Принцип аргумента. Теорема Руше

Найти число корней уравнений в областях, указанных в скобках:

Доказать, что при любом комплексном значении $a$ и при целом $n \geqslant 2$ уравнение $1+z+a z^{n} = 0$ имеет хотя бы один корень в круге $\left\{ z:\left|z\right| \leqslant 2\right\}$.

Доказать, что при $\lambda > 1$ уравнение

имеет в круге $\left\{ z:\left|z\right| \leqslant 1\right\}$ ровно один корень (и к тому же действительный).

Доказать, что при $\lambda > 1$ уравнение

имеет в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\}$ ровно один корень (и к тому же действительный).

Доказать, что уравнение

при $a > 0, b > 0$ не имеет корней в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$. Доказать, что существует такое число $\rho > 0$, что для всех $w$ из круга $\left\{ w:\left|w\right| < \rho \right\}$ уравнение $z = w f(z)$ имеет в круге $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ ровно один корень.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ и $f(0) \neq 0$. Доказать, что существует такое число $\rho > 0$, что для всех $w$ из кольца $\left\{ w: 0 < \left|w\right| < \rho \right\}$ уравнение $z^{m} = w f(z)$ имеет в круге $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ ровно $m$ различных корней.

Доказать, что уравнение $z \sin z = 1$ имеет только действительные корни.

Доказать, что уравнение $\operatorname {tg} z = z$ имеет только действительные корни.

Определить число корней многочлена

в правой полуплоскости $D = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\}$.

В каких четвертях находятся корни уравнения $z^{4}+z^{3}+4 z^{2}+2 z+3 = 0$?

Доказать, что если функция $f(z)$ регулярна в области $D$ и для каждой точки $z$ из $D$ найдется такое $n$, что $f^{(n)}(z) = 0$, то $f(z)$ — многочлен.

Пусть функции $f(z)$ и $F(z)$ регулярны в ограниченной области $D$ и непрерывны вплоть до ее границы $\Gamma$, на которой функция $\mathrm{Im}\left(\frac{f(z)}{F(z)}\right)$ не обращается в нуль. Доказать, что число нулей в области $D$ у функций $F(z)$ и $F(z)+f(z)$ одинаково.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в ограниченной области $D$, за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы $\Gamma$ (за исключением тех же полюсов). Обозначим

Доказать, что для каждого комплексного значения $a$, удовлетворяющего условию $\left|a\right| > M$, число нулей функции $f(z)-a$ в области $D$ равно числу ее полюсов в этой области.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в ограниченной области $D$, за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы (за исключением тех же полюсов). Доказать, что если функция $\mathrm{Im}\left(f(z)\right)$ не обращается в нуль на границе области $D$, то число нулей функции $f(z)$ в области $D$ равно числу ее полюсов в этой области.