Глава 3

Ряд Лорана. Особые точки. Вычеты

[89/39%]
Показать
LaTeX
§
11 · Ряд Лорана[15/80%]
Задача 11.1

Найти множество точек zz, в которых сходится ряд Лорана:

?
(1)

∑n=−∞∞2−∣n∣zn\sum_{n = -\infty }^{\infty } 2^{-\left|n\right|} z^{n};

(2)

∑n=−∞∞zn3n+1\sum_{n = -\infty }^{\infty } \frac{z^{n}}{3^{n}+1};

(3)

∑n=−∞∞(z−1)nch⁡αn,α>0\sum_{n = -\infty }^{\infty } \frac{(z-1)^{n}}{\operatorname {ch} \alpha n}, \alpha > 0;

(4)

∑n=−∞∞2−n2(z+1)n\sum_{n = -\infty }^{\infty } 2^{-n^{2}}(z+1)^{n};

(5)

∑n=−∞∞(2−n3+1)−1(z−a)2n\sum_{n = -\infty }^{\infty }\left(2^{-n^{3}}+1\right)^{-1}(z-a)^{2 n};

(6)

∑n=−∞∞znn2+1\sum_{n = -\infty }^{\infty } \frac{z^{n}}{n^{2}+1};

(7)

∑n=−∞∞2−n2zn3\sum_{n = -\infty }^{\infty } 2^{-n^{2}} z^{n^{3}};

(8)

∑n=−∞∞2nzn\sum_{n = -\infty }^{\infty } 2^{n} z^{n}.

Задача 11.2

Опираясь на формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а также используя дифференцирование и интегрирование, доказать:

?
(1)

1z−b=∑n=−∞−1b−n−1zn,∣z∣>∣b∣;\frac{1}{z-b} = \sum_{n = -\infty }^{-1} b^{-n-1} z^{n},\left|z\right| > \left|b\right| ;

(2)

1z2−b2=∑n=−∞−1b−2(n+1)z2n,∣z∣>∣b∣\frac{1}{z^{2}-b^{2}} = \sum_{n = -\infty }^{-1} b^{-2(n+1)} z^{2 n},\left|z\right| > \left|b\right|;

(3)

z2z2+b2=∑n=−∞0(−1)nb−2nz2n,∣z∣>∣b∣\frac{z^{2}}{z^{2}+b^{2}} = \sum_{n = -\infty }^{0}(-1)^{n} b^{-2 n} z^{2 n},\left|z\right| > \left|b\right|;

(4)

1(z−b)2=−∑n=−∞−2(n+1)b−n−2zn,∣z∣>∣b∣\frac{1}{(z-b)^{2}} = -\sum_{n = -\infty }^{-2}(n+1) b^{-n-2} z^{n}, \quad \left|z\right| > \left|b\right|;

(5)

1z−b=∑n=−∞−1(b−a)−n−1(z−a)n,a≠b,∣z−a∣>∣b−a∣\frac{1}{z-b} = \sum_{n = -\infty }^{-1}(b-a)^{-n-1}(z-a)^{n}, a \neq b,\left|z-a\right| > \left|b-a\right|;

(6)

(z−az−b)2=∑n=−∞0(1−n)(b−a)−n(z−a)n,a≠b,∣z−a∣>∣b−a∣\left(\frac{z-a}{z-b}\right)^{2} = \sum_{n = -\infty }^{0}(1-n)(b-a)^{-n}(z-a)^{n}, a \neq b,\left|z-a\right| > \left|b-a\right|.

Задача 11.3

Разложить в ряд Лорана по степеням zz в кольце 1<∣z∣<21 < \left|z\right| < 2 функцию:

?
(1)

1(z+1)(z−2)\frac{1}{(z+1)(z-2)};

(2)

z4+1(z−1)(z+2)\frac{z^{4}+1}{(z-1)(z+2)};

(3)

z(z2+1)(z+2)\frac{z}{\left(z^{2}+1\right)(z+2)};

(4)

1(z−1)2(z+2)\frac{1}{(z-1)^{2}(z+2)};

(5)

1(z2+1)(z2−4)\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}-4\right)};

(6)

1(z2−1)2(z2+4)\frac{1}{\left(z^{2}-1\right)^{2}\left(z^{2}+4\right)}.

Задача 11.4

Разложить в ряд Лорана по степеням z−az-a в кольце DD (точка aa и кольцо DD указаны в скобках) функцию:

?
(1)

1z(z−3)2(a=1,D={z:1<∣z−1∣<2})\frac{1}{z(z-3)^{2}}(a = 1, \quad D = \left\{ z: 1 < \left|z-1\right| < 2\right\} );

(2)

1(z2−9)z2(a=1,D={z:1<∣z−1∣<2})\frac{1}{\left(z^{2}-9\right) z^{2}} \quad (a = 1, \quad D = \left\{ z: 1 < \left|z-1\right| < 2\right\} );

(3)

z+iz2(a=i,−i∈D)\frac{z+i}{z^{2}}(a = i,-i \in D);

(4)

z2−1z2+1(a=1,2i∈D)\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1} \quad (a = 1, \quad 2 i \in D);

(5)

1z(z−1)(z−2)(a=0,−32∈D)\frac{1}{z(z-1)(z-2)} \quad \left(a = 0,-\frac{3}{2} \in D\right);

(6)

2zz2−2i(a=1,−1∈D)\frac{2 z}{z^{2}-2 i}(a = 1,-1 \in D);

(7)

z3(z+1)(z−2)(a=−1,D={z:0<∣z+1∣<3})\frac{z^{3}}{(z+1)(z-2)}(a = -1, \quad D = \left\{ z: 0 < \left|z+1\right| < 3\right\} );

(8)

1(z2−1)(z2+4)(a=0,D={z:∣z∣>2})\frac{1}{\left(z^{2}-1\right)\left(z^{2}+4\right)} \quad (a = 0, \quad D = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\} ).

Задача 11.5

Разложить данную функцию f(z)f(z) в ряд Лорана по степеням zz в кольце, которому принадлежит точка z0z_{0}. Указать границы кольца сходимости.

?
(1)

f(z)=z2+1z2+32z−1,z0=1f(z) = \frac{z^{2}+1}{z^{2}+\frac{3}{2} z-1}, z_{0} = 1;

(2)

f(z)=2z2−5z2−z−2,z0=32f(z) = \frac{2 z^{2}-5}{z^{2}-z-2}, \quad z_{0} = \frac{3}{2};

(3)

f(z)=3z2+13z2−2z−1,z0=12f(z) = \frac{3 z^{2}+1}{3 z^{2}-2 z-1}, \quad z_{0} = \frac{1}{2};

(4)

f(z)=zz2+6+z−12z2−3z,z0=2f(z) = \frac{z}{z^{2}+6}+\frac{z-1}{2 z^{2}-3 z}, \quad z_{0} = 2;

(5)

f(z)=3z+12z2+z−zz2+5,z0=1f(z) = \frac{3 z+1}{2 z^{2}+z}-\frac{z}{z^{2}+5}, \quad z_{0} = 1;

(6)

f(z)=3z3+6z2−5z2+2z−3,z0=2f(z) = \frac{3 z^{3}+6 z^{2}-5}{z^{2}+2 z-3}, \quad z_{0} = 2;

(7)

f(z)=8z3+6z2−34z2+3z−1,z0=12f(z) = \frac{8 z^{3}+6 z^{2}-3}{4 z^{2}+3 z-1}, \quad z_{0} = \frac{1}{2}.

Задача 11.6

Рациональная функция f(z)f(z) разложена в ряд Лорана по степеням zz. Разложить ее в ряд Лорана по степеням zz, в кольце, содержащем точку z0z_{0}, и указать границы кольца сходимости, если:

?
(1)

f(z)=∑n=−1−∞(n+1)3nzn+∑n=0∞(n24n+(−1)n2n)zn,z0=−3;f(z) = \sum_{n = -1}^{-\infty }(n+1) 3^{n} z^{n}+\sum_{n = 0}^{\infty }\left(\frac{n^{2}}{4^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\right) z^{n}, \quad z_{0} = -3 ;

(2)

f(z)=∑n=0∞(3nz3n+n22nz3n−1),z0=−1f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty }\left(3^{n} z^{3 n}+\frac{n^{2}}{2^{n}} z^{3 n-1}\right), \quad z_{0} = -1;

(3)

f(z)=∑n=−1−∞(n5n+(−1)n2n)zn+∑n=0∞n23nzn,z0=13f(z) = \sum_{n = -1}^{-\infty }\left(n 5^{n}+(-1)^{n} 2^{n}\right) z^{n}+\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{n^{2}}{3^{n}} z^{n}, \quad z_{0} = \frac{1}{3}.

Задача 11.7

Разложить функцию f(z)f(z) в ряд Лорана по степеням z−az-a в кольце DD, которому принадлежит точка z0z_{0}. Указать границы кольца DD.

