Распределения и преобразования Фурье

Пусть $f$ — комплексная непрерывная функция в $\mathbb {R}^{n}$ с компактным носителем. Докажите, что $\psi P_{j} \rightarrow f$ равномерно на $\mathbb {R}^{n}$, для некоторого $\psi \in \mathscr {D}$ и некоторой последовательности $\left\{ P_{j}\right\}$ многочленов.

Покажите, что метризуемая топология для $\mathscr {D}(\Omega )$, отвергнутая в разделе 6.2, не полна ни для какого $\Omega$.

Если $E$ — произвольное замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{n}$, покажите, что существует $f \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, такая что $f(x) = 0$ для каждого $x \in E$ и $f(x) > 0$ для каждого другого $x \in \mathbb {R}^{n}$.

Пусть $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$ и $\Lambda \phi \geq 0$ всякий раз, когда $\phi \in \mathscr {D}(\Omega )$ и $\phi \geq 0$. Докажите, что тогда $\Lambda$ — положительная мера в $\Omega$ (конечная на компактных множествах).

Докажите, что числа $c_{\alpha \beta }$ в формуле Лейбница равны

Пусть $\Omega = (0, \infty )$. Определим

Докажите, что $\Lambda$ — распределение бесконечного порядка в $\Omega$. Докажите, что $\Lambda$ нельзя продолжить до распределения в $R$; то есть не существует $\Lambda_{0} \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$, такого что $\Lambda_{0} = \Lambda$ на $(0, \infty )$.

Охарактеризуйте все распределения, носители которых являются конечными множествами.

Пусть $\left\{ f_{i}\right\}$ — последовательность локально интегрируемых функций в $\Omega$ (открытом множестве в $\mathbb {R}^{n}$), и

для каждого компакта $K \subset \Omega$. Докажите, что тогда $D^{\alpha } f_{i} \rightarrow 0$ в $\mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$, при $i \rightarrow \infty$, для каждого мультииндекса $\alpha$.

Пусть $\Omega$ открыто в $\mathbb {R}^{2}$, и $\left\{ f_{i}\right\}$ — последовательность гармонических функций в $\Omega$, сходящаяся в смысле распределений к некоторому $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$; точнее, предполагается, что

Докажите, что тогда $\left\{ f_{i}\right\}$ сходится равномерно на каждом компактном подмножестве $\Omega$, и что $\Lambda$ — гармоническая функция. Указание: если $f$ гармонична, то $f(x)$ есть среднее значение $f$ по малым окружностям с центром в $x$.

Вспомните, что $\delta$ (мера Дирака) — это распределение, определённое формулой $\delta (\phi ) = \phi (0)$, для $\phi \in \mathscr {D}(R)$. Для каких $f \in C^{\infty }(R)$ верно, что $f \delta^{\prime } = 0$? Ответьте на тот же вопрос для $f \delta^{\prime \prime }$. Заключите, что функция $f \in C^{\infty }(R)$ может обращаться в нуль на носителе распределения $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$, хотя $f \Lambda \neq 0$.

Если $\phi \in \mathscr {D}(\Omega )$ и $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$, влечёт ли одно из утверждений

другое?

Пусть $K$ — замкнутый единичный шар в $\mathbb {R}^{n}, \Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ имеет носитель в $K$, и $f \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ обращается в нуль на $K$. Докажите, что $f \Lambda = 0$. Найдите другие множества $K$, для которых это верно. (Сравните с упражнением 12).

Пусть $K \subset V \subset \Omega , K$ компактно, $V$ и $\Omega$ открыты в $\mathbb {R}^{n}, \Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega )$ имеет носитель в $K$, и $\left\{ \phi_{i}\right\} \subset \mathscr {D}(\Omega )$ удовлетворяет

для каждого мультииндекса $\alpha$. Докажите, что тогда

Предыдущее утверждение становится неверным, если $V$ заменить на $K$ в условии (a). Покажите это с помощью следующего примера, в котором $\Omega = R$. Выберем $c_{1} > c_{2} > \cdots > 0$, такие что $\sum c_{j} < \infty$; определим

и рассмотрим функции $\phi_{i} \in \mathscr {D}(R)$, такие что $\phi_{i}(x) = 0$ если $x \leq c_{i+1}, \phi_{i}(x) = 1 / i$ если $c_{i} \leq x \leq c_{1}$. Покажите также, что это $\Lambda$ является распределением порядка 1.

Однако для некоторых $K, V$ можно заменить на $K$ в условии (a) упражнения 15. Покажите, что это так, когда $K$ — замкнутый единичный шар $\mathbb {R}^{n}$. Найдите другие множества $K$, для которых это верно.

Если $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$ имеет порядок $N$, покажите, что $\Lambda = D^{N+2} f$, для некоторой непрерывной функции $f$. Если $\Lambda = \delta$, каковы возможности для $f$?.

