна простая комплексная алгебра Ли ранга 1. Если $\alpha = \lambda e_{1}$ — ненулевой корень, то $-\lambda e_{1}$ — другой корень. Каноническим выбором для $\lambda$ является $1/\sqrt{2}$ . Коммутаторы для базиса

E_{-1/\sqrt{2}}, \quad H_{1}, \quad E_{+1/\sqrt{2}}

таковы

[H_{1}, E_{\pm 1/\sqrt{2}}] = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} E_{\pm 1/\sqrt{2}}, \qquad [E_{+1/\sqrt{2}}, E_{-1/\sqrt{2}}] = \frac{1}{\sqrt{2}} H_{1} \, .

Найдите представление этой полупростой алгебры Ли матрицами $2 \times 2$ .

Задача 3.32

(i)(ii)

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R})$ . Матрицы $2 \times 2$

e_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис $\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R})$ .

(i)

Найдите присоединённое представление.

(ii)

Найдите форму Киллинга и метрический тензор алгебры Ли. По этим результатам определите, является ли алгебра Ли полупростой.

Задача 3.33

Пусть $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ — образующие трёхмерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями

[e_{1},e_{3}] = e_{1}, \qquad [e_{2},e_{3}] = e_{1}+e_{2}, \qquad [e_{1},e_{2}] = 0 \, .

Найдите присоединённое представление. Является ли алгебра Ли полупростой?

Задача 3.34

Пусть $I_{n}$ — единичная матрица $n \times n$ . Рассмотрим матрицы $2n \times 2n$

E_{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & -I_{n} \end{pmatrix}, \qquad E_{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}, \qquad E_{3} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix} \, .

Найдите коммутаторы $[E_{1},E_{2}], [E_{1},E_{3}], [E_{3},E_{2}]$ . Обсудите результат.

Задача 3.35

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {u}(1,1)$ . Базис матрицами $2 \times 2$ задаётся формулами

\tau _{0} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}, \qquad \tau _{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},

\tau _{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau _{3} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \, .

Найдите коммутаторы. Найдите матрицу $4 \times 4$

(A_{jk}) := \tr (\tau _{j}\tau _{k}) \qquad j,k = 0,1,2,3 \, .

Обратима ли эта матрица?

Задача 3.36

Пусть $H$ — ненулевая эрмитова матрица $n \times n$ . Пусть $E$ — ненулевая матрица $n \times n$ . Предположим, что $[H,E] = aE$ , где $a \in \mathbb {R}$ и $a \neq 0$ . Покажите, что матрица $E$ не может быть эрмитовой.

Задача 3.37

Рассмотрим векторы в $\mathbb {R}^{2}$

\alpha = \frac{1}{2\sqrt{3}}(1,\sqrt{3}), \qquad \beta = \frac{1}{2\sqrt{3}}(1,-\sqrt{3}) \, .

Тогда

\alpha + \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,0) \, .

Найдите восемь матриц $3 \times 3$

H_{1}, \; H_{2}, \; E_{\alpha }, \; E_{-\alpha }, \; E_{\beta }, \; E_{-\beta }, \; E_{\alpha +\beta }, \; E_{-(\alpha +\beta )}

такие, что выполняются следующие коммутационные соотношения

[H_{1}, E_{\pm \alpha }] = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}E_{\pm \alpha }, \qquad [H_{2}, E_{\pm \alpha }] = \pm \frac{1}{2}E_{\pm \alpha }

[H_{1}, E_{\pm \beta }] = \pm \frac{1}{2\sqrt{3}}E_{\pm \beta }, \qquad [H_{2}, E_{\pm \beta }] = \pm \frac{1}{2}E_{\pm \beta }

[H_{1}, E_{\pm (\alpha +\beta )}] = \frac{1}{\sqrt{3}}E_{\pm (\alpha +\beta )}, \qquad [H_{2}, E_{\pm (\alpha +\beta )}] = 0

[E_{\alpha }, E_{-\alpha }] = \frac{H_{1}}{2\sqrt{3}} + \frac{H_{2}}{2}, \qquad [E_{\beta }, E_{-\beta }] = \frac{H_{1}}{2\sqrt{3}} - \frac{H_{2}}{2},

[E_{\alpha +\beta }, E_{-(\alpha +\beta )}] = \frac{H_{1}}{\sqrt{3}}, \qquad [E_{\alpha }, E_{\beta }] = \frac{1}{\sqrt{6}}E_{\alpha +\beta },

[E_{\alpha }, E_{\alpha +\beta }] = 0, \qquad [E_{\beta }, E_{\alpha +\beta }] = 0

[E_{\alpha }, E_{-(\alpha +\beta )}] = -\frac{1}{\sqrt{6}}E_{-\beta }, \qquad [E_{\beta }, E_{-(\alpha +\beta )}] = \frac{1}{\sqrt{6}}E_{-\alpha }

и $[H_{1},H_{2}] = 0$ . Можно считать, что $H_{1}, H_{2}$ — диагональные матрицы.

Задача 3.38

Алгебра Ли $\mathfrak {su}(5)$ состоит из всех матриц $5 \times 5$ с условиями

X^{*} = -X, \qquad \tr X = 0

для $X \in \mathfrak {su}(5)$ . Приведите базис $\mathfrak {su}(5)$ . Элементы базиса должны быть ортогональны относительно скалярного произведения $\tr (X_{j}X_{k}^{*})$ .

Задача 3.39

(i)(ii)

(i)

Является ли трёхмерная алгебра Гейзенберга с базисом $\{ x,y,z\}$ и коммутаторами $[x,y] = z$ , $[x,z] = 0$ , $[y,z] = 0$ нильпотентной?

(ii)

Найдите матричное представление матрицами $3 \times 3$ .

Задача 3.40

Если алгебра Ли нильпотентна, то форма Киллинга обращается в нуль. Можно ли заключить, что если форма Киллинга обращается в нуль, то алгебра Ли нильпотентна?

Задача 3.41

Покажите, что алгебра Ли, состоящая из матриц $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ (или $\mathbb {C}$ ) с нулями на главной диагонали и под ней, нильпотентна.

Задача 3.42

Рассмотрим векторное пространство матриц $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ и две линейно независимые матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, .

Постройте алгебру Ли, вычислив коммутаторы. Таким образом, $A$ и $B$ будут образующими алгебры Ли.