?
(1)

f(z)=6z−z2z2+3z−18,a=−1,z0=3.5f(z) = \frac{6 z-z^{2}}{z^{2}+3 z-18}, a = -1, \quad z_{0} = 3.5;

(2)

f(z)=z(z+2)(z+1)2,a=−2,z0=−32f(z) = \frac{z}{(z+2)(z+1)^{2}}, \quad a = -2, \quad z_{0} = -\frac{3}{2};

(3)

f(z)=5−4z(z+1)(z2−1)2,a=1,z0=0f(z) = \frac{5-4 z}{(z+1)\left(z^{2}-1\right)^{2}}, a = 1, \quad z_{0} = 0;

(4)

f(z)=4z(z−1)(z2−1),a=−1,z0=−2f(z) = \frac{4 z}{(z-1)\left(z^{2}-1\right)}, \quad a = -1, \quad z_{0} = -2;

(5)

f(z)=9−z2z(z+9),a=−4,z0=12f(z) = \frac{9-z^{2}}{z(z+9)}, \quad a = -4, \quad z_{0} = \frac{1}{2};

(6)

f(z)=2z−1z2−z+i+1,a=3,z0=16f(z) = \frac{2 z-1}{z^{2}-z+i+1}, \quad a = 3, \quad z_{0} = \frac{1}{6};

(7)

f(z)=3z−iz2−(i+1)z−i−2,a=1,z0=52f(z) = \frac{3 z-i}{z^{2}-(i+1) z-i-2}, \quad a = 1, \quad z_{0} = \frac{5}{2}.

Задача 11.8

Разложить функцию f(z)f(z) в ряд по степеням zz в кольце, которому принадлежит точка z0z_{0}. Указать границы кольца сходимости.

?
(1)

f(z)=z2+6iz+3z2+2iz+3,z0=ief(z) = \frac{z^{2}+6 i z+3}{z^{2}+2 i z+3}, \quad z_{0} = i e;

(2)

f(z)=3iz2z2−5iz−4,z0=3if(z) = \frac{3 i z^{2}}{z^{2}-5 i z-4}, \quad z_{0} = 3 i;

(3)

f(z)=7−3z3z2−4z+1+9z2+24(3z−1)(z−2)2,z0=i+1f(z) = \frac{7-3 z}{3 z^{2}-4 z+1}+\frac{9 z^{2}+24}{(3 z-1)(z-2)^{2}}, \quad z_{0} = i+1;

(4)

f(z)=zz2−6z+8−2z2−14(z−4)(z−1)2,z0=i−1f(z) = \frac{z}{z^{2}-6 z+8}-\frac{2 z^{2}-14}{(z-4)(z-1)^{2}}, \quad z_{0} = i-1;

(5)

f(z)=(1−i)z−5iz2+(3−2i)z−6,z0=1+3if(z) = \frac{(1-i) z-5}{i z^{2}+(3-2 i) z-6}, \quad z_{0} = 1+3 i;

(6)

f(z)=(1−i)z−5iz2+(2−3i)z−6,z0=1+2if(z) = \frac{(1-i) z-5}{i z^{2}+(2-3 i) z-6}, \quad z_{0} = 1+2 i;

(7)

f(z)=3z−4(z+3)(z−2i)+z+4z2−(1+2i)z+2i,z0=1+if(z) = \frac{3 z-4}{(z+3)(z-2 i)}+\frac{z+4}{z^{2}-(1+2 i) z+2 i}, \quad z_{0} = 1+i;

(8)

f(z)=2z2+(i−2)z−2i+iz−4z2+z−6,z0=1+if(z) = \frac{2}{z^{2}+(i-2) z-2 i}+\frac{i z-4}{z^{2}+z-6}, \quad z_{0} = 1+i.

Задача 11.9

Разложить функцию f(z)f(z) в ряд Лорана по степеням z−az-a в кольце, которому принадлежит точка z0z_{0}. Указать границы кольца сходимости.

?
(1)

f(z)=−4+2i(z−1−2i)(z−5),a=1,z0=1+6if(z) = \frac{-4+2 i}{(z-1-2 i)(z-5)}, \quad a = 1, \quad z_{0} = 1+6 i;

(2)

f(z)=−4−2i(z+1+2i)(z−3),a=−1,z0=−1−5if(z) = \frac{-4-2 i}{(z+1+2 i)(z-3)}, a = -1, \quad z_{0} = -1-5 i;

(3)

f(z)=2z−3+2iz2−(1+2i)z+2i,a=2,z0=4if(z) = \frac{2 z-3+2 i}{z^{2}-(1+2 i) z+2 i}, \quad a = 2, \quad z_{0} = 4 i;

(4)

f(z)=1z2+(i−4)z+4−2i+2izz2−4,a=1,z0=2if(z) = \frac{1}{z^{2}+(i-4) z+4-2 i}+\frac{2 i z}{z^{2}-4}, \quad a = 1, \quad z_{0} = 2 i;

(5)

f(z)=5−2i−zz2+z(5+i)+5i,a=1,z0=3f(z) = \frac{5-2 i-z}{z^{2}+z(5+i)+5 i}, a = 1, \quad z_{0} = 3;

(6)

f(z)=z+2iiz2−4z+5i,a=1,z0=3f(z) = \frac{z+2 i}{i z^{2}-4 z+5 i}, \quad a = 1, \quad z_{0} = 3;

(7)

f(z)=2+15i−zz2+z(1−5i)−5i,a=−3,z0=1+if(z) = \frac{2+15 i-z}{z^{2}+z(1-5 i)-5 i}, \quad a = -3, \quad z_{0} = 1+i;

(8)

f(z)=(1+i)z+6iz2+(5+i)z+5,a=−3,z0=1+if(z) = \frac{(1+i) z+6}{i z^{2}+(5+i) z+5}, a = -3, \quad z_{0} = 1+i.

Задача 11.10

Разложить функцию f(z)f(z) в ряд Лорана по степеням z−az-a в кольце, которому принадлежит точка z0z_{0}. Указать границы кольца сходимости.

?
(1)

f(z)=z(1−i)z2−2(1+i)z+4i,a=2−3i,z0=0f(z) = \frac{z(1-i)}{z^{2}-2(1+i) z+4 i}, \quad a = 2-3 i, \quad z_{0} = 0;

(2)

f(z)=z(i−1)+i2z2−(2−i)z−i,a=2+3i,z0=0f(z) = \frac{z(i-1)+i}{2 z^{2}-(2-i) z-i}, a = 2+3 i, \quad z_{0} = 0;

(3)

f(z)=(i−3)z+4i3iz2+(1+9i)z+3,a=−2+i,z0=if(z) = \frac{(i-3) z+4 i}{3 i z^{2}+(1+9 i) z+3}, \quad a = -2+i, \quad z_{0} = i;

(4)

f(z)=(i−2)z−22iz2−(6+i)z+3,a=−i,z0=i−1f(z) = \frac{(i-2) z-2}{2 i z^{2}-(6+i) z+3}, \quad a = -i, \quad z_{0} = i-1;

(5)

f(z)=iz2+(6−i)z+9−3i+2zz2−9,a=1+i,z0=−2f(z) = \frac{i}{z^{2}+(6-i) z+9-3 i}+\frac{2 z}{z^{2}-9}, \quad a = 1+i, \quad z_{0} = -2;

(6)

f(z)=z−1−5iz2−2z+2+3z−1−3iz2−z(1+2i)−1+i,a=2i,z0=0f(z) = \frac{z-1-5 i}{z^{2}-2 z+2}+\frac{3 z-1-3 i}{z^{2}-z(1+2 i)-1+i}, a = 2 i, \quad z_{0} = 0;

(7)

f(z)=16−z2z(z+4i)2,a=−3−5i,z0=−1−if(z) = \frac{16-z^{2}}{z(z+4 i)^{2}}, \quad a = -3-5 i, \quad z_{0} = -1-i;

(8)

f(z)=2z2+iz+5z2(z−5i),a=−2−2i,z0=1+if(z) = \frac{2 z^{2}+i z+5}{z^{2}(z-5 i)}, a = -2-2 i, \quad z_{0} = 1+i;

(9)

f(z)=z+5iz2+1+6z+8iz2+3iz−2,a=1+i,z0=0f(z) = \frac{z+5 i}{z^{2}+1}+\frac{6 z+8 i}{z^{2}+3 i z-2}, a = 1+i, \quad z_{0} = 0;

(10)

f(z)=6z+8+8iz2+2z(2+i)+8i−3z−2iz2+4,a=1+i,z0=−1f(z) = \frac{6 z+8+8 i}{z^{2}+2 z(2+i)+8 i}-\frac{3 z-2 i}{z^{2}+4}, a = 1+i, \quad z_{0} = -1.

Задача 11.11

Разложить функцию f(z)f(z) в ряд Лорана по степеням z−az-a в кольце DD:

?
(1)

f(z)=z3e1/z,a=0,D={z:0<∣z∣<∞}f(z) = z^{3} e^{1 / z}, \quad a = 0, \quad D = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < \infty \right\};

(2)

f(z)=z2sin⁡π(z+1)z,a=0,D={z:0<∣z∣<∞}f(z) = z^{2} \sin \frac{\pi (z+1)}{z}, a = 0, D = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < \infty \right\};

(3)

f(z)=z3cos⁡1z−2,a=0,D={z:0<∣z−2∣<∞}f(z) = z^{3} \cos \frac{1}{z-2}, a = 0, D = \left\{ z: 0 < \left|z-2\right| < \infty \right\}.