Выразите $\delta \in \mathscr {D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ в виде, данном теоремой 6.27, настолько явно, насколько сможете.

Пусть $\Lambda \in \mathscr {D}^{\prime }(\Omega ), \phi \in \mathscr {D}(\Omega )$, и $\left(D^{\alpha } \phi \right)(x) = 0$ для каждого $x$ в носителе $\Lambda$ и для каждого мультииндекса $\alpha$. Докажите, что $\Lambda \phi = 0$. Указание: сделайте это сначала для распределений с компактным носителем, методом, использованным в теореме 6.25.

Докажите, что каждый непрерывный линейный функционал на $C^{\infty }(\Omega )$ имеет вид $f \rightarrow \Lambda f$, где $\Lambda$ — распределение с компактным носителем в $\Omega$; это обратное утверждение к $(d)$ теоремы 6.24.

Пусть $C^{\infty }(T)$ — пространство всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на единичной окружности $T$ в $\mathscr {C}$. Можно рассматривать $C^{\infty }(T)$ как подпространство $C^{\infty }(R)$, состоящее из функций, имеющих период $2 \pi$. Пусть

сходится в открытом единичном круге $U$ в $\mathcal{C}$. Докажите, что каждое из следующих трёх свойств $f$ влечёт два других:

Для $u \in \mathscr {D}^{\prime }(R)$ покажите, что

при $x \rightarrow 0$. (Производную $u$, таким образом, всё ещё можно рассматривать как предел частных).

Пусть $\left\{ f_{i}\right\}$ — последовательность локально интегрируемых функций в $\mathbb {R}^{n}$, такая что

существует для каждой $\phi \in \mathscr {D}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ и каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$. Докажите, что тогда $\left\{ D^{a}\left(f_{i} * \phi \right)\right\}$ сходится равномерно на компактных множествах, для каждого мультииндекса $\alpha$.

Пусть $H$ — функция Хевисайда на $R$, определённая формулой

и пусть $\delta$ — мера Дирака.

Вот ещё одна характеризация свёрток, аналогичная теореме 6.33. Пусть $L$ — непрерывное линейное отображение $\mathscr {D}$ в $C^{\infty }$, коммутирующее с каждым $D^{\alpha }$, то есть (a)

Тогда существует $u \in \mathscr {D}^{\prime }$, такое что

Указание: зафиксируем $\phi \in \mathscr {D}$, положим

пусть $D_{e}$ — направленная производная, использованная в доказательстве теоремы 6.30, и покажите, что

что равно 0, если выполняется (a). Таким образом, $h(x) = h(0)$, откуда следует, что $\tau_{x} L = L \tau_{x}$. Можно ли ослабить предположение о том, что область значений $L$ лежит в $C^{\infty }$?

Если $f \in L^{1}((-\infty ,-\delta ) \cup (\delta , \infty ))$ для каждого $\delta > 0$, определим его интеграл в смысле главного значения как

если предел существует. Для $\phi \in \mathscr {D}(R)$ положим

Покажите, что

Найдите все распределения $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, удовлетворяющие хотя бы одному из следующих двух условий:

Пусть $A$ — обратимый линейный оператор на $\mathbb {R}^{n}, f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, и $g(x) = f(A x)$. Выразите $\hat{g}$ через $\hat{f}$. Это обобщает пункт $(d)$ теоремы 7.2.

Является ли топология $\mathscr {S}_{n}$ индуцированной некоторой инвариантной метрикой, превращающей преобразование Фурье в изометрию $\mathscr {S}_{n}$ на $\mathscr {S}_{n}$?

Пусть $f(x) = e^{x}, g(x) = e^{x} \cos \left(e^{x}\right)$, на действительной прямой. Покажите, что $g$ является умеренным распределением, но $f$ — нет.

По упражнению 3 существуют распределения в $\mathbb {R}^{n}$, которые не являются умеренными. Такие распределения являются непрерывными линейными функционалами на $\mathscr {D}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$, не имеющими непрерывного линейного продолжения на $\mathscr {S}_{n}$. Объясните, почему это не противоречит теореме Хана–Банаха.

Докажите, что операции, перечисленные в теореме 7.13, являются непрерывными отображениями $\mathscr {S}_{n}^{\prime }$ в $\mathscr {S}_{n}^{\prime }$.

Если $u \in \mathscr {S}_{n}^{\prime }$, докажите, что

для каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$.

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{n}\right), f \neq 0, \lambda$ — комплексное число, и $\hat{f} = \lambda f$. Что вы можете сказать о $\lambda$?

Докажите пункт (a) теоремы 7.8 непосредственно (не используя преобразования Фурье).

