3.2

Дополнительные задачи

[8/0%]
LaTeX
Задача 3.103

Пусть LL — алгебра Ли. Даны H,K⊂LH, K \subset L. Определим их скобку по формуле

[H,K]:=⟨[h,k] : h∈H, k∈K⟩ . [H,K] := \left\langle [h,k] \, : \, h \in H, \, k \in K \right\rangle \, .

Производная алгебра Ли алгебры LL — это идеал [L,L][L,L]. Покажите, что факторалгебра Ли L/[L,L]L/[L,L] является абелевой алгеброй Ли.

?
Задача 3.104

Покажите, что алгебра Ли, состоящая из матриц n×nn \times n над R\mathbb {R} (или C\mathbb {C}) с нулями под главной диагональю, разрешима, но не нильпотентна.

?
Задача 3.105
?
(i)

Пусть LL — конечномерная алгебра Ли над полем F\mathbb {F}. Линейное отображение κ:L×L→F\kappa : L \times L \to \mathbb {F}, определённое формулой

κ(a,b):=\tr(ad⁡(a)ad⁡(b)) \kappa (a,b) := \tr (\operatorname {ad}(a)\operatorname {ad}(b))

называется формой Картана-Киллинга, или формой Киллинга алгебры LL, где \tr\tr обозначает след. Покажите, что

κ([a,b],c)=κ(a,[b,c]) . \kappa ([a,b],c) = \kappa (a,[b,c]) \, .
(ii)

Рассмотрим форму Картана-Киллинга конечномерной линейной алгебры Ли gl(n,R)\mathfrak {gl}(n,\mathbb {R}). Покажите, что

κ(X,Y)=\tr((ad⁡X)(ad⁡Y))=2n\tr(XY)−2(\trX)(\trY) . \kappa (X,Y) = \tr ((\operatorname {ad}X)(\operatorname {ad}Y)) = 2n\tr (XY) - 2(\tr X)(\tr Y) \, .
Задача 3.106

Пусть A,BA, B — матрицы 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}. Определим

A⋆B:=(a1100a120b11b1200b21b220a2100a22) . A \star B := \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & a_{12} \\ 0 & b_{11} & b_{12} & 0 \\ 0 & b_{21} & b_{22} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 & a_{22} \end{pmatrix} \, .

Рассмотрим алгебру Ли sl(2,R)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {R}) с базисом

h=(100−1),e=(0100),f=(0010) . h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, .

Найдите h⋆hh \star h, e⋆ee \star e, f⋆ff \star f. Вычислите коммутаторы

[e⋆e,f⋆f],[h⋆h,e⋆e],[h⋆h,f⋆f] . [e\star e, f\star f], \qquad [h\star h, e\star e], \qquad [h\star h, f\star f] \, .

Обсудите результат.

?
Задача 3.107

Образуют ли векторные поля

∂∂xj,xk∂∂xj,xℓxk∂∂xj,j,k,ℓ=1,…,n \frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad x_{\ell }x_{k}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \qquad j,k,\ell = 1,\ldots ,n

алгебру Ли относительно коммутатора? Если да, классифицируйте эту алгебру Ли. Сначала рассмотрите случай n=1n=1.

?
Задача 3.108

Пусть s=0,1/2,1,3/2,…s = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots. Образующие спина ss алгебры Ли sl(2,C)\mathfrak {sl}(2,\mathbb {C}) в узле kk задаются формулами

S+,k=zk2∂∂zk−2szk,S−,k=−∂∂zk,S3,k=zk∂∂zk−s . S_{+,k} = z_{k}^{2}\frac{\partial }{\partial z_{k}} - 2sz_{k}, \qquad S_{-,k} = -\frac{\partial }{\partial z_{k}}, \qquad S_{3,k} = z_{k}\frac{\partial }{\partial z_{k}} - s \, .

Найдите коммутаторы.

?
Задача 3.109

Пусть k≥1k \geq 1. Образуют ли векторные поля

∂∂x,∂∂u,x∂∂u,…,xk∂∂u,x∂∂x+(k+1)u∂∂u \frac{\partial }{\partial x}, \quad \frac{\partial }{\partial u}, \quad x\frac{\partial }{\partial u}, \quad \ldots , \quad x^{k}\frac{\partial }{\partial u}, \quad x\frac{\partial }{\partial x} + (k+1)u\frac{\partial }{\partial u}

базис алгебры Ли относительно коммутатора? Если да, классифицируйте эту алгебру Ли.

?
Задача 3.110

Инфинитезимальные образующие (векторные поля) шестимерной алгебры Ли so(4)\mathfrak {so}(4) можно записать в терминах переменных (x1,x2,x3,x4)(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) как

X1=x3∂∂x2−x2∂∂x3,X2=x1∂∂x3−x3∂∂x1,X3=x2∂∂x1−x1∂∂x2, X_{1} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{2}} - x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{3}}, \qquad X_{2} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{3}} - x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad X_{3} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}}, Y1=x1∂∂x4−x4∂∂x1,Y2=x2∂∂x4−x4∂∂x2,Y3=x3∂∂x4−x4∂∂x3 . Y_{1} = x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{1}}, \qquad Y_{2} = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{2}}, \qquad Y_{3} = x_{3}\frac{\partial }{\partial x_{4}} - x_{4}\frac{\partial }{\partial x_{3}} \, .
?
(i)

Найдите коммутаторы.

(ii)

Покажите, что алгебра Ли полупроста, но не проста.

(iii)

Найдите элементы компактной группы Ли SO(4)SO(4), вычислив

exp(α1X1+α2X2+α3X3+β1Y1+β2Y2+β3Y3) \mathrm{exp}\left(\alpha _{1}X_{1}+\alpha _{2}X_{2}+\alpha _{3}X_{3}+\beta _{1}Y_{1}+\beta _{2}Y_{2}+\beta _{3}Y_{3}\right)

и

exp(α1X1)exp(α2X2)exp(α3X3)exp(β1Y1)exp(β2Y2)exp(β3Y3) \mathrm{exp}\left(\alpha _{1}X_{1}\right)\mathrm{exp}\left(\alpha _{2}X_{2}\right)\mathrm{exp}\left(\alpha _{3}X_{3}\right)\mathrm{exp}\left(\beta _{1}Y_{1}\right)\mathrm{exp}\left(\beta _{2}Y_{2}\right)\mathrm{exp}\left(\beta _{3}Y_{3}\right)

где αj,βj∈R\alpha_{j}, \beta_{j} \in \mathbb {R}.