Задача 11.12

Используя разложение функции zctg⁡zz \operatorname {ctg} z в ряд Тейлора (7, пример 4 (2)), разложить в ряд Лорана по степеням zz в кольце π<∣z∣<2π\pi < \left|z\right| < 2 \pi функцию ctg⁡z\operatorname {ctg} z.

?
Задача 11.13

Используя разложение функции zez−1\frac{z}{e^{z}-1} в ряд Тейлора (7, пример 4 (1)), разложить в ряд Лорана по степеням zz в кольце 2π<∣z∣<4π2 \pi < \left|z\right| < 4 \pi функцию 1ez−1\frac{1}{e^{z}-1}.

?
Задача 11.14

Пусть ряды Лорана ∑n=−∞∞an(z−a)n\sum_{n = -\infty }^{\infty } a_{n}(z-a)^{n} и ∑n=−∞∞bn(z−a)n\sum_{n = -\infty }^{\infty } b_{n}(z-a)^{n} сходятся в кольце D={z:r<∣z−a∣<R}D = \left\{ z: r < \left|z-a\right| < R\right\}, а их суммы соответственно равны f(z)f(z) и g(z)g(z). Доказать, что ряд Лорана ∑n=−∞∞cn(z−a)n\sum_{n = -\infty }^{\infty } c_{n}(z-a)^{n}, где cn=∑k=−∞∞akbn−kc_{n} = \sum_{k = -\infty }^{\infty } a_{k} b_{n-k}, также сходится в кольце DD, а его сумма равна произведению f(z)g(z)f(z) g(z).

?
Задача 11.15

Пусть ряд Лорана ∑n=−∞∞cn(z−a)n\sum_{n = -\infty }^{\infty } c_{n}(z-a)^{n} сходится в замкнутом кольце

Dˉ={z:r⩽∣z−a∣⩽R} \bar{D} = \left\{ z: r \leqslant \left|z-a\right| \leqslant R\right\}

Доказать, что

∣cn∣⩽M(r−n+R−n),n∈Z \left|c_{n}\right| \leqslant M\left(r^{-n}+R^{-n}\right), \quad n \in \mathbb {Z}

где MM — постоянная, не зависящая от nn.

?
§
12 · Изолированные особые точки однозначного характера[31/29%]
Задача 12.1

Доказать, что точка z=az = a является устранимой особой точкой для следующих функций:

?
(1)

z2−1z−1(a=1)\frac{z^{2}-1}{z-1} \quad (a = 1);

(2)

sin⁡zz(a=0)\frac{\sin z}{z} \quad (a = 0);

(3)

ztg⁡z(a=0)\frac{z}{\operatorname {tg} z} \quad (a = 0);

(4)

1−cos⁡zz2(a=0)\frac{1-\cos z}{z^{2}}(a = 0);

(5)

ctg⁡z−1z(a=0)\operatorname {ctg} z-\frac{1}{z} \quad (a = 0);

(6)

1ez−1−1sin⁡z(a=0)\frac{1}{e^{z}-1}-\frac{1}{\sin z} \quad (a = 0);

(7)

1cos⁡2z−1(z−π2)2(a=π2)\frac{1}{\cos^{2} z}-\frac{1}{\left(z-\frac{\pi }{2}\right)^{2}} \quad \left(a = \frac{\pi }{2}\right);

(8)

z2−1z3+1(a=∞)\frac{z^{2}-1}{z^{3}+1} \quad (a = \infty ).

Задача 12.2

Доказать, что точка z=az = a является полюсом следующих функций:

?
(1)

1z(a=0)\frac{1}{z} \quad (a = 0);

(2)

1(z2+1)2(a=i)\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}} \quad (a = i);

(3)

z2+1z+1(a=∞)\frac{z^{2}+1}{z+1} \quad (a = \infty );

(4)

z1−cos⁡z(a=0)\frac{z}{1-\cos z} \quad (a = 0);

(5)

z(ez−1)2(a=0)\frac{z}{\left(e^{z}-1\right)^{2}} \quad (a = 0);

(6)

ctg⁡πz(a=∞)\operatorname {ctg} \frac{\pi }{z} \quad (a = \infty );

(7)

z(ez+1)2(a=πi)\frac{z}{\left(e^{z}+1\right)^{2}} \quad (a = \pi i);

(8)

tg⁡πz(a=±12,±32,…)\operatorname {tg} \pi z \quad \left(a = \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \ldots \right).

Задача 12.3

Пусть функции f(z)f(z) и g(z)g(z) регулярны в точке z=az = a и f(a)=g(a)=0f(a) = g(a) = 0. Доказать, что:

?
(1)

lim⁡z→af(z)g(z)=lim⁡z→af′(z)g′(z)\lim_{z \rightarrow a} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \rightarrow a} \frac{f^{\prime }(z)}{g^{\prime }(z)};

(2)

lim⁡z→af(z)g(z)=lim⁡z→a{g′(z)f2(z)f′(z)g2(z)}\lim_{z \rightarrow a} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z \rightarrow a}\left\{ \frac{g^{\prime }(z) f^{2}(z)}{f^{\prime }(z) g^{2}(z)}\right\}.

Задача 12.4

Пусть функции f(z)f(z) и g(z)g(z) регулярны в точке z=az = a и f(a)=g(a)=0f(a) = g(a) = 0. Доказать, что точка z=az = a является изолированной особой точкой однозначного характера для функции F(z)=f(z)/g(z)F(z) = f(z) / g(z) и что она не может быть существенно особой точкой.

?
Задача 12.5

Пусть z=az = a — изолированная особая точка однозначного характера для функции f(z)f(z). Доказать, что точка z=az = a является существенно особой точкой функции f(z)f(z) в том и только в том случае, если существуют такие две последовательности z1′,z2′,…z_{1}^{\prime }, z_{2}^{\prime }, \ldots и z1′′,z2′′,…z_{1}^{\prime \prime }, z_{2}^{\prime \prime }, \ldots, что lim⁡n→∞zn′=lim⁡n→∞zn′′=a\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n}^{\prime } = \lim_{n \rightarrow \infty } z_{n}^{\prime \prime } = a, a lim⁡n→∞f(zn′)=A,lim⁡n→∞f(zn′′)=B,A≠B\lim_{n \rightarrow \infty } f\left(z_{n}^{\prime }\right) = A, \lim_{n \rightarrow \infty } f\left(z_{n}^{\prime \prime }\right) = B, \quad A \neq B.

?
Задача 12.6

Доказать, что точка z=∞z = \infty является существенно особой точкой для функции sin⁡z\sin z.

?
Задача 12.7

Доказать, что точка z=az = a является существенно особой точкой функций:

?
(1)

ez(a=∞);e^{z} \quad (a = \infty ) ;

(2)

e−z2(a=∞)e^{-z^{2}}(a = \infty );

(3)

sin⁡πz2(a=0)\sin \frac{\pi }{z^{2}} \quad (a = 0);

(4)

z2cos⁡πz(a=0)z^{2} \cos \frac{\pi }{z} \quad (a = 0);

(5)

etg⁡z(a=π2)e^{\operatorname {tg} z} \quad \left(a = \frac{\pi }{2}\right);

(6)

sin⁡(ez)(a=∞)\sin \left(e^{z}\right) \quad (a = \infty );

(7)

cos⁡zz+1(a=−1);\cos \frac{z}{z+1} \quad (a = -1) ;

(8)

sin⁡πz2+1(a=−i)\sin \frac{\pi }{z^{2}+1} \quad (a = -i).

Задача 12.8

Найти все изолированные особые точки однозначного характера для следующих функций и определить их вид:

?
(1)

zsin⁡z\frac{z}{\sin z};

(2)

1−cos⁡zsin⁡2z\frac{1-\cos z}{\sin^{2} z};

(3)

z2sin⁡zz+1z^{2} \sin \frac{z}{z+1};

(4)

1z2−1cos⁡πzz+1\frac{1}{z^{2}-1} \cos \frac{\pi z}{z+1};

(5)

ctg⁡z−1z\operatorname {ctg} z-\frac{1}{z};

(6)

z(e1/z−1)z\left(e^{1 / z}-1\right);

(7)

ectg⁡πze^{\operatorname {ctg} \frac{\pi }{z}};

(8)

sin⁡(e1/z)\sin \left(e^{1 / z}\right).

Задача 12.9

Доказать, что изолированная особая точка однозначного характера z=az = a является для функции f(z)f(z) устранимой особой точкой, если выполняется одно из следующих условий (расположенных в порядке ослабления ограничений):

?
(1)

функция f(z)f(z) ограничена в некоторой окрестности точки z=az = a;

(2)

lim⁡z→a(z−a)f(z)=0\lim_{z \rightarrow a}(z-a) f(z) = 0;

(3)

lim⁡ρ→0∫∣z−a∣=ρ∣f(z)∣∣d(z)∣=0\lim_{\rho \rightarrow 0} \int_{\left|z-a\right| = \rho }\left|f(z)\right|\left|d(z)\right| = 0.