Преобразование Фурье комплексной борелевской меры $\mu$ на $\mathbb {R}^{n}$ обычно определяется как функция $\hat{\mu }$, задаваемая формулой

Разумеется, $\mu$ также является умеренным распределением, и как таковое её преобразование Фурье было определено в разделе 7.14. Покажите, что эти два определения согласуются. Докажите, что каждая $\hat{\mu }$ ограничена и равномерно непрерывна.

Пусть $\Lambda : \mathscr {S}_{n} \rightarrow C\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ непрерывно, линейно, и $\tau_{x} \Lambda = \Lambda \tau_{x}$ для каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$. Следует ли отсюда, что существует $u \in \mathscr {S}_{n}^{\prime }$, такое что

для каждой $\phi \in \mathscr {S}_{n}$?

Если $\left\{ h_{j}\right\}$ — приближённая единица, как в определении 6.31, и $u \in \mathscr {S}_{n}^{\prime }$, следует ли отсюда, что $u * h_{j} \rightarrow u$ при $j \rightarrow \infty$, в слабой*-топологии $\mathscr {S}_{n}^{\prime }$?

Пусть $X$ и $Y$ — полные метрические пространства, $A$ плотно в $X, f: A \rightarrow Y$ равномерно непрерывна.

Пусть $F$ — целая функция в $\mathbb {C}^{n}$, и пусть каждому $\varepsilon > 0$ соответствуют целое число $N(\varepsilon )$ и константа $\gamma (\varepsilon ) < \infty$, такие что

Докажите, что $F$ — многочлен.

Пусть $f$ — целая функция в $\mathbb {C}^{n}, N$ — положительное целое число, $r \geq 0$, и

Докажите, что тогда

Указание: зафиксируем $z = x+i y \in \mathbb {C}^{n}$; определим

при $\lambda \in \mathcal{C}, s > 0$, и примените теорему о максимуме модуля к большой полукруговой области в верхней полуплоскости, чтобы вывести, что $\left|g_{s}(i)\right| < 1$. Положим $s \rightarrow 0$.

В пункте (b) теоремы 7.23 не утверждается, что $u$ имеет порядок $N$. Следующий пример показывает, что это не всегда верно.

Пусть $\mu$ — борелевская вероятностная мера на $\mathbb {R}^{3}$, сосредоточенная на единичной сфере $S^{2}$ и инвариантная относительно всех вращений $S^{2}$. Вычислите (используя сферические координаты), что

Положим $u = D_{1} \mu$. Тогда

Выведите из упражнения 15, что

хотя $u$ не является распределением порядка 0. (Его порядок равен 1). Найдите явную формулу для целой функции $u\left(e_{-z}\right), z \in \mathbb {C}^{3}$.

Пусть $u$ — распределение в $\mathbb {R}^{n}$ с компактным носителем $K$, преобразование Фурье $\hat{u}$ которого является ограниченной функцией на $\mathbb {R}^{n}$.

Было ли необходимо вводить функцию $\psi$ в доказательство теоремы 7.25? Можно ли было упростить доказательство, положив $F(x) = f(x)$ на $K, F(x) = 0$ вне K?

Покажите, что условия теоремы 7.25 влекут, что $D^{\alpha } f$ локально $L^{2}$ для каждого мультииндекса $\alpha$ с $\left|\alpha \right| \leq r$.

Пусть $f \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ — непрерывная функция, преобразование Фурье которой равно

Поскольку $\left|y\right|^{3} \hat{f}(y)$ принадлежит $L^{2}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, теорема 7.25 влечёт $f \in C^{(1)}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$. Покажите, что более сильный вывод $f \in C^{(2)}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ неверен, доказав, что

Это показывает, что $>$ нельзя заменить на $\geq$ в (1) теоремы 7.25.

Пусть $u$ — распределение в $\mathbb {R}^{n}$, первые производные которого $D_{1} u, \ldots , D_{n} u$ являются функциями в $L^{2}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$. Докажите, что $u$ также является функцией и что $u$ локально $L^{2}$. (Покажите, что слово "локально" нельзя опустить в выводе). Указание: $u$ на самом деле является суммой $L^{2}$-функции и целой функции.

При $n = 1$ покажите, что $u$ на самом деле непрерывная функция. Покажите, что этот более сильный вывод неверен при $n = 2$. Например, градиент функции

принадлежит $L^{2}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$. См. упражнение 11, гл. 8, для того же результата при более слабых условиях.

Периодические распределения, или распределения на торе $T^{n}$, имеют ряды Фурье, теория которых несколько проще, чем теория преобразований Фурье. Это в основном обусловлено компактностью $T^{n}$: каждое распределение на $T^{n}$ имеет компактный носитель. В частности, умеренные распределения не представляют собой ничего особенного.