Задача 3.43

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Рассмотрим векторные поля

V_{1} = -\frac{\partial }{\partial z} - \frac{\partial }{\partial \bar{z}}, \qquad V_{2} = i\frac{\partial }{\partial \bar{z}} - i\frac{\partial }{\partial z}, \qquad V_{3} = \frac{2}{i}\left( z\frac{\partial }{\partial \bar{z}} - \bar{z}\frac{\partial }{\partial z} \right) \, .

Найдите коммутаторы и покажите, что получен базис алгебры Ли.

Задача 3.44

Рассмотрим векторные поля

V_{12} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad V_{31} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{3}}, \qquad V_{23} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{3}} - x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \, .

Найдите коммутаторы $[V_{12},V_{31}], [V_{31},V_{23}], [V_{23},V_{12}]$ и покажите, что $V_{12}, V_{31}, V_{23}$ образуют базис алгебры Ли. Является ли алгебра Ли полупростой?

Задача 3.45

В качестве обобщения предыдущей задачи можно рассмотреть векторные поля ( $n \geq 3$ )

V_{jk} = -x_{j}\frac{\partial }{\partial x_{k}} + x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad j = 1,2,\ldots ,n, \quad j < k \, .

Таких векторных полей насчитывается $\frac{1}{2}n(n-1)$ . Найдите коммутатор $[V_{jk}, V_{k\ell }]$ .

Задача 3.46

Алгебра Ли $\mathfrak {o}(2,1)$ допускает базис

D_{12} = -x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} + x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad E_{23} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{3}} + x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{2}}, \qquad E_{31} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{3}} \, .

Найдите коммутаторы.

Задача 3.47

Пусть $n \geq 2$ и $0 \leq p \leq n$ . Вещественная полупростая алгебра Ли $\mathfrak {o}(p,n-p)$ имеет размерность $\frac{1}{2}n(n-1)$ и порождена векторными полями

D_{kj} = -D_{jk}, \qquad E_{kj} = E_{jk}

D_{jk} = -x_{j}\frac{\partial }{\partial x_{k}} + x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad 1 \leq j < k \leq p, \quad p < j < k \leq n

E_{jk} = x_{j}\frac{\partial }{\partial x_{k}} + x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad 1 \leq j \leq p, \quad p < k \leq n \, .

Найдите коммутаторы.

Задача 3.48

Пусть $z, w \in \mathbb {C}$ . Рассмотрим векторные поля

T_{1} = -\frac{w}{2i}\frac{\partial }{\partial z} - \frac{z}{2i}\frac{\partial }{\partial w}, \qquad T_{2} = -\frac{w}{2}\frac{\partial }{\partial z} + \frac{z}{2}\frac{\partial }{\partial w}, \qquad T_{3} = \frac{z}{2}\frac{\partial }{\partial z} - \frac{w}{2}\frac{\partial }{\partial w} \, .

Найдите коммутаторы $[T_{1},T_{2}], [T_{2},T_{3}], [T_{3},T_{1}]$ . Пусть

T_{+} := T_{1} + iT_{2}, \qquad T_{-} := T_{1} - iT_{2} \, .

Найдите $T_{+}$ и $T_{-}$ . Рассмотрим функцию $z^{m}w^{n}$ , где $m$ — неотрицательное целое число, а $n$ — отрицательное целое число с $n < -m$ . Покажите, что $z^{m}w^{n}$ — собственная функция оператора $T_{3}$ . Найдите собственное значение. Найдите $T_{+}(z^{m}w^{n})$ и $T_{-}(z^{m}w^{n})$ .

Задача 3.49

Рассмотрим операторы

L_{x} = i\left( \cos (\phi )\cot (\alpha )\frac{\partial }{\partial \phi } + \sin (\phi )\frac{\partial }{\partial \alpha } \right)

L_{y} = i\left( \sin (\phi )\cot (\alpha )\frac{\partial }{\partial \phi } - \cos (\phi )\frac{\partial }{\partial \alpha } \right)

L_{z} = -i\frac{\partial }{\partial \phi } \, .

Вычислив коммутаторы $[L_{x},L_{y}], [L_{y},L_{z}], [L_{z},L_{x}]$ , покажите, что получен базис алгебры Ли.

Задача 3.50

Рассмотрим линейные дифференциальные операторы

S_{z} = -x\frac{d}{dx} + \ell , \qquad S_{-} = x, \qquad S_{+} = -x\frac{d^{2}}{dx^{2}} + 2\ell \frac{d}{dx}

действующие на аналитическую функцию $f$ . Найдите коммутаторы $[S_{+},S_{-}], [S_{+},S_{z}], [S_{-},S_{z}]$ . Обсудите результат.

Задача 3.51

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули с коммутационными соотношениями

[\sigma _{1},\sigma _{2}] = 2i\sigma _{3}, \qquad [\sigma _{2},\sigma _{3}] = 2i\sigma _{1}, \qquad [\sigma _{3},\sigma _{1}] = 2i\sigma _{2} \, .

Таким образом, имеем

\mathfrak {su}(2) = \left\langle i\sigma _{1}, i\sigma _{2}, i\sigma _{3}\right\rangle \, .

Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Найдите три коммутатора

[\sigma _{1} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{2}, \; \sigma _{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{3}]

[\sigma _{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{3}, \; \sigma _{3} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{1}]

[\sigma _{3} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{1}, \; \sigma _{2} \otimes I_{2} + I_{2} \otimes \sigma _{3}] \, .

Обсудите результат.

Задача 3.52

Матрицы Паули задаются формулами

\sigma _{1} := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{2} := \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{3} := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \, .

Их таблица умножения такова

\sigma _{1}\sigma _{2} = -\sigma _{2}\sigma _{1} = i\sigma _{3}, \qquad \sigma _{2}\sigma _{3} = -\sigma _{3}\sigma _{2} = i\sigma _{1}, \qquad \sigma _{3}\sigma _{1} = -\sigma _{1}\sigma _{3} = i\sigma _{2} \, .

Пусть

A := \sigma _{1} \otimes I_{2}, \qquad B := \sigma _{2} \otimes I_{2}, \qquad C := \sigma _{3} \otimes I_{2} \, .

Найдите коммутаторы $[A,B], [B,C], [C,A]$ .

Задача 3.53

Рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ и матрицы $4 \times 4$

\sigma _{1} \otimes \sigma _{2}, \qquad \sigma _{2} \otimes \sigma _{3}, \qquad \sigma _{3} \otimes \sigma _{2} \, .

Найдите коммутаторы

[\sigma _{1} \otimes \sigma _{2}, \sigma _{2} \otimes \sigma _{3}], \qquad [\sigma _{2} \otimes \sigma _{3}, \sigma _{3} \otimes \sigma _{1}], \qquad [\sigma _{3} \otimes \sigma _{1}, \sigma _{1} \otimes \sigma _{2}] \, .