Задача 12.10

Пусть z=az = a — изолированная особая точка однозначного характера для функции f(z)f(z), удовлетворяющей в некоторой окрестности этой точки неравенству ∣f(z)∣<M∣z−a∣−m\left|f(z)\right| < M\left|z-a\right|^{-m}, где MM и mm — некоторые положительные постоянные. Доказать, что точка z=az = a не может быть существенно особой точкой функции f(z)f(z).

?
Задача 12.11

Пусть функция f(z)f(z) имеет в конечной точке z=az = a полюс порядка mm. Определить порядок полюса в точке z=az = a функции f(n)(z)f^{(n)}(z).

?
Задача 12.12

Пусть Pm(z)P_{m}(z) и Qn(z)Q_{n}(z) — многочлены степеней mm и nn соответственно. Найти порядок полюса в бесконечности для следующих функций:

?
(1)

Pm(z)+Qn(z),m≠nP_{m}(z)+Q_{n}(z), m \neq n;

(2)

Pm(z)⋅Qn(z)P_{m}(z) \cdot Q_{n}(z);

(3)

Pm(z)Qn(z),m>n\frac{P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}, m > n.

Задача 12.13

Пусть функции f(z)f(z) и g(z)g(z) имеют в точке z=∞z = \infty полюсы порядков mm и nn соответственно. Доказать, что функция F(z)=f(g(z))F(z) = f(g(z)) имеет в точке z=∞z = \infty полюс порядка mnm n.

?
Задача 12.14

Пусть функция g(z)g(z) регулярна в точке z=az = a и g(a)=bg(a) = b, а функция f(ζ)f(\zeta ) имеет в точке ζ=b\zeta = b полюс порядка mm. Доказать, что функция F(z)=f(g(z))F(z) = f(g(z)) имеет в точке z=az = a полюс порядка mnm n, где nn — кратность нуля функции g(z)−bg(z)-b в точке z=az = a.

?
Задача 12.15

Найти все особые точки функции f(z)f(z) и определить их вид, если:

?
(1)

f(z)=1−ch⁡z2ez−e3zf(z) = \frac{1-\operatorname {ch} \frac{z}{2}}{e^{z}-e^{3 z}};

(2)

f(z)=z2−4z−5(z+3)(1+cos⁡πz)f(z) = \frac{z^{2}-4 z-5}{(z+3)(1+\cos \pi z)};

(3)

f(z)=e2z−ez(z2−1)sin⁡πzf(z) = \frac{e^{2 z}-e^{z}}{\left(z^{2}-1\right) \sin \pi z};

(4)

f(z)=14sh⁡(z−1)+1z2−6z+5f(z) = \frac{1}{4 \operatorname {sh}(z-1)}+\frac{1}{z^{2}-6 z+5};

(5)

f(z)=6sh⁡z−z(6+z2)(ez−1)5f(z) = \frac{6 \operatorname {sh} z-z\left(6+z^{2}\right)}{\left(e^{z}-1\right)^{5}};

(6)

f(z)=e3z−cos⁡2zz2−3cth⁡zf(z) = \frac{e^{3 z}-\cos^{2} z}{z^{2}}-3 \operatorname {cth} z;

(7)

f(z)=etg⁡πzsin⁡2πz3(2z+1)(ez+1)f(z) = \frac{e^{\operatorname {tg} \pi z} \sin \frac{2 \pi z}{3}}{(2 z+1)\left(e^{z}+1\right)};

(8)

f(z)=tg⁡zetg⁡ztg⁡4zf(z) = \frac{\operatorname {tg} z e^{\operatorname {tg} z}}{\operatorname {tg} 4 z};

(9)

f(z)=z3−sh3z(ez−1)5f(z) = \frac{z^{3}-\mathrm{sh}^{3} z}{\left(e^{z}-1\right)^{5}};

(10)

f(z)=ectg⁡πzcos⁡πz4(z−1)2(ch⁡z+1)f(z) = \frac{e^{\operatorname {ctg} \pi z} \cos \frac{\pi z}{4}}{(z-1)^{2}(\operatorname {ch} z+1)};

(11)

f(z)=4z2+4πz−8π2(e2iz−1)2−3πz+2πf(z) = \frac{4 z^{2}+4 \pi z-8 \pi^{2}}{\left(e^{2 i z}-1\right)^{2}}-\frac{3 \pi }{z+2 \pi };

(12)

f(z)=z3+2πz2+π2zsin⁡3z−πz+πf(z) = \frac{z^{3}+2 \pi z^{2}+\pi^{2} z}{\sin^{3} z}-\frac{\pi }{z+\pi }.

Задача 12.16

Пусть последовательность функций {fn(z)}\left\{ f_{n}(z)\right\}, регулярных в кольце 0<∣z−a∣<r0 < \left|z-a\right| < r, равномерно сходится в каждой замкнутой части этого кольца. Доказать, что если каждая функция fn(z)f_{n}(z) имеет в точке z=az = a полюс порядка mm, то предельная функция f(z)f(z) регулярна в кольце 0<∣z−a∣<r0 < \left|z-a\right| < r и имеет в точке z=az = a полюс порядка не выше mm, или устранимую особую точку.

?
Задача 12.17

Найти все особые точки функции f(z)f(z) и определить их вид, если:

?
(1)

f(z)=sin⁡πzz2+z−2f(z) = \frac{\sin \frac{\pi }{z}}{z^{2}+z-2};

(2)

f(z)=cos⁡πzsin⁡z+1f(z) = \frac{\cos \frac{\pi }{z}}{\sin z+1};

(3)

f(z)=1−sin⁡iπzeπz−1f(z) = \frac{1-\sin \frac{i \pi }{z}}{e^{\pi z}-1};

(4)

f(z)=z2+4z−121+sin⁡3πzf(z) = \frac{z^{2}+4 z-12}{1+\sin \frac{3 \pi }{z}};

(5)

f(z)=8z2−6z+11−cos⁡πzf(z) = \frac{8 z^{2}-6 z+1}{1-\cos \frac{\pi }{z}};

(6)

f(z)=cos⁡πzz+11+cos⁡πzf(z) = \frac{\cos \frac{\pi z}{z+1}}{1+\cos \pi z};

(7)

f(z)=(z−2)(3z2−4z−4)1−sin⁡πzf(z) = \frac{(z-2)\left(3 z^{2}-4 z-4\right)}{1-\sin \frac{\pi }{z}};

(8)

f(z)=sin⁡πzeπ/(z+i)−if(z) = \frac{\sin \pi z}{e^{\pi /(z+i)}-i};

(9)

f(z)=e1/(z−2i)1−cos⁡iπzf(z) = \frac{e^{1 /(z-2 i)}}{1-\cos i \pi z};

(10)

f(z)=ecos⁡(πi/2z)−1i+sh⁡3πz2f(z) = \frac{e^{\cos (\pi i / 2 z)}-1}{i+\operatorname {sh} \frac{3 \pi z}{2}}.

Задача 12.18

Пусть z=az = a — полюс функции f(z)f(z). Доказать, что для функции ef(z)e^{f(z)} точка z=az = a является существенно особой.

?
Задача 12.19

Пусть f(z)f(z) — функция, регулярная на множестве C‾\overline{\mathbb {C}}, за исключением единственного полюса z=az = a первого порядка. Доказать, что если a=∞a = \infty, то f(z)f(z) — линейная функция, т. е. f(z)=Az+Bf(z) = A z+B, где A≠0A \neq 0, а если a≠∞a \neq \infty, то f(z)f(z) — дробно-линейная функция, т. е. f(z)=az+bcz+df(z) = \frac{a z+b}{c z+d}, где ad−bc≠0a d-b c \neq 0, c≠0c \neq 0.

?
Задача 12.20

Найти все особые точки функции f(z)f(z) и определить их вид, если:

?
(1)

f(z)=z2+ln⁡22sin⁡z−54ch⁡1zf(z) = \frac{z^{2}+\ln^{2} 2}{\sin z-\frac{5}{4}} \operatorname {ch} \frac{1}{z};

(2)

f(z)=4z2+π21+e2z(ch⁡πz−1)f(z) = \frac{4 z^{2}+\pi^{2}}{1+e^{2 z}}\left(\operatorname {ch} \frac{\pi }{z}-1\right);

(3)

f(z)=z2+ln⁡22cos⁡z+3i4sh⁡1zf(z) = \frac{z^{2}+\ln^{2} 2}{\cos z+\frac{3 i}{4}} \operatorname {sh} \frac{1}{z};

(4)

f(z)=4z2−12iz−5sh⁡πz−ie1/(sh⁡π/z)f(z) = \frac{4 z^{2}-12 i z-5}{\operatorname {sh} \pi z-i} e^{1 /(\operatorname {sh} \pi / z)};

(5)

f(z)=sh⁡πz−cos⁡iπz(i−eπ/z)2f(z) = \frac{\operatorname {sh} \pi z-\cos \frac{i \pi }{z}}{\left(i-e^{\pi / z}\right)^{2}};

(6)

f(z)=(2z−π)e1/cos⁡zzcos⁡2zcos⁡zf(z) = \frac{(2 z-\pi ) e^{1 / \cos z}}{z \cos 2 z \cos z};

(7)

f(z)=cos⁡πi2(z−1)eπz+eπf(z) = \frac{\cos \frac{\pi i}{2(z-1)}}{e^{\pi z}+e^{\pi }};

(8)

f(z)=4z2−12z+5sin⁡πz−1e1/(sin⁡π/z)f(z) = \frac{4 z^{2}-12 z+5}{\sin \pi z-1} e^{1 /(\sin \pi / z)};

(9)

f(z)=e1/sin⁡z(z2+4π2)z2sh⁡zf(z) = \frac{e^{1 / \sin z}\left(z^{2}+4 \pi^{2}\right)}{z^{2} \operatorname {sh} z};

(10)

f(z)=z3sh⁡14ze1/z−e2/zf(z) = \frac{z^{3} \operatorname {sh} \frac{1}{4 z}}{e^{1 / z}-e^{2 / z}}.