Докажите различные утверждения, сделанные в следующем базовом наброске:

Функции $\phi$ на $T^{n}$ можно отождествить с функциями $\tilde{\phi }$ на $\mathbb {R}^{n}$, $2 \pi$-периодическими по каждой переменной, полагая

$\mathbb {Z}^{n}$ — множество (или аддитивная группа) $n$-наборов $k = \left(k_{1}, \ldots , k_{n}\right)$ целых чисел $k_{j}$. Для $k \in \mathbb {Z}^{n}$ функция $e_{k}$ определена на $T^{n}$ формулой

$\sigma_{n}$ — мера Хаара $T^{n}$. Если $\phi \in L^{1}\left(\sigma_{n}\right)$, коэффициенты Фурье $\phi$ суть

$\mathscr {D}\left(T^{n}\right)$ — пространство всех функций $\phi$ на $T^{n}$, таких что $\tilde{\phi } \in C^{\infty }\left(\mathbb {R}^{n}\right)$. Если $\phi \in \mathscr {D}\left(T^{n}\right)$, то

при $N = 0,1,2, \ldots$ Эти нормы задают топологию пространства Фреше на $\mathscr {D}\left(T^{n}\right)$, которая совпадает с топологией, заданной нормами

$\mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$ — пространство всех непрерывных линейных функционалов на $\mathscr {D}\left(T^{n}\right)$; его элементы — распределения на $T^{n}$. Коэффициенты Фурье любого $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$ определяются формулой

Каждому $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$ соответствуют $N$ и $C$, такие что

Обратно, если $g$ — комплексная функция на $Z^{\mathbf{n}}$, удовлетворяющая $\left|g(k)\right| \leq C(1+\left|k\right|)^{N}$ при некоторых $C$ и $N$, то $g = \hat{u}$ для некоторого $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$.

Таким образом, существует линейное взаимно однозначное соответствие между распределениями на $T^{n}$, с одной стороны, и функциями полиномиального роста на $\mathbb {Z}^{n}$, с другой.

Если $E_{1} \subset E_{2} \subset E_{3} \subset \cdots$ — конечные множества, объединение которых есть $\mathbb {Z}^{n}$, и если $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$, "частичные суммы"

сходятся к $u$ при $j \rightarrow \infty$, в слабой*-топологии $\mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$. Свёртка $u * v$ функций $u \in \mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$ и $v \in \mathscr {D}^{\prime }\left(T^{n}\right)$ проще всего определяется как имеющая коэффициенты Фурье $\hat{u}(k) \hat{v}(k)$. Аналоги теорем 6.30 и 6.37 верны; доказательства значительно проще.

Модифицируйте доказательство теоремы 7.25 так, чтобы вместо преобразований Фурье использовались ряды Фурье, заменив $F$ подходящей периодической функцией.

Положим $c = (2 / \pi )^{1 / 2}$. При $j = 1,2,3, \ldots$ определим $g_{j}$ на действительной прямой формулой

Докажите, что $\left\{ \hat{g}_{j}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность функций, сходящаяся поточечно при $j \rightarrow \infty$. Если $f \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$, отсюда следует, что $f * g_{j}$ сходится, в метрике $L^{2}$, к функции $H f \in L^{2}$. Это преобразование Гильберта функции $f$; формально,

(Интеграл существует, в смысле главного значения, почти для каждого $x$, но это не так просто доказать; если $f$ удовлетворяет условию Липшица порядка 1, например, доказательство тривиально). Докажите, что

для каждой $f \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{1}\right)$. Таким образом, $H$ — изометрия $L^{2}$ периода 4. Верно ли, что $H f \in \mathscr {S}_{1}$, если $f \in \mathscr {S}_{1}$?

Следующие простые свойства голоморфных функций нескольких переменных неявно использовались в этой главе. Докажите их.

Докажите утверждение о выпуклых оболочках, сделанное в последнем предложении доказательства теоремы 8.4.

Найдите фундаментальное решение для оператора $\partial^{2} / \partial x_{1} \partial x_{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$. (Существует такое, которое является характеристической функцией некоторого подмножества $\mathbb {R}^{2}$).

Покажите, что уравнение

удовлетворяется (в смысле распределений) каждой локально интегрируемой функцией $u$ вида

и что даже классические решения (то есть дважды непрерывно дифференцируемые функции) не обязаны принадлежать $C^{\infty }$. Заметьте контраст между этим и уравнением Лапласа.

Для $x \in \mathbb {R}^{3}$ определим $f(x) = \left(1+\left|x\right|^{2}\right)^{-1}$. Покажите, что $f \in L^{2}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ и что $\hat{f}$ — фундаментальное решение оператора $I-\Delta$ в $\mathbb {R}^{3}$. Найдите $\hat{f}$ прямым вычислением, а также следующим рассуждением: