Банаховы алгебры и спектральная теория

Используйте тождество $(x y)^{n} = x(y x)^{n-1} y$, чтобы доказать, что $x y$ и $y x$ всегда имеют один и тот же спектральный радиус.

Докажите, что каждая конечномерная $A$ изоморфна алгебре матриц. Указание: доказательство теоремы 10.2 показывает, что каждая $A$ изоморфна подалгебре $\mathscr {P}(A)$. Заключите, что $x y = e$ влечёт $y x = e$, если $\operatorname {dim} A < \infty$.

Пусть $A_{0}$ и $A_{1}$ — алгебры всех комплексных 2×2-матриц вида

Докажите, что каждая двумерная комплексная алгебра $A$ с единицей $e$ изоморфна одной из них, и что $A_{0}$ не изоморфна $A_{1}$. Указание: покажите, что $A$ имеет базис $\left\{ e, a\right\}$, в котором $a^{2} = \lambda e$ при некотором $\lambda \in \mathbb {C}$. Различайте случаи $\lambda = 0, \lambda \neq 0$. Покажите, что существует трёхмерная некоммутативная банахова алгебра.

Пусть $A$ — алгебра всех комплексных функций $f$ на $\left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$, равных 0 всюду, кроме конечного числа точек, с поточечными сложением и умножением и нормой

Покажите, что умножение непрерывно слева (следовательно, и справа, поскольку $A$ коммутативна), но не совместно непрерывно. (Присоединение единичного элемента, как предложено в разделе 10.1, ничего не изменило бы). Покажите, в самом деле, что существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $A$, такая что $\left\| f_{n}\right\| \rightarrow 0$, но $\left\| f_{n}^{2}\right\| \rightarrow \infty$, при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $C^{2} = C^{2}([0,1])$ — пространство всех комплексных функций на [0, 1], вторая производная которых непрерывна. Выберем $a > 0, b > 0$, и определим

Покажите, что это превращает $C^{2}$ в банахово пространство при любом выборе $a, b$, но что аксиомы банаховой алгебры выполняются тогда и только тогда, когда $2 b \leq a^{2}$. (Для необходимости рассмотрите $x$ и $x^{2}$).

Что происходит, если процесс присоединения единицы (описанный в разделе 10.1) применить к алгебре $A$, которая уже имеет единицу? Очевидно, результатом не может быть алгебра $A_{1}$ с двумя единицами. Объясните.

Пусть $\Omega$ открыто в $C$, и пусть $f: \Omega \rightarrow A$ и $\varphi : \Omega \rightarrow C$ голоморфны. Докажите, что $\varphi f: \Omega \rightarrow A$ голоморфна.

Другое доказательство того, что $\sigma (x) \neq \varnothing$, можно основать на теореме Лиувилля 3.32 и факте, что $(\lambda e-x)^{-1} \rightarrow 0$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Дополните детали.

Назовём $x \in A$ топологическим делителем нуля, если существует последовательность $\left\{ y_{n}\right\}$ в $A$, с $\left\| y_{n}\right\| = 1$, такая что

Найдите спектр оператора $T \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$, заданного формулой

Пусть $K = \left\{ \lambda \in \mathscr {C}: 1 \leq \left|\lambda \right| \leq 2\right\}$. Положим $f(\lambda ) = \lambda$. Пусть $A$ — наименьшая замкнутая подалгебра $C(K)$, содержащая 1 и $f$. Пусть $B$ — наименьшая замкнутая подалгебра $C(K)$, содержащая $f$ и $1 / f$. Опишите спектры $\sigma_{A}(f)$ и $\sigma_{B}(f)$.

Пусть $X$ — банахово пространство, $T \in \mathscr {B}(X)$ компактен, и $\left\| T^{n}\right\| \geq 1$ для всех $n \geq 1$. Докажите, что точечный спектр $T$ не пуст.

Пусть $X = C([0,1])$, и определим $T \in \mathscr {B}(X)$ формулой

Покажите, что $\sigma_{p}(T) = \varnothing$. Следовательно, $f\left(\sigma_{p}(T)\right) = \varnothing$ для каждой $f$, но если $f \equiv 0$, то $\tilde{f}(T) =$ 0 ; следовательно

Дополнительные условия в (c) и (d) теоремы 10.33, таким образом, необходимы.

Пусть спектр некоторого $x \in A$ несвязен. Докажите, что $A$ содержит нетривиальный идемпотент 2. (Определён в упражнении 2).

Докажите также, что $A = A_{0} \oplus A_{1}$, где

Пусть $\Omega$ открыто в $\mathcal{C}, \alpha$ — изолированная граничная точка $\Omega , f: \Omega \rightarrow X$ — голоморфная $X$-значная функция (где $X$ — некоторое комплексное банахово пространство), и пусть существует наименьшее неотрицательное целое $n$, такое что

ограничено при $\lambda \rightarrow \alpha$. Если $n > 0$, говорят, что $f$ имеет полюс порядка $n$ в точке $\alpha$.

Пусть $S_{R}$ — правый сдвиг, действующий на $\ell^{2}$, как в упражнении 2. Пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — последовательность комплексных чисел, таких что $c_{n} \neq 0$, но $c_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Определим $M \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$ формулой

и определим $T \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$ равенством $T = M S_{R}$.

Пусть $x \in A, x_{n} \in A$, и $\lim x_{n} = x$. Пусть $\Omega$ — открытое множество в $\mathscr {C}$, содержащее компоненту $\sigma (x)$. Докажите, что $\sigma \left(x_{n}\right)$ пересекает $\Omega$ для всех достаточно больших $n$. (Это усиливает теорему 10.20). Указание: если $\sigma (x) \subset \Omega \cup \Omega_{0}$, где $\Omega_{0}$ — открытое множество, не пересекающееся с $\Omega$, рассмотрите функцию $f$, равную 1 на $\Omega$, 0 на $\Omega_{0}$.

Пусть $C_{R}$ — алгебра всех действительных непрерывных функций на $[0,1]$, с нормой супремума. Она удовлетворяет всем требованиям банаховой алгебры, за исключением того, что скаляры теперь действительны.

Пусть $A = C(T)$ — алгебра всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности $T$, с нормой супремума. Покажите, что два обратимых элемента $C(T)$ лежат в одном и том же классе смежности $G_{1}$ тогда и только тогда, когда они являются гомотопными отображениями $T$ в множество всех ненулевых комплексных чисел. Выведите отсюда, что $G / G_{1}$ изоморфна аддитивной группе целых чисел. (Обозначения такие же, как в теореме 10.34).

Пусть $A = M(R)$ — алгебра свёртки всех комплексных борелевских мер на действительной прямой; см. пункт (e) примера 10.3. Дополните детали в следующем доказательстве того, что $G / G_{1}$ несчётна: если $\alpha \in R$, пусть $\delta_{\alpha }$ — единичная масса, сосредоточенная в $\alpha$. Предположим $\delta_{\alpha } \in G_{1}$. Тогда $\delta_{\alpha } = \exp \left(\mu_{\alpha }\right)$ для некоторой $\mu_{\alpha } \in M(R)$; следовательно, при $-\infty < t < \infty$,

где $k$ — целое число. Поскольку $\hat{\mu }_{\alpha }$ — ограниченная функция, $\alpha = 0$. Таким образом, $\delta_{0}$ — единственная $\delta_{\alpha }$ в $G_{1}$. Следовательно, ни один класс смежности $G_{1}$ в $G$ не содержит более одной $\delta_{\alpha }$.

Что касается проблемы инвариантного подпространства, описанной во введении к теореме 10.35, объясните, почему проблема

Пусть $S_{R}$ — правый сдвиг на $\ell^{2}$, как в упражнении 2. Докажите, что 0 — единственный компактный $T \in \mathscr {B}\left(\ell^{2}\right)$, коммутирующий с $S_{R}$. Указание: если $T \neq 0$, то

не стремится к 0, когда $N-M \rightarrow \infty$.

Докажите предложение 11.2.

Сформулируйте и докажите аналог леммы Винера 11.6 для степенных рядов, абсолютно сходящихся на замкнутом единичном круге.

Если $X$ — компактное хаусдорфово пространство, покажите, что существует естественное взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмножествами $X$ и замкнутыми идеалами $C(X)$.

Докажите, что многочлены плотны в алгебре полидиска $A\left(U^{n}\right)$. (См. теорему 11.7). Указание: если $f \in A\left(U^{n}\right), 0 < r < 1$, и $f_{r}$ определена формулой $f_{r}(z) = f(r z)$, то $f_{r}$ является суммой абсолютно (следовательно, равномерно) сходящегося кратного степенного ряда на $\bar{U}^{n}$.