Задача 12.21

Пусть f(z)f(z) — целая функция, принимающая каждое конечное значение только один раз. Доказать, что f(z)f(z) — линейная функция, т. е. f(z)=az+bf(z) = a z+b, a≠0a \neq 0.

?
Задача 12.22

Пусть z=az = a — существенно особая точка функции f(z)f(z). Можно ли утверждать, что и для функции 1f(z)\frac{1}{f(z)} точка z=az = a является существенно особой?

?
Задача 12.23

Пусть точка z=az = a является существенно особой точкой функции f(z)f(z). Обозначим M(ρ)=max⁡∣z−a∣=ρ∣f(z)∣M(\rho ) = \max_{\left|z-a\right| = \rho }\left|f(z)\right|. Доказать, что при любом k>0k > 0

lim⁡ρ→0ρkM(ρ)=+∞ \lim _{\rho \rightarrow 0} \rho ^{k} M(\rho ) = +\infty
?
Задача 12.24

Пусть функция g(z)g(z) регулярна в точке z=az = a и g(a)=bg(a) = b, а ζ=b\zeta = b-существенно особая точка функции f(ζ)f(\zeta ). Доказать, что z=az = a — существенно особая точка функции F(z)=f(g(z))F(z) = f(g(z)).

?
Задача 12.25

Пусть функции a1(z),…,an(z)a_{1}(z), \ldots , a_{n}(z) регулярны в точке aa или имеют там полюс, z=az = a-существенно особая точка функции f(z)f(z). Доказать, что z=az = a — существенно особая точка функции

F(z)=fn(z)+a1(z)fn−1(z)+…+an(z) F(z) = f^{n}(z)+a_{1}(z) f^{n-1}(z)+\ldots +a_{n}(z)
?
Задача 12.26

Найти все особые точки функции f(z)f(z) и определить их вид, если:

?
(1)

f(z)=ctg⁡ez−1ez+1f(z) = \operatorname {ctg} \frac{e^{z}-1}{e^{z}+1};

(2)

f(z)=1sh⁡(πi1+ez1−ez)f(z) = \frac{1}{\operatorname {sh}\left(\pi i \frac{1+e^{z}}{1-e^{z}}\right)};

(3)

f(z)=z2sin⁡2zsin⁡(z−(π/2))−1(cos⁡z−1)2esin⁡z/zf(z) = \frac{z^{2} \sin^{2} z \sin (z-(\pi / 2))^{-1}}{(\cos z-1)^{2}} e^{\sin z / z};

(4)

f(z)=e1/ch⁡2z(πz+π+1)1+cos⁡11+zf(z) = \frac{e^{1 / \operatorname {ch} 2 z}(\pi z+\pi +1)}{1+\cos \frac{1}{1+z}};

(5)

f(z)=ecos⁡z/2/(1+cos⁡z)(z+π)3(1+cos⁡2z)f(z) = \frac{e^{\cos z / 2 /(1+\cos z)}}{(z+\pi )^{3}\left(1+\cos^{2} z\right)};

(6)

f(z)=z2+π2sh⁡2z(eπ/z−e2)tg⁡2zf(z) = \frac{z^{2}+\pi^{2}}{\operatorname {sh} 2 z}\left(e^{\pi / z}-e^{2}\right) \operatorname {tg}^{2} z;

(7)

f(z)=esin⁡z/(1−cos⁡z)(2π−z)2(1+sin⁡2z)f(z) = \frac{e^{\sin z /(1-\cos z)}}{(2 \pi -z)^{2}\left(1+\sin^{2} z\right)};

(8)

f(z)=4z2+π2ch⁡3z(ez/(z−2)−1)ctg⁡2zf(z) = \frac{4 z^{2}+\pi^{2}}{\operatorname {ch} 3 z}\left(e^{z /(z-2)}-1\right) \operatorname {ctg}^{2} z;

(9)

f(z)=zsin⁡3zcos⁡11−z(cos⁡z−1)2esin⁡2z/z2f(z) = \frac{z \sin^{3} z \cos \frac{1}{1-z}}{(\cos z-1)^{2}} e^{\sin^{2} z / z^{2}};

(10)

f(z)=(z−π2)3cos⁡zcos⁡1z−π(sin⁡z−1)2ecos⁡z/(z−(π/2))f(z) = \frac{\left(z-\frac{\pi }{2}\right)^{3} \cos z \cos \frac{1}{z-\pi }}{(\sin z-1)^{2}} e^{\cos z /(z-(\pi / 2))}.

Задача 12.27

Пусть Pm(z)P_{m}(z) и Qn(z)Q_{n}(z) — многочлены степени mm и nn соответственно, не имеющие общих нулей. Доказать, что нули многочлена Qn(z)Q_{n}(z) и только эти точки являются полюсами функции f(z)=Pm(z)Qn(z)f(z) = \frac{P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}, а других особых точек в конечной плоскости у функции f(z)f(z) нет. Показать, что точка z=∞z = \infty является полюсом порядка m−nm-n функции f(z)f(z), если m>nm > n и точкой регулярности, если m⩽nm \leqslant n.

?
Задача 12.28

Пусть мероморфная функция f(z)f(z) имеет в C‾\overline{\mathbb {C}} лишь конечное число полюсов a1,a2,…,ama_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m} (точка z=∞z = \infty также может быть полюсом). Доказать, что f(z)f(z) — рациональная функция (отношение двух многочленов) и представляется в виде

f(z)=A+f0(z)+∑k=1mfk(z), f(z) = A+f_{0}(z)+\sum _{k = 1}^{m} f_{k}(z),

где fk(z)f_{k}(z) и f0(z)f_{0}(z) — соответственно главные части ряда Лорана функции f(z)f(z) в окрестностях точек aka_{k} и z=∞,A=lim⁡z→∞(f(z)−f0(z))z = \infty , A = \lim_{z \rightarrow \infty }\left(f(z)-f_{0}(z)\right).

?
Задача 12.29

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области D={z:0<∣z∣<ρ}D = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < \rho \right\} и f(z)≢0f(z) \not\equiv 0. Каким условиям должна удовлетворять функция f(z)f(z) в точке z=0z = 0, чтобы можно было указать регулярную в круге Bρ(0)={z:∣z∣<ρ}B_{\rho }(0) = \left\{ z:\left|z\right| < \rho \right\} функцию g(z)g(z), где g(z)≢0g(z) \not\equiv 0, такую, что lim⁡z→0[f(z)g(z)]=0\lim_{z \rightarrow 0}[f(z) g(z)] = 0.

?
Задача 12.30

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в проколотой окрестности точки z=0z = 0, т. е. в области D={z:0<∣z∣<ρ}D = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < \rho \right\} и для всех z∈Dz \in D справедливо неравенство

∣f(z)∣⩽A∣z∣, где A>0. \left|f(z)\right| \leqslant \frac{A}{\sqrt{\left|z\right|}}, \quad \text{ где } \quad A > 0.

Доказать, что z=0z = 0 — устранимая особая точка функции f(z)f(z).

?
Задача 12.31

Пусть целая функция f(z)f(z) в некоторой области ∣z∣>R\left|z\right| > R удовлетворяет условию ∣f(z)∣⩾A∣z∣m\left|f(z)\right| \geqslant A\left|z\right|^{m}, где A>0,m⩾0A > 0, \quad m \geqslant 0 — целое число. Доказать, что f(z)f(z) — многочлен.

?
§
13 · Вычисление вычетов[18/33%]
Задача 13.1

Вычислить:

?
(1)

resz=∞sin⁡zz2\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } \frac{\sin z}{z^{2}};

(2)

resz=∞e1/z\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } e^{1 / z};

(3)

resz=1ez(z−1)2\mathop{\mathrm{res}}_{z = 1} \frac{e^{z}}{(z-1)^{2}};

(4)

resz=∞z2sin⁡πz\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } z^{2} \sin \frac{\pi }{z};

(5)

resz=π/4cos⁡zz−π4\mathop{\mathrm{res}}_{z = \pi / 4} \frac{\cos z}{z-\frac{\pi }{4}};

(6)

resz=1ze1/(z−1)\mathop{\mathrm{res}}_{z = 1} z e^{1 /(z-1)}.

Задача 13.2

Найти вычеты следующих функций во всех их конечных особых точках:

?
(1)

1z+z3\frac{1}{z+z^{3}};

(2)

z21+z4\frac{z^{2}}{1+z^{4}};

(3)

z2(1+z)3\frac{z^{2}}{(1+z)^{3}};

(4)

1(z2+1)3\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)^{3}};

(5)

1(z2+1)(z−1)2\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)(z-1)^{2}};

(6)

z2n(z−1)n,n∈N\frac{z^{2 n}}{(z-1)^{n}}, n \in \mathbb {N};

(7)

1sin⁡πz\frac{1}{\sin \pi z};

(8)

ctg⁡πz\operatorname {ctg} \pi z;

(9)

th⁡z\operatorname {th} z;

(10)

cth⁡2πz\operatorname {cth}^{2} \pi z;

(11)

cos⁡z(z−1)2\frac{\cos z}{(z-1)^{2}};

(12)

1ez+1\frac{1}{e^{z}+1};

(13)

sin⁡πz(z−1)3\frac{\sin \pi z}{(z-1)^{3}};

(14)

1sin⁡z2\frac{1}{\sin z^{2}}.

Задача 13.3

Найти resz=af(z)\mathop{\mathrm{res}}_{z = a} f(z), если:

?
(1)

f(z)=ez+1(z+1)2,a=∞;f(z) = \frac{e^{z+1}}{(z+1)^{2}}, \quad a = \infty ;

(2)

f(z)=1(z2+4)2z3,a=0f(z) = \frac{1}{\left(z^{2}+4\right)^{2} z^{3}}, \quad a = 0;

(3)

f(z)=sin⁡(1z+1z2),a=0f(z) = \sin \left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}\right), a = 0;

(4)

f(z)=z2cos⁡(1z−1z2),a=0f(z) = z^{2} \cos \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{2}}\right), a = 0;

(5)

f(z)=z2sin⁡zz−1,a=1f(z) = z^{2} \sin \frac{z}{z-1}, \quad a = 1;

(6)

f(z)=3z2+4z+52z2−3z+4,a=∞f(z) = \frac{3 z^{2}+4 z+5}{2 z^{2}-3 z+4}, \quad a = \infty.

Задача 13.4

Найти вычеты следующих функций в бесконечности:

?
(1)

z4+1z6−1\frac{z^{4}+1}{z^{6}-1};

(2)

cos⁡πz+22z\cos \pi \frac{z+2}{2 z};

(3)

sin⁡1zz−1\frac{\sin \frac{1}{z}}{z-1};

(4)

cos⁡2πzz+1\frac{\cos^{2} \frac{\pi }{z}}{z+1};

(5)

(z10+1)cos⁡1z(z5+2)(z6−1)\frac{\left(z^{10}+1\right) \cos \frac{1}{z}}{\left(z^{5}+2\right)\left(z^{6}-1\right)};

(6)

zcos⁡2πzz \cos^{2} \frac{\pi }{z}.

Задача 13.5

Найти вычеты следующих функций во всех их особых точках и в бесконечности:

?
(1)

1z6(z−2)\frac{1}{z^{6}(z-2)};

(2)

1+z8z6(z+2)\frac{1+z^{8}}{z^{6}(z+2)};

(3)

1+z10z6(z2+4)\frac{1+z^{10}}{z^{6}\left(z^{2}+4\right)};

(4)

1+z2nzn(z−a),a≠0,n∈N\frac{1+z^{2 n}}{z^{n}(z-a)}, a \neq 0, n \in \mathbb {N};

(5)

sin⁡zsin⁡1z\sin z \sin \frac{1}{z};

(6)

cos⁡z(z2+1)2\frac{\cos z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}};

(7)

1+z8z4(z4+1)cos⁡zch⁡z\frac{1+z^{8}}{z^{4}\left(z^{4}+1\right)} \cos z \operatorname {ch} z;

(8)

sin⁡z(z2+1)2\frac{\sin z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}.

Задача 13.6

Вычислить:

?
(1)

resz=0zn−1sin⁡nz,n∈N\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{z^{n-1}}{\sin^{n} z}, n \in \mathbb {N};

(2)

resz=0sin⁡3z−3sin⁡zsin⁡z(sin⁡z−z)\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{\sin 3 z-3 \sin z}{\sin z(\sin z-z)};

(3)

resz=0tg⁡z−z(1−cos⁡z)2\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{\operatorname {tg} z-z}{(1-\cos z)^{2}};

(4)

resz=0zn−2sh⁡nz,n∈N,n≠1\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{z^{n-2}}{\operatorname {sh}^{n} z}, n \in \mathbb {N}, n \neq 1;

(5)

resz=0zn−3ctg⁡nz,n∈N,n≠1;\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} z^{n-3} \operatorname {ctg}^{n} z, n \in \mathbb {N}, n \neq 1 ;

(6)

resz=0zch⁡z−1−z2/2\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{z}{\operatorname {ch} z-1-z^{2} / 2}.

Задача 13.7

Пусть функция g(z)g(z) регулярна в точке z=∞z = \infty, а функция h(z)h(z) имеет в точке z=∞z = \infty нуль кратности 1. Доказать, что

resz=∞[g(z)h(z)]=−g(∞)lim⁡z→∞(zh(z)) \mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty }[g(z) h(z)] = -g(\infty ) \lim _{z \rightarrow \infty }(z h(z))
?
Задача 13.8

Доказать, что для каждой четной функции f(z)f(z)

resz=0f(z)=resz=∞f(z)=0 \mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} f(z) = \mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f(z) = 0

(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).

?
Задача 13.9

Доказать, что для четной функции f(z)f(z) имеет место равенство

resz=z0f(z)=−resz=−z0f(z) \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(z) = -\mathop{\mathrm{res}}_{z = -z_{0}} f(z)

а для нечетной функции f(z)f(z) — равенство

resz=z0f(z)=resz=−z0f(z) \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(z) = \mathop{\mathrm{res}}_{z = -z_{0}} f(z)

(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).

?
Задача 13.10

Пусть f(z)=g(az)f(z) = g(a z), где a≠0a \neq 0. Доказать, что

resz=z0af(z)=1aresz=z0g(z) \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0} a} f(z) = \frac{1}{a} \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} g(z)
?
Задача 13.11

Пусть f(z)=zmg(zn)f(z) = z^{m} g\left(z^{n}\right), где mm и nn — целые числа, удовлетворяющие условиям m⩾0,m<nm \geqslant 0, m < n. Доказать, что

resz=z0e2kπi/nf(z)=e2kπi(m+1)/nresz=z0f(z). \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0} e^{2 k \pi i / n}} f(z) = e^{2 k \pi i(m+1) / n} \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(z).
?
Задача 13.12

Пусть функции φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z) регулярны в конечной точке z0z_{0} и имеют в ней нуль порядка mm. Доказать формулы:

?
(1)

resz=z0{φ(z)ψ(z)⋅1z−z0}=φ(m)(z0)ψ(m)(z0);\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ \frac{\varphi (z)}{\psi (z)} \cdot \frac{1}{z-z_{0}}\right\} = \frac{\varphi^{(m)}\left(z_{0}\right)}{\psi^{(m)}\left(z_{0}\right)} ;

(2)

resz=z0{φ(z)ψ(z)⋅1(z−z0)2}=1m+1φ(m)(z0)ψ(m)(z0)[φ(m+1)(z0)φ(m)(z0)−ψ(m+1)(z0)ψ(m)(z0)]\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ \frac{\varphi (z)}{\psi (z)} \cdot \frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right\} = \frac{1}{m+1} \frac{\varphi^{(m)}\left(z_{0}\right)}{\psi^{(m)}\left(z_{0}\right)}\left[\frac{\varphi^{(m+1)}\left(z_{0}\right)}{\varphi^{(m)}\left(z_{0}\right)}-\frac{\psi^{(m+1)}\left(z_{0}\right)}{\psi^{(m)}\left(z_{0}\right)}\right].

Задача 13.13

Найти resz=z0{f(z)φ(z)}\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ f(z) \varphi (z)\right\}, если функция φ(z)\varphi (z) регулярна в точке z0z_{0}, а функция f(z)f(z) имеет в точке z0z_{0} полюс первого порядка с вычетом AA.

?
Задача 13.14

Найти resz=z0f′(z)f(z)\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}, если функция f(z)f(z):

?
(1)

регулярна в точке z0z_{0} и имеет там нуль кратности mm;

(2)

имеет в точке z0z_{0} полюс порядка mm.

Задача 13.15

Найти resz=z0{φ(z)f′(z)f(z)}\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ \varphi (z) \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\right\}, если функция φ(z)\varphi (z) регулярна в точке z=z0z = z_{0}, а функция f(z)f(z):

?
(1)

регулярна в точке z0z_{0} и имеет там нуль кратности mm;

(2)

имеет в точке z0z_{0} полюс порядка mm.