Обсудите результат.

Задача 3.54

Рассмотрим матрицы $4 \times 4$

S_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes I_{2}, \qquad S_{2} = I_{2} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}

где $\omega = \mathrm{exp}\left(i\pi \right) = -1$ . Найдите $S_{1}^{2}, S_{2}^{2}, S_{1}S_{2}S_{1}^{-1}S_{2}^{-1}$ и коммутатор $[S_{1},S_{2}]$ .

Задача 3.55

(i)(ii)(iii)

Пусть $\omega = \mathrm{exp}\left(2\pi i/4\right) \equiv \mathrm{exp}\left(\pi i/2\right) = i$ . Рассмотрим четыре обратимые матрицы $64 \times 64$

S_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \omega ^{3} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega ^{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \omega \end{pmatrix} \otimes I_{4}

S_{2} = I_{4} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes I_{4}

S_{3} = I_{4} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \omega ^{3} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \omega ^{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \omega ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \omega \end{pmatrix}

S_{4} = I_{4} \otimes I_{4} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

(i)

Найдите $S_{j}^{4}$ для $j = 1,2,3,4$ .

(ii)

Найдите

S_{1}S_{2}S_{1}^{-1}S_{2}^{-1}, \quad S_{2}S_{3}S_{2}^{-1}S_{3}^{-1}, \quad S_{3}S_{4}S_{3}^{-1}S_{4}^{-1}, \quad S_{4}S_{1}S_{4}^{-1}S_{1}^{-1} \, .

(iii)

Найдите коммутаторы $[S_{1},S_{2}], [S_{2},S_{3}], [S_{3},S_{4}], [S_{4},S_{1}]$ .

Задача 3.56

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим некоммутативную двумерную алгебру Ли с $[A,B] = A$ и

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, .

Покажите, что матрицы

\{ A \otimes I_{2} + I_{2} \otimes A, \; B \otimes I_{2} + I_{2} \otimes B \}

также образуют некоммутативную алгебру Ли относительно коммутатора, где $\otimes$ обозначает произведение Кронекера. Обсудите результат.

(ii)

Обозначим через $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ полупростую алгебру Ли, порождённую базисом $\{ E,F,H\}$ со скобкой Ли, определённой формулами

[H,E] = 2E, \qquad [H,F] = -2F, \qquad [E,F] = H \, .

Используя матрицы $2 \times 2$ , имеем представление

H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Образуют ли три матрицы $4 \times 4$

H \otimes I_{2} + I_{2} \otimes H, \qquad F \otimes I_{2} + I_{2} \otimes F, \qquad E \otimes I_{2} + I_{2} \otimes E

базис алгебры Ли? Вычислите коммутаторы.

Задача 3.57

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с

x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

и коммутаторами $[x,h] = -2x$ , $[x,y] = h$ , $[y,h] = 2y$ . Рассмотрим

h \mapsto h \otimes I_{2} + I_{2} \otimes h, \qquad x \mapsto x \otimes h + h \otimes x, \qquad y \mapsto y \otimes h + h \otimes y \, .

Найдите три коммутатора

[h\otimes I_{2}+I_{2}\otimes h, \; x\otimes h+h\otimes x], \quad [h\otimes I_{2}+I_{2}\otimes h, \; y\otimes h+h\otimes y], \quad [x\otimes h+h\otimes x, \; y\otimes h+h\otimes y]

и тем самым покажите, что получена алгебра Ли. Изоморфна ли эта алгебра Ли алгебре $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ ?

Задача 3.58

Четыре матрицы

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис алгебры Ли $\mathfrak {gl}(2,\mathbb {R})$ . Имеем

[X,Y] = H, \qquad [H,X] = 2X, \qquad [H,Y] = -2Y

и $[I_{2},X] = [I_{2},Y] = [I_{2},H] = 0_{2}$ . Можно ли найти обратимую матрицу $S$ над $\mathbb {R}$ такую, что

SXS^{-1} = Y, \qquad SYS^{-1} = X, \qquad SHS^{-1} = -H \; ?

Задача 3.59

Пусть $A$ — произвольная матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $T_{1}, T_{2}$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , удовлетворяющие условиям

T_{1}^{*}A + AT_{1} = 0, \qquad T_{2}^{*}A + AT_{2} = 0 \, .

Покажите, что

[T_{1},T_{2}]^{*}A + A[T_{1},T_{2}] = 0 \, .

Задача 3.60

Покажите, что размерность подалгебры Картана в общем случае не является максимальной размерностью абелевой подалгебры Ли. Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2n,\mathbb {C})$ матриц $2n \times 2n$ со следом 0.

Задача 3.61

Покажите, что алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ и $\mathfrak {so}(3,\mathbb {C})$ изоморфны.

Задача 3.62

(i)(ii)

Пусть $L$ — произвольная алгебра Ли. Если $x, y \in L$ , определим

\kappa (x,y) := \tr (\operatorname {ad}x \operatorname {ad}y)

где $\kappa$ называется формой Киллинга, а $\tr (\cdot )$ обозначает след.

(i)

Покажите, что

\kappa ([x,y],z) = \kappa (x,[y,z]) \, .

(ii)

Если $B_{1}$ и $B_{2}$ — подпространства алгебры Ли $L$ , определим $[B_{1},B_{2}]$ как подпространство, порождённое всеми произведениями $[b_{1},b_{2}]$ с $b_{1} \in B_{1}$ и $b_{2} \in B_{2}$ . Это множество сумм

\sum _{j} [b_{1j}, b_{2j}]

где $b_{1j} \in B_{1}$ и $b_{2j} \in B_{2}$ . Пусть

L_{(1)} := [L,L], \qquad L_{(2)} := [L,L_{(1)}], \qquad \ldots , \qquad L_{(k)} := [L,L_{(k-1)}] \, .

Алгебра Ли $L$ называется нильпотентной, если

L_{(n)} = \{ 0\}

для некоторого положительного целого числа $n$ . Докажите, что если $L$ нильпотентна, то форма Киллинга алгебры $L$ тождественно равна нулю.

Задача 3.63

Пусть $\mathfrak {gl}(n,\mathbb {R})$ — алгебра Ли всех матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Пусть

x \in \mathfrak {gl}(n,\mathbb {R}) \tag {1}

имеет $n$ различных собственных значений $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ в $\mathbb {R}$ . Докажите, что собственные значения матрицы $n^{2} \times n^{2}$

\operatorname {ad}x \tag {2}

суть $n^{2}$ скаляров $\lambda_{i} - \lambda_{j}$ , где $i,j = 1,2,\ldots ,n$ .

Задача 3.64

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {so}(4)$ . Покажите, что алгебра Ли $\mathfrak {so}(4)$ полупроста, но не проста. Рассмотрим в качестве базиса $\mathfrak {so}(4)$ шесть векторных полей

V_{12} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}}, \qquad V_{23} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{2}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{3}}, \qquad V_{31} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{3}} - x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{1}}

W_{41} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad W_{42} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{2}}, \qquad W_{43} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{3}} \, .

Задача 3.65

(i)(ii)

Рассмотрим полупростую алгебру Ли $\mathfrak {so}(2,1)$ , элементы которой $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ удовлетворяют коммутационным соотношениям

[X_{1},X_{2}] = X_{3}, \qquad [X_{2},X_{3}] = -X_{1}, \qquad [X_{3},X_{1}] = X_{2} \, .

(i)

Найдите присоединённое представление.

(ii)

Пусть $Y_{j}$ ( $j = 1,\ldots ,n$ ) — базис алгебры Ли. Тогда $g_{jk} = \kappa (Y_{j},Y_{k})$ называется метрическим тензором. По присоединённому представлению найдите метрический тензор.

Задача 3.66

Рассмотрим две матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, .

Покажите, что

[\mathrm{exp}\left(tA\right), \mathrm{exp}\left(tB\right)] = t^{2}[A,B] \, .

Задача 3.67

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что матрицы $R$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ , удовлетворяющие $R^{*}A + AR = 0$ , образуют алгебру Ли.

Задача 3.68

Покажите, что алгебры Ли $\mathfrak {so}(3)$ и $\mathfrak {su}(2)$ групп Ли $SO(3)$ и $SU(2)$ изоморфны.

Задача 3.69

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с базисом $H, X, Y$ и коммутаторами

[H,X] = 2X, \qquad [H,Y] = -2Y, \qquad [X,Y] = H

H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, .

Предположим, что $\overrightarrow {v} \in \mathbb {R}$ — собственный вектор $H$ , т.е. $H\overrightarrow {v} = \alpha \overrightarrow {v}$ , где $\alpha$ — собственное значение. Вычислите $H(X\overrightarrow {v})$ . Обсудите результат.

Задача 3.70

Пусть $S^{1} := \left\{ (x_{1},x_{2}) : x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 1\right\}$ . Пусть $\operatorname {Diff}^{+}(S^{1})$ — пространство сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов $S^{1} \to S^{1}$ . С произведением, заданным композицией диффеоморфизмов, это бесконечномерная группа Ли. Алгебра Ли — это пространство векторных полей на $S^{1}$ . Подалгебра Ли комплексификации алгебры Ли $\operatorname {Diff}^{+}(S^{1})$ задаётся формулой

L := \left\{ f(z)\frac{d}{dz} \, : \, f(z) \in \mathbb {C}{}[z,z^{-1}] \right\} \, .

Это подпространство пространства векторных полей на $S^{1}$ , если рассматривать $S^{1}$ как единичную окружность в $\mathbb {C}$ . Выберем базис $\{ L_{n}\}_{n\in \mathbb {Z}}$ пространства $L$ , определив

L_{n} := -z^{n+1}\frac{d}{dz} \, .

Найдите коммутатор $[L_{n},L_{m}]$ .

Задача 3.71

(i)(ii)

Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Пусть $I_{2}$ — единичная матрица $2 \times 2$ , а $0_{2}$ — нулевая матрица $2 \times 2$ . Рассмотрим четыре матрицы $4 \times 4$

J_{1} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{1} \\ -\sigma _{1} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad J_{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sigma _{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & \sigma _{2} \end{pmatrix},

J_{3} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{3} \\ -\sigma _{3} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad J_{0} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0_{2} & I_{2} \\ -I_{2} & 0_{2} \end{pmatrix} \, .

(i)

Найдите коммутаторы.

(ii)

Рассмотрим шесть матриц $4 \times 4$

K_{1} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{3} \\ \sigma _{3} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad K_{2} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} I_{2} & 0_{2} \\ 0_{2} & -I_{2} \end{pmatrix}, \qquad K_{3} = -\frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0_{2} & \sigma _{1} \\ \sigma _{1} & 0_{2} \end{pmatrix},

Q_{1} = -\frac{i}{2}\begin{pmatrix} \sigma _{3} & 0_{2} \\ 0_{2} & -\sigma _{3} \end{pmatrix}, \qquad Q_{2} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0_{2} & I_{2} \\ I_{2} & 0_{2} \end{pmatrix}, \qquad Q_{3} = \frac{i}{2}\begin{pmatrix} \sigma _{1} & 0_{2} \\ 0_{2} & -\sigma _{1} \end{pmatrix} \, .

Найдите коммутаторы. Найдите также коммутаторы $[K_{j},J_{k}], [Q_{j},J_{k}]$ , где $j,k = 1,2,3$ , и $[K_{j},J_{0}], [Q_{j},J_{0}]$ . Тем самым покажите, что мы имеем базис 10-мерной алгебры Ли.

Задача 3.72

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим матрицы

N_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad N_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 0 & -i/2 & 0 \\ i/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

Покажите, что они образуют базис алгебры Ли.

(ii)

Является ли алгебра Ли полупростой?

Задача 3.73

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим дифференциальные операторы

J_{3} = \frac{i}{2}\left( p\frac{\partial }{\partial x} - x\frac{\partial }{\partial p} \right)

K_{1} = \frac{i}{2}\left( p\frac{\partial }{\partial p} - x\frac{\partial }{\partial x} \right), \qquad K_{2} = -\frac{i}{2}\left( x\frac{\partial }{\partial p} + p\frac{\partial }{\partial x} \right) \, .

Найдите коммутаторы. Покажите, что мы имеем базис полупростой алгебры Ли.

(ii)

Рассмотрим дифференциальные операторы

\tilde{J}_{3} = \frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{d^{2}}{dx^{2}} \right)

\tilde{K}_{1} = \frac{i}{4}\left( x\frac{d}{dx} + \frac{d}{dx}x \right), \qquad \tilde{K}_{2} = \frac{1}{4}\left( x^{2} + \frac{d^{2}}{dx^{2}} \right) \, .

Найдите коммутаторы. Покажите, что мы имеем базис полупростой алгебры Ли. Изоморфны ли эти две алгебры Ли?

Задача 3.74

Покажите, что векторные поля

J_{1} = -\frac{i}{2}\left( \left( p_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + p_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) - \left( x_{2}\frac{\partial }{\partial p_{1}} + x_{1}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

J_{2} = -\frac{i}{2}\left( \left( x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} \right) + \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial p_{2}} - p_{2}\frac{\partial }{\partial p_{1}} \right) \right)

J_{3} = -\frac{i}{2}\left( \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - p_{2}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) - \left( x_{1}\frac{\partial }{\partial p_{1}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

J_{0} = -\frac{i}{2}\left( \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + p_{2}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) - \left( x_{1}\frac{\partial }{\partial p_{1}} + x_{2}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

K_{1} = -\frac{i}{2}\left( \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - p_{2}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) + \left( x_{1}\frac{\partial }{\partial p_{1}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

K_{2} = \frac{i}{2}\left( -\left( x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) + \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial p_{1}} + p_{2}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

K_{3} = \frac{i}{2}\left( \left( p_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + p_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) + \left( x_{2}\frac{\partial }{\partial p_{1}} + x_{1}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

Q_{1} = \frac{i}{2}\left( \left( x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) - \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial p_{1}} - p_{2}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

Q_{2} = -\frac{i}{2}\left( \left( p_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + p_{2}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) + \left( x_{1}\frac{\partial }{\partial p_{1}} + x_{2}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

Q_{3} = -\frac{i}{2}\left( \left( x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} + x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right) - \left( p_{2}\frac{\partial }{\partial p_{1}} + p_{1}\frac{\partial }{\partial p_{2}} \right) \right)

образуют базис алгебры Ли относительно коммутатора.

Задача 3.75

Рассмотрим спиновые матрицы (спин 1)

S_{+} = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad S_{-} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}, \qquad S_{z} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, .

Найдите коммутаторы и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли. Покажите, что мы получаем точное представление с помощью дифференциальных операторов

S_{+} \to z\frac{\partial }{\partial \zeta }, \qquad S_{-} \to \zeta \frac{\partial }{\partial z}, \qquad S_{z} \to \frac{1}{2}\left( z\frac{\partial }{\partial z} - \zeta \frac{\partial }{\partial \zeta } \right) \, .

Задача 3.76

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Рассмотрим выражение

(A \otimes B - B \otimes A) \oplus (-[A,B])

где $\otimes$ обозначает произведение Кронекера, $\oplus$ обозначает прямую сумму, а $[\, , \, ]$ обозначает коммутатор. Найдите след этого выражения. Это выражение играет роль для универсальных обёртывающих алгебр.

Задача 3.77

(i)(ii)

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с базисом $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ и коммутаторами

[e_{2},e_{1}] = 2e_{1}, \qquad [e_{2},e_{3}] = -2e_{3}, \qquad [e_{1},e_{3}] = e_{2} \, .

(i)

Найдите присоединённое представление.

(ii)

Вычислите $\mathrm{exp}\left(\operatorname {ad}e_{1}\right), \mathrm{exp}\left(\operatorname {ad}e_{2}\right), \mathrm{exp}\left(\operatorname {ad}e_{3}\right)$ .

Задача 3.78

Полупростая алгебра Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {C})$ имеет размерность 8 и ранг 2. Стандартный базис задаётся формулами

h_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad h_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},

e_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

f_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

e_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

Заметим, что $e_{1} = f_{1}^{T}$ , $e_{2} = f_{2}^{T}$ , $e_{13} = f_{13}^{T}$ . Найдите таблицу коммутационных соотношений.

Задача 3.79

(i)(ii)

Рассмотрим матрицы $4 \times 4$

J_{+} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_{-} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

J_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

(i)

Найдите коммутаторы и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли. Является ли алгебра Ли полупростой?

(ii)

Пусть $\alpha , \beta , \gamma , \delta \in \mathbb {R}$ . Вычислите

\mathrm{exp}\left(\alpha J_{+}\right), \quad \mathrm{exp}\left(\beta J_{-}\right), \quad \mathrm{exp}\left(\gamma J_{3}\right), \quad \mathrm{exp}\left(\delta E\right) \, .

Покажите, что $\mathrm{exp}\left(\alpha J_{+}\right)\mathrm{exp}\left(\delta E\right) = \mathrm{exp}\left(\delta E\right)\mathrm{exp}\left(\alpha J_{+}\right)$ .

Задача 3.80

(i)(ii)

(i)

Пусть $U, V$ — унитарные матрицы $n \times n$ такие, что коммутатор $[U,V] = W$ также является унитарной матрицей, т.е. $W^{*} = W^{-1}$ . Покажите, что

R + R^{-1} = I_{n}

где $R = U^{-1}V^{-1}UV$ — групповой коммутатор $U^{-1}$ и $V^{-1}$ .

(ii)

Приведите пример таких матриц $U, V$ для случая $n=2$ .

Задача 3.81

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A,B] \equiv AB-BA = 0_{n}$ . Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Можно ли заключить, что

A \otimes B - B \otimes A = 0_{n^{2}} \; ?

Задача 3.82

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {C})$ . По данным корням найдите структурные константы. Полупростая алгебра Ли $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {C})$ имеет размерность 8 и ранг 2. Система корней алгебры $\mathfrak {sl}(3,\mathbb {C})$ состоит из 6 векторов, идущих из начала координат к вершинам правильного шестиугольника. Проверьте тождества Якоби для полученных структурных констант.

Задача 3.83

Рассмотрим полупростую алгебру Ли $\mathfrak {sl}(n+1,\mathbb {F})$ . Пусть $E_{i,j}$ ( $i,j \in \{ 1,2,\ldots ,n+1\}$ ) обозначает стандартный базис, т.е. матрицы $(n+1) \times (n+1)$ , все элементы которых равны нулю, кроме элемента в $i$ -й строке и $j$ -м столбце, равного единице. Можно построить базис Картана-Вейля с

H_{j} := E_{j,j} - E_{j+1,j+1}, \qquad j \in \{ 1,2,\ldots ,n\} \, .

Покажите, что $E_{i,j}$ являются корневыми векторами при $i \neq j$ , т.е. существует $\lambda_{H,i,j} \in \mathbb {F}$ такое, что

[H,E_{i,j}] = \lambda _{H,i,j}E_{i,j}

для всех $H \in \left\langle H_{1},\ldots ,H_{n}\right\rangle$ .

Задача 3.84

(i)(ii)

(i)

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Пусть $\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v} \in \mathbb {C}^{n}$ . Вычислите

\mathrm{exp}\left(z(A \otimes B)\right)(\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v})

где $\otimes$ обозначает произведение Кронекера.

