13

Вычисление вычетов

[18/33%]
Показать
LaTeX
Задача 13.1

Вычислить:

?
(1)

resz=∞sin⁡zz2\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } \frac{\sin z}{z^{2}};

(2)

resz=∞e1/z\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } e^{1 / z};

(3)

resz=1ez(z−1)2\mathop{\mathrm{res}}_{z = 1} \frac{e^{z}}{(z-1)^{2}};

(4)

resz=∞z2sin⁡πz\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } z^{2} \sin \frac{\pi }{z};

(5)

resz=π/4cos⁡zz−π4\mathop{\mathrm{res}}_{z = \pi / 4} \frac{\cos z}{z-\frac{\pi }{4}};

(6)

resz=1ze1/(z−1)\mathop{\mathrm{res}}_{z = 1} z e^{1 /(z-1)}.

Задача 13.2

Найти вычеты следующих функций во всех их конечных особых точках:

?
(1)

1z+z3\frac{1}{z+z^{3}};

(2)

z21+z4\frac{z^{2}}{1+z^{4}};

(3)

z2(1+z)3\frac{z^{2}}{(1+z)^{3}};

(4)

1(z2+1)3\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)^{3}};

(5)

1(z2+1)(z−1)2\frac{1}{\left(z^{2}+1\right)(z-1)^{2}};

(6)

z2n(z−1)n,n∈N\frac{z^{2 n}}{(z-1)^{n}}, n \in \mathbb {N};

(7)

1sin⁡πz\frac{1}{\sin \pi z};

(8)

ctg⁡πz\operatorname {ctg} \pi z;

(9)

th⁡z\operatorname {th} z;

(10)

cth⁡2πz\operatorname {cth}^{2} \pi z;

(11)

cos⁡z(z−1)2\frac{\cos z}{(z-1)^{2}};

(12)

1ez+1\frac{1}{e^{z}+1};

(13)

sin⁡πz(z−1)3\frac{\sin \pi z}{(z-1)^{3}};

(14)

1sin⁡z2\frac{1}{\sin z^{2}}.

Задача 13.3

Найти resz=af(z)\mathop{\mathrm{res}}_{z = a} f(z), если:

?
(1)

f(z)=ez+1(z+1)2,a=∞;f(z) = \frac{e^{z+1}}{(z+1)^{2}}, \quad a = \infty ;

(2)

f(z)=1(z2+4)2z3,a=0f(z) = \frac{1}{\left(z^{2}+4\right)^{2} z^{3}}, \quad a = 0;

(3)

f(z)=sin⁡(1z+1z2),a=0f(z) = \sin \left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}\right), a = 0;

(4)

f(z)=z2cos⁡(1z−1z2),a=0f(z) = z^{2} \cos \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{2}}\right), a = 0;

(5)

f(z)=z2sin⁡zz−1,a=1f(z) = z^{2} \sin \frac{z}{z-1}, \quad a = 1;

(6)

f(z)=3z2+4z+52z2−3z+4,a=∞f(z) = \frac{3 z^{2}+4 z+5}{2 z^{2}-3 z+4}, \quad a = \infty.

Задача 13.4

Найти вычеты следующих функций в бесконечности:

?
(1)

z4+1z6−1\frac{z^{4}+1}{z^{6}-1};

(2)

cos⁡πz+22z\cos \pi \frac{z+2}{2 z};

(3)

sin⁡1zz−1\frac{\sin \frac{1}{z}}{z-1};

(4)

cos⁡2πzz+1\frac{\cos^{2} \frac{\pi }{z}}{z+1};

(5)

(z10+1)cos⁡1z(z5+2)(z6−1)\frac{\left(z^{10}+1\right) \cos \frac{1}{z}}{\left(z^{5}+2\right)\left(z^{6}-1\right)};

(6)

zcos⁡2πzz \cos^{2} \frac{\pi }{z}.

Задача 13.5

Найти вычеты следующих функций во всех их особых точках и в бесконечности:

?
(1)

1z6(z−2)\frac{1}{z^{6}(z-2)};

(2)

1+z8z6(z+2)\frac{1+z^{8}}{z^{6}(z+2)};

(3)

1+z10z6(z2+4)\frac{1+z^{10}}{z^{6}\left(z^{2}+4\right)};

(4)

1+z2nzn(z−a),a≠0,n∈N\frac{1+z^{2 n}}{z^{n}(z-a)}, a \neq 0, n \in \mathbb {N};

(5)

sin⁡zsin⁡1z\sin z \sin \frac{1}{z};

(6)

cos⁡z(z2+1)2\frac{\cos z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}};

(7)

1+z8z4(z4+1)cos⁡zch⁡z\frac{1+z^{8}}{z^{4}\left(z^{4}+1\right)} \cos z \operatorname {ch} z;

(8)

sin⁡z(z2+1)2\frac{\sin z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}.

Задача 13.6

Вычислить:

?
(1)

resz=0zn−1sin⁡nz,n∈N\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{z^{n-1}}{\sin^{n} z}, n \in \mathbb {N};

(2)

resz=0sin⁡3z−3sin⁡zsin⁡z(sin⁡z−z)\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{\sin 3 z-3 \sin z}{\sin z(\sin z-z)};

(3)

resz=0tg⁡z−z(1−cos⁡z)2\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{\operatorname {tg} z-z}{(1-\cos z)^{2}};

(4)

resz=0zn−2sh⁡nz,n∈N,n≠1\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{z^{n-2}}{\operatorname {sh}^{n} z}, n \in \mathbb {N}, n \neq 1;

(5)

resz=0zn−3ctg⁡nz,n∈N,n≠1;\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} z^{n-3} \operatorname {ctg}^{n} z, n \in \mathbb {N}, n \neq 1 ;

(6)

resz=0zch⁡z−1−z2/2\mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} \frac{z}{\operatorname {ch} z-1-z^{2} / 2}.

Задача 13.7

Пусть функция g(z)g(z) регулярна в точке z=∞z = \infty, а функция h(z)h(z) имеет в точке z=∞z = \infty нуль кратности 1. Доказать, что

resz=∞[g(z)h(z)]=−g(∞)lim⁡z→∞(zh(z)) \mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty }[g(z) h(z)] = -g(\infty ) \lim _{z \rightarrow \infty }(z h(z))
?
Задача 13.8

Доказать, что для каждой четной функции f(z)f(z)

resz=0f(z)=resz=∞f(z)=0 \mathop{\mathrm{res}}_{z = 0} f(z) = \mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f(z) = 0

(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).

?
Задача 13.9

Доказать, что для четной функции f(z)f(z) имеет место равенство

resz=z0f(z)=−resz=−z0f(z) \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(z) = -\mathop{\mathrm{res}}_{z = -z_{0}} f(z)

а для нечетной функции f(z)f(z) — равенство

resz=z0f(z)=resz=−z0f(z) \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(z) = \mathop{\mathrm{res}}_{z = -z_{0}} f(z)

(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).

?
Задача 13.10

Пусть f(z)=g(az)f(z) = g(a z), где a≠0a \neq 0. Доказать, что

resz=z0af(z)=1aresz=z0g(z) \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0} a} f(z) = \frac{1}{a} \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} g(z)
?
Задача 13.11

Пусть f(z)=zmg(zn)f(z) = z^{m} g\left(z^{n}\right), где mm и nn — целые числа, удовлетворяющие условиям m⩾0,m<nm \geqslant 0, m < n. Доказать, что

resz=z0e2kπi/nf(z)=e2kπi(m+1)/nresz=z0f(z). \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0} e^{2 k \pi i / n}} f(z) = e^{2 k \pi i(m+1) / n} \mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(z).
?
Задача 13.12

Пусть функции φ(z)\varphi (z) и ψ(z)\psi (z) регулярны в конечной точке z0z_{0} и имеют в ней нуль порядка mm. Доказать формулы:

?
(1)

resz=z0{φ(z)ψ(z)⋅1z−z0}=φ(m)(z0)ψ(m)(z0);\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ \frac{\varphi (z)}{\psi (z)} \cdot \frac{1}{z-z_{0}}\right\} = \frac{\varphi^{(m)}\left(z_{0}\right)}{\psi^{(m)}\left(z_{0}\right)} ;

(2)

resz=z0{φ(z)ψ(z)⋅1(z−z0)2}=1m+1φ(m)(z0)ψ(m)(z0)[φ(m+1)(z0)φ(m)(z0)−ψ(m+1)(z0)ψ(m)(z0)]\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ \frac{\varphi (z)}{\psi (z)} \cdot \frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right\} = \frac{1}{m+1} \frac{\varphi^{(m)}\left(z_{0}\right)}{\psi^{(m)}\left(z_{0}\right)}\left[\frac{\varphi^{(m+1)}\left(z_{0}\right)}{\varphi^{(m)}\left(z_{0}\right)}-\frac{\psi^{(m+1)}\left(z_{0}\right)}{\psi^{(m)}\left(z_{0}\right)}\right].

Задача 13.13

Найти resz=z0{f(z)φ(z)}\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ f(z) \varphi (z)\right\}, если функция φ(z)\varphi (z) регулярна в точке z0z_{0}, а функция f(z)f(z) имеет в точке z0z_{0} полюс первого порядка с вычетом AA.

?
Задача 13.14

Найти resz=z0f′(z)f(z)\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}, если функция f(z)f(z):

?
(1)

регулярна в точке z0z_{0} и имеет там нуль кратности mm;

(2)

имеет в точке z0z_{0} полюс порядка mm.

Задача 13.15

Найти resz=z0{φ(z)f′(z)f(z)}\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}}\left\{ \varphi (z) \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\right\}, если функция φ(z)\varphi (z) регулярна в точке z=z0z = z_{0}, а функция f(z)f(z):

?
(1)

регулярна в точке z0z_{0} и имеет там нуль кратности mm;

(2)

имеет в точке z0z_{0} полюс порядка mm.

Задача 13.16

Найти resz=z0f(φ(z))\mathop{\mathrm{res}}_{z = z_{0}} f(\varphi (z)), если функция φ(z)\varphi (z) регулярна в точке z0z_{0} и φ′(z0)≠0\varphi^{\prime }\left(z_{0}\right) \neq 0, а функция f(z)f(z) имеет в точке φ(z0)\varphi \left(z_{0}\right) полюс первого порядка с вычетом AA.

?
Задача 13.17

Пусть функция f(z)f(z) регулярна при R<∣z∣<∞R < \left|z\right| < \infty, а resz=∞f(z)=0\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f(z) = 0. Доказать, что функция f(z)f(z) имеет первообразную, регулярную при R<∣z∣<∞R < \left|z\right| < \infty.

?
Задача 13.18

Выяснить, при каких значениях параметров a,ba, b следующие функции однозначны во всей комплексной плоскости:

?
(1)

∫1za+e1/ζζdζ\int_{1}^{z} \frac{a+e^{1 / \zeta }}{\zeta } d \zeta;

(2)

∫1zasin⁡ζ+bζcos⁡ζζ2dζ\int_{1}^{z} \frac{a \sin \zeta +b \zeta \cos \zeta }{\zeta^{2}} d \zeta;

(3)

∫1zsin⁡(ζ+aζ3)ζ4dζ\int_{1}^{z} \frac{\sin \left(\zeta +a \zeta^{3}\right)}{\zeta^{4}} d \zeta.