Мультипликативные арифметические функции

Показать, что

— мультипликативные теоретико-числовые функции.

Пусть $n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \ldots p_{\nu }^{k_{\nu }}$, где $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{\nu }$ — отличные друг от друга простые числа. Тогда

в частности,

Показать, что при $n>30$

Пусть $a, b, c, d, \ldots , k, l$ — целые положительные числа, $M$ — их наименьшее общее кратное, $(a, b),(a, c), \ldots ,(a, b, c), \ldots$, как обычно, — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$, соотв. $a$ и $c, \ldots$, соотв. $a, b$ и $c, \ldots$ Если $f(n)$ — мультипликативная функция, то

(Аргументами функции $f(n)$ в правой части служат наибольшие общие делители всевозможных комбинаций из нечетного числа чисел $a, b, c, \ldots , k, l$.)

Пусть $f(n)$ — мультипликативная теоретико-числовая функция. Тогда

где бесконечное произведение распространено на все простые числа $p$ и раскрывается таким образом, что составляются только произведения из конечного числа множителей, отличных от $1^{-s}$.

$\zeta (s)=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$.

Показать, что

Обозначим через $a(n)$ наибольший нечетный делитель числа $n$. Показать, что

Показать, что

$\sum_{t \mid n} \varphi (t)=n$.

$\sum_{t \mid n} \frac{\mu (t)}{t}=\frac{\varphi (n)}{n}$.

$\sum_{t \mid n} \Lambda (t)=\ln n$.

Рассмотрим все возможные разложения $n=\alpha \beta$ четного числа $n$ такие, что $\alpha$ — нечетное (включая $\alpha =1$), $\beta$ — четное. Показать, что разность

равна сумме делителей числа $\frac{n}{2}$.

Пусть $P(n,k)$ обозначает число разложений числа $n$ в произведение $k$ множителей; в качестве множителей допускаются лишь целые положительные числа, большие 1, а два разложения считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же множителей, взятых в одном и том же порядке. Например, $P(12,2)=4$ и $P(12,3)=3$, так как

Показать, что при $n\geq 2$

т. е. разность между числом «четных» и «нечетных» разложений, иными словами, разложений на четное и соответственно нечетное число множителей. Например,

(Продолжение.) Показать, что

равно $1/m$, если $n=p^m$ — $m$-я степень простого числа $p$, и равно 0, если $n$ делится более чем на одно простое число. В случае $n=12$ имеем

(Продолжение.) Если $n$ есть произведение $m$ различных простых множителей, то

(ср. введение к задаче I 186).

Если $p$ — простое число, а $m$ — целое положительное, то

(Для этого частного случая проверить 58.1 с помощью биномиальной теоремы; ср. также 58.2 с задачей I 38.)

Пусть при $n>1$ через $Q(n)$ обозначено число различных разложений целого числа $n$ в произведение целых чисел, больших 1; два разложения не считаются различными, если они состоят из одних и тех же множителей, так что порядок множителей роли не играет (в противоположность 58.1); положим $Q(1)=1$. Например, $Q(12)=4$. Если $n$ есть произведение $m$ различных простых множителей, то

(ср. введение к задаче I 186).

(Продолжение.) Показать, что

Пусть $n$ — целое положительное число,

где $2, p_1,\ldots ,p_\mu ,q_1,\ldots ,q_\nu$ — отличные друг от друга простые числа, $p_1\equiv \cdots \equiv p_\mu \equiv 1$, $q_1\equiv \cdots \equiv q_\nu \equiv 3 \pmod4$. Положим

если $l_1,l_2,\ldots ,l_\nu$ все четны, и $\delta (n)=0$ в остальных случаях. Показать, что $\delta (n)$ есть в действительности разность между числами делителей числа $n$ двух различных родов:

где суммирование распространено на нечетные делители $t'$ числа $n$.

($4\delta (n)$ — число целых точек на окружности $x^2+y^2=n$. Этот факт был открыт Гауссом.)

Какие из функций $P(n,2), P(n,3), \ldots , Q(n)$ и $\delta (n)$ мультипликативны?

Пусть $f(n)$ и $g(n)$ — мультипликативные теоретико-числовые функции. Тогда теоретико-числовая функция

также мультипликативна.

Число различных правильных замкнутых $n$-угольников равно $\frac{1}{2} \varphi (n)$.

Сумма всех положительных правильных дробей, имеющих в несократимой форме знаменатель $n$, равна $\frac{1}{2} \varphi (n)$ ($n \geqslant 2$).

Пусть $a, b, c$ — целые положительные числа. Если $(a, b, c)=1$, то между $c$ дробями

имеется $\frac{\varphi (b c)}{\varphi (b)}$ несократимых. Если $(a, b, c)>1$, то все указанные дроби, очевидно, сократимы.

Сколько несократимых имеется среди $n^{2}$ дробей

Обозначим через $\Phi (n)$ число несократимых среди следующих $n^{2}$ дробей:

($i=\sqrt{-1}$; дробь $\frac{a+i b}{n}$ называется сократимой, если $(a, b, n)>1$, и несократимой, если $(a, b, n)=1$.) Функция $\Phi (n)$ обладает следующими свойствами: