Неограниченные операторы

Ассоциативный закон $\left(T_{1} T_{2}\right) T_{3} = T_{1}\left(T_{2} T_{3}\right)$ свободно использовался на протяжении этой главы. Докажите его. Докажите также, что $T_{1} \subset T_{2}$ влечёт $S T_{1} \subset S T_{2}$ и $T_{1} S \subset T_{2} S$.

Пусть $T$ — плотно определённый оператор в $H$. Докажите, что $T$ имеет замкнутое расширение тогда и только тогда, когда $\mathscr {D}\left(T^{*}\right)$ плотно в $H$. В этом случае докажите, что $T^{* *}$ является расширением $T$.

По теореме $13.8, \mathscr {D}\left(T^{*}\right) = \left\{ 0\right\}$ для плотно определённого оператора $T$ в $H$ тогда и только тогда, когда $\mathscr {G}(T)$ плотен в $H \times H$. Покажите, что это действительно может произойти.

Указание: пусть $\left\{ e_{n}: n = 1,2,3, \ldots \right\}$ — ортонормированный базис $H$; пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — плотное подмножество $H$; определим $T e_{n} = x_{n}$; и продолжим $T$ линейно на $\mathscr {D}(T)$, множество всех конечных линейных комбинаций базисных векторов $e_{n}$. Покажите, что график этого $T$ плотен в $H \times H$.

Пусть $T$ — плотно определённый, замкнутый оператор в $H$, и $T^{*} T \subset T T^{*}$. Следует ли отсюда, что $T$ нормален?

Пусть $T$ — плотно определённый оператор в $H$, и $(T x, x) = 0$ для каждого $x \in \mathscr {D}(T)$. Следует ли отсюда, что $T x = 0$ для каждого $x \in \mathscr {D}(T)$?

Если $T$ — оператор в $H$, определим

Если $\mathscr {D}(T)$ плотно, докажите, что

Если $T$ также замкнут, докажите, что

Это обобщает теорему 12.10.

Рассмотрим следующие три краевые задачи. Дифференциальное уравнение имеет вид

где $g \in L^{2}([0,1])$ дана. Варианты граничных условий:

(i) $f(0) = f(1) = 0$.

(ii) $f^{\prime }(0) = f^{\prime }(1) = 0$.

(iii) $f(0) = f(1)$ и $f^{\prime }(0) = f^{\prime }(1)$.

Покажите, что каждая из этих задач имеет единственное решение $f$, такое что $f^{\prime }$ абсолютно непрерывна и $f^{\prime \prime } \in L^{2}([0,1])$. Указание: объедините пример 13.4 с теоремой 13.13.

Сделайте это также, решив задачи явно.

Пусть $H^{2}$ — пространство всех голоморфных функций $f(z) = \sum c_{n} z^{n}$ в открытом единичном круге, удовлетворяющих

Покажите, что $H^{2}$ — гильбертово пространство, изоморфное $\ell^{2}$ посредством взаимно однозначного соответствия $f \leftrightarrow \left\{ c_{n}\right\}$.

Определим $V \in \mathscr {B}\left(H^{2}\right)$ формулой $(V f)(z) = z f(z)$. Покажите, что $V$ — преобразование Кэли симметричного оператора $T$ в $H^{2}$, заданного формулой

Найдите области значений $T+i I$ и $T-i I$; покажите, что одна из них — $H^{2}$, а другая имеет коразмерность 1. (Сравните с примером 13.21).

С $H^{2}$, как в упражнении 9, определим теперь $V$ формулой

Покажите, что $V$ — изометрия, являющаяся преобразованием Кэли замкнутого симметричного оператора $T$ в $H^{2}$, дефектные индексы которого равны 0 и $\infty$.

Докажите пункт (c) леммы 13.18.

Является ли нормальным оператор $C$, фигурирующий в доказательстве теоремы 13.33?

Докажите, что каждый нормальный оператор $N$ в $H$, ограниченный или нет, имеет полярное разложение

где $U$ унитарен, $P$ самосопряжён, $P \geq 0$. Более того, $\mathscr {D}(P) = \mathscr {D}(N)$.

Докажите следующее расширение теоремы 12.16: если $T \in \mathscr {B}(H)$, если $M$ и $N$ — нормальные операторы в $H$, и если $T M \subset N T$, то также $T M^{*} \subset N^{*} T$.

Пусть $T$ — замкнутый оператор в $H, \mathscr {D}(T) = \mathscr {D}\left(T^{*}\right)$, и $\left\| T x\right\| = \left\| T^{*} x\right\|$ для каждого $x \in \mathscr {D}(T)$. Докажите, что $T$ нормален. Указание: начните с доказательства того, что

Докажите, что спектр $\sigma (T)$ любого оператора $T$ в $H$ является замкнутым подмножеством $C$. (См. определение 13.26). Указание: если $S T \subset T S = I$, и $S \in \mathscr {B}(H)$, то $S(I-\lambda S)^{-1}$ — ограниченное обратное к $T-\lambda I$, при малых $\left|\lambda \right|$.

Положим $\phi (t) = \exp \left(-t^{2}\right)$. Определим $S \in \mathscr {B}\left(L^{2}\right)$, где $L^{2} = L^{2}(R)$, формулой

так что $\left(S^{2} f\right)(t) = \phi (t) \phi (t-1) f(t-2)$, и т.д. (Заметьте, что $S$ представлен в его полярном разложении $S = P U$).

Найдите $S^{*}$. Вычислите, что

Заключите, что $S$ взаимно однозначен, что $\mathscr {R}(S)$ плотно в $L^{2}$, и что $\sigma (S) = \left\{ 0\right\}$. Определим $T$, с областью определения $\mathscr {D}(T) = \mathscr {R}(S)$, формулой

Докажите, что $\sigma (T)$ пуст.

Пусть $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ — как в примере 13.4, положим

и определим $T_{4} f = i f^{\prime }$ для всех $f \in \mathscr {D}\left(T_{4}\right)$.

Докажите следующие утверждения:

Покажите, что каждое непустое замкнутое подмножество $C$ является спектром некоторого нормального оператора в $H$ (если $\operatorname {dim} H = \infty$).

Определим $Q(t) \in \mathscr {B}\left(L^{2}\right)$, где $L^{2} = L^{2}(R)$, формулой

Если $f \in H^{2}$ (см. упражнение 9) и $f(z) = \sum c_{n} z^{n}$, определим

Покажите, что каждый $Q(t)$ самосопряжён (и положителен). Найдите бесконечно малый производящий оператор $A$ полугруппы $\left\{ Q(t)\right\}$. Является ли $A$ самосопряжённым? Покажите, что $A$ имеет чисто точечный спектр, в точках $\log 1, \log \frac{1}{2}, \log \frac{1}{3}, \ldots$.

Для $f \in L^{2}(R), x \in R, 0 < y < \infty$, определим

и положим $Q(0) f = f$. Покажите, что $\left\{ Q(y): 0 \leq y < \infty \right\}$ удовлетворяет условиям, наложенным в определении 13.34, и что $\left\| Q(y)\right\| = 1$ для всех $y$.

Найдите область определения бесконечно малого производящего оператора $A$ семейства $\left\{ Q(y)\right\}$, и докажите, что

где $H$ — преобразование Гильберта (гл. 7, упражнение 24). Докажите, что $-A$ положителен и самосопряжён.

Покажите, что каждый изометрический оператор в $H$ имеет замкнутое изометрическое расширение.

С другой стороны, покажите, что некоторые симметричные операторы в $H$ не имеют замкнутого симметричного расширения, дополнив следующий набросок.

Пусть $\left\{ e_{1}, e_{2}, e_{3}, \ldots \right\}$ — ортонормированный базис $H$. Пусть $X$ — множество всех конечных сумм $\sum \alpha_{i} e_{i}$, подчинённых условию $\sum \alpha_{i} = 0$. Докажите, что $X$ — плотное подпространство $H$. Определим $U \in \mathscr {B}(H)$ формулой

и пусть $V$ — ограничение $U$ на $X$. Тогда $V$ — изометрия, с $\mathscr {D}(V) = X$, и $I-V$ взаимно однозначно на $X$. Следовательно, $V$ — преобразование Кэли симметричного оператора $T$. Любое замкнутое симметричное расширение $T$ соответствовало бы замкнутому изометрическому расширению $V_{1}$ оператора $V$, с $I-V_{1}$ взаимно однозначным. Но $\mathscr {D}(V)$ плотно в $H$; следовательно, $V$ имеет только одно замкнутое изометрическое расширение, а именно $U$, и $I-U$ не взаимно однозначно.