Пробные функции и распределения

Пусть $f$ — комплексная непрерывная функция в $\mathbb {R}^{n}$ с компактным носителем. Докажите, что $\psi P_{j} \rightarrow f$ равномерно на $\mathbb {R}^{n}$, для некоторого $\psi \in \mathscr {D}$ и некоторой последовательности $\left\{ P_{j}\right\}$ многочленов.

Покажите, что метризуемая топология для $\mathscr {D}(\Omega )$, отвергнутая в разделе 6.2, не полна ни для какого $\Omega$.

Если $E$ — произвольное замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{n}$, покажите, что существует $f \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, такая что $f(x) = 0$ для каждого $x \in E$ и $f(x) > 0$ для каждого другого $x \in \mathbb {R}^{n}$.

Пусть $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$ и $\Lambda \phi \geq 0$ всякий раз, когда $\phi \in \mathscr {D}(\Omega )$ и $\phi \geq 0$. Докажите, что тогда $\Lambda$ — положительная мера в $\Omega$ (конечная на компактных множествах).

Докажите, что числа $c_{\alpha \beta }$ в формуле Лейбница равны

Пусть $\Omega = (0, \infty )$. Определим

Докажите, что $\Lambda$ — распределение бесконечного порядка в $\Omega$. Докажите, что $\Lambda$ нельзя продолжить до распределения в $R$; то есть не существует $\Lambda_{0} \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$, такого что $\Lambda_{0} = \Lambda$ на $(0, \infty )$.

Охарактеризуйте все распределения, носители которых являются конечными множествами.

Пусть $\left\{ f_{i}\right\}$ — последовательность локально интегрируемых функций в $\Omega$ (открытом множестве в $\mathbb {R}^{n}$), и

для каждого компакта $K \subset \Omega$. Докажите, что тогда $D^{\alpha } f_{i} \rightarrow 0$ в $\mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$, при $i \rightarrow \infty$, для каждого мультииндекса $\alpha$.

Пусть $\Omega$ открыто в $\mathbb {R}^{2}$, и $\left\{ f_{i}\right\}$ — последовательность гармонических функций в $\Omega$, сходящаяся в смысле распределений к некоторому $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$; точнее, предполагается, что

Докажите, что тогда $\left\{ f_{i}\right\}$ сходится равномерно на каждом компактном подмножестве $\Omega$, и что $\Lambda$ — гармоническая функция. Указание: если $f$ гармонична, то $f(x)$ есть среднее значение $f$ по малым окружностям с центром в $x$.

Вспомните, что $\delta$ (мера Дирака) — это распределение, определённое формулой $\delta (\phi ) = \phi (0)$, для $\phi \in \mathscr {D}(R)$. Для каких $f \in C^{\infty }(R)$ верно, что $f \delta^{\prime } = 0$? Ответьте на тот же вопрос для $f \delta^{\prime \prime }$. Заключите, что функция $f \in C^{\infty }(R)$ может обращаться в нуль на носителе распределения $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$, хотя $f \Lambda \neq 0$.

Если $\phi \in \mathscr {D}(\Omega )$ и $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$, влечёт ли одно из утверждений

другое?

Пусть $K$ — замкнутый единичный шар в $\mathbb {R}^{n}, \Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ имеет носитель в $K$, и $f \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ обращается в нуль на $K$. Докажите, что $f \Lambda = 0$. Найдите другие множества $K$, для которых это верно. (Сравните с упражнением 12).

Пусть $K \subset V \subset \Omega , K$ компактно, $V$ и $\Omega$ открыты в $\mathbb {R}^{n}, \Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$ имеет носитель в $K$, и $\left\{ \phi_{i}\right\} \subset \mathscr {D}(\Omega )$ удовлетворяет

для каждого мультииндекса $\alpha$. Докажите, что тогда

Предыдущее утверждение становится неверным, если $V$ заменить на $K$ в условии (a). Покажите это с помощью следующего примера, в котором $\Omega = R$. Выберем $c_{1} > c_{2} > \cdots > 0$, такие что $\sum c_{j} < \infty$; определим

и рассмотрим функции $\phi_{i} \in \mathscr {D}(R)$, такие что $\phi_{i}(x) = 0$ если $x \leq c_{i+1}, \phi_{i}(x) = 1 / i$ если $c_{i} \leq x \leq c_{1}$. Покажите также, что это $\Lambda$ является распределением порядка 1.

Однако для некоторых $K, V$ можно заменить на $K$ в условии (a) упражнения 15. Покажите, что это так, когда $K$ — замкнутый единичный шар $\mathbb {R}^{n}$. Найдите другие множества $K$, для которых это верно.

Если $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$ имеет порядок $N$, покажите, что $\Lambda = D^{N+2} f$, для некоторой непрерывной функции $f$. Если $\Lambda = \delta$, каковы возможности для $f$?.

Выразите $\delta \in \mathscr {D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ в виде, данном теоремой 6.27, настолько явно, насколько сможете.

Пусть $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega ), \phi \in \mathscr {D}(\Omega )$, и $\left(D^{\alpha } \phi \right)(x) = 0$ для каждого $x$ в носителе $\Lambda$ и для каждого мультииндекса $\alpha$. Докажите, что $\Lambda \phi = 0$. Указание: сделайте это сначала для распределений с компактным носителем, методом, использованным в теореме 6.25.

Докажите, что каждый непрерывный линейный функционал на $C^{\infty }(\Omega )$ имеет вид $f \rightarrow \Lambda f$, где $\Lambda$ — распределение с компактным носителем в $\Omega$; это обратное утверждение к $(d)$ теоремы 6.24.

Пусть $C^{\infty }(T)$ — пространство всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на единичной окружности $T$ в $\mathscr {C}$. Можно рассматривать $C^{\infty }(T)$ как подпространство $C^{\infty }(R)$, состоящее из функций, имеющих период $2 \pi$. Пусть

сходится в открытом единичном круге $U$ в $\mathcal{C}$. Докажите, что каждое из следующих трёх свойств $f$ влечёт два других:

Для $u \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$ покажите, что

при $x \rightarrow 0$. (Производную $u$, таким образом, всё ещё можно рассматривать как предел частных).

Пусть $\left\{ f_{i}\right\}$ — последовательность локально интегрируемых функций в $\mathbb {R}^{n}$, такая что

существует для каждой $\phi \in \mathscr {D}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ и каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$. Докажите, что тогда $\left\{ D^{a}\left(f_{i} * \phi \right)\right\}$ сходится равномерно на компактных множествах, для каждого мультииндекса $\alpha$.

Пусть $H$ — функция Хевисайда на $R$, определённая формулой

и пусть $\delta$ — мера Дирака.

Вот ещё одна характеризация свёрток, аналогичная теореме 6.33. Пусть $L$ — непрерывное линейное отображение $\mathscr {D}$ в $C^{\infty }$, коммутирующее с каждым $D^{\alpha }$, то есть (a)

Тогда существует $u \in \mathscr {D}^{\prime }$, такое что

Указание: зафиксируем $\phi \in \mathscr {D}$, положим

пусть $D_{e}$ — направленная производная, использованная в доказательстве теоремы 6.30, и покажите, что

что равно 0, если выполняется (a). Таким образом, $h(x) = h(0)$, откуда следует, что $\tau_{x} L = L \tau_{x}$. Можно ли ослабить предположение о том, что область значений $L$ лежит в $C^{\infty }$?

Если $f \in L^{1}((-\infty ,-\delta ) \cup (\delta , \infty ))$ для каждого $\delta > 0$, определим его интеграл в смысле главного значения как

если предел существует. Для $\phi \in \mathscr {D}(R)$ положим

Покажите, что

Найдите все распределения $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, удовлетворяющие хотя бы одному из следующих двух условий: