7

Ряды Ламберта и смежные вопросы

[24/100%]
Показать
LaTeX
Задача 8.65

Из тождества

ζ(s)∑n=1∞ann−s=∑n=1∞Ann−s, \zeta (s) \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty } A_{n} n^{-s},

где a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots и A1,A2,A3,…A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots — постоянные коэффициенты, вытекает

∑n=1∞anxn1−xn=∑n=1∞Anxn \sum _{n=1}^{\infty } \frac{a_{n} x^{n}}{1-x^{n}}=\sum _{n=1}^{\infty } A_{n} x^{n}

и обратно. (В левой части второго равенства стоит так называемый ряд Ламберта.)

?
Задача 8.66

Тождества

ζ(s)(1−21−s)∑n=1∞ann−s=∑n=1∞Bnn−s,∑n=1∞anxn1+xn=∑n=1∞Bnxn \begin{gathered} \zeta (s)\left(1-2^{1-s}\right) \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty } B_{n} n^{-s}, \\ \sum _{n=1}^{\infty } \frac{a_{n} x^{n}}{1+x^{n}}=\sum _{n=1}^{\infty } B_{n} x^{n} \end{gathered}

равносильны.

?
Задача 8.67

Пусть между числами a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots и A1,A2,A3,…A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots имеет место то же соотношение, что и в задаче 65. Тогда

∏n=1∞(nxsin⁡xn)an=∏n=1∞(1−x2n2π2)An. \prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac{n}{x} \sin \frac{x}{n}\right)^{a_{n}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}\right)^{A_{n}} .
?
Задача 8.68

Пусть между числами a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots и B1,B2,B3,…B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots имеет место то же соотношение, что и в задаче 66. Тогда

∏n=1∞(x2nctg⁡x2n)an=∏n=1∞(1−x2n2π2)Bn. \prod _{n=1}^{\infty }\left(\frac{x}{2 n} \operatorname {ctg} \frac{x}{2 n}\right)^{a_{n}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}\right)^{B_{n}} .
?
Задача 8.68.1

Положим

f(x)+f(2x)+⋯+f(nx)+⋯=F(x). f(x)+f(2x)+\cdots +f(nx)+\cdots = F(x) .

Тогда, в обозначениях 65,

∑n=1∞anF(nx)=∑n=1∞Anf(nx). \sum _{n=1}^\infty a_nF(nx) = \sum _{n=1}^\infty A_nf(nx) .

(Как связан этот результат с 65 и 67?)

?
Задача 8.68.2

Положим

f(x)−f(2x)+⋯+(−1)n−1f(nx)+⋯=G(x). f(x)-f(2x)+\cdots +(-1)^{n-1}f(nx)+\cdots = G(x) .

Тогда, в обозначениях 66,

∑n=1∞anG(nx)=∑n=1∞Bnf(nx). \sum _{n=1}^\infty a_nG(nx) = \sum _{n=1}^\infty B_nf(nx) .

(Как связан этот результат с 66 и 68?)

?
Задача 8.68.3

Каждое из следующих двух равенств влечет за собой другое:

F(x)=∑n=1∞f(nx),f(x)=∑n=1∞μ(n)F(nx). F(x) = \sum _{n=1}^\infty f(nx) , \qquad f(x) = \sum _{n=1}^\infty \mu (n)F(nx) .
?
Задача 8.69

Показать, что

∑n=1∞μ(n)xn1−xn и ∑n=1∞φ(n)xn1−xn \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\mu (n) x^{n}}{1-x^{n}} \text{ и } \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi (n) x^{n}}{1-x^{n}}

являются рациональными функциями от xx. Какими именно?

?
Задача 8.70

∑n=1∞λ(n)xn1−xn=x+x4+x9+x16+x25+…\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\lambda (n) x^{n}}{1-x^{n}}=x+x^{4}+x^{9}+x^{16}+x^{25}+\ldots

?
Примечание.
?

Baschwitz, задача, Mathesis (2), т. 3, стр. 80, 1893. Решение — E. Cesàro, там же (2), т. 3, стр. 205, 1893; Laguerre, Oeuvres, т. 1, стр. 216, Paris, Gauthier-Villars, 1898.

Задача 8.71

Показать, что

∑n=1∞μ(n)xn1+xn=x−2x2,∑n=1∞φ(n)xn1+xn=x1+x2(1−x2)2. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\mu (n) x^{n}}{1+x^{n}}=x-2 x^{2}, \quad \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\varphi (n) x^{n}}{1+x^{n}}=x \frac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} .
?
Задача 8.72
∑n=1∞λ(n)xn1+xn=x−2x2+x4−2x8+x9+x16−2x13+x25−…=∑n=1∞bnxn, \sum _{n=1}^{\infty } \lambda (n) \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=x-2 x^{2}+x^{4}-2 x^{8}+x^{9}+x^{16}-2 x^{13}+x^{25}-\ldots =\sum _{n=1}^{\infty } b_{n} x^{n},

где bn=1b_{n}=1, если nn — квадрат, bn=−2b_{n}=-2, если nn — удвоенный квадрат, и bn=0b_{n}=0 во всех остальных случаях.

?
Задача 8.72.1
∏1∞(1−xn)μ(n)n=e−x,∏1∞(1−xn)φ(n)n=e−x1−x. \prod _{1}^\infty \left(1-x^n\right)^{\frac{\mu (n)}{n}} = e^{-x} , \qquad \prod _{1}^\infty \left(1-x^n\right)^{\frac{\varphi (n)}{n}} = e^{-\frac{x}{1-x}} .
?
Задача 8.73
∑n=1∞Φ(n)xn1−xn=x1+x(1−x)3, \sum _{n=1}^{\infty } \Phi (n) \frac{x^{n}}{1-x^{n}}=x \frac{1+x}{(1-x)^{3}}, ∑n=1∞Φ(n)xn1+xn=x1+2x+6x2+2x3+x4(1−x2)3. \sum _{n=1}^{\infty } \Phi (n) \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=x \frac{1+2 x+6 x^{2}+2 x^{3}+x^{4}}{\left(1-x^{2}\right)^{3}} .
?
Задача 8.74

∑n=1∞τ(n)xn=∑n=1∞xn1−xn=x1+x1−x+x41+x21−x2+x91+x31−x3+…\sum_{n=1}^{\infty } \tau (n) x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{1-x^{n}}=x \frac{1+x}{1-x}+x^{4} \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}+x^{9} \frac{1+x^{3}}{1-x^{3}}+\ldots

?
Задача 8.74.1
∑n=1∞δ(n)xn=x1−x−x31−x3+x51−x5−x71−x7+⋯ . \sum _{n=1}^\infty \delta (n)x^n = \frac{x}{1-x}-\frac{x^3}{1-x^3}+\frac{x^5}{1-x^5}-\frac{x^7}{1-x^7}+\cdots .
?
Примечание.
?

Ср. задачу 58.7.

Задача 8.75

∑n=1∞σ(n)xn=∑n=1∞nxn1−xn=x(1−x)2+x3(1−x2)2+\sum_{n=1}^{\infty } \sigma (n) x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty } n \frac{x^{n}}{1-x^{n}}=\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{x^{3}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}+

+x3(1−x3)2+…=x+2x2−5x5−7x7+…1−x−x2+x5+x7−…. +\frac{x^{3}}{\left(1-x^{3}\right)^{2}}+\ldots =\frac{x+2 x^{2}-5 x^{5}-7 x^{7}+\ldots }{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-\ldots } .

Показатели степеней в последней дроби составлены по формуле 12(3k2±k)\frac{1}{2}\left(3 k^{2} \pm k\right). [I 54.] Вывести отсюда рекуррентную формулу для σ(n)\sigma (n).

?
Примечание.
?

Euler, Opera omnia, серия 1, т. 2, стр. 373, Leipzig, B. G. Teubner, 1915.

Задача 8.75.1
∑n=1∞σ(n)xn=x+2x2−5x5−7x7++−−⋯1−x−x2+x5+x7−−++⋯. \sum _{n=1}^\infty \sigma (n)x^n = \frac{x+2x^2-5x^5-7x^7+{+}-{-}\cdots }{1-x-x^2+x^5+x^7-{-}+{+}\cdots } .
?
Примечание.
?

Ср. задачу I 54.

Задача 8.75.2
3∑n=1∞σ(n)xn=3x−15x3+42x6−90x10+⋯1−3x+5x3−7x6+9x10−⋯. 3\sum _{n=1}^\infty \sigma (n)x^n = \frac{3x-15x^3+42x^6-90x^{10}+\cdots }{1-3x+5x^3-7x^6+9x^{10}-\cdots } .
?
Задача 8.75.3
σ(n)=σ(n−1)+σ(n−2)−σ(n−5)−σ(n−7)++−−⋯ . \sigma (n) = \sigma (n-1)+\sigma (n-2)-\sigma (n-5)-\sigma (n-7)+{+}-{-}\cdots .

Члены в правой части имеют вид

(−1)k−1σ(n−3k2±k2),где1≤3k2±k2≤n. (-1)^{k-1}\sigma \left(n-\frac{3k^2\pm k}{2}\right) , \qquad \text{где} \quad 1\leq \frac{3k^2\pm k}{2}\leq n .

Там, где встречается до сих пор не определенный символ σ(0)\sigma (0), следует подставить вместо него nn.

?
Задача 8.75.4
σ(n)=3σ(n−1)−5σ(n−3)+7σ(n−6)−9σ(n−10)+−⋯ . \sigma (n) = 3\sigma (n-1)-5\sigma (n-3)+7\sigma (n-6)-9\sigma (n-10)+{-}\cdots .

Члены в правой части имеют вид

(−1)k−1(2k+1)σ(n−k(k+1)2),где1≤k(k+1)2≤n. (-1)^{k-1}(2k+1)\sigma \left(n-\frac{k(k+1)}{2}\right) , \qquad \text{где} \quad 1\leq \frac{k(k+1)}{2}\leq n .

Там, где встречается символ σ(0)\sigma (0), следует подставить вместо него n/3n/3.

?
Задача 8.75.5

Пользуясь определением числа p(n)p(n) разбиений числа nn, данным в задаче I 20.1 (Приложение), доказать, что

σ(n)+σ(n−1)+2σ(n−2)+⋯+p(n−1)σ(1)=∑k=0n−1p(k)σ(n−k)=np(n). \sigma (n)+\sigma (n-1)+2\sigma (n-2)+\cdots +p(n-1)\sigma (1) = \sum _{k=0}^{n-1} p(k)\sigma (n-k) = np(n) .
?
Задача 8.76

Значение выражения

11−q+p1−qx+p21−qx2+p31−qx3+… \frac{1}{1-q}+\frac{p}{1-q x}+\frac{p^{2}}{1-q x^{2}}+\frac{p^{3}}{1-q x^{3}}+\ldots

не изменяется при перестановке чисел pp и qq.

?
Задача 8.77

x1+x2+x31+x4+x31+x6+x41+x8+…=\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{x^{3}}{1+x^{4}}+\frac{x^{3}}{1+x^{6}}+\frac{x^{4}}{1+x^{8}}+\ldots =

=x1−x−x31−x3+x51−x5−x71−x7+… =\frac{x}{1-x}-\frac{x^{3}}{1-x^{3}}+\frac{x^{5}}{1-x^{5}}-\frac{x^{7}}{1-x^{7}}+\ldots
?
Задача 8.78

x1−x=x1−x2+x21−x4+x41−x8+x81−x16+…=\frac{x}{1-x}=\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\frac{x^{8}}{1-x^{16}}+\ldots =

=x1+x+2x21+x2+4x41+x4+8x81+x8+… =\frac{x}{1+x}+\frac{2 x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{4 x^{4}}{1+x^{4}}+\frac{8 x^{8}}{1+x^{8}}+\ldots
?