Пусть $A$ — коммутативная банахова алгебра, $x \in A$, и $f$ голоморфна в некотором открытом множестве $\Omega \subset \mathcal{C}$, содержащем область значений $\hat{x}$. Докажите, что существует $y \in A$, такое что $\hat{y} = f \circ \hat{x}$, то есть такое что $h(y) = f(h(x))$ для каждого комплексного гомоморфизма $h$ алгебры $A$. Докажите, что $y$ однозначно определяется $x$ и $f$, если $A$ полупроста.

Пусть $A$ и $B$ — коммутативные банаховы алгебры, $B$ полупроста, $\psi : A \rightarrow B$ — гомоморфизм, область значений которого плотна в $B$, и $\alpha : \Delta_{B} \rightarrow \Delta_{A}$ определена формулой

Докажите, что $\alpha$ — гомеоморфизм $\Delta_{B}$ на компактное подмножество $\Delta_{A}$. [Тот факт, что $\psi (A)$ плотно в $B$, влечёт, что $\alpha$ взаимно однозначно и что топология $\Delta_{B}$ является слабой топологией, индуцированной преобразованиями Гельфанда элементов $\psi (x)$, для $x \in A$.

Пусть $A$ — алгебра диска, пусть $B = C(K)$, где $K$ — дуга в единичном круге, и пусть $\psi$ — отображение ограничения $A$ в $B$. Этот пример показывает, что $\alpha \left(\Delta_{B}\right)$ может быть собственным подмножеством $\Delta_{A}$, даже если $\psi$ взаимно однозначно.

Найдите пример, в котором $\psi (A) = B$, но $\alpha \left(\Delta_{B}\right) \neq \Delta_{A}$.

В примере $11.13(b)$ утверждалось, что $\hat{A} \neq C(\Delta )$. Найдите несколько доказательств этого.

Какие свойства меры Лебега используются в примере 11.13(f)? Можно ли заменить меру Лебега любой положительной мерой, не изменив ни один из результатов?

Дополните детали для последнего абзаца примера 11.13(f).

Пусть $C^{\prime }$ — алгебра всех непрерывно дифференцируемых комплексных функций на единичном интервале $[0,1]$, с поточечным умножением, нормированная формулой

Пусть $A$ — алгебра диска. Сопоставим каждой $f \in A$ функцию $f^{*} \in A$ по формуле

Тогда $f \rightarrow f^{*}$ — инволюция на $A$.

Покажите, что коммутирующие идемпотенты имеют расстояние $\geq 1$. Точнее, если $x^{2} = x$, $y^{2} = y, x y = y x$ для некоторых $x$ и $y$ в банаховой алгебре, то либо $x = y$, либо $\left\| x-y\right\| \geq 1$. Покажите, что это может не выполняться, если $x y \neq y x$.

Если $x y = y x$ для некоторых $x$ и $y$ в банаховой алгебре, докажите, что

Пусть $t$ — большое положительное число, и определим норму на $\varphi^{2}$ формулой

Пусть $A$ — алгебра всех комплексных 2×2-матриц, с соответствующей операторной нормой:

Для $y \in A$ пусть $y^{*}$ — сопряжённо-транспонированная матрица к $y$. Рассмотрим фиксированный $x \in A$, а именно,

Докажите следующие утверждения.

Комплексная функция $\phi$, определённая на $\mathbb {R}^{n}$, называется положительно определённой, если

для любого выбора $x_{1}, \ldots , x_{r}$, в $\mathbb {R}^{n}$ и для любого выбора комплексных чисел $c_{1}, \ldots , c_{r}$.

Пусть $\Delta$ — пространство максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры $A$. Назовём замкнутое множество $\beta \subset \Delta$ $A$-границей, если максимум $\left|\hat{x}\right|$ на $\Delta$ равен его максимуму на $\beta$, для каждой $x \in A$. (Тривиально, $\Delta$ является $A$-границей).

Докажите, что пересечение $\partial_{A}$ всех $A$-границ является $A$-границей. $\partial_{A}$ называется границей Шилова алгебры $A$. Терминология подсказана свойством максимума модуля голоморфных функций. Например, когда $A$ — алгебра диска, то $\partial_{A}$ — единичная окружность, являющаяся топологической границей $\Delta$, замкнутого единичного круга.

Набросок доказательства: сначала покажите, что существует $A$-граница $\beta_{0}$, минимальная в том смысле, что никакое собственное подмножество $\beta_{0}$ не является $A$-границей. (Частично упорядочьте семейство $A$-границ по включению множеств и т.д.). Затем выберите $h_{0} \in \beta_{0}$, выберите $x_{1}, \ldots , x_{n} \in A$ с $\hat{x}_{i}\left(h_{0}\right) = 0$, и положим

Поскольку $\beta_{0}$ минимальна, существует $x \in A$ с $\left\| \hat{x}\right\|_{\infty } = 1$ и $\left|\hat{x}(h)\right| < 1$ на $\beta_{0}-V$. Если $y = x^{m}$ и $m$ достаточно велико, то $\left|\hat{x}_{i} \hat{y}\right| < 1$ на $\beta_{0}$, для всех $i$. Следовательно, $\left\| \hat{x}_{i} \hat{y}\right\|_{\infty } < 1$. Заключите отсюда сначала, что $\left|\hat{y}(h)\right| = \left\| \hat{y}\right\|_{\infty }$ только в $V$, следовательно, что $V$ пересекает каждую $A$-границу $\beta$, и, наконец, что $h_{0} \in \beta$. Таким образом, $\beta_{0} \subset \beta$, и $\beta_{0} = \partial_{A}$.

Пусть $A$ — банахова алгебра, $m$ — целое число, $m \geq 2, K < \infty$, и

для каждой $x \in A$. Покажите, что существуют константы $K_{n} < \infty$, при $n = 1,2,3, \ldots$, такие что

(Это расширяет теорему 11.12).

Пусть $\left\{ \omega_{n}\right\} (-\infty < n < \infty )$ — положительные числа, такие что $\omega_{0} = 1$, и

для всех целых $m$ и $n$. Пусть $A = A\left\{ \omega_{n}\right\}$ — множество всех комплексных функций $f$ на целых числах, для которых норма

конечна. Определим умножение в $A$ формулой

Пусть $\Delta$ — пространство максимальных идеалов $L^{\infty }(m)$, как в разделе 11.13. Покажите, что

Пусть $L^{\infty }(m)$ — как выше, и докажите: если $f_{n} \in L^{\infty }(m)$ и $f_{n} \rightarrow 0$ в слабой топологии $L^{\infty }(m)$, то $\int_{0}^{1}\left|f_{n}\right|^{p} d m \rightarrow 0$ для каждого $p \in (0, \infty )$. Покажите, построив пример, что обратное неверно.

Докажите следующее частичное обращение теоремы 11.31: если $F$ — ограниченный линейный функционал на $B^{*}$-алгебре $A$, и $\left\| F\right\| = F(0) = 1$, то $F$ положителен.

Указание: выберем $x \in A, \left\| x\right\| \leq 1$, положим $F\left(x x^{*}\right) = \alpha +\beta i$,

при $-\infty < t < \infty$. Используйте теорему 11.28, чтобы показать, что $\sigma \left(x x^{*}\right) \subset [0,1]$ и что, следовательно,

Продолжите, как в лемме 5.26.

В $\mathbb {C}^{2}$ пусть $K_{1}$ состоит из всех точек $\left(e^{i \theta }, e^{-i \theta }\right)$, и пусть $K_{2}$ состоит из точек $\left(e^{i \theta }, e^{i \theta }\right), 0 \leq \theta \leq 2 \pi$. Из этих окружностей покажите, что $K_{1}$ полиномиально выпукла, а $K_{2}$ — нет. А что насчёт $K_{3} = \left\{ (\cos \theta , \sin \theta ): 0 \leq \theta \leq \pi \right\}$?

Покажите, что матрица $M$ размера 3-на-3 коммутирует с

Выведите отсюда, что централизаторы (см. раздел 11.21) не обязаны быть коммутативными.

Пополнение пространства со скалярным произведением является гильбертовым пространством. Сформулируйте это утверждение более точно и докажите его. (См. доказательство теоремы 12.40 для примера применения).

Пусть $N$ — положительное целое число, $\alpha \in \mathcal{C}, \alpha^{N} = 1$, и $\alpha^{2} \neq 1$. Докажите, что каждое скалярное произведение гильбертова пространства удовлетворяет тождествам