(ii)

Упростите результат из (i), если $A^{2} = I_{n}$ и $B^{2} = I_{n}$ .

Задача 3.85

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Каково условие на $A, B$ , при котором

[A \otimes B, B \otimes A] = 0 \; ?

Задача 3.86

Пусть $A, B, H$ — матрицы $n \times n$ такие, что

[H,A] = 0, \qquad [H,B] = 0 \, .

Покажите, что

[H \otimes I_{n} + I_{n} \otimes H, A \otimes B] = 0 \, .

Задача 3.87

(i)(ii)

Пусть $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тернарный коммутатор $[A_{1},A_{2},A_{3}]$ (также называемый тернутатором) определяется как

\begin{align} [A_{1},A_{2},A_{3}] & := \sum _{\pi \in S_{3}} \operatorname {sgn}(\pi ) A_{\pi (1)}A_{\pi (2)}A_{\pi (3)} \\ & \equiv A_{1}A_{2}A_{3} + A_{2}A_{3}A_{1} + A_{3}A_{1}A_{2} - A_{1}A_{3}A_{2} - A_{2}A_{1}A_{3} - A_{3}A_{2}A_{1} \, . \end{align}

(i)

Пусть $n=2$ , и рассмотрим матрицы Паули $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ . Вычислите тернутатор

[\sigma _{x}, \sigma _{y}, \sigma _{z}] \, .

(ii)

Вычислите

A_{1}\otimes A_{2}\otimes A_{3} + A_{2}\otimes A_{3}\otimes A_{1} + A_{3}\otimes A_{1}\otimes A_{2} - A_{1}\otimes A_{3}\otimes A_{2} - A_{2}\otimes A_{1}\otimes A_{3} - A_{3}\otimes A_{2}\otimes A_{1} \, .

Задача 3.88

Пусть $c, x \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим операторы

K_{1} = -ic\cos (x), \qquad K_{2} = -ic\sin (x), \qquad K_{3} = -\frac{d}{dx} \, .

Найдите коммутаторы и тем самым покажите, что мы имеем базис алгебры Ли. Является ли алгебра Ли полупростой?

Задача 3.89

(i)(ii)(iii)

$SU(2)$ — группа Ли всех унитарных унимодулярных матриц $2 \times 2$ , т.е. группа всех матриц вида

A = \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix}, \qquad \left|a\right|^{2} + \left|b\right|^{2} = 1

где $a, b \in \mathbb {C}$ , а $\bar{a}$ — комплексно сопряжённое к $a$ .

(i)

Найдите обратную матрицу к $A$ .

(ii)

Алгебру Ли $\mathfrak {su}(2)$ группы Ли $SU(2)$ можно отождествить с векторным пространством всех комплексных косоэрмитовых матриц $2 \times 2$ со следом 0. Базис $\mathfrak {su}(2)$ задаётся формулами

G_{1} = \begin{pmatrix} 0 & i/2 \\ i/2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{i}{2}\sigma _{x},

G_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ -1/2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{i}{2}\sigma _{y},

G_{3} = \begin{pmatrix} -i/2 & 0 \\ 0 & i/2 \end{pmatrix} = -\frac{i}{2}\sigma _{z} \, .

Найдите коммутационные соотношения $[G_{1},G_{2}], [G_{3},G_{1}], [G_{2},G_{3}]$ .

(iii)

Найдите матрицу

M = \mathrm{exp}\left(\phi _{1}G_{3}\right)\mathrm{exp}\left(\theta G_{1}\right)\mathrm{exp}\left(\phi _{2}G_{3}\right) \, .

Задача 3.90

(i)(ii)

Рассмотрим вещественную алгебру Ли $L$ , построенную на линейном векторном пространстве с базисом

\left\{ A_{ij} : i,j = 1,2,\ldots ,n \right\} \, .

Предположим, что структура алгебры Ли задаётся коммутационными соотношениями

[A_{ij}, A_{k\ell }] = \delta _{kj}A_{i\ell } - \delta _{\ell i}A_{kj}

где $\delta_{ij}$ — символ Кронекера. Таким образом, мы рассматриваем алгебру Ли $\mathfrak {gl}(n,\mathbb {R})$ . Размерность $L$ равна $n^{2}$ .

(i)

Покажите, что алгебра Ли не проста.

(ii)

Покажите, что отображение

A_{ij} \mapsto x_{i}\frac{\partial }{\partial x_{j}}

является точным представлением алгебры Ли $\mathfrak {gl}(n,\mathbb {R})$ .

Задача 3.91

Рассмотрим группу Ли $O(2,\mathbb {R})$ и её алгебру Ли $\mathfrak {o}(2,\mathbb {R})$ . Покажите, что $O(2,\mathbb {R})$ некоммутативна. Обсудите свойства $\mathfrak {o}(2,\mathbb {R})$ .

Задача 3.92

Евклидова группа $E(2)$ на плоскости связана с алгеброй Ли $\mathfrak {e}(2)$ , определённой коммутационными соотношениями

[X_{1},X_{2}] = X_{3}, \qquad [X_{1},X_{3}] = -X_{2}, \qquad [X_{2},X_{3}] = 0 \, .

Покажите, что алгебра Ли не полупроста.

Задача 3.93

(i)(ii)

Векторное пространство матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ образует гильбертово пространство со скалярным произведением, определённым как

\left\langle A, B \right\rangle := \tr (AB^{*}) \, .

Это порождает норму

\left\| A\right\| ^{2} = \tr (AA^{*})

и расстояние $\left\| A-B\right\|^{2} = \tr ((A-B)(A-B)^{*})$ . Рассмотрим матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

являющиеся элементами простой алгебры Ли $\mathfrak {so}(3)$ .

(i)

Ортогональны ли эти матрицы друг другу?

(ii)

Найдите расстояние между $A$ и $B$ .

Задача 3.94

Пусть $A, B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим квазиумножение

A \bullet B := \frac{1}{2}(AB+BA) \, .

Очевидно, $A \bullet B = B \bullet A$ . Покажите, что $(A^{2} \bullet B) \bullet A = A^{2} \bullet (B \bullet A)$ . Это называется тождеством Жордана. Это пример йордановой алгебры.

Задача 3.95

Матрицы $2 \times 2$

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

образуют базис алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с коммутаторами $[H,E] = 2E$ , $[H,F] = -2F$ , $[E,F] = H$ . Пусть $k \geq 1$ . Удовлетворяют ли матрицы ( $m_{j} = j(k-j+1)$ )

\rho _{k}(H) = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & k-2 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & k-4 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -k \end{pmatrix}

\rho _{k}(F) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & \cdot & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & \cdot & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & \cdot & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \cdot & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \rho _{k}(E) = \begin{pmatrix} 0 & m_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & m_{2} & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & m_{k} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}

тем же коммутационным соотношениям?

Задача 3.96

Исключительная алгебра Ли $\mathfrak {g}_{2}$ имеет простые корни

(0,1,-1) \qquad (1,-2,1) \, .

Найдите матрицу Картана. Проверьте свойства матрицы Картана.

Задача 3.97

Если $\{ X_{j} : j = 1,2,\ldots ,m \}$ образуют базис конечномерной алгебры Ли $L$ , то

g_{ij} = K(X_{i},X_{j})

называется метрическим тензором для $L$ . В терминах структурных констант

g_{ij} = \sum _{r,s=1}^{m} C_{is}^{r}C_{jr}^{s} \, .

Для данной полупростой алгебры Ли $L$ с базисом $\{ X_{j} : j = 1,\ldots ,m\}$ оператор Казимира — это величина (не являющаяся элементом алгебры Ли), которая коммутирует с каждым элементом алгебры Ли. Квадратичный оператор Казимира $C$ данной полупростой алгебры Ли $L$ определяется как

C := \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m} (g^{ij})X_{i}X_{j}

где $(g^{ij})$ — матрица, обратная к $(g_{ij})$ . Заметим, что оператор Казимира не зависит от выбора базиса. Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {so}(3)$

L_{1} := -i\left( x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{3}} - x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{2}} \right)

L_{2} := -i\left( x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{3}} \right)

L_{3} := -i\left( x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} \right)

с коммутационными соотношениями $[L_{1},L_{2}] = iL_{3}$ , $[L_{2},L_{3}] = iL_{1}$ , $[L_{3},L_{1}] = iL_{2}$ . Найдите квадратичный оператор Казимира.

Задача 3.98

Пусть $\mathbb {Z}_{2} = \{ 0,1\}$ — конечная группа целых чисел по сложению по модулю 2. Супералгебра Ли $\mathfrak {g} = \mathfrak {g}_{0}+\mathfrak {g}_{1}$ — это $\mathbb {Z}_{2}$ -градуированная алгебра Ли со суперскобкой Ли $[\, , \, ]$ , удовлетворяющей условиям

[A,B] = AB - (-1)^{d(A)d(B)}BA

и (супертождество Якоби)

[A,[B,C]] = [[A,B],C] + (-1)^{d(A)d(B)}[B,[A,C]]

где $d(X) = 0$ (1), если $A \in \mathfrak {g}_{0}$ ( $\mathfrak {g}_{1}$ ). $d(A)$ называется степенью $A$ . Обозначим через $[\, , \, ]_{-}$ коммутатор, а через $[\, , \, ]_{+}$ антикоммутатор. Супералгебра Ли $\mathfrak {sl}(m/n)$ определяется как

\mathfrak {sl}(m/n) := \left\{ X = \begin{pmatrix} R & S \\ T & U \end{pmatrix} \, : \, \operatorname {Str}(X) := \tr (R) - \tr (U) = 0 \right\}

где $R$ — матрица $m \times m$ , $S$ — матрица $m \times n$ , $T$ — матрица $n \times m$ , а $D$ — матрица $n \times n$ . Предположим, что $m \neq n$ . Рассмотрим супералгебру Ли $\mathfrak {sl}(2/1)$ . Базис задаётся формулами

E_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

F_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad F_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

G_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad G_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

H_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

т.е. мы имеем четыре чётных элемента $E_{1}, F_{1}, H_{1}, H_{2}$ и четыре нечётных элемента $E_{2}, F_{2}, G_{1}, G_{2}$ . Найдите ненулевые коммутаторы и антикоммутаторы.

Задача 3.99

Пусть $q > 0$ . Алгебра $\mathfrak {su}_{q}(2)$ порождена элементами $X_{+}, X_{-} = (X_{+})^{*}$ и $H = H^{*}$ с деформированными коммутационными соотношениями

[H,X_{+}] = 2X_{+}, \qquad [H,X_{-}] = -2X_{-}, \qquad [X_{+},X_{-}] = \frac{q^{H}-q^{-H}}{q-q^{-1}} \, .

Покажите непосредственным вычислением коммутаторов, что эта алгебра имеет то же матричное представление, что и недеформированная алгебра Ли $\mathfrak {su}(2)$ , т.е.

X_{+} \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{-} \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \, .

Задача 3.100

Пусть $V, W$ — гладкие векторные поля, определённые в $\mathbb {R}^{n}$ . Пусть $f,g : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$ — гладкие функции. Рассмотрим теперь пары $(V,f), (W,g)$ . Определим коммутатор таких пар как

[(V,f),(W,g)] := ([V,W], L_{V}g - L_{W}f)

где $L_{V}(\cdot )$ обозначает производную Ли. При этом $[V,W]$ снова является векторным полем, а $L_{V}g - L_{V}f$ снова является гладкой функцией. Производная Ли линейна и подчиняется правилу произведения. Рассмотрим $n=2$ . Пусть

V = u_{2}\frac{\partial }{\partial u_{1}} - u_{1}\frac{\partial }{\partial u_{2}}, \qquad W = u_{1}\frac{\partial }{\partial u_{1}} + u_{2}\frac{\partial }{\partial u_{2}}

и $f(u_{1},u_{2}) = g(u_{1},u_{2}) = u_{1}^{2}+u_{2}^{2}$ . Вычислите коммутатор.

3.1 · Задачи на программирование[2/100%]

Задача 3.101

(i)(ii)

(i)

Пусть $L$ — трёхмерная алгебра Ли с базисом $a, b, c$ и коммутационными соотношениями (простая алгебра Ли $\mathfrak {so}(3)$ )

[a,b] = c, \qquad [b,c] = a, \qquad [c,a] = b \, .

Напишите программу на SymbolicC++, проверяющую, выполняется ли тождество Якоби.

(ii)

Пусть $L$ — трёхмерная алгебра Ли с базисом $a, b, c$ и коммутационными соотношениями (разрешимая алгебра Ли)

[a,b] = 0, \qquad [b,c] = a+kb, \qquad [c,a] = -ka+b, \qquad k > 0 \, .

Напишите программу на SymbolicC++, проверяющую, выполняется ли тождество Якоби.