Задача 13.16

Найти resz=z0f(φ(z))\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(\varphi (z)), если функция φ(z)\varphi (z) регулярна в точке z0z_{0} и φ′(z0)≠0\varphi^{\prime }\left(z_{0}\right) \neq 0, а функция f(z)f(z) имеет в точке φ(z0)\varphi \left(z_{0}\right) полюс первого порядка с вычетом AA.

?
Задача 13.17

Пусть функция f(z)f(z) регулярна при R<∣z∣<∞R < \left|z\right| < \infty, а resz=∞f(z)=0\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f(z) = 0. Доказать, что функция f(z)f(z) имеет первообразную, регулярную при R<∣z∣<∞R < \left|z\right| < \infty.

?
Задача 13.18

Выяснить, при каких значениях параметров a,ba, b следующие функции однозначны во всей комплексной плоскости:

?
(1)

∫1za+e1/ζζdζ\int_{1}^{z} \frac{a+e^{1 / \zeta }}{\zeta } d \zeta;

(2)

∫1zasin⁡ζ+bζcos⁡ζζ2dζ\int_{1}^{z} \frac{a \sin \zeta +b \zeta \cos \zeta }{\zeta^{2}} d \zeta;

(3)

∫1zsin⁡(ζ+aζ3)ζ4dζ\int_{1}^{z} \frac{\sin \left(\zeta +a \zeta^{3}\right)}{\zeta^{4}} d \zeta.

§
14 · Вычисление интегралов по замкнутому контуру[10/50%]
Задача 14.1

Вычислить интегралы от рациональных функций:

?
(1)

∮∣z∣=1dzz\oint_{\left|z\right| = 1} \frac{d z}{z};

(2)

∮∣z∣=2dz(z−1)2\oint_{\left|z\right| = 2} \frac{d z}{(z-1)^{2}};

(3)

∮∣z∣=2dzz2+1\oint_{\left|z\right| = 2} \frac{d z}{z^{2}+1};

(4)

∮∣z∣=3dzz2+z+1\oint_{\left|z\right| = 3} \frac{d z}{z^{2}+z+1};

(5)

∮∣z∣=3z4z2+z−2dz\oint_{\left|z\right| = 3} \frac{z^{4}}{z^{2}+z-2} d z;

(6)

∮∣z+i∣=2dzz2(z2−7z+12)\oint_{\left|z+i\right| = 2} \frac{d z}{z^{2}\left(z^{2}-7 z+12\right)}.

Задача 14.2

Вычислить интегралы:

?
(1)

∮∣z∣=3zcos⁡πzz+2idz\oint_{\left|z\right| = 3} \frac{z \cos \frac{\pi }{z}}{z+2 i} d z;

(2)

∮∣z∣=4e1/(z−1)z−2dz\oint_{\left|z\right| = 4} \frac{e^{1 /(z-1)}}{z-2} d z;

(3)

∮∣z−12∣=1z3e1/z1−z2dz\oint_{\left|z-\frac{1}{2}\right| = 1} \frac{z^{3} e^{1 / z}}{1-z^{2}} d z;

(4)

∮∣z∣=2z2sin⁡11−zdz\oint_{\left|z\right| = 2} z^{2} \sin \frac{1}{1-z} d z;

(5)

∮∣z∣=114i+3zcos⁡5i6z+3idz\oint_{\left|z\right| = 1} \frac{1}{4 i+3 z} \cos \frac{5 i}{6 z+3 i} d z;

(6)

∮∣z∣=213+ize4i/(z−i)dz\oint_{\left|z\right| = 2} \frac{1}{3+i z} e^{4 i /(z-i)} d z;

(7)

∮∣z∣=3/2ztg⁡z(z2−1)2dz\oint_{\left|z\right| = 3 / 2} \frac{z \operatorname {tg} z}{\left(z^{2}-1\right)^{2}} d z;

(8)

∮∣z∣=5/2z2z−3sin⁡zz−2dz\oint_{\left|z\right| = 5 / 2} \frac{z^{2}}{z-3} \sin \frac{z}{z-2} d z;

(9)

∮∣z−i∣=3zz2+9ch⁡zz−2dz\oint_{\left|z-i\right| = 3} \frac{z}{z^{2}+9} \operatorname {ch} \frac{z}{z-2} d z;

(10)

∮∣z∣=6z2eiz+idz\oint_{\left|z\right| = 6} \frac{z^{2}}{e^{i z}+i} d z;

(11)

∮∣z∣=3dz(z−1)2(1−e2z)\oint_{\left|z\right| = 3} \frac{d z}{(z-1)^{2}\left(1-e^{2 z}\right)};

(12)

∮∣z∣=2z2z−1e1/(z−1)dz\oint_{\left|z\right| = 2} \frac{z^{2}}{z-1} e^{1 /(z-1)} d z;

(13)

∮∣z+13∣=163z+11−sin⁡π2zdz\oint_{\left|z+\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{6}} \frac{3 z+1}{1-\sin \frac{\pi }{2 z}} d z;

(14)

∮∣z∣=4zdze1/z+e1/2z\oint_{\left|z\right| = 4} \frac{z d z}{e^{1 / z}+e^{1 / 2 z}};

(15)

∮∣z∣=2ez5z(1+z5)dz\oint_{\left|z\right| = 2} \frac{e^{z^{5}}}{z\left(1+z^{5}\right)} d z;

(16)

∮∣z−π2(1−i)∣=πzdzcos⁡z−ch⁡z\oint_{\left|z-\frac{\pi }{2}(1-i)\right| = \pi } \frac{z d z}{\cos z-\operatorname {ch} z};

(17)

∮∣z∣=1(z−i)sin⁡1iz(z−3i)2dz\oint_{\left|z\right| = 1} \frac{(z-i) \sin \frac{1}{i z}}{(z-3 i)^{2}} d z;

(18)

∮∣z∣=1(z+1)cos⁡iz(2i−z)2dz\oint_{\left|z\right| = 1} \frac{(z+1) \cos \frac{i}{z}}{(2 i-z)^{2}} d z;

(19)

∮∣z∣=1/2z+2π(2sin⁡13z−1)dz\oint_{\left|z\right| = 1 / 2} \frac{z+\frac{2}{\pi }}{\left(2 \sin \frac{1}{3 z}-1\right)} d z;

(20)

∮∣z+i∣=3/22(z+3i)ch⁡12zz4+10z2+9dz\oint_{\left|z+i\right| = 3 / 2} \frac{2(z+3 i) \operatorname {ch} \frac{1}{2 z}}{z^{4}+10 z^{2}+9} d z;

(21)

∮∣z∣=1z−1ln⁡2e1/z−2dz\oint_{\left|z\right| = 1} \frac{z-\frac{1}{\ln 2}}{e^{1 / z}-2} d z;

(22)

∮∣z−π2∣=32z−iln⁡2tg⁡z−i3dz\oint_{\left|z-\frac{\pi }{2}\right| = 3} \frac{2 z-i \ln 2}{\operatorname {tg} z-\frac{i}{3}} d z;

(23)

∮∣z+1−i∣=2z+i(z−i)sh⁡12zdz\oint_{\left|z+1-i\right| = 2} \frac{z+i}{(z-i) \operatorname {sh} \frac{1}{2 z}} d z;

(24)

∮∣z−1∣=1zdz(π−3z)(1+cos⁡3z)\oint_{\left|z-1\right| = 1} \frac{z d z}{(\pi -3 z)(1+\cos 3 z)}.

Задача 14.3

Сделав соответствующую замену переменной, свести данный интеграл к интегралу по замкнутому контуру в C\mathbb {C} и вычислить его:

?
(1)

∫02πdφa+cos⁡φ(a>1)\int_{0}^{2 \pi } \frac{d \varphi }{a+\cos \varphi }(a > 1);

(2)

∫02πdφ(a+bcos⁡φ)2(a>b>0)\int_{0}^{2 \pi } \frac{d \varphi }{(a+b \cos \varphi )^{2}} \quad (a > b > 0);

(3)

∫02πdφ(a+bcos⁡2φ)2\int_{0}^{2 \pi } \frac{d \varphi }{\left(a+b \cos^{2} \varphi \right)^{2}};

(4)

∫02πecos⁡φcos⁡(nφ−sin⁡φ)dφ,n∈Z\int_{0}^{2 \pi } e^{\cos \varphi } \cos (n \varphi -\sin \varphi ) d \varphi , \quad n \in \mathbb {Z}.

Примечание.
?

В задачах 4-6 предполагается, что при движении по границе Γ\Gamma области DD в направлении интегрирования сама область DD остается слева.

Задача 14.4

Доказать, что интеграл

∫Γeiz(z−i)2dz \int _{\Gamma } \frac{e^{i z}}{(z-i)^{2}} d z

взятый по границе Γ\Gamma полуплоскости {z:Im(z)>0}\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}, равен сумме вычетов подынтегральной функции в этой полуплоскости, и найти его значение.

?
Задача 14.5

Убедиться в применимости теоремы о вычетах к следующим интегралам, взятым по границам Γ\Gamma бесконечных областей DD, и вычислить эти интегралы:

?
(1)

∫Γze−zz2−1dz(D={z:Re(z)>0})\int_{\Gamma } \frac{z e^{-z}}{z^{2}-1} d z \quad (D = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\} );

(2)

∫Γezsh⁡2zdz(D={z:−π4<Im(z)<π4})\int_{\Gamma } \frac{e^{z}}{\operatorname {sh} 2 z} d z \quad \left(D = \left\{ z:-\frac{\pi }{4} < \mathrm{Im}\left(z\right) < \frac{\pi }{4}\right\} \right);

(3)

∫Γz3(z−1)2e−z3dz(D={z:−π6<arg⁡z<π6})\int_{\Gamma } \frac{z^{3}}{(z-1)^{2}} e^{-z^{3}} d z \quad \left(D = \left\{ z:-\frac{\pi }{6} < \arg z < \frac{\pi }{6}\right\} \right).

Задача 14.6

Убедиться, что к интегралам, взятым по границам Γ\Gamma указанных областей DD теорема о вычетах неприменима:

?
(1)

I=∫Γe−z2dz(D={z:Im(z)>0})I = \int_{\Gamma } e^{-z^{2}} d z \quad (D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} );

(2)

I=∫Γsin⁡z1+z2dz(D={z:Im(z)>0})I = \int_{\Gamma } \frac{\sin z}{1+z^{2}} d z \quad (D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} ).

Задача 14.7

Пусть функции f(z)f(z) и g(z)g(z) регулярны в замыкании Dˉ\bar{D} конечной области DD, причем функция f(z)f(z) имеет в области DD нули a1,…,ana_{1}, \ldots , a_{n} (каждый нуль пишется столько раз, каков его порядок) и не имеет других нулей ни в области DD, ни на ее границе Γ\Gamma. Доказать, что

∮Γg(z)f′(z)f(z)dz=2πi∑k=1ng(ak) \oint _{\Gamma } g(z) \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)} d z = 2 \pi i \sum _{k = 1}^{n} g\left(a_{k}\right)
?
Задача 14.8

Пусть функция f(z)f(z) задачи 7 имеет в области DD еще и полюсы b1,…,bmb_{1}, \ldots , b_{m} (каждый полюс также пишется столько раз, каков его порядок). Доказать, что

∮Γg(z)f′(z)f(z)dz=2πi∑k=1ng(ak)−2πi∑k=1mg(bk) \oint _{\Gamma } g(z) \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)} d z = 2 \pi i \sum _{k = 1}^{n} g\left(a_{k}\right)-2 \pi i \sum _{k = 1}^{m} g\left(b_{k}\right)
?
Задача 14.9

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в замыкании Dˉ\bar{D} конечной области DD с границей Γ\Gamma, а точки a1,…,ana_{1}, \ldots , a_{n} лежат в области DD и попарно различны. Обозначим

P(z)=(z−a1)…(z−an) P(z) = \left(z-a_{1}\right) \ldots \left(z-a_{n}\right)

и

Φ(z)=−P(z)2πi∮Γf(ξ)P(ξ)dξξ−z(z∉Dˉ) \Phi (z) = -\frac{P(z)}{2 \pi i} \oint _{\Gamma } \frac{f(\xi )}{P(\xi )} \frac{d \xi }{\xi -z} \quad (z \notin \bar{D})

Доказать, что функция Φ(z)\Phi (z) аналитически продолжается на всю плоскость и представляет собой многочлен степени n−1n-1, удовлетворяющий условиям

Φ(ak)=f(ak)(k=1,2,…,n). \Phi \left(a_{k}\right) = f\left(a_{k}\right) \quad (k = 1,2, \ldots , n).

(Многочлен Φ(z)\Phi (z) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.)

?
Задача 14.10

Доказать формулу

12πi∮∣z∣=1ex2(z+1z)dz=∑n=0∞(x2)2n+11n!(n+1)!. \frac{1}{2 \pi i} \oint _{\left|z\right| = 1} e^{\frac{x}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)} d z = \sum _{n = 0}^{\infty }\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1} \frac{1}{n!(n+1)!}.
?
§
15 · Принцип аргумента. Теорема Руше[15/20%]
Задача 15.1

Найти число корней уравнений в областях, указанных в скобках:

?
(1)

z4−3z+1=0({z:∣z∣<1})z^{4}-3 z+1 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(2)

2z4−5z+2=0({z:∣z∣<1})2 z^{4}-5 z+2 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(3)

z7−5z4+z2−2=0({z:∣z∣<1})z^{7}-5 z^{4}+z^{2}-2 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(4)

z8−4z5+z2−1=0({z:∣z∣<1})z^{8}-4 z^{5}+z^{2}-1 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(5)

z3−12z+2=0({z:∣z∣<2})z^{3}-12 z+2 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 2\right\} );

(6)

z4−9z+1=0({z:∣z∣<2})z^{4}-9 z+1 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 2\right\} );

(7)

z6−6z+10=0({z:∣z∣>1})z^{6}-6 z+10 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| > 1\right\} );

(8)

z4+z3−4z+1=0({z:1<∣z∣<2})z^{4}+z^{3}-4 z+1 = 0 \quad (\left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2\right\} );

(9)

z5+z2+3z+1=0({z:∣z∣<1})z^{5}+z^{2}+3 z+1 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(10)

z6+3z4+2z3+1=0({z:∣z∣<2})z^{6}+3 z^{4}+2 z^{3}+1 = 0 \quad (\left\{ z:\left|z\right| < 2\right\} ).

Задача 15.2

Доказать, что при любом комплексном значении aa и при целом n⩾2n \geqslant 2 уравнение 1+z+azn=01+z+a z^{n} = 0 имеет хотя бы один корень в круге {z:∣z∣⩽2}\left\{ z:\left|z\right| \leqslant 2\right\}.

?
Задача 15.3

Доказать, что при λ>1\lambda > 1 уравнение

zeλ−z=1 z e^{\lambda -z} = 1

имеет в круге {z:∣z∣⩽1}\left\{ z:\left|z\right| \leqslant 1\right\} ровно один корень (и к тому же действительный).

?
Задача 15.4

Доказать, что при λ>1\lambda > 1 уравнение

z=λ−e−z z = \lambda -e^{-z}

имеет в полуплоскости {z:Re(z)⩾0}\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\} ровно один корень (и к тому же действительный).

?
Задача 15.5

Доказать, что уравнение

az3−z+b=e−z(z+2) a z^{3}-z+b = e^{-z}(z+2)

при a>0,b>0a > 0, b > 0 не имеет корней в полуплоскости {z:Re(z)>0}\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\}.

?
Задача 15.6

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}. Доказать, что существует такое число ρ>0\rho > 0, что для всех ww из круга {w:∣w∣<ρ}\left\{ w:\left|w\right| < \rho \right\} уравнение z=wf(z)z = w f(z) имеет в круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} ровно один корень.

?
Задача 15.7

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} и f(0)≠0f(0) \neq 0. Доказать, что существует такое число ρ>0\rho > 0, что для всех ww из кольца {w:0<∣w∣<ρ}\left\{ w: 0 < \left|w\right| < \rho \right\} уравнение zm=wf(z)z^{m} = w f(z) имеет в круге {z:∣z∣<1}\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} ровно mm различных корней.

?
Задача 15.8

Доказать, что уравнение zsin⁡z=1z \sin z = 1 имеет только действительные корни.

?
Задача 15.9

Доказать, что уравнение tg⁡z=z\operatorname {tg} z = z имеет только действительные корни.

?
Задача 15.10

Определить число корней многочлена

P5(z)=z5−12z2+14 P_{5}(z) = z^{5}-12 z^{2}+14

в правой полуплоскости D={z:Re(z)>0}D = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\}.

?
Задача 15.11

В каких четвертях находятся корни уравнения z4+z3+4z2+2z+3=0z^{4}+z^{3}+4 z^{2}+2 z+3 = 0?

?
Задача 15.12

Доказать, что если функция f(z)f(z) регулярна в области DD и для каждой точки zz из DD найдется такое nn, что f(n)(z)=0f^{(n)}(z) = 0, то f(z)f(z) — многочлен.

?
Задача 15.13

Пусть функции f(z)f(z) и F(z)F(z) регулярны в ограниченной области DD и непрерывны вплоть до ее границы Γ\Gamma, на которой функция Im(f(z)F(z))\mathrm{Im}\left(\frac{f(z)}{F(z)}\right) не обращается в нуль. Доказать, что число нулей в области DD у функций F(z)F(z) и F(z)+f(z)F(z)+f(z) одинаково.

?
Задача 15.14

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в ограниченной области DD, за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы Γ\Gamma (за исключением тех же полюсов). Обозначим

M=max⁡z∈Γ∣f(z)∣. M = \max _{z \in \Gamma }\left|f(z)\right|.

Доказать, что для каждого комплексного значения aa, удовлетворяющего условию ∣a∣>M\left|a\right| > M, число нулей функции f(z)−af(z)-a в области DD равно числу ее полюсов в этой области.

?
Задача 15.15

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в ограниченной области DD, за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы (за исключением тех же полюсов). Доказать, что если функция Im(f(z))\mathrm{Im}\left(f(z)\right) не обращается в нуль на границе области DD, то число нулей функции f(z)f(z) в области DD равно числу ее полюсов в этой области.

?