Задача 3.102

Пусть $L$ — алгебра Ли. Структуру алгебры Ли $L$ анализируют, изучая её идеалы. Подпространство $I$ алгебры Ли $L$ называется идеалом алгебры $L$ , если из $x \in L$ и $y \in I$ вместе следует $[x,y] \in I$ . Если $L$ не имеет идеалов, кроме самой себя и 0, и если, кроме того, $[L,L] \neq 0$ , мы называем алгебру Ли $L$ простой.

Если $L$ — алгебра Ли и $x \in L$ , оператор $\operatorname {ad}X$ , отображающий $y$ в $[x,y]$ , является линейным преобразованием $L$ в себя

(\operatorname {ad}x)y := [x,y] \, .

Тогда $x \to \operatorname {ad}x$ — представление алгебры Ли $L$ , где сама $L$ рассматривается как векторное пространство представления. Форма Киллинга алгебры Ли — это симметричная билинейная форма

K(x,y) := \tr (\operatorname {ad}x\operatorname {ad}y)

где $\tr$ обозначает след. Если $x_{j}$ ( $j = 0,1,\ldots ,n-1$ ) образуют базис $L$ , то

g_{jk} = K(x_{j},x_{k})

называется метрическим тензором для $L$ . Заметим, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда матрица $(g_{jk})$ невырождена, т.е. $\det ((g_{jk})) \neq 0$ .

Рассмотрим простую алгебру Ли $\mathfrak {so}(3)$ с базисными элементами $x(0), x(1), x(2)$ и коммутационными соотношениями

[x(0),x(1)] = x(2), \qquad [x(1),x(2)] = x(0), \qquad [x(2),x(0)] = x(1) \, .

Находим

\operatorname {ad}x(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname {ad}x(1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\operatorname {ad}x(2) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, .

Напишите программу на SymbolicC++, которая вычисляет метрический тензор для этой алгебры Ли, используя двумерный массив comm(i,j) для хранения коммутаторов, и определяет, является ли алгебра Ли полупростой.

3.2 · Дополнительные задачи[8/0%]

Задача 3.103

Пусть $L$ — алгебра Ли. Даны $H, K \subset L$ . Определим их скобку по формуле

[H,K] := \left\langle [h,k] \, : \, h \in H, \, k \in K \right\rangle \, .

Производная алгебра Ли алгебры $L$ — это идеал $[L,L]$ . Покажите, что факторалгебра Ли $L/[L,L]$ является абелевой алгеброй Ли.

Задача 3.104

Покажите, что алгебра Ли, состоящая из матриц $n \times n$ над $\mathbb {R}$ (или $\mathbb {C}$ ) с нулями под главной диагональю, разрешима, но не нильпотентна.

Задача 3.105

(i)(ii)

(i)

Пусть $L$ — конечномерная алгебра Ли над полем $\mathbb {F}$ . Линейное отображение $\kappa : L \times L \to \mathbb {F}$ , определённое формулой

\kappa (a,b) := \tr (\operatorname {ad}(a)\operatorname {ad}(b))

называется формой Картана-Киллинга, или формой Киллинга алгебры $L$ , где $\tr$ обозначает след. Покажите, что

\kappa ([a,b],c) = \kappa (a,[b,c]) \, .

(ii)

Рассмотрим форму Картана-Киллинга конечномерной линейной алгебры Ли $\mathfrak {gl}(n,\mathbb {R})$ . Покажите, что

\kappa (X,Y) = \tr ((\operatorname {ad}X)(\operatorname {ad}Y)) = 2n\tr (XY) - 2(\tr X)(\tr Y) \, .

Задача 3.106

Пусть $A, B$ — матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ . Определим

A \star B := \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & a_{12} \\ 0 & b_{11} & b_{12} & 0 \\ 0 & b_{21} & b_{22} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 & a_{22} \end{pmatrix} \, .

Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R})$ с базисом

h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, .

Найдите $h \star h$ , $e \star e$ , $f \star f$ . Вычислите коммутаторы

[e\star e, f\star f], \qquad [h\star h, e\star e], \qquad [h\star h, f\star f] \, .

Обсудите результат.

Задача 3.107

Образуют ли векторные поля

\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad x_{\ell }x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad j,k,\ell = 1,\ldots ,n

алгебру Ли относительно коммутатора? Если да, классифицируйте эту алгебру Ли. Сначала рассмотрите случай $n=1$ .

Задача 3.108

Пусть $s = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots$ . Образующие спина $s$ алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C})$ в узле $k$ задаются формулами

S_{+,k} = z_{k}^{2}\frac{\partial }{\partial z_{k}} - 2sz_{k}, \qquad S_{-,k} = -\frac{\partial }{\partial z_{k}}, \qquad S_{3,k} = z_{k}\frac{\partial }{\partial z_{k}} - s \, .

Найдите коммутаторы.

Задача 3.109

Пусть $k \geq 1$ . Образуют ли векторные поля

\frac{\partial }{\partial x}, \quad \frac{\partial }{\partial u}, \quad x\frac{\partial }{\partial u}, \quad \ldots , \quad x^{k}\frac{\partial }{\partial u}, \quad x\frac{\partial }{\partial x} + (k+1)u\frac{\partial }{\partial u}

базис алгебры Ли относительно коммутатора? Если да, классифицируйте эту алгебру Ли.

Задача 3.110

(i)(ii)(iii)

Инфинитезимальные образующие (векторные поля) шестимерной алгебры Ли $\mathfrak {so}(4)$ можно записать в терминах переменных $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ как

X_{1} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{2}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{3}}, \qquad X_{2} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{3}} - x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad X_{3} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}},

Y_{1} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad Y_{2} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{2}}, \qquad Y_{3} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{3}} \, .

(i)

Найдите коммутаторы.

(ii)

Покажите, что алгебра Ли полупроста, но не проста.

(iii)

Найдите элементы компактной группы Ли $SO(4)$ , вычислив

\mathrm{exp}\left(\alpha _{1}X_{1}+\alpha _{2}X_{2}+\alpha _{3}X_{3}+\beta _{1}Y_{1}+\beta _{2}Y_{2}+\beta _{3}Y_{3}\right)

\mathrm{exp}\left(\alpha _{1}X_{1}\right)\mathrm{exp}\left(\alpha _{2}X_{2}\right)\mathrm{exp}\left(\alpha _{3}X_{3}\right)\mathrm{exp}\left(\beta _{1}Y_{1}\right)\mathrm{exp}\left(\beta _{2}Y_{2}\right)\mathrm{exp}\left(\beta _{3}Y_{3}\right)

где $\alpha_{j}, \beta_{j} \in \mathbb {R}$ .